NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 7 59 8 67, eller 97 0 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 7 59 6 6, eller 45 45 55 EKSAMEN I FY006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY45 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Mandag 6. august 0 kl. 9.00 -.00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator; Rottmann: Matematisk formelsamling; Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter; Aylward & Findlay: SI Chemical Data. Et ark med uttrykk og formler er heftet ved. Sensuren faller i uke 5. Oppgave (Teller.5 %) Denne oppgaven dreier seg om energiegenfunksjoner for et elektron (med masse m e ) i et endimensjonalt brønnpotensial med dybde h /(m e a 0) = Rydberg, avgrenset av en hard vegg ved x = 0: V (x) = for x < 0, 0 for 0 < x < b, h /(m e a 0) for x > b. Her er brønnvidden b en parameter som vi tenker oss kan varieres. a. For en viss brønnvidde, b = b, har dette systemet en energiegenfunksjon ψ som har ett nullpunkt i intervallet 0 < x < b, og som har formen ψ = C (en konstant 0) for x > b :
Side av 5 Bruk denne opplysningen og den tidsuavhengige Schrödingerligningen til å vise at energien til denne tilstanden er E = h /(m e a 0). Vis videre at ψ er sinusformet i intervallet 0 < x < b, og bestem bølgetallet k. Finn forholdet b /a 0 ved hjelp av kontinuitetsbetingelsen(e) i x = b. b. Funksjonen ψ i pkt. a er i realiteten. eksiterte tilstand for dette systemet (for b = b ). Finn ut hvilken form grunntilstanden ψ må ha i og utenfor brønnen, og prøv å lage en noenlunde realistisk skisse av ψ. c. Finn ut fra skissen av ψ en nedre og en øvre skranke for fasebeløpet k b (der k er bølgetallet i brønnområdet). Finn deretter en ligning som bestemmer k b (og dermed grunntilstandsenergien), og forklar hvordan denne kan løses (uten å gjennomføre beregningen). Hvor mange bundne tilstander har dette systemet for b = b? Når brønnvidden velges tilstrekkelig liten, vil dette systemet ikke ha noen bunden tilstand i det hele tatt. Forklar hvilken betingelse brønnvidden b må oppfylle for at systemet skal ha minst én bunden tilstand. Oppgave (Teller 0 %) En partikkel med masse m befinner seg i en uendelig dyp endimensjonal potensialbrønn (boks) med vidde L: { 0 for 0 < x < L, V (x) = ellers. Ved t = 0 prepareres dette systemet i en tilstand beskrevet ved bølgefunksjonen Ψ(x, 0) = 6 ( sin πx ) 5 ( ) = [0 ψ (x) 5 ψ (x) + ψ 5 (x)]. 6L L 6 Her er ψ osv energiegenfunksjoner for dette systemet. (Se formelarket.) Overgangen merket med ( ) følger fra identiteten 6 sin 5 y = 0 sin y 5 sin y + sin 5y. Figuren viser LΨ(x, 0) og L Ψ(x, 0) som funksjoner av x/l.
Side av 5 a. Forklar hva vi mener med å si at energiegenfunksjonene ψ osv er ortonormerte. Bruk dette til å vise at begynnelsestilstanden Ψ(x, 0) er normert. [Hint: Normeringsintegralet kan skrives på formen (c ψ + ) (c ψ + )dx.] Finn (ut fra diagrammet, og uten regning) forventningsverdien x 0 av posisjonen ved t = 0. Hvilken av de to kurvene i diagrammet er mest direkte relevant når du skal anslå omtrent hvor stor usikkerheten ( x) 0 i posisjonen er ved t = 0? Hva er ditt anslag? b. Angi de mulige måleresultatene ved en måling av energien til dette systemet ved t = 0 +, dvs umiddelbart etter prepareringen, og finn sannsynlighetene for disse måleresultatene. Vis at forventningsverdien E 0 av energien ved t = 0 + er 5 9 E. Etter prepareringen (dvs for t > 0) er bølgefunksjonen Ψ(x, t) = 6 [ 0 ψ (x)e ie t/ h 5 ψ (x)e ie t/ h + ψ 5 (x)e ie 5t/ h ], forutsatt at den nevnte målingen ved t = 0 + ikke utføres. Forklar hvorfor forventningsverdien av energien i denne tilstanden hele tiden er den samme som for t = 0 +. c. Etter overslaget i pkt. a av usikkerheten ( x) 0 ved t = 0 kan det være interessant å undersøke usikkerheten i impulsen. Forklar først hvorfor Ψ(x, t) er symmetrisk (med hensyn på midtpunktet i boksen) for alle t 0, og hvilken symmetriegenskap dette medfører for Ψ(x, t)/ x? Bruk dette til å vise at forventningsverdien p x t av impulsen er lik null (for alle t 0). Finn deretter p x t, f.eks ved å bruke at K t = E t, og bruk dette til å beregne usikkerheten ( p x ) t. d. Avgjør om overslaget (i pkt. a) av usikkerheten ( x) 0 ved t = 0 er i overensstemmelse med uskarphetsrelasjonen. Usikkerheten ( x) 0 oppfyller relasjonen ( x) 0 = (x x 0 ) L L = f (y 0 ) sin 0 (πy) dy. 0 Vis den siste overgangen i denne relasjonen, der tallfaktoren f skal bestemmes. Det oppgis at uttrykket på høyresiden (inklusive faktoren f) er lik 569 700 π = 0.0098598. Finn herav en nøyaktig verdi for ( x) 0 /L, og avgjør om det resulterende produktet ( x) 0 ( p x ) t stemmer med uskarphetsrelasjonen. Dersom du har tid til overs: Spekulér litt over hva som vil skje med ( x) t for t > 0.
