Kap. 7 - Sannsynlighetsfordelinger

Oppgaver: Kap. 7 - Sannsynlighetsfordelinger Oppgaver fra kapitlet Lærebok: 7.0-0-0-,7.--7, 7.-, 7., 7., 7.7 Oppgavesamling: 7.00, 7.0, 7.09, 7., 7.9, 7., 7.0, 7.0, 7.0 7.0-0-0-0- Stokastisk variabel: Verdi av gevinst: X Som er i utfallsrommet 0,0,00,00,00 Sannsynlighetsmodell: 0 0 00 00 00 p() 90 0000 9 000 00 0000 0 PX 00 p00 00 0.00 00 0000 00 PX 0 PX 0 90 0000 7 000 0.07 0 0000 00 PX 0 PX 00 X 00 X 00 p00 p00 p00 7 0.07 00 00 00 000 0 0000 00 7.0 og 7.0: 9 EX p 0 0 00 00 00 99 9. 9 000 0 00 00 00 0 VarX 9.9 p som kan forenkles til: p 9.9 (Se side 78!) 0 9 000 0 0 00 00 00 00 00 00 9.9 07 Utregningene gjør vi med lommeregner: {0,0,00,00,00} STOL {9/000,/0,/00,/00} STO L og -Var Stats L,L gir: 9.9 (EX ) 7. (VarX 7. 07) 7.0: Pris pr. lodd: 0 kroner Overskudd ved kjøp av et lodd: Y X 0 a) y 0-0 0-00 00-080 00-080 00-080 p() 90 0000 9 000 00 0000 0 00 0000 00 0 0000 00 0 0000 00 EY ypy 0 9 000 0 0 80 00 80 00 80 00 0. 0 av 0 fordelinger.te

VarX 0. p som kan forenkles til: p 0. (Se side 78!) 0 9 000 0 0 80 00 80 00 80 00 0. 07 b) EY EX 0 EX 0 9.9 0 0.0 VarY VarX 0 VarX 07 7.: Z X a) Oppgaven mener vel X og ikke Y her... Kan bruke modellen over, bare bytte ut X : 0,0,00,00,00 med Z : 0,00,00,00,00 og gjøre det samme som i 7.0 og 7.0 om igjen. Men, det er for mye arbeid, når man isteden kan gjøre: b) EZ EX EX 9.9 9. 8 VarZ VarX VarX 07 08 VarX 08 c) Husk at prisen pr. lodd er 0 kroner (oppgave 7.0) Da får vi en ny stokastisk variabel: Forventet gevinst ved kjøp av ett lodd: Z 0 med forventning EZ 0 EZ 0 9.8 0 0. Dette betyr at loddkjøpere i gjennomsnitt vil tape 0 øre pr. lodd. Selger de alle loddene vil de derfor tjene: 0000 0. 000 7.--7 X: Antall AP-velgere i utvalg på n 0. Utfallsrom (definisjonsmengde): 0,,,...,0 Y: Antall SV-velgere i utvalg på n 0. Utfallsrom som X X og Y: Binomiske, da: Enkelteksperiment(delforsøk) (n ) med to utfall AP eller ikke AP Uavhengige. (Egentlig ikke, men "stor" by, så binomisk god tilnærming til hypergeometrisk fordeling.) Observerer antall suksesser. (suksessap) Fordelinger: PX b n p p n 0 PY y b y y n y p y p ny 0 y 0. 0.7 0 (binompdf(0,0.,) 0. 0.9 0y (binompdf(0,0.,y) 0 a) PX b 0. 0.7 7 098 0. 0.7 7 binompdf(0,0.,) 0.7 0 c) PY b y 0. 0.9 9 0 0. 0.9 9 binompdf(0,0.,) 0.87 Ekstra eksempel: Sannsynligheten for at vi vi får mellom og AP-velgere: PX,, PX X X PX PX PX (disjunkte!) binompdf(0,0.,)binompdf(0,0.,)binompdf(0,0.,) 0.7 0.00 0.0 0.7 av 0 fordelinger.te

