Kap. 14 21.11.213 Kap. 14 Mekaniske svingninger Mye som svinger i dagliglivet: Pendler Musikkinstrument Elektriske og magnetiske svingninger Klokker Termiske vibrasjoner (= temperatur) Måner og planeter Historien og økonomien m.m. Farlige svingninger: Tacoma Narrows Bridge on the morning of Nov. 7, 194. The bridge was an unusually light design, and, as engineers discovered, peculiarly sensitive to high winds. Rather than resist them, as most bridges do, the Tacoma Narrows tended to sway and vibrate. On November 7, in a 4-mile-per-hour wind, the center span began to sway, then twist. The combined force of the winds and internal stress was too great for the bridge, and it self-destructed. No one was killed, as the bridge had been closed because of previous swaying. This is one of the best-known and most closely studied engineering failures, thanks in large part to the film and photographs that recorded the collapse. Full video: http://www.youtube.com/watch?v=j-zczjxsnw 14. Mekaniske svingninger = Svingning mellom potensiell energi og kinetisk energi. Vi skal se på: 14.1-6. Udempet harmonisk svingning (t) = cos (ω t + φ) 14.7. Dempet svingning (t) = e -γt cos (ω d t + φ) 14.8. Tvungen svingning (resonans) Eksempler: Fjærpendel Matematisk pendel Fysisk pendel Y & F: Kap. 14 L & L: Kap 9 (ikke 9.5, 9.8, 9.1, 9.11) Posisjon (t) = cos (ω t + φ) (14.13) φ = fasevinkel, (= i grafen) Hastighet v(t) = d/dt = - ω sin (ω t + φ) (14.15) kselerasjon a(t) = dv/dt = - ω 2 cos (ω t + φ) = -ω 2 (Fjærpendel: ω 2 = k/m ) (14.16) Kap. 14 1
Kap. 14 21.11.213 I romfartøy: Tyngden mangler. Måling av masse ved SHM: m = k / ω 2 Kjent k Måler ω Eksempel Vertikal SHM: Letter på toppen eller like før Posisjon Fra en eksamen (Fysmat des. 29) (flervalgsoppgave) Vil kula lette fra underlaget? Letter! ksel oppover ksel nedover kselerasjon Letter når a g = 9,81 m/s 2 Letter når klossens akselerasjon nedover er større enn 9,81 m/s 2 Ei pakke vaskemiddel står oppå en vaskemaskin som er i ferd med å sentrifugere på 12 omdreininger per minutt. Vaskemaskinen vibrerer dermed vertikalt med en amplitude på 1, mm. Vil vaskemiddelpakka på noe tidspunkt miste kontakten med underlaget? Hvorfor, evt. hvorfor ikke?. Ja, fordi vaskemaskinens maksimale akselerasjon overstiger 9,8 m/s 2. B. Ja, fordi vaskemaskinens maksimale hastighet overstiger 9,8 m/s. Mulige svar C. Nei, fordi vaskemaskinens maksimale akselerasjon aldri overstiger 9,8 m/s 2. D. Nei, fordi vaskemaskinens maksimale hastighet aldri overstiger 9,8 m/s. E. Nei, fordi vaskemaskinens maksimale vertikale utsving aldri overstiger 9,8 mm. SHM: ω = 2πf = 2π 12/6 1/s = 4π 1/s = cos(ωt) => a = d 2 /dt 2 = - ω 2 cos(ωt) a ma = ω 2 = (4π) 2,1 m = 15,8 m/s 2 > g => lt. Kap. 14 2
Kap. 14 21.11.213 Fra eksamen (Fysmat des. 23) Horisontal svingning. Oppgave 4 En pakke med masse m er plassert på en horisontal plattform som svinger harmonisk langs bakken med periode T. Friksjonskoeffisienten mellom pakken og plattformen er μ og tyngdens akselerasjon er g. Svingeamplituden økes nå langsomt (med konstant T). Ved hvilken amplitude begynner pakken å skli? (Forsøk med en mynt på et papirark.) Friksjonsbegrenset Pakken akselereres av friksjonskrafta som er ma F f = μmg, dvs. dens maksimale akselerasjon den kan følge er a ma = F f /m = μg. Underlagets akselerasjon er a = - ω 2 cos(ωt), dvs. amplitudeverdi ω 2 = (2π/T) 2 Sammenholdt: μg = (2π/T) 2 => = ω 2 = μg (T/ 2π) 2 E p = ½ k 2 E k (t) = ½ mv 2 E p E k E tot = E p (t)+e k (t) = konstant Energi i SHM (Simple Harmonic Motion) Pot. energi U = E p Pot. energi U = E p og kinetisk energi K = E k 14.1-6 Udempede svingninger Enkel harmonisk oscillasjon (SHM): d 2 /dt 2 +ω 2 = (14.4) med løsning: (t) = cos (ω t + φ) (14.13) Beskrivelse med roterende vektor Energi for SHM E tot = E p (t)+e k (t) = konstant Eksempler: Fjærpendel ω 2 = k / m Matematisk pendel ω 2 = g / l Fysisk pendel ω 2 = mgd / I I dag Kap. 14 3
