Maemaailine põhivara Maemaaika olulisus Teooria on maailmapil ehk maailma mudel, mis käiviub meie mõlemises Mõlemise ugev külg on suhelisel keerukae süseemide kiire kvaliaiivne analüüs Kuid mõõmise ulemuseks on arvulised väärused ja hinnaa uleb seega kvaniaiivseid suurusi ja nende suheid Tuleame meelde, e mõõmine on mingi sandardiga/ühikuga võrdlemine Siin jääb mõlemine üsna varsi jänni ja kusub appi maemaaika Maemaailised valemid ei ole midagi muud kui lühidal kirjapandud reeglid numbrilise suurusega opereerimiseks, seega on maemaaika abivahend mudeli (eooria) kvaniaiivseks analüüsiks Teades nähuse või prosessi funksionaalse sõluvus võime siis puhal maemaailise analüüsi abil ee ennusada prosessi kulgu ilma sellele prosessi konkreeseele iseärasusele ähelepanu pööramaa Aga see on jus see, mida me ühel heal eoorial ooame: võimalus ee ennusada süseemi käiumis ingimuses mida pole veel kaselisel konrolliud või mida mingiel põhjusel polegi võimalik konrollida Maemaaika kasuamise eelis seisneb selles, e ühe ja sellesama valemiga võib kirjeldada väga erinevaid nähusi, mis on oma käiumisel sarnased, kuigi sisul äiesi erinevad Seega on vajalike maemaailise valemie arv unduval väiksem kui analüüsiavae nähuse või prosesside arv Siin võib märgaa analoogia kompuuries kasuaavae andmeihenduse zippimisvõeega E arvui mälumahu sääsa suruakse info hoidmiseks võimalikul kompaksel kokku Vasavad arkade inimese (maemaailise infoehnoloogide) pool koosaud programmid oskavad vajadusel selle info jälle käesaadavaks eha (unzippida) Füüsika juurde agasi ulles, selleks e maemaaika valemiesse kodeeriud füüsikalis info käe saada ja seda mõisa, peame meiegi vajalikul määral maemaaika undma Järgnevas vaalemegi peamisi maemaailise avaldise üüpe, mis anud kursuses käsileavae füüsikalise nähuse ja prosesside analüüsil ee võivad ulla Funksioonid Funksioon on maemaailine seos mime suuruse vahel, mille järgi saab arvuada undmau suuruse (s funksiooni, y) vääruse kui argumenide i väärused on eada: y = f(, n ) f ähisab mingi maemaailis arvuusreegli (eheid ja nende kombinasioone), n asendamis Kaseandmee (funksionaalsee sõluvuse) esiamiseks on mimeid võimalusi: Tabel
5 5 5 5 graafik (ülevaalik) valem (sobiv maemaailiseks manipulasioonideks) Lihsaim funksioon on ühe muuuja funksioon y = f( ) Näieks asmefunksioon (n on asmenäiaja) üldvalemiga y= + 5 y = 5 n y= a+ b -asme funksioon on konsan ses suvaline arv asmel = Levinuim asmefunksioon on lineaarne (sirge) ehk esimese asme sõluvus: 4 5 Lineaarfunksioon ja proporsionaalne sõluvus Lineaarfunksiooni iseloomusavad kaks parameeri: b ehk õus/langus (mis on konsan) ja lõikepunk y-eljega a e funksiooni algväärus y= a+ b a on siin mingi algseis/funksiooni algväärus, milles prosess algab ja b ähisab funksiooni õusu ehk y kasvu suhelis kiirus võrreldes kasvuga: y y a = = b= cons Lineaarfunksiooni erijuh on proporsionaalne sõluvus, kus a = ja mõlemad, nii kui y alusavad muuumis nullis Lineaarse/proporsionaalse sõluvuse näieks olgu sellised oma füüsikalisel sisul erinevad nähused/prosessid nagu läbikäidud ee sõluvus ajas s = s + v vooluugevuse sõluvus pinges I U R = (Ohmi seadus, kas unnee ära?) ringjoone pikkuse sõluvus raadiuses: L= π r veevoolu kiiruse sõluvus rõhkude vahes difusioonivoo kiiruse sõluvus konsenrasioonide vahes jne
