Hva har vi vunnet, hva har vi tapt?

Dagfinn Andreassen Hva har vi vunnet, hva har vi tapt? Symbolmanipulerende kalkulator i matematikkundervisningen på Sjøkrigsskolen På Sjøkrigsskolen (SKSK) har vi de tre siste årene brukt en symbolmanipulerende kalkulator, TI-89, i den postgymnasiale matematikken på en av våre linjer, Kystjegerkommandoen (KJK). Jeg har hatt undervisningen for denne linjen, og jeg vil gjøre rede for de erfaringer jeg har vunnet, de er både positive og negative. Matematisk bakgrunn og skolens mål Kadettene på KJK skal bli operative offiserer. Fagkretsen deres er bestemt ut fra de behov Sjøforsvaret har, og favner vidt. Foruten tradisjonelle militære fag inngår også matematikk og fysikk i kadettenes pensum. For begge disse fagenes vedkommende gjelder at vi søker å dekke både de øyeblikkelige behov kadettene har for kunnskaper til å følge skolens undervisning og noen av de fremtidige behov som vil Dagfinn Andreassen er PhD i matematikk og har arbeidet som dosent i EDB ved Sjøkrigsskolen i 14 år. Dagfinn.Andreassen@SKSK.mil.no oppstå pga generell teknologisk utvikling og etterutdannelse. Opptakskravet i matematikk på KJK er 2MX. Etter gjeldende studieplan har kadettene matematikk i 2. og 3. semester. Det er kun i 3. semester at vi bruker en symbolmanipulerende kalkulator. Pensum 3. semester høsten 2002 var statistikk og sannsynlighetsregning fra 3MX samt utvalgte emner innenfor ingeniørmatematikk : Inverse trigonometriske funksjoner, integrasjonsmetoder, differensialligninger, romkurver, volum og overflate av omdreiningslegemer, tyngdepunkt, buelengde. Historisk bakgrunn Jeg var svært misfornøyd med kadettenes utbytte av matematikkundervisningen. De la ned en betraktelig innsats i matematikken, men deres faglige utbytte var lite tilfredsstillende. De regnemessige ferdighetene var dårlige, regnemessige problemer fortrengte de matematiske resonnementene, og de hadde en godt befestet innstilling om at det viktigste spørsmålet var «Hvilken formel skal jeg bruke?» Dessuten var noen kadetter lite motivert for fag som matematikk og fysikk, de hadde ventet seg en langt mer praktisk anlagt utdannelse. tangenten 1/2004 15

Noe måtte gjøres, og siden min hovedbeskjeftigelse i mange år har vært IT, var det naturlig for meg å tenke på kalkulatorer. Jeg fikk kjøpt inn tre forskjellige som alle minst kunne derivere og integrere, prøvde dem ut og falt for TI-89. Det som gjorde utslaget til fordel for TI-89, var Pretty Print -funksjonen: Etter at man har tastet inn et uttrykk, gjengies det på skjermen i korrekt matematisk format. Det har vist seg å være svært viktig for våre kadetter, i mange tilfeller ser de om de har tastet inn korrekt uttrykk eller ei. (Men dessverre får vi ingen mirakler her heller, det viser seg at det ikke er lett å få dem til å gå nøye gjennom et inntastet uttrykk og finne feilen.) TI-89 TI-89 skiller seg fra mange andre kalkulatorer ved sin evne til å manipulere symboler. Den deriverer funksjoner, den finner (innenfor rimelighetens grenser) eksakte uttrykk for bestemte og ubestemte integral, og ber du den beregne, produserer den svaret x 7/6. Tastaturet på TI-89 er ikke mer overlasset enn for en grafisk kalkulator. Bokstavene x, y, z og t sitter direkte tilgjengelig på tastaturet. Standard matematiske funksjoner nåes ved først å trykke tasten 2 nd og deretter relevant tast (sinus fåes ved 2 nd + y), det samme gjelder operatorene for integrasjon og derivasjon (2 nd + 7 og 2 nd + 8). Annen funksjonalitet, som funksjoner for summasjon og ligningsløsning, får man tilgang til enten ved tastene F1 F5 øverst, eller ved den alfabetiske listen over alle 16 funksjoner. Personlig synes jeg at binomialkoeffisienter og fakultet satt tungvint til. Innstillinger, som vinkler i radianer eller grader (våre kadetter skal navigere) og komplekse tall i polarkoordinater eller rektangulære koordinater, var derimot lett tilgjengelig. I undervisningen har jeg brukt en spesiell lærervariant av kalkulatoren. Denne var koblet med kabel til en flatskjerm, dermed kunne jeg vise relevante skjermbilder på overhead. Innstillingen Exact/Approx avgjør hvilken type svar TI-89 skal gi, det er tre muligheter: Approximate, som alltid gir numerisk svar Exact, som alltid gir symbolsk svar. Auto, som lar kalkulatoren avgjøre hvorvidt svaret skal være numerisk eller symbolsk. Tabellen viser noen enkle eksempler på hvordan svarene blir med de forskjellige innstillingene. Hvis vi i vår teknologioptimisme skriver, får vi svaret med innstillingen Exact eller Auto, mens innstillingen Approximate gir.forsøker vi med og bruker innstillingen Exact, får vi, mens innstillingene Auto og Approximate gir 0.999999999051. Som vi ser, når kalkulatoren gir opp, vises uttrykket den er kommet frem til. 1/2004 tangenten

