Oversigt [S] 11.7; [LA] 13 Nøgleord og begreber Lokalt maksimum og minimum Absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Hessematricen Eksistens af absolut maksimum og minimum Køreplan for maks/min-problemer August 2002, opgave 3 Calculus 2-2006 Uge 47.1-1
Lokalt maksimum/minimum 1 Definition En funktion f(x, y) har et lokalt maksimum i punktet (a, b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(x, y) f(a, b) f(a, b) er en lokal maksimumsværdi. En funktion f(x, y) har et lokalt minimum i punktet (a, b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(x, y) f(a, b) f(a, b) er en lokal minimumsværdi. Calculus 2-2006 Uge 47.1-2
Lokalt maksimum/minimum 1 Definition - figur z lokalt maksimum x lokalt minimum y Calculus 2-2006 Uge 47.1-3
Lokalt maksimum/minimum Velkendt figur z lokalt maksimum 1 y lokalt minimum Snit for x = 0 Calculus 2-2006 Uge 47.1-4
Absolut maksimum/minimum Definition En funktion f : D R har et absolut maksimum i punktet (a, b), hvis der for alle (x, y) D gælder f(x, y) f(a, b) f(a, b) er en absolut maksimumsværdi i D. En funktion f : D R har et absolut minimum i punktet (a, b), hvis der for alle (x, y) D gælder f(x, y) f(a, b) f(a, b) er en absolut minimumsværdi i D. Calculus 2-2006 Uge 47.1-5
Absolut maksimum/minimum Eksempel Funktion f : R 2 R givet ved f(x, y) = 1 x 2 + y 2 + 1 opfylder f(x, y) f(0, 0) = 1 Altså har f et absolut maksimum i punktet (0, 0) med en absolut maksimumsværdi på 1. Der er ikke noget absolut minimumspunkt. Calculus 2-2006 Uge 47.1-6
Lokalt maksimum/minimum Niveaukurver y 4 3 2 1 1 1 Aflæs: lokalt maksimumspunkt i (3, 3) med maksimumsværdi 4. x Calculus 2-2006 Uge 47.1-7
Absolut maksimum/minimum Sprogbrug For lokalt/absolut maksimum eller minimum bruges betegnelser lokalt ekstremum lokal ekstremumsværdi absolut ekstremum absolut ekstremumsværdi Calculus 2-2006 Uge 47.1-8
Lokalt maksimum/minimum En variabel - figur lokalt maksimum y f (x 1 ) = 0 x 1 x 2 x f (x 2 ) = 0 lokalt minimum Calculus 2-2006 Uge 47.1-9
1. ordens kriterium 2 Sætning Hvis f(x, y) har lokalt maksimum/minimum, lokalt ekstremum, i punktet (a, b) og de partielle afledede eksisterer i (a, b) så er Skrives også med gradienten f x (a, b) = 0 = f y (a, b) (a, b) lokalt maks/min f(a, b) = 0 Calculus 2-2006 Uge 47.1-10
Kritisk punkt Definition En funktion f(x, y) har et kritisk punkt, stationært punkt i punktet (a, b), hvis f(a, b) = (f x (a, b), f y (a, b)) = 0 Når de partielle afledede findes, er et lokalt maksimum/minimum et kritisk punkt. Når funktionen er differentiabel i et kritisk punkt (a, b), er den retningsafledede D u f(a, b) = 0 i enhver retning u. Et kritisk punkt, som hverken er lokalt maksimum eller minimum, kaldes et saddelpunkt. Calculus 2-2006 Uge 47.1-11
Kritisk punkt Kritisk punkt z z x y x y lokalt maksimum Saddelpunkt Calculus 2-2006 Uge 47.1-12
