UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MA2710 Spillteori Eksamensdag: 25. mai 2007. Tid for eksamen: 14.30 17.30. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler: Ingen. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgave 1. To spillere, A og B, spiller en enkel form for poker. De legger 2 kroner i potten, deretter får hver av dem et kort med enten tallet 1 eller tallet 2 på. Sjansen for å få hvert av tallene er lik 1/2. Spillerne kan bare se sitt eget kort. A starter med å enten gi seg eller å vedde og legge 1 krone til i potten. Hvis A gir seg, får B potten, hvis A vedder så kan B velge mellom å gi seg eller å vedde og legge 1 krone til i potten. Hvis B gir seg får A potten, og hvis B vedder så går potten til den med høyest kort. Hvis kortene er like, deler de potten. a. Tegn et spilltre for dette spillet, indikér informasjonsmengder og skriv ned utbetalinger. Du trenger bare å ta med utbetalingene til A siden dette er et nullsumspill. Løsningsforlag: Her er et forslag (Fortsettes side 2.)
Eksamen i MA2710, 25. mai 2007. Side 2 Dårlig skrevet oppgave, jeg mente 2 kr. hver, hvis man tolker det som 1 kr. hver blir utbetalingene ±2 istedenfor ±3 og ±1 istedenfor ±2. b. Hvilke strategier har A og B? Løsningsforlag: Siden informasjonsmengdene er som de er (se over), så ser A og B to noder hver, på hver av nodene kan begge gi seg (g) eller vedde (v). Derfor har begge strategiene gg, gv, vg og vv. Her sier den første bokstaven hva de gjør hvis de får 1 og den andre hva de gjør hvis de får 2. c. Sett opp dette spillet på normalform. Løsningsforlag: På normalform blir spillet (tolket som 2 kr. hver i starten) gg gv vg vv gg 2 2 2 2 gv 0 1/2 1/4 1/4 vg 0 5/4 1 7/4 vv 2 1/4 7/4 0 og hvis her legger 1 kr. i starten gg gv vg vv gg 1 1 1 1 gv 0 1/4 1/4 0. vg 0 3/4 1/4 1 vv 1 0 1 0 d. Finn løsningen på spillet. Hva er verdien av spillet? Løsningsforlag: Hvis begge spillere legger to kroner i potten, så får vi: Matrisen har et sadelpunkt i nederste høyre hjørne, derfor blir verdien 0 og (Nash) løsningen er (vv, vv). Hvis begge spillerne hver legger 1 krone i potten først så får vi: så har metrisen et sadelpunkt i (vv, gv) samt i (vv, vv). Verdien blir null. (Fortsettes side 3.)
Eksamen i MA2710, 25. mai 2007. Side 3 Oppgave 2. To personer møtes for å investere i et prosjekt. De kan velge å være ærlige, eller å prøve å svindle den andre. De investerer begge 1 enhet i prosjektet, og hvis begge er ærlige, vil hver av dem kort tid etter få utbetalt a > 1 enheter. Hvis en ærlig person møter en svindler, vil svindleren stjele pengene til den ærlige, og derfor tjene 1 enhet. Hvis begge prøver å svindle hverandre får ingen noe. På normalform ser spillet slik ut Æ S Æ (a, a) ( 1, 1) S (1, 1) (0, 0) a. Finn alle Nash likevektene til dette spillet. Løsningsforlag: Vi kaller radspilleren A og kolonnespilleren B. Vi regner ut og får at dersom A spiller (x, 1 x) og B spiller (y, 1 y) T, så blir π A (x, y) = x(ay 1) + y, π B (x, y) = y(ax 1) + x. Nå får vi at 1 y > 1/a, argmax x π A (x, y) = [0, 1] y = 1/a, 0 y < 1/a, 1 x > 1/a, argmax y π B (x, y) = [0, 1] x = 1/a, 0 x < 1/a. Nash likevektene er argmax x π A (x, y) argmax y π B (x, y) = {(0, 0), (1/a, 1/a), (1, 1)}. b. Anta nå at en stor gruppe personer møtes parvis for å spille dette spillet. La p(t) være andelen av ærlige personer i befolkningen. Vis at replikatordynamikken for spillet blir p (t) = p(t)(1 p(t))(1 ap(t)). Hva blir de evolusjonært stabile strategiene til dette spillet? Løsningsforlag: Vi får at utbetalingen til de ærlige π p er gitt ved π p = ap (1 p), videre blir gjennomsnittlig utbetaling π = (p, 1 p) ( a 1 1 0 ) ( p 1 p ) = p(ap (1 p)) + (1 p)p. Derfor blir π p π = (1 p)(ap 1), (Fortsettes side 4.)
Eksamen i MA2710, 25. mai 2007. Side 4 og dermed replikatordynamikken p = p(π p π) = p(1 p)(1 ap). ESS er asymptotisk stabile likevekter for replikatordynamikken, ved å tegne opp høyresiden så ser vi at det blir p = 0 og p = 1. (Altså er Nash likevekten p = 1/a ikke ESS!). Oppgave 3. Vi har to maskineiere (P 1 og P 2 ) og to arbeidere (P 3, P 4 ). Hver maskineier har en maskin. En maskin og en arbeider kan produsere 2 enheter, en maskin og to arbeidere kan produsere 3 enheter. Hvis maskin nr. 1 produserer n 1 enheter og maskin nr. 2 produserer n 2 enheter vil prisen pr. enhet være 1 n1 + n 2. Maskiner uten arbeidere eller arbeidere uten maskiner kan ikke produsere noe. a. Finn den karakteristiske formen på dette spillet. Løsningsforlag: Vi får at ν(bare eiere) = 0 ν(bare arbeidere) = 0 ν(1 eier, 1 arbeider) = 1 ν(1 eier, 2 arbeidere) = 3 ν(2 eiere, 1 arbeider) = 2 ν(2 eiere, 2 arbeidere) = 2. b. Finn Shapleyvektoren, formelen for denne er ϕ i = 1 (4 S )! ( S 1)! δ(p i, S). 4! S P i Løsningsforlag: Pga. symmetri har vi at ϕ 1 = ϕ 2 og ϕ 3 = ϕ 4. Vi regner ut ϕ 1 = 1 4![ 2!(δ(P1, P 1 P 3 ) + δ(p 1, P 1 P 4 )) + 2!(δ(P 1, P 1 P 2 P 3 ) + δ(p 1, P 1 P 2 P 4 ) + δ(p 1, P 1 P 3 P 4 )) + 3!(δ(P 1, P 1 P 2 P 3 P 4 ) ] = 1 [ 4 + 4( 2 1) + 2 3 + 6(2 ] 3) 4! = 1 ( 3 + 2 ) 3 6 0.447. (Fortsettes side 5.)
Eksamen i MA2710, 25. mai 2007. Side 5 Nå kan vi få ϕ 3 ved å regne ut ϕ 3 = 2 2ϕ 1 2 = 1 6 ( 3 + 3 ) 2 0.553. For de som ikke har med kalkulator, 2 1.4142, 3 1.7321. SLUTT