Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en samling av objekter der innbyrdes rekkefølge og antall forekomster av hvert objekt ignoreres. Objektene i en mengde kalles elementer, og vi sier at mengder er like hvis de inneholder de samme elementene. Som et eksempel er {1, 1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {1, 2, 3, 3, 3}. Noen viktige mengder: Den tomme mengden = {} De naturlige tallene N = {0, 1, 2,...} Mengden av utsagnslogiske formler 1.1.2 Mengdebyggere For å spesifisere mengder kan man bruke mengdebyggere. Den vanlige måten å skrive dette på er {x P (x)} der P (x) er et predikat som er avhengig av x. Altså noe som kan være sant eller usant når man setter inn et bestemt objekt for x. Man trenger ikke å bruke formell logikk for å spesifisere mengdene, det viktige er at det er tydelig hva man mener med uttrykket. Eksempler: 1
De naturlige tallene under 1534 {n n N n < 1534} Alle som er over 18 år {X X er over 18 år} 1.1.3 Elementer Som sagt blir objektene i en mengde kalt elementer, og vi skriver a A hvis a er et element i mengden A. Vi skriver a A hvis a ikke er et element i mengden A. Eksempler: a {a, b, c} {, a, b, c} 1 N 17 {n n N n < 1534} P P {x x er en gyldig utsagnslogisk formel} 1.1.4 Delmengder Et viktig begrep er begrepet om delmengde, nemlig at alle elementene i A også er elementer i B. Definisjon 1.2 (Delmengde). A B x(x A x B) Vi skriver A B hvis A ikke er en delmengde av B. {1, 2, 3} Z {a} {a, b} {a, b, c} {a, b} Vi har to viktige egenskaper ved delmengder, nemlig at X for alle mengder X Hvis A B og B A, så er A = B. 2
1.1.5 Operasjoner på mengder Definisjon 1.3 (Operasjoner på mengder). Gitt to mengder A og B, kan vi skape nye mengder på ulike måter. Union: A B = {x x A x B} Snitt: A B = {x x A x B} Mengdedifferanse: A \ B = {x x A x B} Unionen av to mengder lager en ny mengde med de objektene som er element i minst en av de to mengdene. Snittet av to mengder lager en ny mengde med de objektene som er element i begge mengdene. Mengdedifferansen mellom to mengder fjerner alle elementene i den andre mengden fra den første mengden. Hvis A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} og B = {1, 3, 5, 7} så er A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A B = {1, 3, 5} A \ B = {2, 4, 6} B \ A = {7} Andre eksempler: Mengden av partall union mengden av oddetall er mengden av heltall Mengden av primtall snitt mengden av partall er {2} Mengden av utsagnslogiske formler minus mengden av gyldige formler er mengden av falsiferbare formler Mengden av utsagnslogiske formler minus (mengden av gyldige formler union mengden av kontradiktoriske formler) er (mengden av oppfyllbare formler snitt mengden av falsifiserbare formler) 3
1.1.6 Oppgaver Eksamen 2013-1b) og c) La A = {1, 2}, B = {1, 2, {1, 2}} og C = {1, 2, 3, {1, 2, 3}}. Er følgende påstander sanne eller usanne? 1. A B - Sann 2. B C - Usann 3. A B - Sann 4. B C - Usann Regn ut: 1. A \ B - 2. B \ A - {{1, 2}} 3. A B - {1, 2, {1, 2}} = B 4. B C - {1, 2, 3, {1, 2}, {1, 2, 3}} 1.2 Andre typer objekter 1.2.1 Tupler Definisjon 1.4 (Tupler). Et n-tuppel er en samling med n objekter der både rekkefølge og antall forekomster tas hensyn til. Altså er a, b = b, a og a, b a, b, b. Merk at {a, b} = {b, a} og {a, b} = {a, b, b}. Definisjon 1.5 (Kartesisk produkt). Fra tupler kan vi definere kartesiske produkter av mengder. Det er slik at X 1 X n = { x 1,..., x n x i X i for i = 1,..., n} For eksempel er {a, b} {1, 2} = { a, 1, a, 2, b, 1, b, 2 } 4