4 8 6 4 y = 5 Teise asme funksioon on ruusõluvus: y= b 4 5 Ruusõluvus võib sisaldada osana ka lineaarsõluvus, kuid lihsuse mões on see siin välja jäeud Ruusõluvuse näideeks on pindala sõluvus lineaarmõõdus Pange ähele, e kõik pindala valemid sisaldavad argumendi (lineaarmõõdu) ruuu Ruudu pindala s = a, kus a on ruudu külje pikkus Ringi pindala s = πr kus r on raadius Kera pindala s = 4πr Ühlasel kiireneva liikumise korral läbiud ee pikkuse sõluvus ajas: a s = (a on siin kiirendus ja liikumis alusai paigalseisus) Ruusõluvus eemaldub nullis horisonaalsel (väärusel = on õus ) ja jäkab lineaarsel kiireneva y = õusuga b Lineaarfunksiooni õus on suh selge asi Aga kuidas keerulisema funksiooni õusus aru saada? Funksiooni õusu y arvuaakse kui funksiooni puuuja (inglise k angen) õusu anud argumendi väärusel (s kohal, v joonis)
Nagu näeme, võib õus omada nii posiiivse kui ka negaiivse väärus ja samui olla = Kuivõrd funksiooni õus sõlub argumendi vääruses ja e sellel konkreesel fikseeriud argumendi väärusel mingi mõe oleks, siis uleb õusu arvuada võimalikul väikese argumendi muuuse korral, piiril lõpmaa väikese muuuse korral: y dy lim d = = ' y = uleis Saadud ulemus nimeaakse funksiooni uleiseks Tuleise leidmise proseduuri s funksiooni jagamis sirglõikudeks ja vasavae õusude leidmis nimeaakse aga funksiooni diferenseerimiseks A Diferenseerimise ähsus dy = B y '( ) d Iga sile, s ilma murdekohadea funksioon, on lühikeseks puuujasuunaliseks sirglõikudeks jagaav ja seega diferenseeriav Peaks olema arusaadav, e mida rohkem on lõike, seda äpsemini saab funksioon sirglõikudega lähendada (v joonis) Kui eame funksiooni uleis, siis eame ka kui kiiresi funksiooni anud argumendi väärusel muuub Funksiooni juurdekasv argumendi muuumisel d võrra avaldub kui dy nimeaakse funksiooni diferensiaaliks Esimes järku asmefunksiooni õus on cons (ei muuu -ga), seega võime kirjuada y = y ' = cons, mis kehib iga y ja korral Asmefunksiooni diferenseerimise reegel dy d n y '( ) = = a = na d d n Kolmanda asme funksiooni ehk kuupsõluvuse y= b näieks oleks ruumala sõluvus lineaarmõõdus: 4
Kuubi ruumala V = a kera ruumala V 4 r = π Tõus y b =, mis on argumendi väärusel =, kasvab argumendi suurenedes proporsionaalsel argumendi ruuduga Y Ais Tile Pöördvõrdeline sõluvus Pöördvõrdeline sõluvus on samui asmefunksioon, kusjuures asmenäiaja on -n: - -,,5,,5,,5, X Ais Tile y=/ Y' y=-/ Esimese asme pöördvõrdelis sõluvus kusuakse ka hüperboolseks sõluvuseks y a = =, a mille näideeks võiksid olla järgmised füüsikalised prosessid vooluugevuse sõluvus juhme akisuses U I = R liikumiseks kuluaud aja sõluvus kiiruses s = v elekroni poensiaalse energia sõluvus kauguses uumas E = k e Ze r analoogiline on graviasioonienergi a sõluvus kauguses kehade vahel mm E = k g r 5
