Insttutt for fyskk Eksamensoppgave FY8104 / FY3105 Symmetrgrupper fyskken Faglg kontakt under eksamen: Jan Myrhem Tlf.: 73593653 / 90075172 Eksamensdato: 9. desember 2013 Eksamenstd: 9 13 Tllatte hjelpemdler: Kalkulator, matematske og fysske tabeller Målform: Bokmål Antall sder: 5 Antall sder vedlegg: 0
Sde 1 av 5 Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for fyskk Faglg kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrhem Telefon: 73593653 (mobl 90075172) Eksamen fag FY8104/FY3105 Symmetr fyskken Mandag 9. desember 2013 Td: 09:00 13:00 Sensurfrst: Torsdag 9. januar 2014 Tllatte hjelpemdler: Kalkulator, matematske tabeller. En tabell over fysske konstanter fnnes sst dette oppgavesettet. Alle deloppgaver teller lkt ved sensuren. Oppgave 1: En gruppe G av orden 16 har følgende multplkasjonstabell. e a b c j k l m p q r s t u v w e e a b c j k l m p q r s t u v w a a b c j k l m e q r s t u v w p b b c j k l m e a r s t u v w p q c c j k l m e a b s t u v w p q r j j k l m e a b c t u v w p q r s k k l m e a b c j u v w p q r s t l l m e a b c j k v w p q r s t u m m e a b c j k l w p q r s t u v p p u r w t q v s e k b m j a l c q q v s p u r w t a l c e k b m j r r w t q v s p u b m j a l c e k s s p u r w t q v c e k b m j a l t t q v s p u r w j a l c e k b m u u r w t q v s p k b m j a l c e v v s p u r w t q l c e k b m j a w w t q v s p u r m j a l c e k b Elementene a og p oppfyller relasjonene a 8 = p 2 = e, pa = a 5 p, og genererer gruppen. Konjugasjonsklassene er: C 1 = {e}, C 2 = {a 2 } = {b}, C 3 = {a 4 } = {j}, C 4 = {a 6 } = {l}, C 5 = {a,a 5 } = {a,k}, C 6 = {a 3,a 7 } = {c,m}, C 7 = {p,a 4 p} = {p,t}, C 8 = {ap,a 5 p} = {q,u}, C 9 = {a 2 p,a 6 p} = {r,v}, C 10 = {a 3 p,a 7 p} = {s,w}.
Eksamen fag FY8104/FY3105 Sde 2 av 5 a) Fnn undergrupper av G. Fnn speselt Z(G), sentret tl G (som kommuterer med hele G). b) Hvlke undergrupper er normale (nvarante)? c) I en endelg gruppe er χ(g 1 ) = (χ(g)) for enhver karakter χ og ethvert gruppeelement g. Hvorfor? d) Ingen gruppe av orden 16 kan ha en rredusbel representasjon av dmensjon høyere enn to. Hvorfor? e) Fnd karaktertabellen tl gruppen G. Bruk karaktertabellen tl å kontrollere at du har funnet alle de normale undergruppene. Følgende ortogonaltetsrelasjoner gjelder for en endelg gruppe av orden N. La χ (µ) være karakterverden tl konjugasjonsklasse nr., med N elementer, den rredusble representasjonen µ. Da er N (χ (µ) ) χ (ν) = N δ µν, Andre hnt: (χ (µ) ) χ (µ) j = N δ j. N µ I en endmensjonal representasjon er det karakteren som er representasjonen. Den komplekskonjugerte av en representasjon er også en representasjon. Hvs φ og ψ er karakterer, og χ(g) = φ(g)ψ(g) for alle g G, så er χ en karakter. Dmensjonen tl en rredusbel representasjon er alltd en dvsor ordenen tl gruppen. En representasjon av en kvotentgruppe G/H, der H er en normal undergruppe, er også en representasjon av G. Oppgave 2: Den kke-relatvstske Hamlton-funksjonen H = p 2 2m e2 4πǫ 0 r beskrver et hydrogenatom, hvs v ser bort fra elektronspnnet. m er den reduserte massen, og e er elementærladnngen. For å løse den tdsuavhengge tredmensjonale Schrödnger-lgnngen Hψ = Eψ separerer v varable polarkoordnater og skrver ψ(r,θ,ϕ) = u(r) r der Y lm (θ,ϕ) er en sfærsk harmonsk funksjon. Y lm (θ,ϕ),
