NORGES TEKNISK- SIDE AV 3 Faglig kontakt under eksamen: Reidar Kristoffersen, tlf: 739367 EKSAMEN I FAG TK400 STRØMNING OG VARMETRANSORT Torsdag 0 juni 00 Tid: 0900-300 C: Innføring i informasjonsteknologi: Introduksjon til Matlab, tilleggshefte II er tillatt. Bestemt, enkel kalkulator tillatt. Sensurdato: juli S 7, NB: Vedlagt formelsamling bakerst Oppgave/Oppgåve. (30%) p 0 Spørsmål a) Spørsmål b) og c) p 0 H Dyse H A A Et reservoar med konstant dybde H har et utøpsrør med tverrsnittsareal A som er påmontert en dyse med utløpsareal A. I reservoaret er det vann med tetthet ρ. Atmosfæretrykket er p 0, og tyngdens akselerasjon er g. Trykket kan regnes konstant over tverrsnittet av røret. a) Dysen er stengt. Finn overtrykket ( gage ) i røret rett før dysen, og finn kraften som virker fra vannet på dysen. Dysen åpnes og vannet strømmer friksjonsfritt ut mot atmosfæren. b) Finn overtrykket ( gage ) i røret rett før dysen nå. c) Finn kraften som virker fra vannet på dysen.
NORGES TEKNISK- SIDE AV 3 Oppgave/Oppgåve Kompressibel strømning (3%) En strøm av metangass strupes i en dyse. Trykket foran dysen,, er. bara og T er 93 K. er trykket i trangeste tverrsnitt og 3 er trykket ved dysens utløp. T V T V v A A 3 3 T 3 V 3 v 3 a) Hva er det høyeste trykket,, som gir sonisk hastighet i trangeste tverrsnitt og hva blir tilhørende temperatur T. b) Hva blir diameteren i trangeste tverrsnitt når kapasiteten på dysen skal være 0.3 kg metan/s. c) Hva blir høyeste trykk, 3 = 3,maks, om man skal kunne oppnå supersonisk strømning i den divergerende delen av dysen gitt at arealet A 3 = 0.00 m. d) Hva skjer i dysen hvis 3 er litt større enn 3,maks. Anta at metan oppfører seg som ideell gass i dysen. Data: R = 8.34 J/mol K, metan =.3, M metan = 6 kg/kmol,
NORGES TEKNISK- SIDE 3 AV 3 Oppgave/Oppgåve 3 Varmetransport(3%) En gass strømmer gjennom et rør som vist i figuren under. Temperaturen skal måles ved hjelp av et termoelement som angitt og to plasseringer av elementet er foreslått. T vegg T gass T vegg T gass T strål T termo Ttermo a b Figur Du vet selvsagt hvilken metode som vil gi den mest nøyaktige målingen, men din sjef er ikke helt på høyden og ikke overbevist. Du må derfor lage en beregningsrutine som beregner termoelement-temperaturen og som kan overbevise ham. a) Anta en termoelementplassering som i Figur. Sett opp de likninger som er nødvendige for å gjøre deg i stand til å beregne termoelementtemperaturen, T term for henholdsvis situasjonen i a) og b). Du har gitt T vegg, T gass og varmeovergangstallene mellom gass og termoelement, h T, og mellom gass og strålingsskjerm, h S, og termoelementets, strålingsskjermens og veggens emmisiviteter er henholdsvis ε term, ε skjerm og ε vegg. Du kan anta i a) at termoelementet er totalt omsluttet av rørveggen, og at i b) så er strålingsskjermen liten i forhold til veggen og totalt omsluttet av den. Anta også i dette tilfellet at termoelementet er lite og omsluttet av strålingsskjermen b) Sett opp et Matlab-script som løser både a) og b). Bruk fsolve som likningsløser og benytt struct til parameteroverføring. Du kan godt lage to program, ett for a) og ett for b). Hvis du ikke kommer fram til likningene som skal løses så bruk: x +3y ln(z) = 34 sin(x) + e y = 4z x y + z = 6 Data: T vegg = 600K, T gass = 98K h T = 30 w/m K, h s = 0 w/m K ε term = 0,7, ε skjerm = 0,, ε vegg = 0,9 Stefan-Boltzmanns konstant σ =,676 0-8 W/m K 4
NORGES TEKNISK- SIDE 4 AV 3 Løsningsforslag 0 juni 00-06-04 Oppgave
