Høt 97 Utatt ekaen. Vi tenker o at en partikkel beveger eg lang en rett linje (lang x-aken). Partikkelen tarter i ro i origo ve tien t =. ekuner. Partikkelen hatighet v o funkjon av tien t er gitt ve: v( t) At 4 Bt hvor A. 4 B. a) Beregn partikkelen poijon etter. ekuner.. Figur neenfor vier et hjul e ek eiker. ana (felgen) har aen = 6. kg og iaeteren =. Eikene er jantykke tåltenger, hver e ae e =.8 kg. a) Vi at treghetoentet for hjulet o aken (i entru) er: I ( e ) ( ) b) Vi at treghetoentet o en ake i rana, parallell e entruaken er: I ( 4e ) ( ) Hjulet er i ro, en ette i rotajon o entruaken av et kontant kraftoent. Vinkelfarten blir ra/ etter tien 4.. c) Hvor tor er farten til et punkt på rana a (etter 4.)? ) Hvor tort er kraftoentet. e) Hvor langt ville hjulet bevege eg ero et rullet i ie 4.? f) Kraftoentet brukt i c), ) og e) fjerne. Hjulet ruller ne en bakke. Bakken anner vinkelen 6 e horiontalen. Hva er en tranlatorike farten til hjulet etter 4., når et tarter fra ro? Hvor langt har hjulet rullet neover bakken i løpet av ie 4.?
3. Figur neenfor vier neert en jevntykk og hoogen ylinerforet kive e ae M = 3. kg og raiu =. Skiven roterer frikjonfritt o in vertikale ylinerake e kontant vinkelhatighet 4. ra/. Ovenfor kiven er et tegnet en jevntykk og hoogen ring e raiu r = / o ikke roterer. a) Vi at treghetoentet til et ylinerforet legee er gitt ve uttrykket I M b) Finn kiven kinetike energi og angulære oent (pinn). ingen o har aen =. kg lippe rett ne på kiven lik at e to legeene blir konentrike. På grunn av frikjonkrefter vil ringen etter en ti få ae vinkelhatighet o kiven. c) Hva blir vinkelhatigheten til fellelegeet? Vi antar nå at e to legeene er fetet til hveranre. Fellelegeet plaere på et horiontalt unerlag o vit på figur 3 neenfor. En nor o vi regner o aelø, vikle o ringen. Vi rar i nora e en kraft K. En annen kraft F angriper i entru. Begge kreftene virker horiontalt. De to kreftene avpae lik at ylineren roterer e kontant vinkelhatighet. Legeet ae-enter blir liggene i ro. Frikjonfaktoren ot unerlaget er u =.. ) Finn frikjonkraften og angi en retning. e) Finn kreftene K og F. 4. Hvilket trekk å vi ha i en treng e lenge. og ae.6 kg for at tranverelle bølger e frekven 3. Hz kal ha bølgelenge.6 på trengen?