Pange ähele erinevus /r ja /r vahel! Mõlemale sõluvusele on iseloomulik, e nende õus/langus e energiavälja muuumise kiirus, mis r, on lõpmau suur väikesel argumendi r väärusel ja läheneb asümpooilisel - le suurel argumendi väärusel (v joonis) Sellise keerulisel ja järsul muuuva funksiooni päras räägiaksegi näieks kosmoselendude puhul, e eaud lennu eapil (eaud kaugusel) saus kosmoselaev ühe või eise aevakeha mõjuvälja Tegelikul ulaub graviasiooni mõju lõpmausse, kuid suurel kaugusel on välja muuumise kiirus väike See ähendab jõud, mis laevale selle aevakeha pool avaldaakse on veel väike Teaud lähenemiskaugusel hakkab poensiaalne energia kiiresi muuuma Laevale mõjuv jõud nagu me eelmises loengus rääkisime on aga jus välja muuumise kiirusega proporsionaalne ja see jõud võib nüüd laeva liikumis ugeval mõjuada Selles näies ilmneb uleise/gradiendi füüsikaline sisu energiaväljades Y Ais Tile,4,,,8,6,4,, 5 5 5 5 X Ais Tile /(+) = b (=) ja küllasub kõrgusel a siis kui Bioloogias on ähis alguses (kui on väike) kiiresi ja hiljem järjes aeglasemal õusev kombineeriud hüperboolne sõluvus, mille abil kirjeldaakse näi ensümaailise reaksioonide kiirus v = a /( b + ) sõluval subsraadi konsenrasioonis Funksioon eemaldub nullis õusuga a/b (graafikul =/=), saavuab poole maksimaalvääruses siis kui (= lõpmausele lähenedes) Y Ais Tile 9 8 7 6 5 4 X Ais Tile y=/ y=/ Pöördvõrdelise ruusõluvuse näieks on funksioon y a = Sellis sõluvus omab näieks punkikujulise laengu või massi elekri- või graviasioonivälja ugevuse (jõu) sõluvus kauguses 6
masside või laengue keskpunkides Pöördvõrdelise sõluvuse ja pöördvõrdelise ruusõluvuse väärused on vaid ühes kohas (argumendi väärusel ) võrdsed Väiksemael argumendi väärusel muuub pöördvõrdeline ruusõluvus kiiremini kui pöördvõrdeline sõluvus Suuremael argumendi väärusel muuub see vahekord vasupidiseks Väga ähis funksioon on eksponensiaalne sõluvus y a = ye Siin y on funksiooni algväärus; asmenäiaja a nimeaakse kiiruskonsandiks Kui asmenäiaja on esiaud pöördväärusena (a=/τ; /τ y = ye ) siis τ nimeaakse eksponendi eguriks (näi radioakiivse lagunemise või kondensaaori ühjenemise puhul ajaegur) Eksponensiaalfunksiooni defineeriakse kui lõpmau jada e = + + +!! Sii siis ka arvu e numbriline väärus: e = + + + = 78 Mõnikord kasuaakse!! eksponenfunksiooni alusena e asemel ka (või mõnda eis arvu) Posiiivse asmenäiajaga eksponenfunksioon kirjeldab n bakerikoloonia kasvu ajas (alguses, kui oiu on palju, aga hiljem see küllasub sarnasel ensümaailise reaksiooni kiiruse valemiga) kapiali suurenemis firmas (ka see avalisel küllasub) Negaiivse asmenäiajaga eksponenfunksioon aga n y = y e a kirjeldab radioakiivsel lagunevae uumade arvu valguskvanide arvu vähenemis neelava keskkonda läbides kondensaaori laengu ühjenemis läbi akisi edukae üliõpilase arvu kahanemis õpiaja jooksul 7
Eksponenfunksiooni kõige iseloomulikumaks jooneks on, e funksiooni kasvu/kahanemise suheline kiirus ei muuu, s ema uleis on kogu aeg iseendaga võrdeline Y Ais Tile 4 8 6 4 dy d -4-4 X Ais Tile ± a =± ay e =± ay y=ep() y=ep(-) Posiiivse asendajaga eksponenfunksioon (punane) algab väärusel y = ja kasvab kiireneval Negaiivse asendajaga eksponen (sinine) lähub algvääruses lõpmaus ja langeb aeglusuval Kusuva eksponendi puuuja kohal = (roheline sirge) sihib eksponendiegurile (τ = selles näies) See ähendab, e mida suuremaks funksioon kasvab, seda kiiremini muuub ema väärus (seda suurem on ema absoluune juurdekasv või kahanemine) Mida rohkem on sul kapiali, seda suurem on su kasum Ja vasupidi, mida väiksemaks muuub funksiooni väärus, seda aeglasemal a kahaneb Argumendi väärusel on nii kasvav kui ka kahanev eksponenfunksioon võrdsed, ses e = Argumendi negaiivsel lõpmaul väärusel on kasvava