FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14 Løsning Oppgave 14 1 Fra oppg 3, eksamen august 1 a. Med Y = 1/ 4π og zy = ry 1 / 3 kan vi skrive matrise-elementene av z på formen (z) nlm,1 ψ nlm z ψ 1 d 3 r = Ylm 1 1 dω R nl r R 1 r dr 3 δ l1 δ m I n. Matrise-elementene er altså lik null unntatt når l = 1 og m =. b. Matrise-elementet av z mellom grunntilstanden ψ 1 og første-nivå-tilstanden ψ 1 bør være av samme størrelsesorden som grunntilstandsradien a, altså (z) 1,1 ψ 1 z ψ 1 d 3 r a. ( ) 4 [En enkel beregning gir (z) 1,1 = a 3 4 3 =.745 a.] For overgangen fra ψ 1 til ψ 1 er matrise-elementet av perturbasjonen slik at overgangsamplituden blir (V 1 ) fi (t ) = (z) 1,1 p δ(t ), a 1 1 = 1 (V 1 ) fi (t )e iω fit dt = p i ip a. Sannsynligheten for denne overgangen er altså av størrelsesorden P 1 = a 1 1 i (z) 1,1 δ(t )e iω fit dt }{{} 1 ( ) p a. [Den nøyaktige prefaktoren er.745 =.555.] Med p =.1 p rms =.1 m e E 1 =.1 αzm e c blir denne sannsynligheten av størrelsesorden ( ) P 1 (p a/) αzme c a =.1 =.1. Z [Kommentar: Selv med den nøyaktige prefaktoren gjelder dette resultatet bare til første orden. Overgangs-sannsynlighetene til andre tilstander med l = 1 og m = avtar nok med økende n, dvs med økende energi, men summen av alle disse sannsynlighetene vil nok bli vesentlig større enn.1, slik at sannsynligheten for at atomet fortsatt befinner seg i grunntilstanden kan bli vesentlig mindre enn 1. Derfor er det fare for at disse første-ordensresultatene ikke er helt nøyaktige.]
FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 Med en 1 ganger sterkere perturbasjon, p = p rms, blir P 1 til første orden av størrelsesorden 1, og da kan vi slett ikke stole på 1.-ordens perturbasjonsteori (som jo baserer seg på at amplitudene ikke skal ha endret seg mye fra sine opprinnelige verdier; jf Tillegget). Dersom vi tenker oss at p gjøres enda mye større, dvs sørger for en impulsoverføring som er mye større enn den karakteristiske impulsen i begynnelsestilstanden, må vi vente at det er stor sannsynlighet for at elektronet havner i en av de ubundne tilstandene, dvs blir revet løs fra atomet. Sannsynligheten for at det blir værende i grunntilstanden vil da bli svært liten. c. Ved den spontane overgangen fra ψ 1 til grunntilstanden er dipolmomentet d 1 1 = ψ 1 r(ˆx sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ)ψ 1 d 3 r = 1 I r ẑ dω Y 1 cos θ = I r ẑ 1 dω Y 1 4π 3 }{{} =1 = ẑ 3 I r med I r r 3 R 1 (r)r 1 (r)dr. Komponentene i x- og y-retning er lik null fordi integralene over φ fra til π av cos φ og sin φ begge er lik null. (i) Energien til det emitterte fotonet er proporsjonal med Z, og er for Z = 1 ω 1 = E E 1 = 1 (αz) m e c (1 1/4) = 1. 1 5 ev. (ii) Bohr-frekvensen skalerer på samme måte, og er ω 1 = ω 1 = 1. 15 ev 6.58 1 16 evs = 1.55 1 s 1. (iii) Dipolmomentet er omvendt proporsjonalt med Z, og er d 1 = I r = 1 56 3 3 81 a 6 Z = 3.94 1 13 m. (iv) Overgangsraten vil dermed skalere som Z 4, og er w 1 1 = 4αω3 1 3c d 1 = 6.5 1 16 s 1. (v) Dermed blir levetiden omvendt proporsjonal med Z 4, og er for Z = 1 en faktor 1 8 mindre enn for hydrogen: τ 1 = 1.6 1 17 s. Dipoltilnærmelsen bygger på at en setter exp(ik r) = 1 i et integral som inneholder radialfunksjonene R 1 og R 1 i det aktuelle tilfellet. Dette krever at ka = ω 1 c a Z 1. I det aktuelle tilfellet er ka =.7, som ikke kan sies å oppfylle denne ulikheten. Med Z så stor som 1, er vi derfor på gyngende grunn når det gjelder dipoltilnærmelsen.
FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 3 Løsning Oppgave 14 Spontane overgangsmoder for eksiterte hydrogentilstander Med begynnelsestilstanden 5s ψ 5 ser vi at utvalgsregelen l = ±1 i dipoltilnærmelsen bare tillater overgangene 5s 4p (ψ 41m med m =, ±1), 3p (m =, ±1) p (m =, ±1). Altså er det alt i alt disse 9 mulige slutt-tilstandene som bidrar til de samlede overgansraten w, når en skal beregne levetiden τ = 1/w for denne tilstanden. Med en 5d-tilstand (ψ 5m, der m har en av verdiene,1,,-1,-) som utgangspunkt blir det tilsvarende skjemaet for tillatte overganger som følger: Her må vi se nærmere på hvilke magnetiske kvantetall m som er tillatt i slutt-tilstanden. Ved overgang fra ψ 5m til ψ 43m ser vi fra regelen m m m =, ±1 at det er 3 mulige verdier for m, uansett om m er, 1,, 1 eller. Eksempel: Dersom m =, er m = 3,, 1 tillatt. Ved overgang til et av de tre p-nivåene er det enda litt mer innfløkt (men likedan for alle 3): For m = er m =, ±1 tillatt, For m = 1 er m =, 1 tillatt, For m = 1 er m =, 1 tillatt, For m = er m = 1 tillatt, For m = er m = 1 tillatt.
FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 4 Løsning Oppgave 14 3 a. I dipolmomentet De-eksitasjon av fri rotator d fi = kan pariteten til integranden skrives på formen lm r Y 3 dω ( 1) l+1+3 = ( 1) l 3 ( 1) l. Integranden er altså antisymmetrisk for like l; overganger med like l er forbudte i elektrisk-dipol-tilnærmelsen. I forelesningene har vi sett at heller ikke alle overganger med odde l er tillatte i dipoltilnærmelsen, bare de med l = ±1. Som en delvis kontroll kan vi her se på overgangen Y 3 Y, hvor vi har d 3 = 3 r Y dω ( ) 3 ê z Y 1 êx iê y Y 11 + êx + iê y Y 1 1 dω. Dette integralet er ganske riktig lik null, pga ortonormaliteten til de sfæriske harmoniske. b. I integralet d 3 m = R 4π 3 ( ) m ê z Y 1 êx iê y Y 11 + êx + iê y Y 1 1 Y 3 dω er Y 3 og Y 1 uavhengige av φ, mens m e imφ og Y 1±1 e ±iφ. I uttrykket ovenfor har vi derfor ett bidrag proporsjonalt med ê z for m = (dvs for m = ), og to bidrag proporsjonale med hhvis (ê x iê y )/ for m = ±1 (dvs for m = ±1), i overensstemmelse med utvalgsregelen m =, ±1. c. Den oppgitte formelen gjelder for en partikkel med ladning e, dvs for en rotator med et elektrisk dipolmoment D e = er, som svarer til et vekselvirkningsledd ea p/m. For molekylet, med det elektriske dipolmomentet D q = qr og vekselvirkningsleddet qa p/m må vi da korrigere den oppgitte formelen med en faktor (q/e). [Vekselvirkningsleddet inngår lineært i overgangsamplituden og dermed kvadratisk i overgangsraten; jf faktoren e, som er skjult i finstrukturkonstanten i den oppgitte formelen.] d. Med energiegenverdiene E l = l(l + 1) mr = me l(l + 1) m e a m 9 for rotatoren finner vi en fotonenergi i det infrarøde området: ω = E 3 E = 13.6 ev 1 6.453 ev. 9
FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 5 Bohr-frekvensen for denne overgangen er Vi finner da at ω = ω =.453 ev.658 1 15 evs = 6.88 11 s 1. kr = ω c 3a = 3.64 1 6. Dette betyr at tilnærmelsen exp(ik r) 1, som ligger til grunn for elektrisk-dipol-tilnærmelsen, er oppfylt med god margin. e. For overgangen Y 3 Y, med m =, så vi i pkt. b at dipolmomentet er rettet i z-retningen, med størrelsen d 3 = R 4π/3 Y 1 Y 3 dω = R 5 7 16π 16π π 1 1 d(cos θ)(3 cos θ 1) cos θ(5 cos 3 θ 3 cos θ) 35 1 = R 16 (15x 6 14x 4 + 3x )dx = 3 R, 35 q.e.d. For hver av de tre aktuelle overgangene er den spontane overgangsraten ( ) w i f = q e α 4ω3 c d fi = q 4α e 3 ω ωr d fi/r. c Innsetting gir da (med q =.5 e) en samlet overgangsrate for Y 3 på ( 1 9 w 3 = 3 137.36 6.88 11 s 1 (3.64 1 6 ) 35 + 3 35 + 3 ).95 s 1. 35 Etter dette skulle levetiden for rotasjonstilstanden Y 3 bli τ 3 = 1 = 1.5 s. w 3 Løsning Oppgave 14 4 Utvalgsregler for 3D isotrop oscillator Den mest generelle begynnelsestilstanden ψ i er en lineærkombinasjon av vektorer n x, n y, n z med alle mulige kombinasjoner av n x, n y og n z som har n x + n y + n z = N. Når operatoren x = mω (a x + a x) virker på en slik lineærkombinasjon ψ i, gir a x en tilsvarende lineærkombinasjon der hver vektor får senket kvantetallet n x med 1. Denne lineærkombinasjonen har altså energikvantetallet N = N 1. Operatoren a x gir tilsvarende en lineærkombinasjon med N = N + 1. Tilsvarende gjelder for operatorene ŷ = mω (a y + a y) og ẑ = mω (a z + a z). Uttrykket r ψ i blir derfor en lineærkombinasjon av tilstander med kvantetall N 1 og N + 1. Dermed blir matrise-elementet d fi = ψ f r ψ i forskjellig fra null bare for slutt-tilstander ψ f med N = N ± 1, hvilket skulle vises.
FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 6 Løsning Oppgave 14 5 Levetid for eksitert tilstand i 3D isotrop oscillator Fra formlene a n x = n x n x 1 osv ser vi at de aktuelle matrise-elementene (og slutttilstandene) for spontan emisjon i dipol-tilnærmelsen er gitt ved n x 1, n y, n z r n x, n y, n z = mω n x ê x, (n x 1) n x, n y 1, n z r n x, n y, n z = mω n y ê y, (n y 1) n x, n y, n z 1 r n x, n y, n z = mω n z ê z. (n z 1) Merk at matrise-elementer av typen n x 1, n y 1, n z x n x, n y, n z er lik null. De tre matrise-elementene ovenfor er altså de eneste som er forskjellig fra null i dipoltilnærmelsen. Formlene ovenfor viser at dersom vi observerer n x = 1, så peker matrise-elementet i x-retningen, osv. Med denne måten å observere på er altså utvalgsreglene at en har enten n x = 1, n y = 1 eller n z = 1. I alle tre tilfellene er N = 1. Fotonene har alle samme energi, ω. Overgangs-sannsynligheten pr tidsenhet, gitt av ligning (T15.36), er da for de tre slutttilstandene: n x = 1 : w i f = α 4ω3 3c mω n x = α ω 3 mc n x, n y = 1 : w i f = α 4ω3 3c mω n y = α 3 ω mc n y, n z = 1 : w i f = α 4ω3 3c mω n z = α ω 3 mc n z. (Merk at disse formlene også gjelder når ett eller flere av de tre kvantetallene i begynnelsestilstanden er lik null.) Den samlede overgangssannsynligheten for emisjon fra tilstanden n x, n y, n z er lik summen av de tre uttrykkene ovenfor: w i = f w i f = α 3 ω mc N, og levetiden blir dermed τ i = 1/w i = 3 mc 1 α ω N, altså omvendt proporsjonal med N, slik vi skulle vise.