Eksamen fag FY8104/FY3105 Sde 3 av 5 Radalbølgefunksjonen u(r) er defnert for r 0, og oppfyller randkravene u(0) = 0, u(r) 0 når r. (1) Det tredmensjonale normalserngsntegralet d 3 r ψ( r) 2 = 1 går over tl det endmensjonale normalserngsntegralet 0 dr u(r) 2 = 1. Bølgefunksjonen u(r) oppfyller den endmensjonale Schrödnger-lgnngen der H l u = Eu, H l = ( 2 d2 2m dr 2 + l(l+1) r 2 2 ) a 0 r Her er a 0 = 4πǫ 0 2 /(me 2 ) Bohr-raden, og dreempulskvantetallet l er en parameter den endmensjonale Hamlton-funksjonen H l. Det endmensjonale problemet med Hamlton-funksjonen H l kan v løse med en metode som lgner på den algebraske metoden for å løse problemet med den endmensjonale harmonske oscllatoren. For dette formålet defnerer v operatoren A l = d dr +W l(r), med W l (r) = α l r +β l. V tar α l og β l tl å være postve konstanter, avhengge av l. a) Bruk randkravene lgn. (1) tl å vse at A l = d dr +W l(r).. b) Vs at det er mulg å velge α l og β l slk at der γ l er en konstant. Hva er γ l? Vs at med dette valget av konstanter α l,β l,γ l har v at H l = 2 ) (A 2m l A l γ l, (2) H l+1 = 2 ( ) A l A 2m l γ l. (3)
Eksamen fag FY8104/FY3105 Sde 4 av 5 c) Løs lgnngen A l u = 0 for bølgefunksjonen u = u(r). (Uttrykk løsnngen ved α l og β l, dersom du kke fant de eksplstte uttrykkene for dsse konstantene.) Dett er grunntlstanden tl Hamlton-operatoren H l. Hvordan vet v det? Hva er energen tl hydrogenatomet denne tlstanden? Løs også lgnngen A l u = 0. Hvorfor er dette kke grunntlstanden tl Hamlton-operatoren H l+1? d) De to lgnngene (2) og (3) mplserer at de to Hamlton-operatorene H l og H l+1 har alt vesentlg samme energspektrum. Vs at hvs u = u(r) er en egenfunksjon for H l med energ E, det vl s, hvs H l u = Eu, så er v = A l u en egenfunksjon for H l+1 med samme energ E. Det vl s at H l+1 v = Ev. Hva skjer dersom u er grunntlstanden tl H l? Vs på samme måte at hvs v = v(r) er en egenfunksjon for H l+1 med energ E, så er w = A l v en egenfunksjon for H l med samme energ E. e) Oppsummer det du nå har lært (eller vsste fra før) om energnvåene tl hydrogenatomet, og speselt hvordan de er degenererte. Merk at med denne operatormetoden fnner v de bundne tlstandene med bølgefunksjoner og energer. Kontnuumet av egentlstander med postv energ er en annen hstore. Oppgave 3: En bass for Le-algebraen so(3, ) tl den komplekse ortogonale gruppen SO(3, ) består av de seks antsymmetrske komplekse 3 3 matrsene 0 0 0 λ 1 = 0 0 1, 0 0 1 λ 2 = 0 0 0, 0 1 0 λ 3 = 1 0 0, 0 1 0 1 0 0 0 0 0 og κ 1 = λ 1, κ 2 = λ 2, κ 3 = λ 3. a) Fnn kommutasjonsrelasjonene. b) Beregn eksponensalfunksjonene der α og χ er reelle parametre. A = exp(αλ 1 ), B = exp(χκ 1 ), Her ser v på denne Le-algebraen som en representasjon av Le-algebraen so(1, 3, Ê) tl Lorentz-gruppen. Hva er da den fysske tolknngen av A og B?