Løning:. v( t) At 3 Bt hvor A.4 4 B. v t vt ( t) t tt vt (.).4 (.) t 4 ( At Bt) t At Bt. (.).6. a) Hjulet betår av rana at 6 eiker. Treghetoent til en ring (her rana) er lik aen av ringen ultipliert e kvaratet av ringen raiu (ae uttrykk o for en punktpartikkel ien all ae befinner eg i ae avtan fra aken. I e( ) ( ) 6 ( e)( ) 346. kg 3 b) Benytter parallellaketeoreet hvor total-aen er lik aen til rana plu aen til 6 eiker og hvor akeforflytningen er lik hjulet raiu /. I I ( 6 e)( ) ( 4 e)( ) 9. 4kg c) Hatigheten til et punkt på rana er lik raiu ultipliert e vinkelhatigheten. vr r c) Benytter kraftoentloven o aeenteret. Vinkelakelerajonen betee fra rotajonligningen hvor vinkelhatigheten er lik vinkelakerajonen ultipliert e tien (vinkelakelerajonen er kontant og tartvinkelhatigheten er lik null). I I ( e )( ). 6N t t ) Vi beteer ført rotajonvinkelen i løpet av tien t når hjulet roterer o itt aeenter. Tilbakelagt buelenge for et punkt på rana er lik trekningen o hjulet ruller når hjulet ruller uten å gli. t t t t ra r 3 3
e) Dekoponerer tyngen i en koponent lang kråplanet og en koponent noralt på kråplanet. Velger oentake i hjulet kontaktpunkt e kråplanet. Kun tyngen parallellkoponent gir kraftoent o ette punktet ien e anre kreftene (tyngen noralkoponent og kraften fra kråplanet på hjulet får ingen ar). Beteer akeelerajonen til hjulet aeenter og benytter eretter veilovene ve kontant akelerajon. rg in 6 a v rg in 6 I 9. I r. 6 at. 6 at. 4
3. a) Benytter efinijonen av treghetoent for et legee e kontinuerlig aeforeling. Innfører en hjelpevariabel (aetetthet ro) lik aen pr voluenhet. Et infiniteialt eleent e ae velge o et ylinerkall e raiu r. Dette ylinerkallet utrullet vil være en tynn rektangulær kive e lenge *PI*r (ylinerkallet okret), høye L (ylineren høye) og tykkele r. Maen er lik aetettheten (ro) ultipliert e voluet av ette ylinerkallet. Maetettheten (ro) fjerne igjen ve til lutt å ette enne lik aen av hele ylineren elt på voluet av hele ylineren. I r I L r rlr 3 r r L 4 M L L 4 M b) For en ren rotajon o en fat ake har vi: E k I 3. J kg L I. c) Velger yte lik kive plu ring. Det virker ingen ytre kraftoenter o felle rotajonake på ette yteet. I følge pinnaten er erfor angulært oent for ette yteet bevart, v angulært oent lik før og etter at ringen er plaert på kiven. For en ren rotajon er angulært oent lik treghetoent ultipliert e vinkelhatighet I I I I ( I I ) 3.69 ) Sien yteet (kive plu ring) roterer atiig o aeenteret er i ro, å å kiven pinne (gli) ot unerlaget. Vi kan erfor benytte loven o at frikjonkraften er lik frikjonkoeffiienten ultipliert e noralkraften. Noralkraften er i tørrele like tor o tyngen (M+)g ien aeenteret er i ro og erfor ikke har noen vertikal akelerajon. F ( M ) g 88. N otajonretning e urvier F ot høyre Frikjonkraften retning kan vi betee vha kraftoentloven o aeenteret. Kraftoentet o aeenteret er lik yteet treghetoent o aeenteret ultipliert e yteet vinkelakelerajon (kraftoentloven). Sien vinkelhatigheten kal være kontant, å vinkelakelerajonen være lik null. Derfor å ogå kraftoentet være lik null. Kun kraften K og frikjonkraften lager oent o ae-enteret (F, tyngen og noralkraften går gjenno aeenteret og får erfor ingen ar). Mht aeenteret vil K bira til rotajon i retning e klokka. Frikjonkraften å erfor bira til rotajon i retning ot klokka for at et totale kraftoentet o aeenteret kal bli lik null. Frikjonkraften å erfor ha retning ot høyre.
e) Benytter Newton. lov horiontalt o aeenteret. Sien aeenteret er i ro (og erfor ingen akelerajon horiontalt), å uen av kreftene horiontalt være lik null. Viere benytte kraftoent (efinijon) og kraftoentloven o aeenteret. Sien yteet roterer e kontant vinkelhatighet (og erfor ikke har noen vinkelakelerajon), å kraftoentet o aeenteret i følge kraftoentloven være lik null. K F F ( M ) a K F F K rk F I I F K F F K F K x F K F 8.8N 7.N ( M ) F K F 7.N 8.8N.8N Newton. lov horiontalt Kraftoent o aeenteret (ef) Kraftoentlov o aeenteret 4.. F v 6. kg F v ( f ) (. 6 3. Hz). 4N L. 6