Kap. 14 21.11.213 Feil ved f.eks. 3 O : sin 3 O = sin π/6 =,5 π/6 =,524 Matematisk pendel T = 2π (L/g) Periode ved store vinkelamplituder Φ : => sin θ = θ feil med 5 % (14.35) (Φ θ) 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o (Y&F Fig. 14.22) Fysisk pendel. N2-rot gir: d 2 /dt 2 θ +ω 2 θ = der ω 2 = mgd/i 2p T = = 2p w I mgd Svingende fjøl cm I T = 2p (14.39) Mgd T() med L = 1, m (Y&F Fig. 14.23) Y&F kap. 14.6, LL Eks. 9.2. nbefalte opg: YF 14.57, LL 9.3 b << L I = I cm + M 2 I cm = 1/12 M (L 2 +b 2 ) 1/12 M L 2 Minimum ved = L/ 12 = R G Kap. 14 4
Kap. 14 21.11.213 Svingende fjøl Øving 13 I T = 2p Mgd (14.39) Fotpendling cm L = 942 mm hull /mm beregnet T/s målt T/s sentrum 15 4,4 4, nedre 153 1,6 1,54 midtre 272 = R G 1,48 1,46 øvre 428 1,56 1,56 T() med L = 1, m Y&F: E. 14.1: Tyrannosaurus re =4, m T =2π/ω 2,9 s v = S/T = 5, km/h =3,1 m d= Enkel modell: I = (1/3) ML 2 d = => ω 2 = Mgd/I = 3g/2L T prop. med L, S prop. med L => v = S/T prop.med L cm L Føttene er en dobbel-pendel Kne 14 Mekaniske svingninger 14.1-6 Udempet harmonisk oscillasjon (SHM) d 2 /dt 2 +ω 2 = med løsning: (t) = cos (ω t + φ) masse/fjær: ω 2 = k/m tyngependel (matematisk): ω 2 = g/l fysisk pendel: ω 2 = mgd/i 14.7 Dempet harmonisk oscillasjon d 2 /dt 2 + 2γ d/dt + ω 2 = med løsning: (t) = e -γt cos (ω d t + φ) ω d2 = ω 2 - γ 2 Fotblad 14.8 Tvungen svingning (resonans) Kap. 14 5
Kap. 14 21.11.213 14.7. Dempet svingning Svingelikning: d 2 /dt 2 + 2γ d/dt + ω 2 = (14.41) 14.7. Dempet svingning Svingelikning: d 2 /dt 2 + 2γ d/dt + ω 2 = (14.41) γ < ω svak dempet: -gt t () = e cos( w t+j) w = w -g d γ = ω kritisk dempet: () t = ( + t ) e -gt d γ < ω svak dempet: -gt t () = e cos( w t+j) w = w -g d γ = ω kritisk dempet: () t = ( + t ) e -gt d γ > ω overkritisk dempet: t () = e + e -a1t -a2t a =g+ g -w a =g- g -w 1 2 Fra: www.mwit.ac.th/~physicslab/hbase/oscda2.html γ > ω overkritisk dempet, alternative uttrykk: () t = e e + e e b= g -w -gt -bt -gt bt -gt t () = e cosh( b t+j) b= g -w 14.8. Tvungen svingning. Resonans Svingelikning: d 2 /dt 2 + 2γ d/dt+ ω 2 = f cos ωt Etter kort tid bestemmer pådraget frekvensen: (t) = cos(ω t - δ) mplitude (ω) og fase δ(ω) : f = (14.46) ( w -w ) + (2 gw ) -b -k F cos wt 2gw tan d= w -w Resonans: f f (ma) =» 2g w -g 2gw når w= w -2g»w = ( w -w ) + (2 gw ) i log-log-plot med ζ = γ/ω = 1/2 (svært svak demping) ( w) () f ω /ω Kap. 14 6
Kap. 14 21.11.213 ( w) () Figurer: http://en.wikipedia.org/wiki/vibration Svingninger (resonanser) i ei gitarkasse ω = halvverdibredde ζ = γ/ω = ( w -w ) + (2 gw ) f ( w) () ω /ω δ 2gw tan d= w -w Q-faktor ved svingninger: Q = ½ 1/ζ = ½ ω /γ ω /ω (stor Q = liten demping) 14. Mekaniske svingninger. Oppsummering 1 Udempet harmonisk oscillasjon (SHM) Kriterium SHM: Krafta som trekker mot likevekt er prop. med avstand (eks. F = - k ) Dette gir fra Newton 2: d 2 /dt 2 +ω 2 = med løsning: (t) = cos (ω t + φ) masse/fjær: ω 2 = k/m tyngependel (matematisk): ω 2 = g/l fysisk pendel: ω 2 = mgd/i Dempet harmonisk oscillasjon d 2 /dt 2 + 2γ d/dt + ω 2 = med løsning: (t) = e -γt cos (ω d t + φ) (svak dempning γ < ω ) ω d2 = ω 2 - γ 2 14. Mekaniske svingninger. Oppsummering 2 Tvungen svingning (resonans) d 2 /dt 2 + 2γ d/dt + ω 2 = F /m cos ωt med løsning (t) = cos(ω t - δ) F / m ( w) = () ( w -w ) + (2 gw ) 2gw tan d= w -w Resonans (stor ) når ω = ω ω /ω Energi SHM (udempet): Totalenergien E tot = E k (t) + E p (t) er konstant og svinger mellom E k (t) og E p (t) E p () prop. med 2 for alle svingninger Eks. fjærpendel: E p (t) = ½ k 2 Tyngdependel: E p (t) = mgh = mgl(1- cosθ) mg θ 2 Kap. 14 7