Eksamen fag FY8104/FY3105 Sde 5 av 5 c) La x 1 y 1 x = x = x 2, y = y = y 2 x 3 y 3 være tredmensjonale reelle vektorer, og la z = x+ y. Vs at det komplekse skalarproduktet z z = z z = (z 1 ) 2 +(z 2 ) 2 +(z 3 ) 2 er nvarant under enhver Lorentz-transformasjon z Cz med C = exp(l) og L = L. d) En fyssk størrelse som transformeres under denne representasjonen av Lorentz-gruppen er G = c B + E, der E er det elektrske feltet og B er den magnetske flukstettheten. En kompleks Lorentz-nvarant nneholder to reelle Lorentz-nvaranter. Hva er de to Lorentz-nvarantene tl det elektromagnetske feltet? V har vst her at de er nvarante under kontnuerlge Lorentz-transformasjoner. Er de også partetsnvarante? Begrunn svaret. Noen nyttge konstanter: Lyshastgheten vakuum: c = 299 792 458 m/s Permeablteten vakuum: µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 Permttvteten vakuum: ǫ 0 = 1/(µ 0 c 2 ) = 8,854 10 12 F/m Den reduserte Plancks konstant: = 1,055 10 34 Js Elementærladnngen: e = 1,602 10 19 C Fnstrukturkonstanten: α = e 2 /(4πǫ 0 c) = 1/137,036 Elektronmassen: m e = 9,109 10 31 kg = 0,511MeV/c 2 Bohr-raden hydrogen: a 0 = /(αm e c) = 0,529Å
Department of physcs Examnaton paper for FY8104 / FY3105 Symmetry groups n physcs Academc contact durng examnaton: Jan Myrhem Phone: 73593653 / 90075172 Examnaton date: December 9, 2013 Examnaton tme: 9 13 Permtted support materal: Calculator, mathematcal and physcal tables Language: Englsh Number of pages: 5 Number of pages enclosed: 0
Page 1 of 5 The Norwegan Unversty of Scence and Technology Department of Physcs Contact person: Name: Jan Myrhem Telephone: 73593653 (mobl 90075172) Examnaton, course FY8104/FY3105 Symmetry n physcs Monday December 9, 2013 Tme: 09:00 13:00 Grades made publc: Thursday January 9, 2014 Allowed to use: Calculator, mathematcal tables. A table of physcal constants s gven at the end of ths problem set. All subproblems are gven the same weght n the gradng. Problem 1: A group G of order 16 has the followng multplcaton table. e a b c j k l m p q r s t u v w e e a b c j k l m p q r s t u v w a a b c j k l m e q r s t u v w p b b c j k l m e a r s t u v w p q c c j k l m e a b s t u v w p q r j j k l m e a b c t u v w p q r s k k l m e a b c j u v w p q r s t l l m e a b c j k v w p q r s t u m m e a b c j k l w p q r s t u v p p u r w t q v s e k b m j a l c q q v s p u r w t a l c e k b m j r r w t q v s p u b m j a l c e k s s p u r w t q v c e k b m j a l t t q v s p u r w j a l c e k b m u u r w t q v s p k b m j a l c e v v s p u r w t q l c e k b m j a w w t q v s p u r m j a l c e k b The elements a and p satsfy the relatons a 8 = p 2 = e, pa = a 5 p and generate the group. The conjugaton classes are: C 1 = {e}, C 2 = {a 2 } = {b}, C 3 = {a 4 } = {j}, C 4 = {a 6 } = {l}, C 5 = {a,a 5 } = {a,k}, C 6 = {a 3,a 7 } = {c,m}, C 7 = {p,a 4 p} = {p,t}, C 8 = {ap,a 5 p} = {q,u}, C 9 = {a 2 p,a 6 p} = {r,v}, C 10 = {a 3 p,a 7 p} = {s,w}.
Examnaton, course FY8104/FY3105 Page 2 of 5 a) Fnd subgroups of G. Fnd especally Z(G), the centre of G (commutng wth all of G). b) Whch subgroups are normal (nvarant)? c) In a fnte group, χ(g 1 ) = (χ(g)) for any character χ and any group element g. Why? d) No group of order 16 can have an rreducble representaton of dmenson hgher than two. Why? e) Fnd the character table of the group G. Check wth the character table that you have found all the normal subgroups. The followng orthogonalty relatons hold for a fnte group of order N. Let χ (µ) be the character value of the conjugaton class, wth N elements, n the rreducble representaton µ. Then N (χ (µ) ) χ (ν) = N δ µν, Other hnts: (χ (µ) ) χ (µ) j = N δ j. N µ In a one dmensonal representaton the character s the representaton. The complex conjugate of a representaton s also a representaton. If φ and ψ are characters, and χ(g) = φ(g)ψ(g) for all g G, then χ s a character. The dmenson of an rreducble representaton s always a dvsor of the order of the group. A representaton of a quotent group G/H, where H s a normal subgroup, s also a representaton of G. Problem 2: The non-relatvstc Hamltonan H = p 2 2m e2 4πǫ 0 r descrbes a hydrogen atom, f we dsregard the electron spn. m s the reduced mass, and e s the elementary charge. To solve the tme ndependent three dmensonal Schrödnger equaton Hψ = Eψ we separate varables n polar coordnates and wrte ψ(r,θ,ϕ) = u(r) r where Y lm (θ,ϕ) s a sphercal harmonc functon. Y lm (θ,ϕ),