eksponendi õus ; sümmeerilisel on ka langeva eksponendi langev õus argumendi posiiivsel lõpmaul väärusel Vaaame kahaneva eksponensiaalse prosessi, mida kirjeldab ajaegur τ : A= A e τ Aja τ möödudes on prosessi kirjeldav ampliuud vähenenud e - = /e = /78 = 68 korda ehk ~7% peale esialgses vääruses A Kahe ajaeguri möödudes e - = 5 ehk 5% peale, mis moodusab 7% eelmises vääruses Kolme ajaeguri möödudes e - =5 ehk 5% peale, mis omakorda moodusab 7% e - vääruses jne Näeme, e eksponensiaalsee prosesside prakilise lõppemiseni kulub järelikul τ kuni 5τ (67%) Kahaneval eksponendil on algne vääruse 8
kahanemine kiire Päris nullini ei kahane eksponen aga kunagi, see võaks lihsal lõpmaa kaua aega Y Ais Tile Suheline majanduskasv ja rahvuslik rikkus Sul peab algkapiali olema, e eevõe mõisliku ajaga kasumi ooma panna See on ka põhjus, miks vähearenenud riigid omades küll võrdse majanduskasvu indeksi kunagi absoluuse rikkuse mões arenenud riikidele järele ei saa Vahe üksnes kasvab Kujuage ee, e ühel eis on miljard krooni ja eie aasakasum on % S eie vara kasvab aasaga miljoni krooni võrra Minul on aga pangas näieks krooni % inressi korral saan ma krooni võrra rikkamaks Pole ka paha, kuid unduval vähem, kui eil Funksiooni pöördfunksioon on funksioon 4 - y = f( ) - 4 5 6 7 X Ais Tile y=ep() y=ln() = f y Eksponendi pöördfunksioon on siis logarim Tõepooles, kui y = e, siis ln y = Sii uleneb, e loomulik logarim arvus y on arv, millega uleb asendada e, e saada y: Kümnendlogarim arvus y on arv, millega uleb asendada, e saada y: ( ) Kui y = siis lg y = ln y = ln = ja Asendades -i saame, e ln y = lg y Kuidas näeb välja logarimfunksiooni graafik? Nii ln kui ka lg =, ses iga arv (sh e ja ) asmel = Ühes suuremae arvude logarimid on posiiivsed, ühes väiksemae arvude logarimid on negaiivsed ln = Funksiooni eksreemumid - miinimum ja maksimum E leida funksiooni eksreemume uleb leida need kohad funksioonil, kus funksiooni muuumise kiirus ehk esimene uleis võrdub Seejärel, leidmaks, kas eksreemum vasab funksiooni maksimumväärusele või miinimumile, uleb arvuada funksiooni eine uleis Kui eine uleis eksreemumile vasaval argumendi väärusel on >, on egemis miinimumiga ja vasupidi (v parabooli joonis) Diferensiaalvõrrandid Määraud ja määramaa inegraalid Diferenseerimise ulemusel saame võrrandi, mis seob omavahel suuruse väikesed muuused, n 9
Y Ais Tile Y Ais Tile 8 6 4 parabool - X Ais Tile esimene uleis eine uleis dy = y '( ) d Sellis võrrandi nimeaakse diferensiaalvõrrandiks Anud valem kirjeldab lihsaima ehk esimes järku diferensiaalvõrrandi Diferensiaalvõrrandi järgu määrab osiava funksiooni (milleks anud näies on y()) uleise kõrgeim järk selles võrrandis Diferensiaalvõrrandid on seega maemaailised seosed mie suuruse enese vahel (nagu funksioonid), vaid suuruse muuuse vahel (meie näies siis dy ja d vahel) Lihsaks füüsikaliseks näieks võiks olla keha (n auo) liikumisel läbiud eepikkus Liikumisel kiirusega v on igas lõpmau lühikeses ajavahemikus d läbiud eepikkus ds = v() d = s'() d Võrdlemaks ülaloodud maemaailise avaldisega uleb võa, e ds=dy ja d=d - Teades auo liikumise -5 5 kiirus (mis igal ajahekel võib olla X Ais Tile erinev, seda rõhuab kiiruse sõluvus ajas v ()) ahame eada, kui kaugele me sellise auoga sõies lõpliku aja (n