Fasit til utvalgte oppgaver MAT, uka 8-/ Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no February, Oppgave 3.3.6 Vi har funksjonen fx, y, z xyz og kurven Vi ser at rt e t, e t, t, t. vt e t, e t, vt e t + e t + frt t. e t + e t e t + e t Vi får derfor fds frtvtdt t e t + e t dt [ t e t + e t] + e t e t dt e + e [ + e t + e t] e + e + e + e e. hvor vi har brukt delvis integrasjon. Oppgave 3.3. Vi har den parametriserte kurven gitt ved rt t t, 83 t3/, t Funksjonen som beskriver utbyggingskostnadene er gitt ved px, y K + y, der K er en gitt konstant. Vi har nå at r t t, 4t / vt t + 6t 4 8t + 4t + 6t 4 + 8t + 4t + t prt K + 8 3 t3/.
De totale utbyggingskostnadene blir pds K Oppgave 3.3. prtvtdt K + 8 3 t3/ + tdt + t + 6 3 t3/ + 6 3 t5/ dt K[t + t + 3 5 t5/ + 3 t7/ ] K + + 3 5 + 3 35 + 4 + 6 K 5 Vi har den parametriserte kurven t rt, 9 t3/, t, t 7 9 3534 5 K 33.7K. r t vt t, 3 t/, 9 t + 9 t + 8 t + 9 t + 9, hvor vi kunne fjerne absoluttverditegnet siden t 7. Bensinforbruket f til en bil er gitt ved 5 + dz dz ds. Dette er en litt spesiell form, og vi vil helst regne ut ds uten å måtte uttrykke z som en funksjon av s. Setter vi inn vt ds dt t + 9 og dz dt 9 i uttrykket dz dt dz ds ds dt som vi har fra kjerneregelen, får vi at 9 dz ds dz ds 9t +. t + 9, altså er Vi får da fds 7 7 5 + 9t + 5 t + [ 3 t + 35 + 8 35 + 8 3 48 35 + 8 8 5 + 45 + 3 t + dt 9 dt t ] 7 6 7 + + 5 45 89 45.
Oppgave 3.4. Vi har Fx, y, z x, xy, og kurven parametrisert ved rt cos t, sin t, t π. Frt cos t, sin t cos t r t sin t, cos t, og får derfor F dr π π π. Frt r tdt cos t, sin t cos t sin t, cos tdt sin t cos t + sin t cos tdt Oppgave 3.4.3 Vi har Fx, y, z zy, x, xz, og kurven parametrisert ved rt t, t, t 3, t. Frt t 5, t, t 4 r t, t, 3t, og får derfor F dr Frt r tdt t 5, t, t 4, t, 3t dt [ 6 t6 + t4 + 3 7 t7 ] 64 6 + 8 + 384 7 t 5 + t 3 + 3t 6 dt 4 + 68 + 5 544. Oppgave 3.4.4 Vi har Fx, y, z z x, y, x, og kurven parametrisert ved rt e t, ln t, sin t, t. Frt e t sin t, ln t, e t r t e t,, cos t, t 3
og får derfor F dr Frt r tdt e t sin t, ln t, e t e t,, cos tdt t sin t + ln t + e t cos t t [ cos t] + ln t t dt + cos cos + ln t t dt + e t cos tdt e t cos tdt. Det første av de gjenværendene integralene kan vi nne ved hjelp av substitusjonen u ln t, som gir du dt t. Det første integralet blir derfor ln [ ] ln udu ln u ln. det andre integralet nner vi ved to ganger delvis integrasjon: e t cos tdt e t cos t + e t sin tdt e t cos t + e t sin t e t cos tdt. Samler vi integralene her nner vi at e t cos tdt et sin t + cos t, som gjør at det tredje integralet blir e t cos tdt Summen av det hele blir derfor [ ] et sin t + cos t e sin + cos esin + cos. cos cos + ln + e sin + cos esin + cos. Oppgave 3.4.6 Vi har Fx, y, z x, y, og kurven kan parametriseres ved rt 5 cos t, 5 sin t, t π. Frt 5 cos t, 5 sin t r t 5 sin t, 5 cos t, og får derfor F dr π π π Frt r tdt 5 cos t, 5 sin t 5 sin t, 5 cos tdt 5 sin t cos t + 5 sin t cos t. 4
Oppgave 3.4.8 Vi har Fx, y, z cos x sin y, x, og kurven kan parametriseres ved hjelp av tre kurver,, 3, hvor hver av disse igjen er parametrisert ved og får derfor F dr r t t,, t π r t π, t, t π r 3 t π t, π t, t π. Fr t, t Fr t sin t, π Fr 3 t cosπ t sinπ t, π t cos t sin st, π t r t, r t, r 3t, F dr + F dr + F dr 3 π π π π Fr t r tdt + π Fr t r tdt + π Fr t r t + Fr t r t + Fr 3 t r 3tdt + π + cos t sin t π + tdt sint + tdt [ 4 cost + t ] π 4 + π + 4 π. Fr 3 t r 3tdt Oppgave 3.4.4 t Retningen til trekkraften er t, 5. Enhetsvektoren i denne retningen er, 5 t +5 Siden trekkraften er konstant lik K, så blir kraftvektoren lik K t Frt t + 5, 5K, t + 5 t +5. der strekningen båten dras er parametrisert ved rt t,, t. Arbeidet som kraften utfører blir da Frt r tdt K K t t + 5 dt t t + 5 dt. Vi substituerer u t + 5, og får du tdt, slik at integralet blir K 5 45 u du K 45 5 u du K [ u ] 45 5 K 45 5 5K 7. 5