Hvis det er mange ledd, kan man bruke den andre funksjonen på DISTR,A:binomcdf( (ccumulativsum) binomcdf(0,0.,) regner ut alle sannsynlighetene opp til og med (0,,,,,) og binomcdf(0,0.,) regner ut alle sannsynlighetene opp til og med (0,,), så dermed får vi differansen (,,) som: binomcdf(0,0.,)-binomcdf(0,0.,)0.99 0.7 7.: EX np (binomisk) 0 0. (Antall AP-velgere man vil få i gjennomsnitt med gjentatte utvalg) VarX np p 0 0. 0.7. VarX.. Hvis fordelingen ikke hadde vært binomisk, kunne man regnet det ut manuelt: (Gjør dette bare for å illustrere hvordan man bruker lommeregneren) 0 7 8 9 0 b() 0.08 0. 0. 0.7 0.00 0.0 0.08 0.009 0.00 0.0008 0.0000090 Denne tabellen (sannsynlighetsmodellen) kan man legge i L og L: binomdf(0,0.) STOL (binompdf med bare n 0 og p 0. genererer en liste med alle sannsynlighetene!) EX 0 0 b 0 0.08 0. 0....0 0.0000090 Lommeregner: Enten sum(l*l) eller STAT,CALC,-Var Stats L,L som gir: (gjennomsnitt/forventning)....977 (standardavvik)... 7.7 AP: X,p 0.. SV: Y,q 0. Z: X Y Obs: n 00, ikke 0 i denne oppfølgingsoppgaven. EX np 00 0. 0 VarX np p 00 0. 0.7 EY nq 00 0. 0 VarY nq q 00 0. 0.9 9 EZ EX Y EX EY 0 0 0 (Kan alltid brukes.) VarZ VarX Y VarX VarY Kan ikke brukes, da X og Y er avhengige av hverandre! av 0 fordelinger.te

Ser at Z er binomisk fordelt med p z 0. 0. 0. Altså: VarZ np z p z 00 0. 0. (VarZ VarX Y VarX VarY gir 9 0 som altså er feil fordi X og Y er avhengige av hverandre.) 7.- Antall : X 0,, binomisk med n,p altså b b0 b 8 b I tabelll: 0 b() 0.9 0.78 0.078 (binompdf(,/) gir {0.9,0.78,0.078} Sum øyne: Y,,,,,7,8,9,0,, Denne må settes sammen av et annet eksperiment, som er uniformt. (alle utfall like sannsynlige) Tenker oss at terningene er ordnet, f.eks. en rød og en blå terning. Da blir utfallsrommet U,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Her kan vi få på en måte (,), på to måter ((,) og (,)), på tre måter ((,), (,),(,)) o.s.v. Altså: y 7 8 9 0 py 7.: EX np VarX np p ( VarX 0.7) 8 8 EY ypy... 0000 7 (Ikke uventet, fordelingen er jo helt symmetrisk...) Vary y y 7 py som kan forenkles til: y y py 7 (Se side 78!)... 7. 8 Men, dette gjøres selvfølgelig enklere ved å legge modellen i L og L og bruke -Var Stats, {,,,,,7,8,9,0,,} STOL og {,,,,,,,,,,}/ STOL som gir: 7... av 0 fordelinger.te

.98 som gir VarY.. 8 7. Pengestykker: X 0,,, binomisk b Terning: Y,,,,,, uniformt uy Prisen kunden må betale: Z 000 000X 00Y EX np VarX np p EY yuy VarY y. uy Tar Y med lommeregner: {,,,,,} STO L og {,,,,,}/ STO L og -Var Stats L,L gir:..7078 som gir VarY.7078. 9 (egentlig EZ E000 000X 00Y 000 000EX 00EY 000 000 00. 0 VarZ Var000 000X 00Y 000 VarX 00 VarY 000 00 87 00 97 EZ 0 er hva kundene i gjennomsnitt må betale for en sykkel, hvis mange kunder er med på dette salget. 7. Fra 7. og har vi: EX VarX 8 EY 7 VarY Z 000 000X 00Y EZ E000 000X 00Y 000 000 900 00 7 97 Setningen VaraX by c a VarX b VarY gjelder bare hvis X og Y er uavhengige! 7.7 X binomisk med n 00 deleksperiment der P 0. (mark eller ikke). Antar at antallet vi plukker ut de 00 eplene fra er så stort at vi kan tilnærme hypergeometrisk fordeling med binomisk fordeling. b 00 0. 0. 00 binompdf(00,0.,) a) EX np 00 0. VarX np p 00 0. 0.. 7 VarX.7. 77 b) ) PX b binompdf(00,0.,)0.08 ) P X P.77 X.77 P0 X 0 binomcdf(9)-binomcdf(0)0. ) P X P.77 X.77 P X binomcdf()-binomcdf()0.9 av 0 fordelinger.te

