Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig av hverandre. Hvis oppgavene er vanskelige betyr det ikke noe annet enn at juleferien er for kort. DEL I: Analyse DEFINISJON: Vi sier at en følge {x n } er en Cauchy-følge dersom gitt en ε >0 så finnes en N slik at for alle m,n > N vil x m - x n < ε 1. Vis at en konvergent følge er en Cauchy-følge. 2. Vis at en Cauchy-følge i R må være begrenset (dvs. det finnes en M slik at x n < M for alle n) 3. Vis at en begrenset følge må ha en konvergent delfølge. (En delfølge betyr at vi plukker ut uendelig mange ledd, f.eks. x 1, x 2, x 4, x 5, x 7, x 33, x 77,, slik at indeksene hele tiden øker, vi hopper bare over noen i den opprinnelige følgen) Hint: Kall delfølgen {y n } og sett y 1 = x 1. Se på intervallet [-M, M], som inneholder alle de uendelig mange elementene i følgen {x n }. Del intervallet i to på midten. Minst ett av de to nye intervallene må inneholde uendelig mange elementer i følgen, og dermed inneholde en x k hvor k >1. Sett y 2 = x k. og kall det halve intervallet du velger [a 2,b 2 ] Del dette intervallet i to på nytt, velg en halvpart som inneholder uendelig mange elementer, kall det [a 3, b 3 ], og sett y 3 = x m, hvor m>k og x m er med i [a 3,b 3 ] og fortsett. a n <y n <b n hele tiden og gi et argument for at y n må konvergere. 4. La {x n } være en reell Cauchy-følge, altså begrenset (iflg. 1). La {y n } være en konvergent delfølge av {x n } med grense y. Vis at når {x n } er Cauchy må {x n } selv være konvergent med grense y. Konkluder med at alle reelle Cauchy-følger er konvergente. I oppgave 1 viste vi at alle konvergente følger er Cauchy, og 2-4 viser at for reelle følger er alle Cauchy-følger konvergente. Dette gjelder ikke generelt. I noen metriske rom finnes det Cauchyfølger som ikke er konvergente. Dersom alle Cauchy-følger i et metrisk rom X er konvergente med grense i X, sier vi at det metriske rommet er komplett. Mer om metriske rom på neste side. EKSEMPEL: Legg merke til at vi presiserer at grensen skal være i rommet. Hvis vi ser på det åpne intervallet I = (0,1) følgen {x n } gitt ved x n = 1/(n+1), så er det klart at følgen er i I, dvs. at alle leddene, uansett hvor langt ut vi går, ligger i intervallet (0,1). Den er også Cauchy, for gitt en ε >0 kan vi sette N = 1/ε og for alle m,n > 1/ε, vil x m - x n < ε ettersom de begge vil ligge i intervallet (0, ε). Men er den konvergent?
Tja, hvis vi tenker på følgen som en følge i hele R, er den konvergent med grense 0. Men siden 0 ligger utenfor I, er ikke {x n } konvergent i I. Derfor er ikke I komplett! Metriske rom Metrikk er en generalisering av avstandsbegrepet. En metrikk på en mengde X er en funksjon d som tar to elementer i X og returnerer et positivt reelt tall. Det tallet kan vi tenke på som avstanden mellom punktene. d(x,y) må være definert for ALLE par av punkter (x,y) i X. Dessuten må den tilfredsstille: d(x,y) 0 for alle x og y i X d(x,y) = 0 hvis og bare hvis x = y d(x,y) = d(y,x) d(x,z) d(x,y) + d(y,z) (Trekantulikheten!) En mengde X sammen med en metrikk (en slik funksjon) d kalles et metrisk rom, og vi skriver det gjerne som et par (X,d). Dette gjør vi fordi vi kan definere ulike metrikker på én og samme mengde. To slike metrikker, d og q, gir opphav til to ulike metriske rom (X,d) og (X,q), selv om mengden X skulle være den samme. 5. Vis at i R n er d(x,y) := (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 +...+ (x n y n ) 2 en metrikk. (Dvs. at den tilfredsstiller betingelsene på forrige side). Dette er den standard euklidske metrikken som du har brukt hele livet. 6. La d være som over. Vis at d(x, y) = min{d(x, y),1} er en metrikk på R n 7. La d(x, y) = 0, x = y 1, x y Vis at dette er en metrikk. Dette kalles den diskrete metrikken Kontinuitet La (X,d) og (Y,q) være to metriske rom, og la f være en funksjon fra X til Y. La a være et punkt i X. Da sier vi at f er kontinuerlig i a hvis vi for hver ε >0 kan finne en δ >0 slik at d(a,x) < δ => q( f(a), f(x) ) < ε Konvergens: La (x n ) være en følge i et metrisk rom (X,d). Følgen er konvergent med grense x hvis vi for hver ε >0 kan finne en N slik at for alle n > N har vi d(x n, x) < ε. Vi ser at kontinuitet og konvergens har med avstanden mellom elementer å gjøre. Med en gang vi har en ide om avstanden mellom elementene i en mengde, kan vi snakke om kontinuitet og konvergens. Definisjonen av kontinuitet og konvergens er helt lik den du er vant med den har bare fått en litt mer generell form. Andre metriske rom: Vi kan også definere metrikker på andre mengder enn R n. La C[0,1] være mengden av alle kontinuerlige funksjoner på intervallet [0,1]. La f(x) og g(x) være to slike funksjoner.