ühe unni) päras jõuame Veidi järele mõeldes saame aru, e selleks me peame lihsal kõikvõimalikud võrdsee ajavahemike jooksul läbiud elemenaarvahemaad ehk ds-id kokku liima Asja näilikusamiseks oleame nüüd, e s on h võrreldes piisaval lühike aeg (Kui kiirus on suur, ei arvise see õige olla, aga olgu!) Meie summas on siis 6 (=66) liideava: 6 6 6 s = ds = s '( ) d = v ( ) d i i i i= i= i= Kui ahame äpsema ulemus, peame unni veel väiksemaeks osadeks jagama, n millisekundiliseks, mikrosekundiliseks või isegi pikosekundliseeks osadeks Muide, füüsikud oskavad änapäeval ose mõõa prosesse, mis kesavad femo- ja isegi aosekunded (kaudsel saab veelgi lühemaid ajavahemikke hinnaa) Seejuures on pikosekundilised lahuused änapäeval juba üsna avalised Siinsamas füüsikainsiuudis kasuaakse lasereid
(laseries kuulee kursuse jooksul veel), mis genereerivad - ps kesusega valgusvälkeid Neil päevil saab FI laseri, mille pulsi pikkus on kümneid kordi lühem Aga läheme oma põhieemaga edasi Selgub, e kui d on uuriava prosessi seisukohal piisaval lühike, siis võib summa asendada inegraaliga (see on lihsal maemaailine sümbol - rikk ähisamaks lõpmau suures elemenide arvus koosneva summa, kusjuures liideavad ise on lõpmaa väikesed): s = v () d = v() d i Pole erii raske mõisa inegraali geomeerilis ähendus Selleks on inegraalialuse funksiooni pindala Niisiis, leidmaks läbiud ee pikkus, uleb meil lihsal eepikkus kirjeldav diferensiaalvõrrand, ds = v() d = s'() d, inegreerida: s = vd = s'( ) d Inegreerimise ulemuseks (lahendiks) on siis argumendis (so ajas ) sõluv funksioon s=s() Seega on inegreerimine uleise kaudu funksiooni osimine Osiakse sellis funksiooni, mille uleis oleks inegraalialuse avaldisega võrdne Kui kiirus ajas ei muuu (on konsanne), võime eepikkuse avaldises liiruse v inegraali ee uua: ds = v d, milles järgneb, e 5 5 y= + 5 5 y = 5 5 4 5 s = v +, s ses kõigi d kokkuliimine annab meile lihsal sõiduks kulunud aja Miks me aga sellele avaldisele veel mingi liikme s lisasime? Aga sellepäras, e võrrandi ds = vd rahuldab iga sirge, mille õus on v (v joonis) Seega jääb ülaloodud inegraali äpne väärus kindlaks egemaa Läbikäidud ee ei sõlu kohas,
kus me liikumis alusasime, kas Rakveres või Riia n osas Ühlase kiirusega sõies läbime ikka ühesuguse vahemaa Niisiis väljendab s lihsal meie eadmaus liikumise alguspunki suhes Kui diferensiaalvõrrand on kirjuaud üldisel kujul, siis ema lahendina ei osia mie arvu (mingi funksiooni väärus), vaid funksiooni ennas maemaailisel kujul Diferensiaalvõrrandi inegreerimise ulemusena leiaksegi niisugune funksioon e määramaa inegraal Tegemis on siis nö üldjuhul kehiva valemiga Prakilises ülesannees määraakse inegreerimiskonsan mingis lisaeabes, nn alg- või ääreingimuses Ääareingimused eraldavad kõikvõimalikes prosessides ühe konkreese Näieks ülaoodud näies võib nõuda, e ajahekel = oleks funksiooni väärus s = Inegreerimiskonsan s siis näiab, e liikumis alusai kohal ja s on siis lõpp-punki egelik asukoh Ääreingimuse arvesamine oimub määraud inegraali arvuamise eel Meie lihsas näies siis järgmisel: s s ds = s = s s = v d v v( ) v s = = = s Seda arvuaakse nii, e leiakse määramau inegraali väärus ülemisel rajal e argumendi lõppväärusel ja lahuaakse selles määramau inegraali väärus alumisel rajal e