Løsningsforslag til eksamen i MAT, 3/6-7 Oppgaveteksten er gjengitt i kursiv Oppgave : a) Finn de stasjonære (kritiske) punktene til f(x, ) = x + 4x Løsning: Finner først de partiellderiverte: (x, ) x = 4x + 4 = 4(x + ) (x, ) = x + 4x Vi er interessert i punktene der begge disse uttrkkene er lik Det første uttrkket er null dersom enten = eller x = Setter vi disse verdiene inn i det andre uttrkket, får vi: For = : Vi har (x, ) = x + 4x = x(x + ) som er null dersom x = eller x = Dermed har vi funnet to stasjonære punkter (, ) og (, ) For x = : Vi har (, ) = ( ) + 4( ) = som er null når = Dermed har vi funnet ett stasjonært punkt til: (, ) Oppsummering: Vi har tre stasjonære punkter (, ), (, ) og (, ) b) Avgjør om de stasjonære punktene er lokale maksimumspunkt, lokale minimumspunkt eller sadelpunkt Løsning: Vi skal bruke annenderiverttesten og må først finne de annenderiverte: f (x, ) x = 4 f (x, ) x = 4x + 4 f (x, ) =
Ser på de tre stasjonære punktene hver for seg: Punktet (, ): I dette punktet er A = f (, ) = 4 =, B = f x x (, ) = 4 + 4 = 4, C = f (, ) = og D = AC B = ( ) 4 = 6 Siden D <, er (, ) et sadelpunkt Punktet (, ): I dette punktet er A = f (, ) = 4 =, B = x f x (, ) = 4 ( ) + 4 = 4, C = f (, ) = og D = AC B = ( ) ( 4) = 6 Siden D <, er (, ) et sadelpunkt Punktet (, ): I dette punktet er A = f (, ) = 4 ( ) = 4, x B = f x (, ) = 4 ( ) + 4 =, C = f (, ) = og D = AC B = ( 4) ( ) = 8 Siden D > og A <, er (, ) et lokalt maksimumspunkt Oppgave : a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen 9 4 A = Løsning: Vi finner først egenverdiene fra ligningen: = det(λi A) = λ 9 4 λ Dette er en annengradsligning med løsninger λ = ( ) ± ( ) 4 9 som gir egenverdiene λ = 3, λ = 7 = ± 36 = λ λ + 9 = ± 6 Neste trinn er å finne egenvektorene En egenvektor v = egenverdi λ = 3, må tilfredsstille: 9 4 x x = 3 = ± 3 ( x ) med Dette gir ligningene 4x + 4 = x =
Siden vi får den første ligningen ved å multiplisere den andre med, har disse ligningene ( de samme ) løsningene Velger vi =, får vi x =, og dermed er v = en egenvektor med egenverdi λ = 3 ( ) x Tilsvarende ser vi at hvis v = er en egenvektor med egenverdi λ = 7, så er: 9 4 x x = 7 Dette gir ligningene x + 4 = x + 4 = som opplagt har( de samme ) løsningene Velger vi =, får vi x =, og dermed er v = en egenvektor med egenverdi λ = 7 b) En storb og de omliggende områdene vokser kraftig Man regner at dersom det bor x n millioner i ben og n millioner i de omliggende områdene ett tiår, vil de tilsvarende tallene ti år senere være x n+ = 9x n + 4 n n+ = x n + n Dersom det i år bor x = 6 millioner i ben og = 3 millioner i områdene omkring, hvor mange vil det da bo i ben og de omliggende områdene om n tiår? Løsning: Vi begnner med å skrive begnnelsestilstanden som en lineærkombinasjon av egenvektorene, dvs vi ønsker å finne tall s og t slik at: ( ) ( ) ( ) ( ) x 6 = = s + t 3 Dette gir ligningssstemet s + t = 6 s t = 3 som har løsningene s = 4, t = Dermed har vi ( ) ( ) ( ) ( xn = A n x = 4A n + A n n ) ( = 4 3 n ) +7 n ( ) som gir x n = 4 3 n + 7 n 3
