EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk formelsamling ER DET TILLATT MED NOTATER I HJELPEMIDLER? JA NEI NOTATER I SPRÅKORDBØKER ER IKKE TILLATT VIKTIG: START PÅ NY SIDE FOR HVER OPPGAVE! BESVARELSEN MÅ SKRIVES MED BLÅ ELLER SVART KULEPENN! STUDENTEN MÅ SELV KONTROLLERE AT ANTALL SIDER/VEDLEGG STEMMER.
Eksamen 3. desember 15 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke tillate hjelpemidler etter kl. 11.. Ta med all mellomregning som er nødvendig for å grunngi svaret. Del 1. (9.-11.). I denne delen er ingen hjelpemidler tillatt. Oppgave 1............................................................................. (1%) (a) Løs z + iz + 3 = der i = 1. [ ] [ ] 1 (b) La A = og B =. Om mulig, regn ut AB og BA. 1 4 1 3 Oppgave.............................................................................. (5%) Finn grensa ln(x 3) lim x x 4 Oppgave 3.............................................................................. (5%) Finn alle løsningene til likningssystemet ved Gausseliminasjon. x 1 x + 3x 3 = 4 4x 1 3x + 8x 3 = 9 x 1 + x x 3 = Oppgave 4............................................................................. (1%) Deriver funksjonene med hensyn på x. (a) (b) f(x) = x ln(x) g(x) = sin (5x) Oppgave 5............................................................................. (1%) Finn integralene (a) 3 1 + x dx (b) (x + )e x dx Oppgave 6.............................................................................. (5%) Funksjonen f(x) = 1 x x 1 er definert for alle x 1 og er en-til-en. Finn et uttrykk for den inverse funksjonen f 1 (x). Oppgave 7.............................................................................. (5%) Fullfør kvadratet og finn integralet x + 5 x + 4x + 5 dx
IR151 Matematikk 1 3. desember 15 Bokmål Del. (11.-13.). I denne delen av kalkulator, lærebøker og matematisk formelsamling tillatt. Derivasjon og integrasjon skal utføres manuelt og mellomregninger føres inn. Differensiallikninger skal løses ved manuell metode. Kalkulatoren kan bare brukes til tallregning og eventuelt til kontroll. Sett kalkulatoren på radianer. Oppgave 8.............................................................................. (5%) Kurvene y = x og y = e x har et skjæringspunkt mellom og 1. Finn skjæringspunktet ved Newtons metode i to steg. Sett x =.5. Oppgave 9.............................................................................. (5%) Sett opp integralet for lengden s av kurven f(x) = 1 x, x 1. Bruk Simpsons metode til å finne tilnærmingen S 4 til lengden s. Oppgave 1............................................................................ (15%) Funksjonene f(x) = x og g(x) = x, x 1, avgrenser et flatestykke F. (a) Finn arealet til F. (b) Finn koordinatene til tyngdepunktet i flatestykket F. (c) Finn volumet av det romlegemet som framkommer når flatestykket F roterer en gang om y-aksen. Oppgave 11............................................................................ (15%) Løs differensiallikningene (a) y + 4y + 5y =. (b) y + y 3y = 4e x. (c) y = k(y ), der y() = 8, y(5) = 5, og k er en konstant. Oppgave 1............................................................................. (5%) Ei differensiallikning er gitt ved dy dx = 1 y med startbetingelse y() =. Finn en tilnærmet verdi for y(1.) ved Eulers Metode med steglengde h =.5. Oppgave 13............................................................................. (5%) En parametrisk kurve er gitt ved x = sin(t) og y = cos(t), t π. Finn overflatearealet av det romlegemet som framkommer når kurven roterer en gang om y-aksen.
EKSAMEN NYNORSK DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAMN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDDEL: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommereknar Lærebok etter fritt val Matematisk formelsamling ER DET TILLATT MED NOTAT I HJELPEMIDDEL? JA NEI NOTAT I SPRÅKORDBØKER ER IKKJE TILLATT VIKTIG: START PÅ NY SIDE FOR KVAR OPPGÅVE! OPPGÅVESVARET MÅ SKRIVAST MED BLÅ ELLER SVART KULEPENN! STUDENTEN MÅ SJØLV KONTROLLERE AT TALET PÅ SIDER/VEDLEGG STEMMER.