Dette illustrerer noe som er vanlig ved symmetriske, klokkeformede fordelinger uten lange haler: Ca. / av fordelingen ligger mellom forventningenett standardavvik. Ca. 9% av fordelingen ligger mellom forventningento standardavvik. Dette gjelder for såkalte normalfordelinger. (Neste kapittel) Men det gjelder også for mange andre fordelinger som er tilnærmet lik en normalfordeling, som f.eks. binomiske fordelinger der n er rimelig stor og p ikke er altfor liten eller altfor stor. 7.00 a) Da alle p måp 0. 0. 0. 0. 0. 0 b) PX p p7 p8 0. 0. 0.0 0.7 c) Feil i oppgave. Skulle antagelig stått: "... eller flere drops i en pose...mindre enn..." (Slik det står blir sannsynligheten null! Kan ikke skje!) Anvender: PA B PAB PB PX X PX 0. 0.7 PX 0.0. 7.0 Binomiske delforsøk, enten rette eller galt, n, uavhengighet. U 0,,,...,, Kari: X, suksess-sannsynlighet p k 0., b k 0. 0. binompdf(,0.,) Jonas: Y, suksess-sannsynlighet p j 0., b j y y 0. y 0. y binompdf(,0.,) a) EX np k 0..0 VarX np k p k 0. 0.... 90 EY np y 0. 9 VarY np j p j 0. 0.. y.. 90 b) Legger i lommeregner: {0,,,,,,,7,8,9,0,,,,,} STO L binompdf(,0.) STO L binompdf(,0.) STO L STATPLOT : Type histogram,xlist:l, Ylist L og STATPLOT : Type histogram, Xlist: L, Ylist L gir da histogrammene. Har ikke histogram i denne tekstbehandleren, så jeg bruker punkter isteden: y 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0 0 0 7 8 9 0 Altså like, men forskjøvet i forhold til hverandre. av 0 fordelinger.te

7.09 Antall X fiskersomersmittetietutvalgpån 0 med suksess-sannsynlighet p 0.. Binomisk fordelt: b) PX b 0 0. 0.9 0 a) EX np 0 0. VarX np p 0 0. 0.9. 8 c) ) PX 0 b binomcdf(0,0.,) 0.87 ) PX PX 0.87 0. ) P X b binomcdf(0,0.,)-binomcdf(0,0.,) 0.97 d) binompdf(0,0.) STO L Kan da se på listen med STAT,EDIT: {0.,0.70,0.8,...,E-0} e) V er fordelt binomisk med b v n 0. 0.9 n PV PV binomcdf(n,0.,) Prøver binomcdf(n,0.,) med forskjellige n til vi finner en passende verdi: n 0 : 0. (allerede regnet ut) n 0 : 0.70 n 0 : 0. n : 0. n : 0.9 n : 0. 7. Skål: N 00, A 0, N A 0 Utvalg: n 0, X antall nøtter av type A a) Hypergeometrisk fordeling: h A N n NA n 0 0 0 00 0 Kan tilnærme (se siste halvdel av oppgaven) med binomisk fordeling da n 0 er relativt liten i forhold til N 00. Da har vi b 0 0. 0. 0 0 0. 0 binompdf(0,0.,) b) og e) Hypergeometrisk er dessverre ikke med i fordelingene på lommeregneren på DISTR. (geometpdf er noe annet!) Så, det greieste er å legge inn som funksjon: Y(0 ncr X)*(0 ncr (0-X))/(00 ncr 0) Da kan vi regne ut sannsynligheter med Y(0), Y() o.s.v. og generere hele tabellen med: seq(y,x,0,0) STO L og {0,,,,,,,7,8,9,0} STO L Binomisk: binompdf(0,0.) STO L Vi får da tabellene i fasiten. c) og f) Hypergeometrisk: -Var stats L,L gir: 7 av 0 fordelinger.te