6 Relasjoner 6.1 Generelt om relasjoner 6.1.1 Hva er en relasjon? En relasjon er noe som relaterer to eller flere objekter med tanke på en viss egenskap. Vi snakker hovedsaklig om binære relasjoner, siden dette er noe som dukker opp veldig ofte i matematikk og i vårt hverdagsliv også! For eksempel uttrykker vi at Spania er varmere enn Norge eller at Ole er yngre enn Kari. I matematikken snakker vi om at 2 er mindre enn 3 eller at A er en delmengde av B. Definisjon 6.1 (Binær relasjon). En binær relasjon fra mengden S til mengden T er en delmengde av S T. En binær relasjon på mengden S er en delmengde av S 2 = S S. Altså er relasjoner mengder av tupler. n-ære relasjoner er nevnt i læreboka. Vi snakker mest om binære relasjoner på mengder. 6.1.2 Tegne relasjoner Hvordan tegner vi relasjoner? Se side 66 i læreboka 6.2 Egenskaper ved relasjoner 6.2.1 Refleksivitet og irrefleksivitet Definisjon 6.2 (Refleksivitet). En binær relasjon R på S er refleksiv hvis det for alle x S er slik at x, x R. Definisjon 6.3 (Irrefleksivitet). En binær relasjon R på S er irrefleksiv hvis det for alle x S er slik at x, x R. Som vi ser er disse motsetninger, men det er også mulig å være hverken refleksiv eller irrefleksiv og å være begge deler. For eksempel er på mengder og på tall refleksive relasjoner, mens < på tall og foreldre-relasjonen på mennesker er irrefleksive relasjoner. 5
Se side 68 i læreboka for flere eksempler på refleksive relasjoner, og side 71-72 for eksempler på irrefleksive relasjoner. 6.2.2 Symmetri og anti-symmetri Definisjon 6.4 (Symmetri). En binær relasjon R på mengden S er symmetrisk hvis det for alle x, y er slik at hvis x, y R, så y, x R. Definisjon 6.5 (Anti-symmetri). En binær relasjon R på mengden S er anti-symmetrisk hvis det for alle x, y er slik at hvis x, y R og y, x R, så x = y. Navnene ligner, men definisjonene er ganske annerledes. Igjen mulig å være ingen av delene eller begge. Symmetrisk:, =, er i slekt med Anti-symmetrisk:, Se side 69 i læreboka for flere eksempler på symmetri, og side 71 for anti-symmetri. 6.2.3 Transitivitet Definisjon 6.6. En binær relasjon R på mengden S er transitiv hvis det for alle x, y, z er slik at hvis x, y R og y, z R, så x, z R. Transitive:, =, =,, Se side 69 i læreboka for noen eksempler. 6.3 Spesielle typer relasjoner 6.3.1 Ekvivalensrelasjoner Definisjon 6.7 (Ekvivalensrelasjon). En ekvivalensrelasjon er en relasjon som er både refleksiv, symmetrisk og transitiv. 6.3.2 Ordninger Definisjon 6.8 (Partiell ordning). En partiell ordning er en relasjon som er både refleksiv, anti-symmetrisk og transitiv. Partielle ordninger er relasjoner med en slags retning, altså når du har gått fram kan du ikke gå tilbake. 6
Definisjon 6.9 (Total ordning). En partiell ordning R på en mengde S kalles en total ordning hvis det for alle x og y i S er slik at xry eller yrx. Totale ordninger er relasjoner der alt kan sammenlignes, og da kan alle elementene legges på en linje. 7 Funksjoner 7.1 Hva er en funksjon? 7.1.1 Definisjon og terminologi Definisjon 7.1 (Funksjon). En funksjon fra A til B er en binær relasjon f fra A til B slik at for enhver x A, er det nøyaktig ett element y B slik at x, y f. Vi skriver f(x) = y når x, y f. Definisjon 7.2 (Definisjons- og verdiområdet). Hvis f er en funksjon fra A til B, kalles mengden A definisjonsområdet til f. Mengden B kalles verdiområdet til f. Definisjon 7.3 (Bildemengde). La f være en funksjon fra A til B, og la X være en delmengde av A. Mengden f[x] = {f(x) x X} kalles bildet av X under f. f[a], altså bildet av hele A under f, kalles bildemengden til f. 7.2 Egenskaper ved funksjoner 7.2.1 Injektiv Definisjon 7.4 (Injektivitet). En funksjon er injektiv hvis den sender ulike elementer til ulike elementer. Mer formelt er en funksjon f : A B injektiv hvis det for alle elementer x og y i A er slik at x y f(x) f(y). Hvis f er injektiv sier vi at f er en injeksjon eller er en-til-en. Det kontrapositive av x y f(x) f(y) er f(x) = f(y) = x = y, og det bruker vi ofte. Identitets- og inklusjonsfunksjonene er injektive. Se side 80 for andre eksempler. 7