Side 4 av 5 Oppgave (Teller.5 %) Denne oppgaven dreier seg om energiegenfunksjoner til en partikkel med masse m som befinner seg i et tredimensjonalt isotropt harmonisk oscillatorpotensial, V = mω r = mω (x + y + z ). Ett valg av egenfunksjoner for dette systemet er å bruke produkt-tilstander av typen ψ nx (x)ψ ny (y)ψ nz (z) ψ nxn yn z (n x n y n z ), der ψ nx (x) oppfyller den endimensjonale ligningen Ĥ (x) ψ nx (x) [ h ] m x + mω x ψ nx (x) = hω(n x + )ψ n x (x), og tilsvarende for de andre faktorene. (Se formel-arket.) Produkt-tilstanden ovenfor er en egentilstand til Hamilton-operatoren Ĥ = Ĥ(x) + Ĥ(y) + Ĥ(z) for den tredimensjonale oscillatoren, med egenverdien E nxn yn z = hω(n x + n y + n z + ) hω(n + ) E N. Et alternativ til egenfunksjonssettet ovenfor er de simultane egenfunksjonene ψ lnrm = R lnr (r)y lm (θ, φ) u ln r (r) Y lm (θ, φ) r til dreieimpulsoperatorene L og L z og Hamilton-operatoren Ĥ. Disse operatorene kommuterer når potensialet er kulesymmetrisk som her. Her må u(r) være lik null i origo og oppfylle radialligningen [ h d ] m dr + V (r) + h l(l + ) u mr lnr = E u lnr, der de to siste leddene i hakeparentesen fungerer som et effektivt potensial V l eff(r). Vi har valgt å karakterisere radialfunksjonene ved l og radialkvantetallet n r, som er antall nullpunkter i u lnr = rr lnr for 0 < r <. a. Vis at grunntilstanden ψ nx=0,ny=0,n z=0 (000) (også) er en tilstand av typen ψ lnrm, og bestem dreieimpulskvantetallene l og m samt radialfunksjonen R lnr og radialkvantetallet n r for denne tilstanden (ved hjelp av formlene på formel-arket). Vis at også egenfunksjonen ψ nx=0,ny=0,n z= (00) kan skrives på formen ovenfor, og bestem l, m, R lnr (r) og n r for denne tilstanden. b. Vis at tilstandene ψ nx=,n y=0,n z=0 (00) og ψ nx=0,n y=,n z=0 (00) har samme l-kvantetall som tilstanden ψ nx=0,n y=0,n z= (00), og at de er lineærkombinasjoner av to tilstander av typen ψ lnrm. Invertér disse lineærkombinasjonene. [Hint: Se på de to lineærkombinasjonene [(00) ± i(00)]/.]