argumendi algväärusel Siin ei jää enam midagi ebamääraseks Ajahekel asusime kohal s ja hekel kohal s Teeme läbi ka ühe keerulisema näie, n kiirendusega liikumise juhu Oleame, e keha alusab liikumis nullkiiruses ja liigub ühlasel kiireneval kiirendusega a m s - (kiirendus ise ajas ei sõlu!) Aja möödudes on keha kiirus siis v() =a Iga väga lühikese ajavahemiku d jooksul läbiud eepikkus võrdub ds v() d = Nagu varemgi, läbiud ee leidmiseks, uleb meil vaid need elemenaarsed eejupid kokku liia Aga olgem ähelepanelikud! Erineval eelmises näies seekord kiirus ajas pideval muuub Seepäras ei ohi me enam eda inegraalimärgi ee uua, mis varem oli oluline lihsusus Küll aga saame, avaldades kiiruse kiirenduse ja aja kaudu, ee uua kiirenduse, mis on ajas sõlumau konsan Saame ds = v() d = ad = a d ja peale inegreerimis: s = a + s Asmefunksioonide inegreerimise reeglies räägime allpool
Arvuades määraud inegraali oimime järgmisel: = v( ) d ja = a = ad = a a( = Selle kursuse jooksul kasuame inegreerimis lisaks ebaühlase kiirusega liikumisel läbiava eepikkuse arvuamisele veel näieks aaomiuuma ümbriseva elekrivälja poensiaalse energia ja gaasi paisumisel ehava öö rehkendamisel Tihi uleb füüsikas ee järgmine esimes järku diferensiaalvõrrand, mis põhineb eadmisel, e suuruse A muuumise kiirus (n ajas, või ka ruumis, eepikkuse läbimisel) on võrdeline suuruse A enesega Ülapool nägime, e selline käiumine on omane eksponefunksiooni uleisele, seega osiav funksioon on eksponenfunksioon Sellise seaduspärasuse järgi oimub näieks ) ad vedeliku väljavoolamine reservuaaris elekrimahuvuse ühjenemine radioakiivse aine lagunemine valguskvanide neelamine aines Neil juhudel võime kirjuada da ka d = ; Proporsionaalsusegur k ehk kiiruskonsan ei sõlu siin ajas Võrrandi inegreerimiseks rakendame muuujae eraldamise reegli, viies A ühele poole ja eisele poole võrdusmärki: Inegreerides saame da A = kd da kd A = ln A= k + ln A
milles järgneb, e ln A A = k, A= A e k Nagu panie ähele, inegreerimiskonsan kirjuai seekord mugavuse päras logarimi kujul, lna, e muuuse alguspunk viia sisse suhena, mie vahena lõpp-punki suhes Viimase valemi võib kirjuada ka kujul A= A e kus τ =/k on nn eksponendi egur (anud juhul ajaegur) Aja asemel võib olla eepikkus, näieks kui valguskvandid (või radioakiivne kiirgus) läbivad neelava aine Konsan k näiab siis valguse nõrgenemis eepikkuse ühiku koha Kui võrrand näiab, e suurus mie ei kahane, vaid kasvab iseendaga võrdelisel, siis saame samasuguse eksponensiaalse lahendi, aga posiiivse asendajaga Posiiivse eksponendiga kirjeldub näieks τ populasiooni (bakerie koloonia) kasv aime kasv majanduse (kapiali) kasv ec Selline eksponensiaalne kasv on muidugi võimalik vaid arengu algfaasis, siis kui süseemi iga elemen suureneb (paljuneb) veel ilma eise pool mõjuamaa Hiljem prosess küllasub, n kui koloonia muuub nii ihedaks, e naaber-rakud peavad oidu (valguse, jne) päras ükseisega konkureerima hakkama Läheme veel sammukese edasi ja peaume põgusal eis järku differensiaalvõrrandiel, mille järgi käiuvad prosessid on samui füüsikas (s looduses) küllal laial levinud Kui esimes järku diferensiaalvõrrand sidus omavahel argumendi ja funksiooni muuused (sisaldades esimes järku uleisi), siis eis järku diferensiaalvõrrand seob omavahel argumendi ja funksiooni muuuse muuumised (eis järku uleised) f f f ' '' = f( ) df = d d df d f = ( ) = d d d 4