Find ekstremumspunkter Eksempel 1 f(x, y) = x 2 + y 2 2x 6y + 14 har kritisk punkt f(x, y) = (2x 2, 2y 6) = 0 (x, y) = (1, 3) Omskrivningen f(x, y) = (x 1) 2 + (y 3) 2 + 4 viser, at (1, 3) er et absolut minimum på D = R 2. Calculus 2-2006 Uge 47.1-13
Absolut minimum Eksempel 1 - figur z x Absolut minimum i (1, 3) y Calculus 2-2006 Uge 47.1-14
Find ekstremumspunkter Eksempel 2 har kritisk punkt f(x, y) = y 2 x 2 f(x, y) = ( 2x, 2y) = 0 (x, y) = (0, 0) f(x, 0) < 0, f(0, y) > 0, (x, y) 0 viser, at (0, 0) ikke er et lokalt ekstremum, altså er (0, 0) et saddelpunkt. Calculus 2-2006 Uge 47.1-15
Ekstremumspunkt Eksempel 2 - figur z x y Saddelpunkt i (0, 0) Calculus 2-2006 Uge 47.1-16
2. ordens kriterium Sætning - (en variabel) Antag den afledede Så gælder f (a) = 0 (a) f (a) > 0 a lokalt minimum (b) f (a) < 0 a lokalt maksimum Calculus 2-2006 Uge 47.1-17
2. ordens kriterium, lokalt maksimum En variabel - figur y lokalt maksimum f (0)=0 f (x 1 )>0 f (x 2 )<0 x 1 x 2 x f (x) er aftagende omkring x = 0 : f (0) < 0 Calculus 2-2006 Uge 47.1-18
2. ordens kriterium 3 Sætning (Andenordenstest) Antag f(x, y) har kritisk punkt (a, b) og lad f x (a, b) = 0 = f y (a, b) D = f xx (a, b)f yy (a, b) f xy (a, b) 2 (a) D > 0, f xx (a, b) > 0 (a, b) lokalt minimum (b) D > 0, f xx (a, b) < 0 (a, b) lokalt maksimum (c) D < 0 (a, b) saddelpunkt Calculus 2-2006 Uge 47.1-19
2. ordens kriterium og Hessematrix [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Eksempel 14.15 Antag f(x, y) har kritisk punkt (a, b), f(a, b) = 0. Hessematricen ( ) f xx (a, b) f xy (a, b) f yx (a, b) f yy (a, b) har determinant D = f xx (a, b)f yy (a, b) f xy (a, b) 2, som er test størrelsen for arten af kritiske punkter. Egenværdier: (a) to positive, (b) to negative, (c) en positiv og en negativ. (a) D > 0, f xx (a, b) > 0 (a, b) lokalt minimum (b) D > 0, f xx (a, b) < 0 (a, b) lokalt maksimum (c) D < 0 (a, b) saddelpunkt Calculus 2-2006 Uge 47.1-20
Hessematrix [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Definition 14.16 Givet en to gange differentiabel funktion f(x 1,..., x n ). Så er Hessematricen 2 f den symmetriske n n-matrix, hvis ij te x 2 indgang er Denne skrives også 2 f x i x j (x) f (x) = 2 f x 2 (x) Fra spektralsætningen følger, at denne kan diagonaliseres. Calculus 2-2006 Uge 47.1-21
2. ordens kriterium og Hessematrix [LA] 14 Jacobimatrix og Hessematrix Definition 14.18 Givet f(x 1,..., x n ). En nødvendig betingelse for et lokalt ekstremum i et indre punkt u er f (u) = ( f x 1 (u),..., f x n (u)) = 0 I det kritiske punkt u betragtes Hessematricen 2 f x 2 (u) (a) Hvis alle egenværdier er positive, så er u et lokalt minimum. (b) Hvis alle egenværdier er negative, så er u et lokalt maksimum. (c) Hvis der forekommer både positive og negative egenværdier, så er u et saddelpunkt. Calculus 2-2006 Uge 47.1-22
2. ordens kriterium [LA] 13.2 2.ordens partielle afledede,... Andenordenstest - Eksempel Funktionen f(x, y, z) = 2x 2 + 3y 2 z 2 har gradient (f) = (4x, 6y, 2z) og kritisk punkt P = (0, 0, 0). Hesse matricen 4 0 0 f = 0 6 0 0 0 2 har egenværdier 4, 6 > 0 of 2 < 0. Andenordenstesten giver: P er et saddelpunkt. Calculus 2-2006 Uge 47.1-23