Side 5 av 5 c. Finn antall tilstander av typen ψ nxnyn z (n x n y n z ) for N =, dvs degenerasjonsgraden for dette nivået. Også disse tilstandene kan lineærkombineres til tilstander av typen ψ lnrm. Én slik lineærkombinasjon er [(0) i(0)]. Finn l- og m-verdiene ved innsetting fra formel-arket, og bestem også radialkvantetallet n r, for denne tilstanden. Hvor mange slike uavhengige lineærkombinasjoner har vi for denne l-verdien? En annen lineærkombinasjon av N = -tilstander er [(00) + (00) + (00)]. Vis at denne har l = 0, og bestem n r. I realiteten kan sammenhengen mellom N, l og n r for denne oscillatoren skrives på formen N = al + bn r, der tallfaktorene a og b er konstanter. Finn a og b ved hjelp av resultatene i denne oppgaven. Oppgave 4 (Teller 5%) Forklar kort hva som ligger i Born-Oppenheimer-tilnærmelsen. (.5%) Forklar kort hva som ligger i Hartree-tilnærmelsen. (.5%) Forklar kort hva som er forskjellen mellom Hartree- og Hartree-Fock-tilnærmelsen. (.5%) Forklar kort hva som ligger i Pauliprinsippet. (.5%) Forklar kort hva som er forskjellen mellom gauss-orbitaler og slater-orbitaler. (.5%) En kjemisk likevekt beskrives av energifunksjonen E(x) = E 0 ( x 4 x ), der E 0 er en konstant (energi), mens x er en dimensjonsløs reaksjonskoordinat (som her kan være både positiv og negativ). Bestem likevektens stasjonære punkter. Avgjør hva som er energiminima og hva som er transisjonstilstander (ved å betrakte d E/dx ). Skisser E(x)/E 0 for / < x < /. (7.5%)
Vedlegg: Formler og uttrykk (Noe av dette kan du få bruk for.) Uendelig dyp potensialbrønn (boks), V (x) = 0 for 0 < x < L, uendelig ellers Normerte energiegenfunksjoner og tilhørende energier er ψ n (x) = L sin k nx, k n = πn L, E n = h kn L m ; n =,, ; ψ n (x)ψ k (x)dx = δ nk. 0 Endimensjonal harmonisk oscillator, V (x) = kx mω x ( h m ) k x + kx ψ n (x) = hω(n + )ψ n(x); ω = m ; (ψ n, ψ k ) = δ nk ; ( ) mω /4 ψ 0 (x) = C 0 e mωx / h, C 0 = ; π h mω ψ (x) = C 0 h x / h e mωx, ψ (x) = C ( ) 0 mω h x e mωx / h, ; ψ n ( x) = ( ) n ψ n (x). Laplace-operatoren og dreieimpulsoperatorer i kulekoordinater L x = h i = r + r r L h r ; ( L = h θ + cot θ θ + ) sin, L θ φ z = h i ( sin φ ) cot θ cos φ, L y = h ( cos φ θ φ i θ [ L, L z ] = 0, [ L x, L y ] = i h L z, osv. φ ; cot θ sin φ φ ) ; Hydrogenlignende system V = Ze 4πɛ 0 r = Z h m e a 0 r ; E n = mc (αz) = h n m e a 0 m m e Z (l + + n r ). [m = m m /(m + m ) er den reduserte massen; n r er antall nullpunkter i radialfunksjonen, for 0 < r <.] Tidsutvikling av forventningsverdier d dt F = ī [Ĥ, F ] + F. h t
Vinkelfunksjoner { L } { h l(l + ) Y lm = L z hm } Y lm, l = 0,,,...; π 0 dφ d(cos θ)y l m Y lm = δ l lδ m m; Y 0 = Y 00 = 4π, Y 0 = x Y px = 4π r = 5 6π ( cos θ ), 4π cos θ = 4π z r Y p z, (Y, Y ), Y py = 4π Y ± = 8π sin θ e±iφ ; y r = i (Y + Y, ); 5 Y,± = 8π sin θ cos θ e±iφ, Y,± = PY lm = ( ) l Y lm. 5 π sin θ e ±iφ. Noen konstanter Noen formler h =.054 57 68(8) 0 4 Js = 6.58 9 5(56) 0 6 evs; ev =.60 76 5(4) 0 9 J 0.0676 hartree.07 kcal/mol; a 0 = 4πɛ 0 h m e e 0.5977 0 0 m (Bohr-radien); α = e 4πɛ 0 hc 7.060 α m e c = h.6057 ev m e a 0 k B =.8 0 J/K = 8.65 0 5 ev/k u =.66 0 7 kg (finstrukturkonstanten); (Rydberg-energien); (atomær masse-enhet); atm =.0 0 5 N/m ; Å = 0 0 m. x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ; (Boltzmanns konstant); sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b; sin a = sin a cos a; cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b; cos(a) = cos a sin a = cos a = sin a. sin a = (e ia e ia )/i, cos a = (e ia + e ia )/; tan y = = tan(y + nπ), n = 0, ±, ; cot y sinh y = (ey e y ); cosh y = (ey + e y ); tanh y = coth y = sinh y cosh y ; cosh y sinh y = ; Uskarphetsrelasjonen d d sinh y = cosh y; dy x p x h. cosh y = sinh y. dy