Da kan vi definere en funksjon d(f,g) = sup f (x) g(x). Avstanden mellom to funksjoner er her x [0,1] definert som største avstand mellom f(x) og g(x) når x løper over alle verdier i intervallet. d(f,g) = 4 betyr at f(x) g(x) aldri blir større enn 4 for noen x i intervallet. Denne metrikken kalles supmetrikken. OPPGAVER 8. Vis sup-metrikken er en metrikk (At den tilfredsstiller betingelsene nederst på forrige side). 9. La {f n } være en følge i C[0,1], hvor f n (x) = 4sin(x) + (1/n)cos(x). Bruk definisjonen av konvergens i metriske rom til å vise at {f n } konvergerer mor grensa f(x) = 4sin(x) *** Litt gruppeteori DEL II: Algebra Gruppeteori er en del av matematikken (algebra) som har stor anvendelse, ikke bare i matematikk, men også i fysikk, kjemi, Rubiks kube med mer Gruppeteori kan se veldig abstrakt og unyttig ut her, men er veldig spennende når man får mer kjøtt på beina. Denne lille introduksjonen skal vekke appetitten på sånn kjøtt! La G være en mengde. En binær operasjon på G er en funksjon * som tar to elementer i G og returnerer et tredje element i G. Hvis vi holder oss i de hele tallene (Z), ser vi at + er en slik funksjon. 5+3 = 8. 112 + (-2) = 110 osv. Hvis G er en mengde og * en binær operasjon, sier vi at e er et identitetselement hvis a*e = e*a = a for alle a. I de hele tallene, sammen med den binære operasjonen +, er det 0 som er identitetselement, for z + 0 = 0 + z = z for alle z i Z. Vi sier at h er en invers av g dersom h*g = g*h = e (identitetselementet). I heltallene (sammen med +) er z den inverse til z fordi (-z) + z = z + (-z) = 0. DEFINISJON: En gruppe er en mengde G sammen med en binær operasjon *, slik at følgende holder: Hvis g 1 og g 2 er elementer i G, så er også g 1 *g 2 med i G g 1 *(g 2 *g 3 ) = (g 1 *g 2 )*g 3 Det finnes et identitetselement e slik at e*g = g*e = g, for alle g i G Alle elementer g skal ha en invers g -1 slik at g*g -1 = g -1 *g = e NB! MERK at det IKKE er noe krav om at operasjonen skal være kommutativ. a*b trenger ikke være lik b*a. DERSOM dette er tilfelle sier vi at gruppen er abelsk. (Oppkalt etter Niels Henrik Abel!) Vi bruker gjerne notasjonen (G,*) for å presisere hvilken mengde det er snakk om og hvilken binær operasjon.
Vi har i innledningen brukt (Z,+) som eksempel. De hele tallene, sammen med den binære operasjonen +, er en gruppe fordi den tilfredsstiller alle de fire aksiomene. Addisjon av heltall er dessuten kommutativt: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 for alle z 1,z 2 i Z. Dermed er heltallene, sammen med +, en abelsk gruppe. Undergrupper En gruppe er en mengde, sammen med en binær operasjon *, hvor de fire punktene over er oppfylt. Vi er vant med at mengder har delmengder, og da er det eneste kravet at alle elementene i delmengden må høre til den opprinnelige mengden. {1,2,3} er en delmengde av de hele tallene. De hele tallene er en delmengde av de rasjonale tallene, osv. For at en delmengde skal være en undergruppe må følgende være oppfylt: DEFINISJON: La G være en gruppe (med binær operasjon *). H er en undergruppe av G (H < G) dersom H er en delmengde av G som selv er en gruppe under den samme binære operasjonen *. Det betyr at identiteten e i G også må ligge i H. Videre må H være lukket under den binære operasjonen *., dvs. at hvis vi tar to elementer h 1 og h 2, som begge er i H, så må også h 1 *h 2 ligge i H. Og alle elementer h i H må ha sin invers h -1 i H. EKSEMPEL: Hvis vi ser på (Z,+) vil H = {5z z er i Z} = {, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, } være en undergruppe fordi: 0 er med i H hvis a og b er med i H, la a = 5k, b = 5m, så er a + b = 5k + 5l = 5(k+l) = 5s for en s i Z. dvs. at a+b er med i H a + (b + c) = (a + b) + c fordi vi kan tenke på disse som elementer i Z, hvor dette gjelder fordi Z er en gruppe. Det samme må gjelde om vi tenker på dem som elementer i undergruppa H Alle elementer i H har en invers i H. La a = 5k for en k i Z, Lar vi b = 5(-k), har vi a + b = 5k + 5(-k) = 5k 5k = 0. Dvs. at b er a sin invers, og b = 5(-k) er med i H siden (-k) er med i Z. (Jfr. def. av H) 10. Forklar hvorfor (Z, ) (Heltallene sammen med multiplikasjon) IKKE er en gruppe. Er (Q, ) en gruppe? 11. Vis at identitetselementet i en gruppe (G,*) må være unikt. (Hint: anta at det finnes to identiteter e 1 og e 2, slik at e 1 *x = x og e 2 x = x for alle x. Utled at de må være like) 12. Forklar hvorfor mengden av alle invertible 2x2-matriser med reelle elementer, sammen med matrisemultiplikasjon, er en gruppe. Hvorfor trenger vi betingelsen om at matrisene er invertible? (Kommentar: Denne gruppa kalles gjerne GL(2, R) )
13. I hvilke tilfeller er H en undergruppe av G? (C = komplekse tall, R = reelle tall, Q rasjonale osv ) a. G = (R, ) H = (Z, +) b. G = (C, ) H = { z : z = 1} 1 z c. G = GL(2,R) (se forrige oppgave) H = : z Z 0 1 (vedr. c: Ser du noen algebraiske likheter mellom (H, *) og (Z, +)? (* står for matrisemultiplikasjon) Takk for en givende høst! God jul og godt nytt år! Ta kontakt hvis du har spørsmål eller kommentarer til oppgavene! ivarsta@student.uio.no