EX VarX. Finnes en formel her også, som er en modifikasjon av formlene for binomisk (se oppgave 7.0!) EX n A N 0 0 00 VarX Nn n A A 000 0 0 n N N 00 00. 7. 0. 7 00 Leddet Nn sier en del om hvor god tilnærmingen er, den bør ikke være så langt unna. n Legg merke til at p A Nn gir np p altså helt likt binomisk bortsett fra det første leddet! N n Binomisk: EX np 0 0. np p 0 0. 0.. 8 d) og f) STATPLOT med hypergeometrisk med L og L, og binomisk med L og L gir omtrent dette: y 0. 0.7 0. 0. 0. 0.7 0. 0. 0. 0.07 0.0 0.0 0 0 7 8 9 0 7.9 La oss først se på utfallene av farver i ordnet rekkefølge (før vi går løs på kronene): Lurt å sette opp et tre-diagram! Ser at vi får et tre med 8 muligheter. (Minus fordi vi ikke kan trekke gule!) U S,SS,H,S,G,H,S,H,H,H,G,G,S,G,H Sannsynlighetsmodellen blir: utfall S,S S,H S,G H,S H,H H,G G,S G,H sannsynlighet Da blir sannsynlighetsmodellen for X : X SS.SH,HS HH.SG,GS HG,GH px Bør sjekke at summen av alle blir! EX p.....8 VarX EX p p EX.... 0. 90 Legg {,.,,.,} i L og {,,,,}/ i L og bruk -Var Stats. Ikke noe poeng å regne ut eksakte brøker manuelt. d) som a), b) og c) med litt andre tall for sannsynlighetene. Gidder ikke ta dette. 8 av 0 fordelinger.te

7. a) Fordi summen av alle sannsynlighetene er. b) Se fasit. Dette er den såkalte kumulative (akkumulerte/summerte) fordelingen, altså 0 p c) PX PX 0 0. 0. d) EX p 0 0. 0. 0. 0.. VarX. p p. 0 0. 0. 0. 0.. 0.99 (Kan legge fordelingen i L og L og bruke -Var Stats.) VarX 0.99 0.99 e) f) Fordelingen blir: Y 00 0 00 00 py 0. 0. 0.0 0. Utfallsrommet er definisjonsmengden for Y, altså {00,0,00,00} g) Somid) Bruker lommeregner med {00,0,00,00} i L og {0.,0.,0.,0.} i L. -Var Stats L,L gir: EY. VarY 70. VarY 70. 970 Tolkning av forventning til Y: Når Ole har solgt mange krukker, vil gjennomsnittlig inntekt for hver solgte krukke bli ca..0 7.0 Hypergeometrisk tilfelle: N 0,K, M N K n Antall kvinner i utvalget: X er altså fordelt: PX h Lommeregner: Y( ncr X)( ncr (-X))/(0 ncr ) Kan legge inn fordelingene i lister: {0,,,} i L og seq(y,x,0,) i L a) Fordelingen blir da: h0 h 0 0 0 098 098 o.s.v. X 0 PX 0 0 b) Tar forventningen også for treningens skyld: EX h 0 0 0 Finnes også en ferdig-formel, omtrent som i binomisk: EX n p n K N 0 VarX EX h h EX 0 0 0 0. K N n NK n 0 9 av 0 fordelinger.te

Ferdig-formel: VarX Nn n K K som tilsvarer binomisk formel: N N N korreksjonsledd n p p VarX 0 0 0 0 7.0 PX p a Utfallsrom:,, a a) p gir: a a a a 9 9 b) Dette gir sannsynlighetsmodellen: X p 9 9 9 9 c) EX p. 9 SDX 0. Tok med {,,} i L og {,9,}/9 i L og -Var Stats. d) Se fasit, bare å bytte ut med Y X 7.0 (Se også 7.07 og 7.08!) Antall mennesker i kø: X er fordelt PX p! e Utfallsrom: 0,,,,... Dette er den såkalte Poissonfordelingen med parameter k. (Se 7.08) Denne brukes ofte i beregning av antall folk i køer og antall feil i produksjonen. Et interessant poeng er at EX VarX k! Tolkningen av k er gjennomsnittlig antall personer i køen. a) PX p! e 0. b) PX p! e 0. c) Lommeregner: Y ^X*e ^(-)/! {0,,,,...,0} i L og (Y,X,0,0) i L d) EX p VarX EX p.7 Fant med -Var Stats L,L Vi ser at EX VarX k! Dette er også poenget i 7.07 og 7.08. 0 av 0 fordelinger.te