Beregninger i ingeniørutdanningen

Transkript

1 Beregninger i ingeniørutdanningen John Haugan, Høyskolen i Oslo og Akershus Knut Mørken, Universitetet i Oslo Dette notatet oppsummerer Knuts innlegg om hva vi mener med beregninger og Johns innlegg om beregninger i ingeniørutdanningen, samt de etterfølgende diskusjonene. Men aller først er det på sin plass å understreke at den kanskje største utfordringen med innføring av beregninger ikke er av faglig art. For å lykkes med beregninger Når vi ser hvordan teknologi omgir oss på alle kanter må vi kunne si at utdanning i realog ingeniørfag har vært en stor suksess. Samtidig er det klart at i utøvelsen av real- og ingeniørfag har beregninger på datamaskin blitt et helt sentralt, matematisk hjelpemiddel. Dette er utgangspunktet for at det er ønskelig å få integrert beregninger i utdanningen på en helhetlig måte allerede fra første semester. Med helhetlig mener vi her at beregningsmetodene innføres sammen med den relevante matematikken og utnyttes som verktøy i real- og ingeniørfagene. Det ligger en åpenbar faglig utfordring i dette, men den er ikke avskrekkende beregningsmetodene det er snakk om er stort sett enkle og velkjente. Den store utfordringen er av organisatorisk art: Det må etableres enighet både i ledelse og på grunnplanet om hva beregningsperspektiv er, og at det er ønskelig i utdanningen. Det kreves bredt samarbeid for å få til en helhetlig implementering på tvers av ulike fag. Når beregninger innføres i starten av studiet endres en rammebetingelse som har ligget fast i århundrer, nemlig at det grunnleggende verktøyet for å løse matematiske problemer er papir og blyant. Beregningsorientert utdanning gjør det derfor mulig å tenke annerledes enn før om både det faglige innholdet og rekkefølgen emner presenteres i. I et slikt perspektiv er innføring av beregninger både vanskelig, utfordrende og morsomt, og utvilsomt en lang prosess. Hva mener vi med beregninger? Beregninger er et upresist ord, og når vi snakker om beregninger i utdanningen kan det lett bli misforståelser om vi ikke presiserer hva vi mener. En første presisering er at Beregningsorientert problemløsning betyr å konstruere løsningen av et matematisk problem som en sekvens av presise steg som kan utføres av en datamaskin. Med beregninger mener vi utførelse av disse stegene på datamaskin.

2 Beregningsorientert problemløsning kan også kalles algoritmisk problemløsning. Kjernen her er kravet om å bryte et problem opp i presise steg som kan utføres av en datamaskin. I dette ligger det at en først finner fram til oppdelingen (algoritmen) og så utfører denne på datamaskinen. Det betyr at det å sitte foran maskinen og interaktivt løse et problem i seg selv ikke er beregninger, selv om det kan være elementer av beregninger også i en slik arbeidsform. Grunnleggende beregningsmuligheter Det unike med en datamaskin er regnehastigheten på et sekund kan en vanlig PC gjøre eller fler elementære addisjoner eller lignende. Dette kan utnyttes på to grunnleggende måter (som kan kombineres): Beregninger på store datamengder, for eksempel lyd- og bilde-data. Gjentagelse av samme, ofte enkle, operasjon mange ganger, slik som for eksempel i Newtons metode. I en beregningsorientert utdanning lærer studentene å utnytte denne hastigheten på en bevisst måte. Det vil si at de settes i stand til å behandle store datamengder uten å nødvendigvis bare bruke metoder programmert av andre å løse (matematiske) problemer ved å gjenta samme enkle operasjon mange ganger I praksis vil dette si at de i det minste er i stand til å programmere med for-løkker. Noen typiske eksempler på oppgaver som kan løses er lesing og bearbeiding av lagrede data, behandling av lyd og bilder, numerisk beregning av deriverte og integraler, numerisk løsning av ligninger og lignende operasjoner. Poenget er altså at studentene i alle tilfelle skal være i stand til å gjøre dette på ved hjelp av egenprogrammerte metoder, ikke bare ved hjelp av kall på ferdige funksjoner. Elementær programmering Dette innebærer at i beregningsorientert utdanning må studentene beherske elementær programmering. Det betyr at de bør være fortrolige med og kan skrive programmer som gjør bruk av ulike typer tall og tekst variable og tilordninger tester for-løkker funksjoner (metoder) lesing til og fra fil plotting og gjerne enkel lyd- og bildebehandling dokumentasjon Ulike programmeringsspråk har beregningsprimitiver av ulik type. I tradisjonelle programmeringsspråk som Java, C og Python er de innebygde primitivene de elementære aritmetiske operasjonene, supplert med de elementære funksjonene (trigonometriske-, eksponensial- og logaritmefunksjoner). I tillegg fins det som regel