Lokalt maksimum/minimum To variabele - figur z x y har et saddelpunkt i (0, 0). z = 1 x 2 + y 2 Calculus 2-2006 Uge 47.1-24
Ekstremumspunkters type Eksempel 3 f(x, y) = x 4 + y 4 4xy + 1 har kritiske punkter, hvor f(x, y) = (4x 3 4y, 4y 3 4x) = (0, 0) De kritiske punkter bestemmes x 3 y = 0, y 3 x = 0 x 3 y = 0, (x 3 ) 3 x = 0 (x, y) = (0, 0), (1, 1), ( 1, 1) Calculus 2-2006 Uge 47.1-25
Lokalt maksimum/minimum Eksempel 3 - figur z x z = x 4 + y 4 4xy + 1 y Calculus 2-2006 Uge 47.1-26
Ekstremumspunkters type Eksempel 3 - fortsat f x = 4x 3 4y, f y = 4y 3 4x f xx = 12x 2, f xy = 4, f yy = 12y 2 giver D = f xx f yy f 2 xy = 144x 2 y 2 16 1. D(0, 0) = 16 < 0 (0, 0) saddelpunkt 2. D(1, 1) = 128 > 0, f xx (1, 1) = 12 > 0 (1, 1) lokalt minimum 3. D( 1, 1) = 128 > 0, f xx ( 1, 1) = 12 > 0 ( 1, 1) lokalt minimum Calculus 2-2006 Uge 47.1-27
Populært skema Eksempel 3 - fortsat Konklusions skema (a, b) f(a, b) f xx (a, b) D(a, b) Type (0, 0) 1 0 16 saddel (1, 1) 1 12 128 minimum ( 1, 1) 1 12 128 minimum Calculus 2-2006 Uge 47.1-28
Ekstremumspunkters type Eksempel 4 f(x, y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4 har kritiske punkter, hvor 20xy 10x 4x 3 = 0, 10x 2 8y 8y 3 = 0 Foruden (x, y) = (0, 0) fås, x 0 10y 5 2x 2 = 0, 5x 2 4y 4y 3 = 0 10y 5 2x 2 = 0, 8y 3 42y + 25 = 0 (x, y) (0, 0), (±2.64, 1.90), (±0.86, 0.65)... Calculus 2-2006 Uge 47.1-29
Konklusion Eksempel 4 - fortsat f x = 20xy 10x 4x 3, f y = 10x 2 8y 8y 3 f xx = 20y 10 12x 2, f xy = 20x, f yy = 8 24y 2 (a, b) f(a, b) f xx (a, b) D(a, b) Type (0, 0) 0.00 10.00 80.00 maksimum ( 2.64, 1.90) 8.5 55.93 2488.71 maksimum (2.64, 1.90) 8.5 55.93 2488.71 maksimum ( 0.86, 0.65) 1.48 5.87 187.64 saddel (0.86, 0.65) 1.48 5.87 187.64 saddel Calculus 2-2006 Uge 47.1-30
Kassefabrikant Eksempel 6 En kasse uden låg laves af 12m 2 krydsfiner. Bestem kantlængder der giver størst rumfang. giver med kritiske punkter, hvor V = xyz, 2xz + 2yz + xy = 12 V = xy 12 xy 2x + 2y V x = y2 (12 2xy x 2 ) 2(x + y) 2 = 0, V y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2 = 0 Calculus 2-2006 Uge 47.1-31
Kassefabrikant Eksempel 6 - figur z y x Calculus 2-2006 Uge 47.1-32
Kassefabrikant Eksempel 6 Relevante punkter, x, y > 0, fås for 12 2xy x 2 = 0, 12 2xy y 2 = 0 12 2xy x 2 = 0, x = y 12 3x 2 = 0, x = y (x, y) = ±(2, 2) Altså (x, y) = (2, 2) Calculus 2-2006 Uge 47.1-33
Kassefabrikant Eksempel 6 - fortsat V x = y2 (12 2xy x 2 ), V 2(x + y) 2 y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2 V xx = y2 ( 2y 2x)2(x + y) 2 y 2 (12 2xy x 2 )4(x + y) 4(x + y) 4 V yy = x2 ( 2y 2x)2(x + y) 2 x 2 (12 2xy y 2 )4(x + y) 4(x + y) 4 V xy = (24y 6xy2 2x 2 y)2(x + y) 2 y 2 (12 2xy x 2 )4(x + y) 4(x + y) 4 Calculus 2-2006 Uge 47.1-34