Eksamen 3. desember 15 Eksamenstid 4 timar IR151 Matematikk 1 Nynorsk Om du blir ferdig med oppgåvene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del utan bruk av hjelpemiddel. Du kan bare bruke lovlege hjelpemiddel etter kl. 11.. Ta med all mellomrekning som er nødvendig for å grunngi svaret. Del 1. (9.-11.). I denne delen er ingen hjelpemiddel lovleg. Oppgåve 1............................................................................. (1%) (a) Løys z + iz + 3 = der i = 1. [ ] [ ] 1 (b) La A = og B =. Dersom mogleg, rekn ut AB og BA. 1 4 1 3 Oppgåve.............................................................................. (5%) Finn grensa ln(x 3) lim x x 4 Oppgåve 3.............................................................................. (5%) Finn alle løysingane til likningssystemet ved Gausseliminasjon. x 1 x + 3x 3 = 4 4x 1 3x + 8x 3 = 9 x 1 + x x 3 = Oppgåve 4............................................................................. (1%) Deriver funksjonane med omsyn på x. (a) (b) f(x) = x ln(x) g(x) = sin (5x) Oppgåve 5............................................................................. (1%) Finn integrala (a) 3 1 + x dx (b) (x + )e x dx Oppgåve 6.............................................................................. (5%) Funksjonen f(x) = 1 x x 1 er definert for alle x 1 og er ein-til-ein. Finn eit uttrykk for den inverse funksjonen f 1 (x). Oppgåve 7.............................................................................. (5%) Fullfør kvadratet og finn integralet x + 5 x + 4x + 5 dx
IR151 Matematikk 1 3. desember 15 Nynorsk Del. (11.-13.). I denne delen av eksamen er kalkulator, lærebok og matematisk formelsamling lovleg. Derivasjon og integrasjon skal utførast manuelt og mellomrekningar skal førast inn. Differensiallikningar skal løysast ved manuell metode. Kalkulatoren kan berre brukast til talrekning og eventuelt til kontroll. Sett kalkulatoren på radianar. Oppgåve 8.............................................................................. (5%) Kurvene y = x og y = e x har eit skjeringspunkt mellom og 1. Finn skjeringspunktet ved Newtons metode i to steg. Sett x =.5. Oppgåve 9.............................................................................. (5%) Sett opp integralet for lengda s av kurva f(x) = 1 x, x 1. Bruk Simpsons metode til å finne tilnærminga S 4 til lengda s. Oppgåve 1............................................................................(15%) Funksjonane f(x) = x og g(x) = x, x 1, avgrensar eit flatestykke F. (a) Finn arealet til F. (b) Finn koordinatene til tyngdepunktet i flatestykket F. (c) Finn volumet av den romlekamen som blir danna når flatestykket F blir dreidd ein gong om y-aksen. Oppgåve 11............................................................................(15%) Løys differensiallikningane (a) y + 4y + 5y =. (b) y + y 3y = 4e x. (c) y = k(y ), der y() = 8, y(5) = 5, og k er en konstant. Oppgåve 1............................................................................. (5%) Ei differensiallikning er gitt ved dy dx = 1 y med startvilkår y() =. Finn ein tilnærma verdi for y(1.) ved Eulers Metode med steglengd h =.5. Oppgåve 13............................................................................. (5%) Ei parametrisk kurve er gitt ved x = sin(t) og y = cos(t), t π. Finn overflatearealet av den romlekamen som blir danna når kurva blir dreidd ein gong om y-aksen.