Examnaton, course FY8104/FY3105 Page 3 of 5 The radal wave functon u(r) s defned for r 0, and satsfes the boundary condtons u(0) = 0, u(r) 0 as r. (1) The three dmensonal normalzaton ntegral d 3 r ψ( r) 2 = 1 turns nto the one dmensonal normalzaton ntegral 0 dr u(r) 2 = 1. The wave functon u(r) satsfes the one dmensonal Schrödnger equaton where H l u = Eu, H l = ( 2 d2 2m dr 2 + l(l+1) r 2 2 ) a 0 r Here a 0 = 4πǫ 0 2 /(me 2 ) s the Bohr radus, and the angular momentum quantum number l s a parameter of the one dmensonal Hamltonan H l. The one dmensonal problem wth the Hamltonan H l can be solved by a method whch s smlar to the algebrac method for solvng the problem of the one dmensonal harmonc oscllator. For ths purpose we ntroduce the operator A l = d dr +W l(r), wth W l (r) = α l r +β l. We take α l and β l to be postve constants, dependng on l. a) Use the boundary condtons n eq. (1) to show that A l = d dr +W l(r).. b) Show that t s possble to choose α l and β l such that where γ l s a constant. What s γ l? H l = 2 ) (A 2m l A l γ l, (2) Show that wth ths choce of constants α l,β l,γ l we have that H l+1 = 2 ( ) A l A 2m l γ l. (3)
Examnaton, course FY8104/FY3105 Page 4 of 5 c) Solve the equaton A l u = 0 for the wave functon u = u(r). (Wrte the soluton n terms of α l and β l, f you dd not fnd the explct expressons for these constants.) Ths s the ground state of the Hamltonan H l. How do we know? What s the energy of the hydrogen atom n ths state? Solve also the equaton A l u = 0. Why s ths not the ground state of the Hamltonan H l+1? d) The two equatons (2) and (3) mply that the two Hamltonans H l and H l+1 have essentally the same energy spectrum. Show that f u = u(r) s an egenfuncton of H l wth energy E, that s, f H l u = Eu, then v = A l u s an egenfuncton of H l+1 wth the same energy E. That s, H l+1 v = Ev. What happens when u s the ground state of H l? In the same way, show that f v = v(r) s an egenfuncton of H l+1 wth energy E, then w = A l v s an egenfuncton of H l wth the same energy E. e) Summarze what you have now learned (or knew already) about the energy levels of the hydrogen atom, and n partcular how they are degenerate. Note that by the present operator method we fnd the bound state wave functons and energes. The contnuum of postve energy egenstates s a dfferent story. Problem 3: A bass for the Le algebra so(3, ) of the complex orthogonal group SO(3, ) conssts of the sx antsymmetrc complex 3 3 matrces 0 0 0 λ 1 = 0 0 1, 0 0 1 λ 2 = 0 0 0, 0 1 0 λ 3 = 1 0 0, 0 1 0 1 0 0 0 0 0 and κ 1 = λ 1, κ 2 = λ 2, κ 3 = λ 3. a) Fnd the commutaton relatons. b) Compute the exponentals where α and χ are real parameters. A = exp(αλ 1 ), B = exp(χκ 1 ), We regard ths Le algebra here as a representaton of the Le algebra so(1,3,ê) of the Lorentz group. What are then the physcal nterpretatons of A and B?
Examnaton, course FY8104/FY3105 Page 5 of 5 c) Let x 1 y 1 x = x = x 2, y = y = y 2 x 3 y 3 be three dmensonal real vectors, and let z = x+ y. Show that the complex scalar product z z = z z = (z 1 ) 2 +(z 2 ) 2 +(z 3 ) 2 snvarantundereverylorentztransformatonz CzwthC = exp(l)andl = L. d) A physcal quantty transformng under ths representaton of the Lorentz group s G = c B + E, where E s the electrc feld and B s the magnetc flux densty. One complex Lorentz nvarant contans two real Lorentz nvarants. What are the two Lorentz nvarants of the electromagnetc feld? We have proved here that they are nvarant under contnuous Lorentz transformatons. Are they also party nvarant? Gve reasons for your answer. Some useful constants: The speed of lght n vacuum: c = 299792458m/s The permeablty of vacuum: µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 The permttvty of vacuum: ǫ 0 = 1/(µ 0 c 2 ) = 8.854 10 12 F/m The reduced Planck s constant: = h/(2π) = 1.055 10 34 Js The elementary charge: e = 1.602 10 19 C The fne structure constant: α = e 2 /(4πǫ 0 c) = 1/137.036 The electron mass: m e = 9.109 10 31 kg = 0,511MeV/c 2 The hydrogen Bohr radus: a 0 = /(αm e c) = 0.529Å