Teis järku diferensiaalvõrrandi laial kasuaavaks näieks on võnkumise võrrand, mis põhineb eadmisel, e vedru (või pendli) agasiõmbav jõud on võrdeline hälbega A asakaaluasendis da F = m = ka d Kuna jõud põhjusab kiiruse muuumise ehk kiirenduse, siis väidab see võrrand, e võnkuva massi kiiruse muuumise kiirus (e kiirendus) on võrdeline hälbega asakaaluseisus ja on suunaud asakaaluasendi poole (viimasele viiab miinusmärk elassuskoefisiendi k ees): Saab näidaa, e selle võrrandi lahendiks on perioodilisel võnkuv siinusfunksioon, mille võnkeperiood T avaldub järgmisel: k m 4π T = = ω ehk 4π m m T = = π = / ν k k Pendli puhul k/m=g/l ja mass aandub valemis välja andes ulemuseks l T = π g Näeme, e pendli võnkeperiood sõlub ainul pendli pikkuses ja raskuskiirenduses Seega on pendli abil võimalik mõõa Maa (samui mõne eise aevakeha) raskuskiirendus, mida on ka edukal rakendaud Teis järku differensiaalvõrrand on ka kvanmehaanika põhivõrrand e Scrödingeri võrrand, millega me edaspidi lähema uvus eeme Selleks, e määraa, missuguses siinusfunksiooni punkis asub võnkuv keha eaud ajahekel, on lisaks võrrandi lahendiks olevale siinusfunksioonile arvis eada veel juba kahe algingimus: algkoordinaai, milles liikumine algab ja liikumise algsuunda, kas asakaalupunki poole või selles eemale Minimaalsel vajalike ääreingimuse hulk võrdub diffrensiaalvõrrandi järguga 4 Asmefunksioonide inegreerimise reeglid Inegraali on lihne leida kui inegreeriav on asmefunksioon: = n + n+ n d, a Näieks kui v=a, siis ad = Veel mõned näieid: 5
d= d = d = Aga peame meeles, e erandiks on inegraal, mis annaks ulemuseks null-asme d = ln Eksponenfunksiooni inegraal avaldub samui väga lihsal a e d = e a Nende valemie konrolliks uleb vaid parema pool differenseerida; ulemuseks peame saama inegraalialuse avaldise a 5 Vekorid ja skalaarid Skalaarid on suurused, mida iseloomusab eaud arvväärus (ja füüsikas ka ühik) Skalaarid liiuvad algebralisel Algebraline summaomavahel liiumis- ja/või lahuamismärkidega ühendaud arvud või avaldised Vekorid on suurused, mida iseloomusab koordinaaide ruumis sih, suund ja pikkus Füüsikas iseloomusab vekori veel ka ühik Vekorid on n kiirus kiirendus samui kõik kiiruse ja kiirenduse kaudu avalduvad suurused nagu jõud=ma impulss=mv impulssmomen=pr jõumomen=fr elekriväja ugevus Paneme aga ähele, e energia nagu ka mass või emperauur on skalaarid (on äielikul määraud vasava arvväärusega ning kasuaud ühikuga) Vekori ähisab kirjapildis avalisel kas noolega kaeud (n rasvane (bold) äh (F) F ) või 6
Vekorie omadusi: Vekor on suunaga lõik (nool) ruumis Vekorid on võrdsed, kui neil on sama sih, suund (+ või miinus anud sihis) ja pikkus Vekori koordinaadid on ema lõpp- ja algpunkide vahed Suvaline vekor on avaldaav/lahuaav risiolevae koordinaaelgede suunalise komponenide kaudu Komponenide summa annab siis kokku lahuaava vekori Samui võib iga vekori avaldada ühikvekorie (i, j, k) kui baasi kaudu Ühikvekor on ühikulise pikkusega vekor Öeldakse, e vekor A on jaoaud/jagaud kolmeks risiolevaks (baas)vekoriks (i, j, k) Vasavaid jaouskoefiisiene a jne nimeaakse siis Decarese (Eukleidese) koordinaaideks (baasi vasaval Decarese või