Oppgave 3.4.5 a Trekkraften som virker på lasten har retning fra lasten mot taljen. Denne vektoren er, t, t t, t. Lengden til denne vektoren er t + t t + t + t Enhetsvektoren i trekkretningen er derfor t + + t t + t + t t + t + t t, t t t, + t + t + t, + t + t + t Siden trekkraften er konstant lik K i trekkretningen er blir derfor trekkraften lik Kt K, + t. + t + t b Siden rt t, t blir r t, t. Arbeidet blir K dr K Kt r tdt K, + t, tdt + t + t K + t + t + t + t + t + t dt. Kt + t + dt + t + t c t t + t + t t t + + t + + t + t + t + t + + t t + t + t + t + t + t + t +. Det siste kjenner vi igjen fra integranden i b. d Vi ser nå at [ W K t ] t + t + K. 6
Oppgave 3.5. Vi ser på Fx, y xy + x, x, og regner ut at F F x, derfor konservativt, og vi nner en potensialfunksjon ved å løse F x, y xy + x F x, y x. x. Feltet er Den første ligningen gir at φx, y x y + x + y, den andre gir at φx, y x y + Dx. det er da klart at φx, y x y + x er en potensialfunksjon. Oppgave 3.5. F Vi ser på Fx, y xe y, x e y + x, og regner ut at F xey +, xe y. Siden disse er forskjellige er ikke vektorfeltet konservativt, og F har da ingen potensialfunksjon. Oppgave 3.5.4 Vi ser på F x, y, z y z + z, xyz, xy + x, og regner ut F F yz, yz, F F3 xy, xy, F y +, F3 y +. Feltet er derfor konservativt, og vi må løse ligningene F x, y y z + z F x, y xyz F 3 x, y xy + x. for å nne en potensialfunksjon. Løser vi disse tre nner vi at φx, y, z y zx + zx + y, z xy z y + Dx, z xy z + xz + Ex, y. Vi ser da at φx, y, z xy z y + xz. er en potensialfunksjon. Oppgave 3.5.7 Vi har vektorfeltet Fx, y xy, x, og kurven parametrisert ved rt t cos t, sin t, t π. Det er tungvint å regne ut F dr direkte. I stedet forsøker vi å nne en potensialfunksjon. Vi regner ut 7
F F x, x. Felter er derfor konservativt, og har en potensialfunksjon. Vi må løse ligningene F x, y xy F x, y x φx, y x y er derfor en potensialfunksjon for F. Vi har derfor F dr φdr φb φa φ, φ,, hvor vi har brukt setning 3.5.. Oppgave 3.5.8 Vi har vektorfeltet Fx, y cosxy xy sinxy, x sinxy, og kurven parametrisert ved rt t cos t, sin t cos t, t π. Vi regner ut F F x sinxy x y cosxy x sinxy x sinxy x y cosxy x sinxy x y cosxy, som viser at feltet er konservativt. For å nne en potensialfunksjon må vi løse F x, y cosxy xy sinxy F x, y x sinxy. Den siste er enklest, og gir oss at φx, y x cosxy + x. Den første løser vi slik: φx, y y sinxy y x sinxydx y sinxy + x cosxy cosxydx y sinxy + x cosxy sinxy + y y x cosxy + y. Vi ser derfor at φx, y x cosxy er en potensialfunksjon. Vi har derfor F dr φdr φb φa φπ, φ, π. Oppgave 3.5. Vi har vektorfeltet Fx, y, z y z+xy, xyz+x, xy +, og kurven parametrisert ved πt rt t, t, t sin, t. 8
Vi regner ut F F F 3 F F F 3 yz + x yz + x y y xy xy, som viser at feltet er konservativt. For å nne en potensialfunksjon må vi løse Disse tre gir F x, y, z y z + xy F x, y, z xyz + x F 3 x, y, z xy +. φx, y, z y zx + x y + y, z φx, y, z xy z + x y + x, z φx, y, z xy z + z + x, y. Vi ser derfor at φx, y, z xy z + x y + z er en potensialfunksjon. Vi har derfor F dr φdr φb φa φ,, φ,, 3. Matlab-kode % Oppgave 9. azeros,3; a ; a 3; for k3:3 ak 3*ak--*ak-; end % Oppgave 9. xzeros,; yzeros,; r.98; q.4; c.; d.; x5; 9
y; for k: xk xk-*r+c*yk-; yk yk-*q-d*xk-; end plot:,x,:,y Python-kode # Oppgave 9. azeros3 a[] a[]3 for n in range,8: a[n+]3*a[n+]-*a[n] # Oppgave 9. b r.98 q.4 c. d. xzeros yzeros x[]5 y[] for n in range,999: x[n+]x[n]*r+c*y[n] y[n+]y[n]*q-d*x[n] trange,, plott,x,'g' hold'on' plott,y,'r'