NTNU Side 1 av 6 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Kåre Olaussen Telefon: 9 36 5 eller 45 43 71 70 Eksamen i FY3403/TFY490 PARTIKKELFYSIKK Mandag 1. desember 005 09:00 13:00 Tillatte hjelemidler: Alternativ C Tyegodkjent kalkulator, med tomt minne (i henhold til NTNU liste). K. Rottman: Matematisk formelsamling (alle sråkutgaver). Schaum s Outline Series: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. Sensur legges ut å fagets webside, htt://web.hys.ntnu.no/~kolausen/fy3403/, såsnart den er klar. Dette ogavesettet er å 6 sider. Ogave 1. N roduksjon av nye artikler Mange tidlige artikkelakseleratorer baserte seg å at man akselererte rotoner til en energi E og lot disse kollidere mot en fast mål. Dersom E var stor nok kunne man få roduserte nye eksotiske artikler, sammen men en bakgrunn av andre artikler. Kollisjonsrosessen kan da beskrives som + N y + X, (1) der N er et nukleon (roton eller nøytron) i ro, y er den interessante eksotiske artikkelen, og X en (i denne sammenheng) uinteressant men nødvendig bakgrunn av andre artikler for at rosessen skal adlyde konserveringslovene for sterke vekselvirkninger. Finn den minste energien E vi må ha for å få rodusert y, og gi eksemel å en tilhørende X, når y er a) et antiroton, Bevaring av baryontall tilsier at X minst må bestå av tre nukleoner, slik at rosessen f.eks. blir + + + +. () Starttilstanden består av et roton med firervektor 1 = (E, ) og et roton med firervektor = (m, 0), tilsvarende en invariant s = ( 1 + ) = (E + m ) = E + Em + m = (E + m )m. (3) Den tilsvarende invarianten i sluttilstanden kan enklest regnes ut i massesentersystemet, s = ( n E n ) (4m ) = 16m. (4) Altså må vi ha (E + m )m 16m, eller E 7m = 6 580 MeV. (5)
Eksamen i FY3403/TFY490 Partikkelfysikk, 1. desember 005 Side av 6 b) et ositivt ladet ρ-meson, ρ + Her er en mulighet at X = + n, slik at rosessen blir + ρ + + + n. (6) Vi må derfor ha s (m + m ρ ), slik at energibetingelsen blir (E + m )m (m ρ + m + m n ), eller (når vi regner med m n = m ), c) et negativt ladet ρ-meson, ρ E m + m ρ + m ρ m = 795 MeV. (7) Her er en mulighet at X = +, slik at rosessen blir Som i forrige unkt må vi derfor ha s (m + m ρ ), og d) et K + -meson, + n ρ + +. (8) E m + m ρ + m ρ m = 795 MeV. (9) Her er en mulighet at X = K + + (vi kan ikke rodusere netto særtall i sterke vekselvirkninger), slik at rosessen blir + K + + K + +. (10) Vi må derfor ha s (m + m K ), slik at energibetingelsen blir e) et Ω -baryon, E m + 4m K + m K m = 3 441 MeV. (11) Her er en mulighet at X = + K + + K + + K 0 (vi kan ikke rodusere netto særtall i sterke vekselvirkninger, og må også ha bevaring av baryontall), slik at rosessen blir + Ω + + K + + K + + K 0. (1) Vi må derfor ha s (m + m Ω + 3m K ), slik at energibetingelsen blir f) et J/ψ-meson. E (m + m Ω + 3m K ) m m = 7 980 MeV (13) Her er en mulighet at X = + (siden J/ψ består av en c-kvark og en c-kvark), slik at rosessen blir + J/ψ + +. (14) Vi må derfor ha s (m + m ψ ), slik at energibetingelsen blir E m + m ψ + m ψ m = 1 5 MeV (15)
Eksamen i FY3403/TFY490 Partikkelfysikk, 1. desember 005 Side 3 av 6 g) Er det mulig å få rodusert myoner, µ ±, i N kollisjoner? Ja, det er mulig, men ikke ved sterke vekselvirkninger. En mulighet er ved elektromagnetiske vekselvirkninger som indikert av Feynman diagrammet under γ µ γ Denne amlituden blir imidlertid ganske liten, siden den er av orden e 4. En annen mulighet er ved bremsestråling av et virtuelt foton, som så konverterer til et µ ar. F.eks som eksemlisfisert i Feynman diagrammet under g γ µ h) Ultrahøyenergetisk kosmisk stråling antas å være rotoner med energi o til 10 0 ev. Hva er det maksimale antall hadroniske artikler man kan få rodusert når et slikt (10 0 ev) roton kolliderer med et atmosfærisk nukleon? I dette tilfellet blir s 1.88 10 9 ev = 0.188 10 1 GeV. Hvis all denne energien konverterer til N ioner (luss neglisjerbare to rotoner for bevaring av baryontall), hver med med masse 0.14 GeV må vi ha N 0.14 GeV 0.188 10 1 GeV. Dvs 0.188 N 0.14 106 3 10 6. (16) Ogitt: Tabellen nedenfor angir omtrentlige masser for en del baryoner. Partikkel Masse Partikkel Masse π-meson 140 MeV/c K-meson 495 MeV/c ρ-meson 770 MeV/c Nukleon 940 MeV/c η-meson 550 MeV/c η -meson 960 MeV/c -baryon 1 30 MeV/c Λ-baryon 1 115 MeV/c Ω-baryon 1 670 MeV/c J/ψ-meson 3 100 MeV/c