3 biblioteker som kan utvide funksjonaliteten betydelig, for eksempel med rutiner for å løse ulike typer ligninger (inkludert di!erensialligninger), numerisk integrasjon og optimering. I matematiske beregningssystemer som Matlab, Mathematica og Maple er slike beregninger implementert som grunnleggende primitiver, i de to siste programmene er det også mulighet for symbolske beregninger. Spørsmålet er hva som kan være et godt valg for grunnleggende beregningsopplæring. Valg av programmeringsspråk Når vi skal velge programmeringsspråk for grunnleggende programmeringsopplæring er det nærliggende å velge det språket vi selv liker, eventuelt bruker mest. Det er imidlertid ikke sikkert at det er dette som egner seg best for programmeringsopplæring, og det er slett ikke sikkert at våre kolleger vil være enige i et slikt valg. Det er derfor nyttig å sette opp noen kriterier for å sammenligne ulike språk. Siden målet er en god pedagogisk, innlæring av grunnleggende programmeringsferdigheter vil noen mulige kriterier kunne være: Det bør være relativt enkelt å få oversikt over de grunnleggende elementene Syntaksen bør være enkel og intuitiv Omgivelsen språket programmeres i bør ikke være for intelligent De vanlige begrensningene ved talltypene (begrensninger i størrelse og nøyaktighet) bør ikke være omgått Det bør ikke være tvil om rekkefølgen de ulike delene utføres i Skillet her går primært mellom klassiske programmeringsspråk som Java, C(++) og Python på den ene siden, og beregningssystemene på den andre siden. Fordelen med programmeringsspråkene (uten særlige tillegg) er at det er et begrenset univers som presenteres. Dermed er det lite annet enn selve programmeringen som kan skape forvirring, og begrensningene som ligger på talltypene i maskinvaren dukker stort sett opp som forventet (av studenter som har forstått hvordan tall behandles). For å velge mellom ulike programmeringsspråk må man komme fram til ytterligere kriterier som vi ikke skal diskutere her. Beregningssystemene har etterhvert blitt imponerende i sin funksjonalitet og er et uvurderlig hjelpemiddel i mange sammenhenger. Det er likevel langt fra opplagt at de egner seg til programmeringsopplæring. Noen innvendinger er: Funksjonaliteten er overveldende med mange svært avanserte primitiver. Dette gjør det vanskelig for nybegynnere å finne fram. Tall behandles ofte spesielt ved at presisjonen utvides etter behov. Dermed skjermes brukeren fra de vanlige e!ektene av begrensninger i talltypene. Arbeid med beregningssystemer foregår ofte i en integrert omgivelse der kommandoer kan utføres i en annen enn sekvensiell rekkefølge, noe som lett kan føre til forvirring. I beregningssystemer som tillater symbolske variable kan det lett bli forvirring når symbolske og numeriske variable blandes.

4 Beregninger i ingeniørutdanningen Integrasjon av fag Litt forenklet kan vi si at ingeniørfagene har vokst fram som anvendelser av realfagene. Realfagene på sin side benytter matematikk som språk og kan i en viss forstand betraktes som anvendelser av matematikk. Ut fra en slikt perspektiv er en oppdeling av utdanningen i tilsvarende fag forståelig. Dette forenkler utdanningen fordi vi kan fokusere på enkeltfag og definere separate fagmoduler med et enkelt grensesnitt mot andre fag. Men det at hvert fag studeres for sin egen skyld er krevende for studentene: De ser ikke relevansen og heller ikke hvordan fagene henger sammen. Og dels er dette kanskje fordi innholdet ikke er oppdatert til å reflektere hvordan de ulike fagene faktisk brukes i dag det er viktig å huske at et fag som matematikk ikke er primærinteressen for de fleste ingeniørstudenter. I en ingeniørs arbeidshverdag er fagene sjelden splittet opp de henger nøye sammen og danner en helhet. Denne helhetlige tilnærmingen til fagene er i den nye rammeplanen trukket fram som kanskje det viktigste, overordnede målet for ingeniørutdanningen. I tradisjonell utdanning har det vært vanskelig å få fram en slik integrasjon av matematikk, realfag og ingeniørfag fordi regneverktøyet i praksis har vært begrenset til papir og blyant, supplert med en form for kalkulator. I utøvelsen av fagene har derimot beregninger på datamaskin lenge vært den dominerende, matematiske løsningsmetoden. Mangelen på relevante, matematiske løsningsmetoder har gjort det vanskelig å trekke realistiske anvendelser inn i grunnutdanningen. Med et beregningsperspektiv kan studentene tidlig få tilgang til en matematisk verktøykasse som setter dem i stand til å behandle realistiske problemer. Overordnet perspektiv på matematikkutdanning Vi har lett for å tenke på matematikkfaget i ingeniørutdanningen som en samling av temaer som må være med. En alternativ vinkling som det legges opp til i den nye rammeplanen er å ta utgangspunkt i hva en ingeniør trenger av matematikkunnskaper for å utøve sitt fag. Ut fra dette får vi noen aktuelle momenter i planleggingen av utdanningen: En grunnleggende ferdighet er modellering, det å kunne formulere en matematisk problemstilling Fokus bør være på hva studentene skal kunne ved endt undervisning, altså læringsutbyttet, og ikke alle temaene som skal dekkes. Kanskje det er noen temaer som er med i pensum i dag som ikke trenger være der? Skal studentene lære beregninger må dette inn i læringsutbyttet, og dermed systematisk inn i pensum Begynn med spesielle eksempler studenten kan relatere til og trekk dette over i generell teori og generelle prinsipper. Men det er også nyttig for studenter på en linje å møte problemstillinger fra andre linjer Spesielt til generelt gjelder også for beregninger

5 Læring tar tid! Det som skal læres godt bør gjentas mange ganger, i ulike emner Fokuser på hvorfor vi gjør det vi gjør Hvis du som matematikklærer ikke har ingeniørbakgrunn: Samarbeid med en som har ingeniørbakgrunn Matematikken må ikke nødvendigvis komme først i utdanningen motivasjon og behov for matematikk er viktig for godt læringsutbytte