Vedlegg A Usikkerhet ved målinger. Stikkord: Målefeil, absolutt usikkerhet, relativ usikkerhet, følsomhet og total usikkerhet. Angivelse av usikkerhet i måleinstrumenter og beregning av total usikkerhet ved målinger. Eksakte måleinstrumenter eksisterer ikke. Derfor er det viktig å kunne beregne hvor nøyaktig det går an å måle med et gitt instrument eller en aktuell måleoppstilling. Dette har også betydning for hvor mange gjeldende siffer vi skal bruke når vi skal angi en målt størrelse (måleverdien) eller en beregnet størrelse basert på målte verdier. Generelt skal man ikke ta med flere gjeldende siffer enn det som er fornuftig i forhold til usikkerheten. Målefeil er ofte brukt i dagligtale om usikkerheten ved en måling, men feil forutsetter at en kjenner den eksakte verdi, og det gjør vi stort sett aldri. Vi bruker derfor begrepet usikkerhet som erstatning for feil eller avvik. Måleusikkerhet kan vi definere som den maksimale usikkerhet for den målte verdi. En måleverdi angis derfor ofte slik: avlest verdi ± usikkerhet. Den sanne verdi ligger da ett eller annet sted mellom grensene: avlest verdi usikkerhet < sann verdi < avlest verdi + usikkerhet. Er usikkerheten angitt i samme måleenhet som den målte verdi, snakker vi om absolutt usikkerhet. Oppgis usikkerheten relativt til måleverdien, kaller vi det relativ usikkerhet (δ) som angis i %. Eksempel 1: Vi måler spenning og strøm for en ukjent motstand til henholdsvis 9,80 V og 105,0 ma. Med Ohms lov og kalkulator beregner vi resistansverdien til 83,8095 Ω. Avrunder vi til like mange gjeldende siffer som vi leste av på instrumentene (4 siffer), kan vi foreløpig si at resistansen er 83,8 Ω. Benytter vi oppgitte data for instrumentenes målenøyaktighet, finner vi i dette tilfellet en usikkerhet på ± 5,08 Ω (se senere). Det betyr at den mulige usikkerheten er mye større enn desimalplassene (maksverdien av plassene til høyre for kommaet!) men i samme størrelsesorden som enerplassens maksverdi (posisjonsverdien til enerplassen). Nå kan vi velge å angi resistansverdien som R = 83,8 Ω ± 5,1 Ω, eller som R = 84 Ω ± 5 Ω hvor desimalene er brukt til å forhøye. Mest vanlig er den siste måten hvor usikkerheten angitt som ± 5 Ω og antall gjeldende siffer i måleverdien er justert i samsvar med dette. Usikkerhet angis oftest med ett gjeldende siffer, men er sifferet 1 eller, kan det vær aktuelt å bruke to gjeldende siffer. Antall gjeldende siffer i måleverdien er i seg selv en indikasjon på nøyaktigheten i en størrelse ved at det ikke har særlig hensikt å angi et siffer hvor usikkerheten er større enn posisjonsverdien for sifferpassen. Det gjør vi ved å si at posisjonsverdien av siste gjeldende sifferplass skal være i samme størrelsesorden som usikkerheten. I samme størrelsesorden vil si at den største av de sammenlignede verdiene må være mindre enn 10 ganger den minste. I dette eksemplet ville vi da kunne skrive verdien R = 84 Ω. 69
Usikkerhet ved enkeltmålinger. For måleinstrumenter med visere (analoge instrumenter) er det nøyaktighetsklassen for instrumentet som sier noe om usikkerheten. Instrument i klasse 0,5 har da en absolutt måleusikkerhet som er 0,5 % av fullt utslag på det aktuelle måleområdet. Eksempelvis med måleområde 100 V (maks utslag) blir den absolutte måleusikkerheten ±0,5 V maksimalt. Det fører til at den relative usikkerheten er minst ved fullt utslag og den blir større jo mindre utslaget er (se kurve nederst side 4). På slike instrumenter bør vi derfor velge måleområde slik at utslaget blir størst mulig. Dette viser seg å ha gyldighet også for digitale instrumenter. For digitale instrumenter (eks. et multimeter) angis usikkerheten på følgende måte (se datablad med instrumentdata på side 5 og 6): absolutt usikkerhet = ± ( p rdg + d resolution) Her angir p det ene bidrag til usikkerheten i % av avlest verdi (rdg = reading) og d angir det andre bidraget som antall enheter i minst signifikant siffer. En enhet i minst signifikante siffer er det samme som oppløsningen (resolution på engelsk) for det aktuelle måleområdet. Oppgitte data gjelder for temperaturområdet 1 5 C slik det er angitt på side 6. Der finnes også korreksjoner som kan brukes ved andre omgivelsestemperaturer. Multimetrene på El-lærelabben har 4 siffer i utlesningen og for spenningsmåling på likestrøm (DC) er maksimal usikkerhet oppgitt som 0,5 + 3 (for AC: 1 + 3). På måleområde 30 V blir altså oppløsningen 0,01 V. Legg merke til at strømmåling har andre verdier for usikkerheten enn spenningsmåling! Vær også oppmerksom på at de fleste digitale instrumenter opererer med en maksverdi på til 4 for mest signifikante siffer (1 for eldre instrumenter) slik at største