Eukleidese baasik) Ühikvekorie kasuamine lihsusab maemaaika, erii kui ühikvekori alguspunki saab ühiada koordinaaide alguspunkiga Vekorie pikkus ja suund ei sõlu koordinaasüseemis Seega võib iga ruumipunki käsileda kui alguspunki Kõik on vaid mugavuse küsimus Tasapinnal asuva vekori jaoks on vaja kahe baasvekori, ruumis asuva jaoks kolme (üks iga koordinaa di, y, z jaoks): A = ai+ a j + a A = i + yj + zk y z k Y a y A Nende koordinaaide geomeeriline mõe on esiaud kõrvaloleval joonisel: Neid vahesid nimeaakse ka vekori A projeksiooniks vasavaele elgedele a a y = = a = y Acosα Asinα a = y y a X Vekori pikkus (moodul) leiakse avaldises A = A= a + a + a y z Vekorid liiuvad/lahuuvad geomeerilisel nagu joonisel näidaud 7
A + B= C A B= D Samui oimiakse suvalise arvu vekoriega liimisel/lahuamisel Vekorie liimine/lahuamine ei sõlu egurie järjekorras (kommuaiivsus) Tehed vekori komponenidega on ükseises sõlumaud, kui koordinaadid on valiud ükseises lineaarsel sõlumauena (kahe vekori lineaarne sõluvus ähendab nende paralleelsus!) A= ai + ay j + azk B= bi + by j + bzk C = a + b i + a + + + k ( ) ( b ) j ( a b ) y y z z Vekorie korruamine Erisaaakse vekorie skalaar- ja vekorkorruis Skalaarkorruise (mis on kommuaiivne) ulemuseks on skalaar väärusega A B= AB = a b + a b + ab Risiolevae vekorie skalaarkorruis = cosα y y z z Vekorkorruise ulemuseks on vekor, mis on korruaavae vekoriega risuvas asapinnas i j k A B = a a a = i a b b a j ab ba + k ab ba ( ) ( ) ( ) y z y z y z z z y y b b b y z Selle vekori suuna määramiseks kasuaakse kruvireegli ja ema pikkus on määraud avaldisega A B = ABsinα Samasuunalise vekorie vekorkorruis= 8
Vekorkorruis ei ole kommuaiivne A B = B A ( ) Mime muuuja funksiooni korral nimeaakse funksiooni kiireima kasvamise suunda ja kiirus anud punkis iseloomusava vekori gradiendiks f f f gradf (, y, z) = f (, y, z) = i + j + k y z Tagurpidi dela nimi on nabla Gradiendivekori komponenideks on funksiooni osauleised Lõpuks on võib-olla kasulik eada, e ka kompleksarvud on vekorid; ema komponene võib kirjeldada kahes risiolevas (reaalses ja imaginaarses) asandis asuva liikme abil Võame kokku Maemaaika olulisus seisneb selles, e a võimaldab kompaksel (üks ja sama valem kehib mime füüsikalisel erineva nähuse puhul) formuleerida ja kvaniaiivsel käsileda kõige erinevamaid probleeme Funksioonid kui arvudevahelised sõluvused Funksiooni diferenseerimine e sirglõikudega lähendamine ja vasavae õusude (uleise) määramine Taylorí rida Iga sileda funksiooni saab argumendi väikesel kõrvalekalleel arendada ria (nn Taylori rida) ema uleise järgi Tavalisel võib piirduda esimese, kõige suurema liikmega, mis on nihkega proporsionaalne Nii defineeriakse funksiooni õus ehk esimene uleis y = f( ) y = f( a+ ) f( a) = f '( a) + f ''( a) +!! Sii näeme, e esimes järku uleise kaudu funksiooni deferenseerimine on vaid mugav lähendus (kuid enamasi mõislik kompromiss äpsuse ja öömahukuse vahel) Inergreerimine kui uleise kaudu funksiooni osimine Funksionaalanalüüs e uleise kaudu funksiooni eksreemumide (miinimumi ja maksimumi) osimine Skalaarid ja vekorid Skalaare liideakse/lahuaakse algebralisel, vekoreid geomeerilisel Vekorid on väga kasulikud liikumise kirjeldamiseks mimemõõmelises ruumis Ühes mõõmes neid vaja ei läheks 9