Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel 6.4 - Integrerende faktor Teori: Differensialligninger på formen y fx y gx (lineære i y av første orden) er ikke separable hvis ikke fx og gx er tallkonstanter. Vi trenger derfor en ny løsningsmetode, som også bygger på multiplikasjonsregelen for derivasjon: y e Fx y e Fx ye Fx fx, der F x fx Vi innfører en integrende faktor IF e fxdx e Fx og multipliserer differensialligningen med denne: y fxy gx blir da: y e Fx ye Fx fx gxe Fx Med multiplikasjonsregelen kan vi da gjøre om venstre side av differensialligningen slik at vi får: ye Fx gxe Fx Som vi løser ved integrasjon: Løsningen blir da: ye Fx gxe Fx dx y e Fx gxe Fx dx Se også oppgave 6.31 under løsningsskisssene til kapittel 6.1, 6. og 6.3. Når vi regner ut IF e fxdx dropper vi integrasjonskonstanter, vi bruker den enkleste vi kan, uten integrasjonskonstanter! OBS: Svært ofte kan vi ved å tenke på multiplikasjonsregelen se hva den integrerende faktoren blir direkte, uten å regne ut e fxdx! Oppgaver: 63 e x y e x y e x y Altså har vi: e x y e x y 6x e x y 6x e x y 6xdx 3x C y 3x e x Ce x Ulven 6.3.09 1 av 5 6_4.tex
633 x 3 y 5y 3x y cosx x 3 5y 3x y cosx Her er det mulig å se at vi kan bruke multiplikasjonsregelen direkte: yx 3 5 cosx yx 3 5 cosxdx sinx C y sinx x 3 5 C x 3 5 Hvis man ikke ser slikt blir det litt mer arbeid: Vi skriver om til: y 3x cos x y x 3 5 x 3 5 IF e 3x x 3 5 dx e lnx3 5 x 3 5 (Med variabelskifte u x 3 5.) Den integrerende faktoren var altså der hele tiden! 635 d 636 y sinx y 0 Et poeng, hvis ligningen er separabel, så er den separable metoden enklere enn integrerende faktor: 1 y dy sinxdx lny cosx D y e cos xd e cos x e D Ce cos x ( Integrerende faktor blir mer omstendelig: IF e sinxdx e cos x som gir: y e cos x ye cos x sinx 0 ye cos x 0 ye cos x C y Ce cos x ) a) y 4y 9 1 Også separabel: dy dx 1 ln94y x D 94y 4 ln94y 4x E 94y e 4xE 4y Fe 4x 9 y Ce 4x 9 4 Med integrerende faktor: IF e 4dx e 4x ye 4x 9e 4x ye 4x 9 1 4 e4x C y Ce 4x 9 4 y0 gir: Ce 0 9 4 C 17 4 og y 1 4 17e4x 9 c) y 1 x y 7x, y1 4 3 Ulven 6.3.09 av 5 6_4.tex
Multipliserer vi opp x får vi: xy y 7x Multiplikasjonsregel gir direkte: yx 7x yx 7 3 x3 C Og generell løsning: y 7 3 x C x 4 Initialbetingelse: 7 1 C C 1 3 3 1 Og spesiell løsning: y 7 3 x 1 x Med integrerende faktor: IF e 1 x dx e lnx x Da vår vi ligningen: xy y 7x Som vi hadde fra starten av med riktig integrerende faktor! 637 c y 1 y 4x x IF e 1 x dx e 1 lnx e ln x x y x 4x x y x 4x x dx 4x 3 dx 4 x 3 1 3 1 C 4 x 5 5 C 8 5 x5 C y 8 5 x4 C x 8 5 x C x 638 c) xy y x sinx Igjen, direkte: yx x sinx yx x sinxdx og to runder med delvis integrasjon: I x sinxdx cosx x cosxxdx x cosx x cosxdx I x cosxdx x sinx sinxdx x sinx cosx D I x cosx x sinx cosx C x cosx x sinx C yx x cosx x sinx C y sinx x x cosx C x Med integrerende faktor blir det litt "frem og tilbake er like langt": Først riktig lineær form: y 1 x y x sinx IF e 1 x dx e lnx x Og tilbake der vi var: xy y x sinx... 639 (Se også oppgave 6.31!) Ulven 6.3.09 3 av 5 6_4.tex
a) Homogen ligning (Høyre side lik null): y fxy 0 Separabel: 1 y dy fxdx lny Fx C y H Ce Fx QED b) y y S y H gir innsatt: VS y S y H fxy S y H y S fxy S y H fxy H Da y H er løsning av homogen må y H fxy H 0, og da y S er løsning av y fxy gx må y S fxy S gx så vi får: VS gx HS gx, så y y S y H er altså løsning. (Poenget er at y S bidrar med høyreside gx, mens y H bidrar med 0, så tilsammen gir de gx.) Metoden som brukes i denne oppgaven kan da beskrives slik: Finn y H som er løsning av homogen ligning. Separabel: y H Ce Fx, der F x fx Finn y S ved å prøve med noe som kan gi høyre side, eksempelvis: HS: y S : Polynom e kx sinkx eller coskx A Bx Cx opp til tilsvarende grad Ae kx A sinkx B coskx Konstantene A,B,... finner vi ved å sammenligne med høyre siden av ligningen. c) y y x 5 Homogen, separabel: y H Ce dx Ce x Spesiell: y A Bx gir innsatt: B A Bx x 5 A B Bx x 5 Altså er: B B 1 A B 5 A 5B y S x y y H y S Ce x x (Akkurat i dette tilfellet sparer denne metoden oss for delvis integrasjon av: x 5e x dx ) d) 1) y y e 5x Homogen, separabel: y H Ce dx Ce x Ce x Spesiell: y S Ae 5x gir innsatt: 5Ae 5x Ae 5x e 5x 5A A 1 A 1 3 Ulven 6.3.09 4 av 5 6_4.tex
y S 1 3 e5x y y H y S Ce x 1 3 e5x Med vanlig metode: IF e dx e x ye x e 5x e x ye x e 3x ye x 1 3 e3x C y 1 3 e5x Ce x d) ) y 1 x y 3x Homogen: y H Ce 1 x dx Ce lnx Cx 1 C x Spesiell: y S A Bx Cx (Opp til x da xy y 3x.) Innsatt: B Cx ABxCx x 3x B Cx A x B Cx 3x Samler ledd: B CCx A x 3x Hvis dette skal stemme må: A 0, B 0 og C 1 Altså y S x og generell løsning: y y H y S C x x Med vanlig metode: xy y 3x yx 3x yx 3x dx x 3 C y x C x Oppgavesamlingen er altså ikke så flink til å gi gode eksempler på når vi trenger mer avanserte metoder, mange lar seg løse som separable eller med multiplikasjonsregelen og blir faktisk mer tungvindte med integrerende faktor eller metoden i 639. Bruk derfor ikke integrerende faktor hvis du kan separere ligningen eller bruke multiplikasjonsregelen direkte. Enkle metoder og enkel regning gir færre feil enn mer kompliserte metoder og mer komplisert regning... Ulven 6.3.09 5 av 5 6_4.tex