Hva har vi brukt kalkulatoren til? Integrasjon: Kadettene må vise at de selv kan regne enkle tilfeller av substitusjon og delvis integrasjon, delbrøkoppspalting lar vi alltid kalkulatoren gjøre. Når integraler dukker opp andre steder, som i kurvelengder eller differensialligninger, brukes kalkulatoren direkte. Normalfordeling: Normalfordelingstabellen erstattes av et bestemt integral. Binomisk: Beregning av binomiske sannsynligheter som vanligvis gjøres ved en normalfordelingstilnærming, erstattes av summasjon i kalkulatoren. Grafikk: Som vanlig. Ligningsløsning: Det som dukker opp, i år også en del integralligninger. Vi har ikke brukt kalkulatoren til å løse differensialligninger. Min oppfatning er at de klassiske løsningsmetodene for differensialligninger i vårt pensum er matematisk elementære, med unntak av eventuelle stygge integraler som man måtte få behov for. (Dessuten er kalkulatoren ikke god nok, se eksempel 3.) Vi har heller ikke brukt kalkulatoren på trigonometriske ligninger, siden de ikke er med i pensum vårt i 3.semester. Hva slags problemer har vi hatt? Det hender at kalkulatorsvaret mangler tallverditegn, se eksempel 1. Forskjellige programvareversjoner kan gi forskjellige svar, se eksempel 2. Når separable differensialligninger skal løses, blir ikke singulære løsninger angitt, se eksempel 3. I en del trigonometriske integral formulerer kalkulatoren et svar som ligger ganske langt unna det naturlige svaret, se eksempel 4. Hvilke matematiske ferdigheter og kunnskaper blir uaktuelle? Ikke-elementær manipulering av ubestemte integral. Oppslag i normalfordelingstabell. Beregning av kumulative binomiske sannsynligheter ved tilnærming med normalfordeling. Med andre pensa ville selvsagt denne listen bli annerledes. Hvordan påvirkes undervisning, pensum og eksamen? Betydningen av regneferdighet blir i mange sammenhenger degradert. For eksempel har det ingen hensikt å bruke tid på drilling av ulike substitusjoner i integrasjon. Det mest avanserte temaet vi hadde oppe, var å vise hvorfor noen ubestemte integral gir arctg, mens andre, nesten like integral, gir naturlige logaritmer. Vi utvider ikke pensum, men vi forsøker å trekke inn nye anvendelser. For eksempel: Gitt en romkurve og et helikopter som bruker en drivstoffenhet per lengdeenhet. Hvis helikoptret starter med 5 enheter drivstoff, når slipper det opp for drivstoff? Med litt hjelp var noen av kadettene i stand til å innse poenget: kalkulatoren løser ligninger. At ligningen var et integral med øvre integrasjonsgrense som den ukjente, spilte ingen rolle. Konstruksjon av eksamensoppgaver blir vanskelig, kadettene har tross alt brakt med seg deler av fasiten. Det må nesten bli mer vis at heller enn regn ut. Eksempel 5 er en oppgave som talte 20 % ved eksamen første gang med kalkulatoren. tangenten 1/2004 17