avlesbare verdi blir 9,99 V på 30 V området. Eksempel : I eksempel 1 målte vi en spenning på 9,80 V. Maksimal absolutt usikkerhet blir da (med p = 0,5 % og d = 3): p 0,5 U = ± ( avlest verdi + d oppløsningen) = ± ( 9,80 + 3 0, 01) V = ± 0,179 V. 100 100 Usikkerheten i spenningsavlesningen ligger altså på ca 0, V. Relativ usikkerhet for målingen blir da: δ U U 0,179 100 = = % = 0,6%. U 9,80 Måler vi i stedet en spenning på 3,10 V med samme måleområde, får vi tilsvarende: 0,5 U = ± ( 3,10 + 3 0,01) V = ± 0,0455V (altså ca ±50 mv) 100 Relativ usikkerhet nå: δ U 0,0455 100 = % = 1,5% 3,10 Altså vesentlig større usikkerhet enn for en måleverdi som utnytter måleområdet. Oppgave 1: Beregn tilsvarende usikkerhet for strømmålingen (105,0 ma) i eksempel 1 med måleområde 300 ma. (fasitsvar: ±1,5 ma, 1, %) 70
Usikkerhet ved sammensatte målinger. I eksempel 1 har vi beregnet en resistansverdi på grunnlag av to enkeltmålinger. I eksempel og i oppgave 1 har vi funnet absolutt og relativ usikkerhet ved de to enkeltmålingene. Hvordan kan vi på grunnlag av disse to usikkerhetene beregne total usikkerhet i beregningen av resistansen? For å finne U ut av dette må vi se på Ohms lov: R = I Generelt for sammensatte målinger vil sluttresultatet ha forskjellig følsomhet for en usikkerhet i de ulike størrelsene som inngår. Følsomhet er det samme som stigningstall (bratthet). Følsomheten for én størrelse kan vi derfor finne ved å derivere uttrykket vårt med tanke på den aktuelle størrelsen. Derivasjon av en funksjon med flere frie variable (x 1, x osv), med tanke på en av de variable, kalles partiell derivasjon og har et eget derivasjonssymbol. Gitt funksjonen: f = f x1 x x3 x n (,,,, ) Partiell derivasjon av denne funksjonen betyr at vi deriverer med tanke på en variabel om gangen og betrakter de øvrige variable som konstanter ved hver derivasjon, - vi benytter altså et f superposisjonsprinsipp. Vi skriver det slik: som da betyr den partiellderiverte av funksjonen f x1 med hensyn på den ene variablen x 1. Tilsvarende for de øvrige variable x, x 3, osv. De enkelte partiellderiverte forteller da hvor følsom funksjonen er med tanke på de tilsvarende variable. Om vi f da har en usikkerhet x1 i x1, kan vi beregne usikkerhetsbidraget til f fra x 1 slik: x1. x1 Usikkerhetsbidraget for de øvrige variable beregnes på samme måte. Dersom de variable er ukorrelert (ingen gjensidig påvirkning) er det vanlig å si at total usikkerhet er summen av tallverdien av de ulike bidragene. Det er da en worst case -situasjon vi beregner slik: f f f f = x + x + + x x x x 1 1 En kan også se i litteraturen at total usikkerhet angis som kvadratroten av summen av usikkerhetsbidragenes kvadratiske verdier. Dette gir ofte en lavere usikkerhet enn den første og brukes mest når det er mange variable. Ved 3 variable er den første mest realistisk. n n Bruker vi dette på Ohms lov, kan vi beregne total usikkerhet på resistansberegningen i eksempel 1. U R 1 R U R =, =, = I U I I I R R 1 U R = U + I = U + I U I I I 0,179 9,8 R = + 0,0015 = 5,08 5,1Ω 0,105 0,105 Beregner vi relativ usikkerhet i R får vi: R 5,08 δ R = = 100% = 0,0179 1,8 % R 83,8 Dette ser ut til å være summen av relativ usikkerhet for strømmålingen og spenningsmålingen, så dette må undersøkes nærmere. Vi går derfor tilbake til bokstavuttrykket for R for å se nærmere på relativ usikkerhet i R: 71
δ R R 1 1 U 1 U = = U + I U I = + R R I I I R I R 1 U U I = U + I = + = δu + δ I U U I U I Når vi beregner resistansen ut fra spenningsmåling og strømmåling blir altså relativ usikkerhet for resistansen lik usikkerheten i avlesningen av voltmetret og ampermetret til sammen. Dette gir oss en enklere måte å analysere usikkerheten på i lignende situasjoner. Dette er ingen generell regel, men gjelder for beregninger hvor de målte størrelsene inngår i sum, produkt eller som faktorer i telleren og/eller nevneren i en brøk. Om en størrelse inngår i n grad n ( måleverdi ) må usikkerheten for denne størrelsen multipliseres med n (følger av derivasjonsreglene). Eksempel på det siste: Om man måler en resistans med ohmmeter og strømmen med ampérmeter (- ikke samtidig!) og en beregner effekten etter formelen P = R I, - vil relativ usikkerhet i P bli: δ = δ + δ. Bevis dette selv! P R I Er man i tvil om man kan summere de relative usikkerhetene direkte, må en ta utgangspunkt i definisjonsuttrykket! Multimetrene på labben. Måleusikkerhet i % av måleverdi innenfor ett måleområde og ved overgang til neste. (Kurven beregnet for 0,5 % + 3d) 1,70% 1,50% Relativ usikkerhet 1,30% 1,10% 0,90% Serie 0,70% 0,50% 3,00 6,00 9,00 1,00 15,00 18,00 1,00 4,00 7,00 30,00 33,00 Måleverdi 7
Instrumentdata: 73
74