Kassefabrikant Eksempel 6 - fortsat V x (2, 2) = 0, V y (2, 2) = 0 V xx (2, 2) = 1, V xy (2, 2) = 1/2, V yy (2, 2) = 1 (a, b) V (a, b) V xx (a, b) D(a, b) Type (2, 2) 4 1 3/4 maksimum Kantlængder for størst rumfang er (x, y, z) = (2, 2, 1) Calculus 2-2006 Uge 47.1-35
Lukket mængde Definition Givet en delmængde D R 2. Et punkt (a, b) er et randpunkt til D, hvis enhver cirkelskive med centrum i (a, b) og positiv radius indeholder punkter fra D samt punkter, der ikke ligger i D. Delmængden D er lukket, hvis ethvert randpunkt er med. Eksempel D = {(x, y) x 2 + y 2 1} har randpunkter og er lukket. {(x, y) x 2 + y 2 = 1} Calculus 2-2006 Uge 47.1-36
Randpunkt Definition - figur y randpunkt D x Calculus 2-2006 Uge 47.1-37
Absolut ekstremum 8 Sætning (Ekstrem værdi) Hvis f : D R er kontinuert på en lukket og begrænset delmængde D R 2, så antager f både en absolut maksimumsværdi og en absolut minimumsværdi i punkter, der ligger i mængden D. D absolut maksimum absolut minimum Calculus 2-2006 Uge 47.1-38
Køreplan 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D: 1. Find værdier af f i kritiske punkter i D 2. Find ekstremværdier af f på randen af D 3. Vælg maksimum/minimum fra 1. og 2. Calculus 2-2006 Uge 47.1-39
Find ekstremumspunkter Eksempel 7 Bestem ekstremumsværdier af på rektanglet f har kritisk punkt f(x, y) = x 2 2xy + 2y D = {(x, y) 0 x 3, 0 y 2} f(x, y) = (2x 2y, 2x + 2) = 0 (x, y) = (1, 1) Calculus 2-2006 Uge 47.1-40
Ekstremumspunkter Eksempel 7 - figur z x 3 2 (3,2) y Calculus 2-2006 Uge 47.1-41
Find ekstremumspunkter Eksempel 7 - fortsat f(x, y) = x 2 2xy + 2y Randen opdeles i 4 tilfælde: 1. f(x, 0) = x 2, 0 x 3 2. f(3, y) = 9 4y, 0 y 2 3. f(x, 2) = x 2 4x + 4, 0 x 3 4. f(0, y) = 2y, 0 y 2 Calculus 2-2006 Uge 47.1-42
Ekstremumspunkter Eksempel 7 - fortsat f(x, y) = x 2 2xy + 2y I alt er der 6 punkter at tabellægge (a, b) (1, 1) (0, 0) (3, 0) (3, 2) (0, 2) (2, 2) f(a, b) 1 0 9 1 4 0 Absolut maksimumspunkt og -værdi: f(3, 0) = 9 Absolut minimumspunkt og -værdi: f(0, 0) = f(2, 2) = 0 Calculus 2-2006 Uge 47.1-43
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 Betragt funktionen f(x, y) givet ved f(x, y) = x + y + 1 xy for x > 0, y > 0. Det oplyses, at funktionen har netop ét kritisk punkt i sit definitionsområde. 1. Angiv dette kritiske punkt. 2. Undersøg om det er et lokalt minimum, maksimum, eller saddelpunkt. Calculus 2-2006 Uge 47.1-44
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - løsning har kritisk punkt f(x, y) = x + y + 1 xy f = (1 1 x 2 y, 1 1 ) = (0, 0) xy2 x 2 y = 1, xy 2 = 1 (x, y) = (1, 1) Calculus 2-2006 Uge 47.1-45
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede f xx = 2 x 3 y, f xy = 1 x 2 y, f 2 yy = 2 xy 3 f xx (1, 1) = 2, f xy (1, 1) = 1, f yy (1, 1) = 2 Andenordenstesten giver (a, b) f(a, b) f xx (a, b) D(a, b) Type (1, 1) 3 2 3 minimum Altså er punktet (1, 1) lokalt minimum for f på mængden x > 0, y > 0. Calculus 2-2006 Uge 47.1-46
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - Figur z x (1,1) y Calculus 2-2006 Uge 47.1-47