innbggere i ben og n = 4 3 n 7 n innbggere i de omliggende områdene Oppgave 3: a) Finn konvergensområdet til rekken n= xn n+ Løsning: Bruker først forholdstesten: lim n x n+ n+3 x n n+ = lim n (n + )x (n + 3) = x Dette gir konvergens for x <, dvs for < x <, og divergens for x >, dvs for x < og x > Endepunktene må sjekkes separat: x = : Vi får rekken n= med rekken n= n ) som divergerer (samme rekke som oven- x = : Vi får rekken for) n+ n= n+ Konvergensområdet er dermed (, ) b) Finn summen til rekken som divergerer (du kan feks sammenligne Løsning: Vi setter S(x) = n= xn n+ for x = (, ) Ganger vi denne ligningen med x, får vi xs(x) = n= xn+ n+ som etter derivasjon gir (xs(x)) = n= x n = x der vi har summert en geometrisk rekke med kvotient x Integrerer vi på begge sider av likheten, får vi (integralet du trenger er på formelarket): xs(x) = ln x + x + C for et passende valg av integrasjonskonstanten C For å finne riktig valg av C, setter vi inn x = på begge sider, og får: = ln + + C Siden ln =, ser vi at må velge C = 4
Dermed har vi xs(x) = ln x+ x, og for x, gir dette S(x) = x ln x+ x Fra det opprinnelige rekkeuttrkket for S ser vi at S() =, og dermed har vi x ln x+ x for < x < S(x) = for x = Oppgave 4: R er rektangelet med hjørner i (, ), (3, ), (3, ), (, ), og C er omkretsen til R orientert mot klokken Finn C F dr der F(x, ) = (x ) i + (x + x) j Løsning: Det enkleste er å bruke Greens teorem med P = x og Q = x + x Vi får ( Q F dr = P dx + Q d = C C R x P ) dxd = ( ) (x + ) (x ) dxd = dxd = areal(r) = 4 R Oppgave 5: a) Vis at volumet til omådet avgrenset av planet x + 4 z = 4 og paraboloiden z = x + er gitt ved ( V = x + 4 x + 4 ) da der D er sirkelen med sentrum i (, ) og radius 3 D Løsning: Området er avgrenset ovenfra av planet og nedenfra av paraboloiden (lag en tegning) Volumet er derfor gitt ved ( V = (x + 4 + 4) (x + ) ) ( da = x + 4 x + 4 ) da D der D er projeksjonen av området ned i x-planet Skjæring mellom de to flatene har vi når de to z-verdiene er like, dvs når x + = 4 + x + 4 x x + 4 = 4 (x ) + ( ) = 9 Dette er ligningen for en sirkel med sentrum i (, ) og radius 3, og området D er avgrenset av denne sirkelen b) Regn ut V R D 5
Løsning: Vi bruker polarkoordinater med sentrum i (, ), dvs vi setter x = + r cos θ, = + r sin θ Jacobideterminaten er r som for vanlige polarkoordinater Vi legger også merke til at integranden kan omskrives slik: x+4 x +4 = (x x+ 4 4) = ( (x ) + ( ) 9 ) = Dermed har vi V = = ( (r cos θ) + (r sin θ) 9 ) = 9 r 3 π (9 r )r dθdr = π 3 (9r r 3 ) dr = [ ] 3 9 = π r r4 = 8π 4 Oppgave 6: En n n-matrise A kalles radstokastisk dersom alle elementene er positive og summen av hver rad er, altså dersom (i) a ij for alle i, j (ii) n j= a ij = a i + a i + + a in = for alle i Vis at dersom A er radstokastisk, så er v = en egenvektor for A Hva er egenverdien? Vi skal nå vise at dersom λ er en (annen) egenverdi for A, så er λ Velg en tilhørende egenvektor v = v v v n Dersom v i er komponenten med størst tallverdi, forklar at λ v i = λv i = a ij v j j= a ij v j j= a ij v i = v i (du må forklare hvert steg i utregningen) Forklar også at dette viser at λ j= 6
Løsning: Dersom har vi Av = v = a + a + + a n a + a + + a n a n + a n + + a nn = = v som viser at v er en egenvektor med egenverdi Dersom v v v = v n er en egenvektor med egenverdi λ, har vi Av = λv Ser vi på den i-te komponenten i denne ligningen, får vi λv i = a ij v j j= Tar vi tallverdien på begge sider og bruker at tallverdien til et produkt er produktet av tallverdiene, får vi λ v i = λv i = a ij v j Bruker vi trekantulikheten pluss at a ij, får vi videre λ v i = λv i = a ij v j a ij v j = a ij v j j= Siden v j v i for alle j, er λ v i = λv i = a ij v j j= j= j= a ij v j = j= j= a ij v j j= a ij v i Siden n j= a ij =, får vi n j= a ij v i = v i n j= a ij = v i, og dermed har vi vist at λ v i = λv i = a ij v j a ij v j a ij v i = v i j= Det betr spesielt at λ v i v i, og deler vi på v i, får vi λ (v i siden ikke alle komponentene i en egenvektor kan være ) j= j= j= 7