NORGES TEKNISK- SIDE AV 3 Oppgave a) Kritisk trykkforhold w C = = 0,439 = 0,439, =,36 bar,3,3 3, 0, 439 Isentropiske forhold V = V Ideell gass V = RT / M V =RT / M Kombinerer : RT RT R R T T M M M M T T T T T T T,3,,3 T = 36, 93 3, 7 K b) V = RT 3 8, 34 93 m 0609, M, 0 006, kg V = RT 3 8, 34 3, 7 m 0, 969 M, 360 0, 06 kg A A v v = V c = 4,6 m/s m A v V V A = m 0, 969 03, 0, 0007 m V, 3, 360 0, 969 Diameter : A = /4 D c D c = 4 Ac 0 0986m 9 86 mm,, V V c) Energibalanse fra til 3: 3 3 vdv Vd 0
NORGES TEKNISK- SIDE 6 AV 3 3 v3 v V 0 Finner i tillegg et uttrykk for v 3 fra kontinuitetsligningen innsatt isentropirelasjonen: mv mv v 3 3 A3 A3 3 0, 3kg / s 0, 969 360,,3 v 3 90 7 36 0 3 0 00,,,3,3, 3 6 0,7634 v3 4, 0 3 Innsatt:,3 6 3 4 0 0,7634, 3 4 6 3 36 0 0 969 3,3,,,, 0, 36, 0 Denne var ikke forventet løst ved eksamen. Ordnet fås: 808 0,, 67, 77 0 4, 0 6 0,366 0, 06 = 0 3 3, 67, 8080 6794 3 0,366, 87 0 6 3 Løses med prøve og feiling: Riktig løsning ( supersonisk ) 3,maks = 0,48 bar d) Da vil ikke dysen kunne gi supersonisk strømning ut. I deler av den divergerende dysen øker hastigheten fra lydhastighet(i trangeste tverrsnitt) inn i the supersoniske området, men trykket er ikke lavt nok til å greie dette helt til utløpet. Man vil derfor få en sjokkfront inne i den divergerende delen av dysen hvor trykket stiger og hastigheten går fra supersonisk til subsonisk(underlydshastighet). Oppgave 3 a) I det første tilfellet tar man en balanse for termoelementet: Akk = 0 = netto inn dannet(0) 0 = netto inn ved konvektiv overføring + netto inn ved stråling 4 4 0 hatermo ( Tgass Ttermo ) termo Atermo ( Tvegg Ttermo) () Her er bare termoelementtemperaturen ukjent. I det andre tilfellet må vi sette opp balanser både for termoelementet og strålingsskjermen. For termoelementet blir den lik den forrige bare at omgivelsene nå er strålingsskjermen og ikke veggen: 4 4 0 hatermo ( Tgass Ttermo ) termo Atermo ( Tskjerm Ttermo) () I tillegg kommer balansen for strålingsskjermen hvor vi må ta hensyn til stråling inn fraa vegg, stråling ut til termoelementet, og konvektiv varmeoverføring til gassen både på inn- og utsiden av skjermen: 4 4 4 4 0 hs Askjerm ( Tgass Tskjerm ) skjerm Askjerm ( Tvegg Tskjerm) termo Atermo ( Tskjerm Ttermo ) (3)
NORGES TEKNISK- SIDE 7 AV 3 I ligning () kan overflaten til termoelementet forkortes bort. Det samme gjelder i ligning (). I ligning (3) kan vi dele på skjerm-arealet og siden dette er mye større enn termoelementarealet vil det siste leddet i ligning (3) falle bort og ligningen reduseres til: 4 4 0 hs ( Tgass Tskjerm ) skjerm ( Tvegg Tskjerm) (4) Ligning () og (4) danner derfor et sett med to ukjente som kan løses med Matlab % Oppgave 3 % danner et struct p p.hs = 30; p.ht = 0; p.epst = 0.; p.epss = 0.6; p.tv = 600; p.tg = 98; p.sig =.67e-8; % For tilfelle a) Tterma0 = 300; %Må være mellom Tvegg og Tgass Tterma = fsolve(@casea,tterma0,optimset('display','off'),p) %For tilfelle b) Tb0 = [300 30]; %Tipp for Tt og Ts, må være mellom Tvegg og Tgass Tb = fsolve(@caseb,tb0,optimset('display','off'),p) % funksjon for del a) function resid=casea(x,p) % Balanse for termoelementet Tt = x; resid = p.ht*(tt - p.tg) - p.sig*p.epst*(p.tv^4 - Tt^4); % funksjon for del a) function resid=caseb(x,p) Tt = x(); Ts = x(); % Først balanse for termoelementet, deretter for strålingsskjermen res = p.ht*(tt - p.tg) - p.sig*p.epst*(ts^4 - Tt^4); res = *p.hs*(p.tg - Ts) + p.sig*p.epss*(p.tv^4 - Ts^4); resid = [res res];