7.2.2 Surjektiv Definisjon 7.5 (Surjektivitet). En funksjon f : A B er surjektiv hvis f[a] = B, altså at bildemengden er lik verdiområdet. En annen måte å uttrykke dette på er at f : A B er surjektiv hvis det for alle y B finnes en x A slik at f(x) = y. Vi sier at en surjektiv funksjon er en surjeksjon eller på. Identitetsfunksjonen er surjektiv. Se side 81 for andre eksempler. 7.2.3 Bijektiv Definisjon 7.6 (Bijektivitet). En funksjon er bijektiv hvis den er både injektiv og surjektiv. En slik funksjon kalles en bijeksjon eller en en-til-en korrespondanse. Identitetsfunksjonen er bijektiv. Se side 81 for flere eksempler. 7.2.4 Oppgaver Avgjør om følgende funksjoner f : {a, b, c} {1, 2, 3, 4} er injektive, surjektive eller bijektive: a) f = { a, 1, b, 2, c, 1 } b) f = { a, 3, b, 1, c, 2 } Avgjør om følgende funksjoner f : {a, b, c, d} {1, 2, 3, 4} er injektive, surjektive eller bijektive: a) f = { a, 3, b, 4, c, 3, d, 4 } b) f = { a, 1, b, 2, c, 3, d, 4 } c) f = { a, 4, b, 3, c, 1, d, 3 } 7.3 Operasjoner på funksjoner 7.3.1 Sammensetning av funksjoner Definisjon 7.7 (Sammensetning av funksjoner). Gitt to funksjoner f : A B og g : B C, kan vi skape sammensetningen av f og g, g f : A C, definert ved (g f)(a) = g(f(a)). 8
Sammensetningen av f og g er altså en ny funksjon som man får ved å anvende g på resultatet av å anvende f på argumentet. Eksempel: f : R R; x 2x og g : R R; x 3x + 17. Regn ut f g og g f. 8 Litt mer mengdelære 8.1 Nye operasjoner på mengder 8.1.1 Komplement Det er nyttig å anta at vi alltid har en underliggende universell mengde, som vi betegner med U. Hvis ingenting annet er spesifisert, står U for en vilkårlig universell mengde. Definisjon 8.1 (Komplement). Hvis M er en mengde og U er den universelle mengden, definerer vi komplementet til M som M = U \ M. Komplementet lager en mengde med alle elementene som ikke er med i den originale mengden. 8.1.2 Potensmengder Definisjon 8.2 (Potensmengde). For en gitt mengde M, er potensmengden til M mengden av alle delmengder av M, og vi skriver dette P(M). Eksempler: P( ) = { } P({1}) = {, {1}} P({1, 2}) = {, {1}, {2}, {1, 2}} Generelt vet vi at potensmengden til en mengde med n elementer vil ha 2 n elementer. 9
8.2 Kardinalitet 8.2.1 Kardinalitet Kardinalitet er en måte å finne/sammenligne størrelsen til ulike mengder. Definisjon 8.3 (Kardinalitet). To mengder M og N har lik kardinalitet hvis det finnes en bijeksjon fra M til N, og da skriver vi M = N. Vi sier at mengden M har kardinalitet mindre eller lik N hvis det finnes en bijeksjon mellom M og en delmengde av N (eller at det finnes en injeksjon fra M til N) (Bevis at disse er ekvivalente!), og skriver M N hvis det er tilfellet. Hvis M er en endelig mengde lar vi M betegne hvor mange elementer som finnes i M. Noen eksempler er at N = Z, N R, = 0 og {1, 2, 3} = 3. 8.2.2 Oppgaver Oppgave 8.10 fra læreboka Anta at S = 3 og T = 4 og at S T = a) Hva er S T? 12 b) Hva er S T? 7 c) Hva er S T? 0 d) Hva er S \ T? 3 e) Hva er T \ S? 4 f) Hva er P(S) og P(T )? 8 og 16 8.2.3 Tellbarhet Definisjon 8.4 (Tellbar). Vi sier at en mengde er tellbar hvis den er enten endelig eller hvis den har lik kardinalitet som de naturlige tallene N. Mengder som ikke er tellbare kalles overtellbare. Noen tellbare mengder er En vilkårlig endelig mengde: {1, 2, 3} 10
De naturlige tallene: N = {0, 1, 2,...} Heltallene: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} De rasjonale tallene, mengden av brøktall: Q Noen overtellbare mengder er De reelle tallene: R Potensmengden til de naturlige tallene: P(N) Mengden av funksjoner fra N til N. 8.2.4 Noen artige teoremer Cantors teorem. For alle mengder X er X < P(X). (Oppgave 8.15 i læreboka) Schröder-Bernsteins teorem. For alle mengder A og B, hvis A B og B A så er A = B. Ekvivalent, hvis det finnes en injeksjon f : A B og en injeksjon g : B A, vil det finnes en bijeksjon h: A B. 11