Hva vinner vi, og hva vinner vi ikke? 1. Kadettene våre slipper å sitte og regne på integraler som rett og slett er for teknisk vanskelige for dem. 2. Vi kan ta en del emner i roligere tempo, f.eks. fikk vi tid til å se et par eksempler på hvordan differensialligninger oppstår, og hvordan løsningen faktisk representerer noe vi kan se er fornuftig. 3. Vi kan utnytte kalkulatoren i andre fag ved skolen (se eksempel 6). 4. Vi har hatt aha-opplevelser. En av kadettene innså plutselig at det å finne et konfidensintervall i en normalfordeling var det samme som å la kalkulatoren løse en ligning. Han klarte ikke den tekniske formuleringen uten hjelp, men jeg ble så begeistret at det ble den offisielle fremgangsmåten resten av semestret. (For å være ærlig, oppslag i en tabell ville vært raskere.) 5. Kadettene er svært positive til kalkulatoren som hjelpemiddel. Jeg vil ikke si at undervisningen blir lystbetont, men det blir i hvert fall mindre ulyst. 6. Kadettene våre blir ikke bedre i elementære regneferdigheter, kalkulatoren skjuler deres vankunne. Min oppfatning Min generasjon tilbrakte mye tid med logaritmetabeller og lignende. Innføring av kalkulator fjernet denne tidsbruken og ga økte muligheter, men etter hvert forsvant også elevenes regneferdigheter hva tall angår. Kalkulatorer som TI-89 gir oss akkurat tilsvarende situasjon, men det som forsvinner nå, står matematikerhjertene enda nærmere. Dog, når jeg ser meg rundt på skolen, ser jeg at mine kolleger bruker Mathematica. Lærebokforfattere bruker tilsvarende hjelpemidler. 18 Og jeg er overbevist om følgende: Dersom en av våre kadetter senere i tjenesten får bruk for matematiske beregninger, vil han ikke finne frem sin lærebok fra skolen; han vil sette seg ved datamaskinen og starte Mathematica, Maple eller hva det skulle være. TI-89 er på ingen måte perfekt. Jeg ønsker å kunne bruke dens feil til å innprente vurderingsevne i kadettene. Selv føler jeg meg rimelig sikker på at de kadettene som har fått bruke en symbolmanipulerende kalkulator, er bedre skodd for å bruke matematikken enn deres umiddelbare forgjengere. Matematikere blir de neppe, men det var da heller aldri meningen. Etterord Denne artikkelen ble skrevet i januar 2003, da KJK var den eneste linjen hvor vi brukte TI-89. Bruken er nå utvidet til flere av skolens linjer. Eksempler til artikkelen Uttrykk Approximate Exact Auto 0.866025 sin(1.0) 0.841471 sin(1) 0.841471 0.333333 x 3 x 3 /3 x 3 /3 0.333333 1/3 1/3 Tabell: Innstillingen Exact/Approx avgjør hvorvidt TI-89 skal forsøke å gi eksakte svar. Eksempel 1 Svaret mangler tallverditegn. Gitt differensialligningen som har løsningen 1/2004 tangenten

Kalkulatorsvaret blir på kalkulatorer innkjøpt høst 2002. Eksempel 2 Forskjellige programvareversjoner gir forskjellige svar. Gitt. Kalkulatoren gir svarene versjonsdato 07/27/1998 versjonsdato 06/02/1999., programvareversjon 1.00,, programvareversjon 1.05, Eksempel 3 Ingen indikasjon på singulære løsninger. Gitt differensialligningen med løsningene og y = 0. Kalkulatoren gir uten noen indikasjon på at der finnes flere løsninger. Eksempel 4. Korrekte, men uventede svar. Kalkulatoren gir at Forskerne sier at vi kan anta at funksjonen y er bestemt av differensialligningen. a) Vis at funksjonen, der K er en valgfri konstant, løser den oppgitte differensialligningen. b) Finn den løsningen som oppfyller betingelsen y(0) = 2. I resten av oppgaven brukes denne løsningen. c) Hvor lang tid (omtrent) tar det før den samlede vekten overskrider 5? d) Vis at bestanden går mot verdien 10. Når omtrent er tilveksten i bestanden størst? (Husk at når y er bestanden, er y endring i bestanden.) Eksempel 6 Bruk i andre fag. Formelen sin(d) = sin(h)sin(b) + cos(h)cos(b)cos(a) gir oss, på et fortegn nær, sammenhengen mellom deklinasjon, høyde, bredde og asimut. TI-89 gjør det lett å legge inn sammenhengen og bruke den etter ønske. Eksempel 5 Eksamensoppgave. Vi betrakter en fredet fiskebestand. Den samlede vekten av bestanden er y(x), der x er tiden og enheten for y er millioner tonn. tangenten 1/2004 19