Eksamen i FY3403/TFY490 Partikkelfysikk, 1. desember 005 Side 4 av 6 Ogave. Henfall av seudoskalare mesoner Som en sterkt forenklet (og derfor unøyaktig) modell for henfall av ladete π-mesoner og K-mesoner, f.eks π + + ν µ, K + + ν µ, antar vi at disse mesonene kan konvertere til et virtuelt W + vektormeson, som igjen kan konvertere til + ν µ som indikert av Feynmanreglene nedenfor. im πe cos θ c im Ke sin θ c im µe π + W + K + W + W + ν µ Proagatoren for et virtuelt W -vektormeson med firerimuls settes til i m W I naturlige enheter har vi m µ 105.7 MeV, m W 80.4 GeV, α = e /4π 1/137.04. a) Tegn Feynman diagrammene for henfallsrosessene π + + ν µ og K + + ν µ. π + W + W + + K = (m π, 0) = (m K, 0) ν µ ν µ b) Skriv ned de tilhørende algebraiske uttrykk for henfallsamlitudene M fi i de to tilfellene. M fi (π + ν µ ) = i e m π m µ cos θ c m π m W M fi (K + ν µ ) = i e m K m µ sin θ c m K m W i e cos θ c m π m µ m W i e sin θ c m K m µ m W (17) (18) c) Anta at mesonet er i ro før henfallet. Hva blir energien E µ til myonet i de to tilfellene? La m m bety enten m π eller m K. Vi bruker naturlige enheter. Vi må ha E E ν = m m. Siden µ = ν og m ν = 0 finner vi at E ν = Eµ m µ. Altså at Eµ m µ = m m E µ. Kvadrert, og løst ut for E µ gir dette E µ = m m + m µ m m = { 109.9 MeV når m er π +, 58.8 MeV når m er K +. (19) d) Det er ekserimentelt kjent at Γ(K + + ν µ) Γ(π + + ν 4 µ) 3. (0) Velg θ c slik at denne relasjonen er ofylt. Her trenger vi bevegelsesmengden til myonet etter henfall av artikkel m. Fra ligning (19) finner vi at m = E µ m µ = 1 m m (m m + m µ) 4m mm µ = m m m µ m m (1)
Eksamen i FY3403/TFY490 Partikkelfysikk, 1. desember 005 Side 5 av 6 Fra dette følger det at Γ(K + + ν µ ) Γ(π + + ν µ ) = m π m K (m K m µ)/m K (m π m µ )/m π m 4 K sin θ c m 4 π cos θ c, dvs. at vi må ha eller tan θ c = 4 3 m π m K m π m µ m K m µ = 0.0136, θ c = 0.116 6.7. () Kommentar: Den ekserimentelle verdien å Cabibbo-vinkelen er θ C = 0.9 = 13.1. e) Hva blir da henfallsratene, Γ(π + + ν µ) og Γ(K + + ν µ)? Ved innsetting av tallverdier finner man ( ) Γ(π + + ν µ ) = e 4 cos m 4 πm µ 1 m π m µ θ c m W 8πm π m π = πα cos m π m ( µ m π m µ) θ c m 4 W = 3.71 10 16 m π = 5.1 10 14 MeV, (3) og ( ) Γ(K + + ν µ ) = e 4 sin m 4 K θ m µ 1 m K m µ c m W 8πm K m K = πα sin m K m ( µ m θ K m µ) c m 4 W = 1.40 10 16 m K = 6.94 10 14 MeV. (4) f) Bestem levetidene τ π og τ K til henholdsvis π + og K + i denne modellen, under antagelse om at de ogitte henfallsmodene er de eneste som forekommer. Ogi svaret i SI-enheter, dvs. sekunder. (Hvis du ikke har fått til forrige unkt, forklar med eksemel hvordan du konverterer fra en henfallsrate Γ gitt i naturlige enheter til en levetid τ gitt i sekunder.) τ π = Γ π = 1.6 10 8 s (5) τ K = Γ K = 0.95 10 8 s (6) Kommentar: De ekserimentelle levetidene er τ π =.60 10 8 s, og τ K = 1.4 10 8 s, så denne grovt tiløksede modellen fungerer egentlig mye bedre enn den fortjener! g) Forklar hvordan du vil generalisere denne modellen til å beskrive henfall av D s + -mesoner, dvs. D s + + ν µ.
Eksamen i FY3403/TFY490 Partikkelfysikk, 1. desember 005 Side 6 av 6 Ogitt: a) Sammenhengen mellom amlitude M fi og henfallsrate er i dette tilfellet (med to artikler i sluttilstanden), i naturlige enheter, Γ = 8πm M fi, (7) der m er massen til artikkelen (i ro) som henfaller, og er bevegelsesmengden til en av artiklene i sluttilstanden. b) = 1.0546 10 34 Js = 6.58 10 MeVs, c =.9979 10 8 m/s. Ogave 3. Henfall av η-mesonet De dominerende henfallsmodene til η-mesonet er η γ (39%), η 3π (55%), η ππγ (5%). a) Forklar hvorfor π henfallsmoden er forbudt i både sterke og elektromagnetiske vekselvirkninger. η er en skalar artikkel med odde intrinsikk aritet, og må eventuelt henfalle til et ππ system med banedreieimuls l = 0. Men et slikt system vil ha ositiv aritet, og er derfor forbudt i alle vekselvirkninger som bevarer aritet. b) Forklar hvorfor 3π henfallsmoden er forbudt i sterke men tillatt i elektromagnetiske vekselvirkninger. η har G-aritet lik G = 1, mens et πππ system har G = ( 1) 3 = 1. Prosessen er derfor forbudt i vekselvirkninger som er invariante under ladningskonjugasjon og isosinn. Dette gjelder sterke vekselvirkninger, men ikke elektomagnetiske eller svake.