Eksamen 3. desember 15 IR151 Matematikk 1 Løsningsforslag Del 1. (9.-11.). Oppgave 1............................................................................. (1%) (a) Løs z + iz + 3 = der i = 1. [ ] [ ] 1 (b) La A = og B =. Om mulig, regn ut AB og BA. 1 4 1 3 Løsning. (a) Bruker abc-formelen z = i ± (i) 4 1 3 = i ± 4 1 = i ± 4i = i ± i = { i 3i (b) A er 3 og B er så AB gir ikke mening, men BA er 3 matrise: [ ] [ ] 1 BA = = 1 3 1 4 [ ] 4. 1 Oppgave.............................................................................. (5%) Finn grensa ln(x 3) lim x x 4 Løsning. Må bruke l Hôpital (siden ln(4 3) = ln(1) = og 4 = ) [ ln(x 3) H lim x x = = lim 4 ] x x 3 x = lim 1 x x(x 3) = 1 (4 3) = 1. Oppgave 3.............................................................................. (5%) Finn alle løsningene til likningssystemet x 1 x + 3x 3 = 4 4x 1 3x + 8x 3 = 9 x 1 + x x 3 = Løsning. Setter opp matrise og bruker Gauss-eliminasjon (radreduksjon). 1 1 3 4 4 3 8 9 R=R 4R1 1 1 3 4 1 4 7 R=R 3R3 1 1 3 4 1 4 7 R3=R3+R1 1 1 1 1 Vi har leder 1-ere i kolonnene som tilhører x 1, x og x 3. Entydlig løsning: x 3 = x = 7 + 4x 3 = 7 8 = 1 x 1 = 4 + x 3x 3 = 4 1 + 6 = 1.
IR151 Matematikk 1 3. desember 15 Løsningsforslag Oppgave 4............................................................................. (1%) Deriver funksjonene med hensyn på x. (a) (b) Løsning. (a) Kvotientregelen (b) Kjerneregel f(x) = x ln(x) g(x) = sin (5x) f (x) = 1 ln(x) x 1 x (ln(x)) = ln(x) 1 (ln(x)). g (x) = sin(5x) cos(5x) 5 = 1 sin(5x) cos(5x). Dette kan forenkles til g (x) = 5 sin(1x) ved dobbeltvinkelformel for sinus. Oppgave 5............................................................................. (1%) Finn integralene (a) 3 1 + x dx (b) (x + )e x dx Løsning. (a). Bruker substitusjonen u = 1 + x og du = dx. 3 x=3 [ ] x=3 1 + x dx = u 1/ du = x= 3 u3/ = [(1 + x) 3/] 3 x= 3 = ((4) 3/ 1 3/) = 14 (8 1) = 3 3 3. (b). Delvis integrasjon. Delvis integrasjon ved tabell. Fortegn i første kolonne, deriverer andre og integrerer tredje. + x + e x 1 e x + e x Ganger nedover langs diagonalene og får (x + )e x dx = (x + )e x e x + C = xe x 3e x + C. Oppgave 6.............................................................................. (5%) Funksjonen f(x) = 1 x x 1 er definert for alle x 1 og er en-til-en. Finn et uttrykk for den inverse funksjonen f 1 (x).
IR151 Matematikk 1 3. desember 15 Løsningsforslag Løsning. Vi setter x = f(y) og løser med hensyn på y. x = 1 y 1 + x x(y 1) = 1 y xy + y = 1 + x (x + 1)y = 1 + x y = y 1 x + 1. Dette sier at inversen til f(x) er f 1 (x) = 1 + x x + 1. Oppgave 7.............................................................................. (5%) Fullfør kvadratet og finn integralet x + 5 x + 4x + 5 dx Løsning. Vi har x + 4x + 5 = (x + ) + noe. Ganger ut (x + ) + noe = x + 4x + 4 + noe. For at dette skal balansere må noe = 1. Bruker substitusjonen u = x +, du = dx. x + 5 x + 4x + 5 dx = (x + ) + 3 (x + ) + 1 dx = u + 3 u + 1 du = = 1 ln(u + 1) + 3 arctan(u) + C = 1 ln(x + 4x + 5) + 3 arctan(x + ) + C. u u + 1 du + 3 1 u + 1 du I det første av de to integralene brukte vi substitusjonen v = u + 1 så dv = udu og 1 dv = udu: u u + 1 du = 1 1 v dv = 1 ln v + C = 1 ln(u + 1) + C Del. (11.-13.). Oppgave 8.............................................................................. (5%) Kurvene y = x og y = e x har et skjæringspunkt mellom og 1. Finn skjæringspunktet ved Newtons metode i to steg. Sett x =.5. Løsning. Lett f(x) = x e x. Skal finne nullpunkt til f(x). Har f (x) = 1 + xe x. Newtons formel: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x n e x n. 1 + x n e x n Starter med x =.5 og finner og x 1 =.5 x =.65674 Nullpunktet er omtrent.659..5 e.5.65674 1 +.5e.5.65674 e.65674.659. 1 +.65674e.65674 Oppgave 9.............................................................................. (5%) Sett opp integralet for lengden s av kurven f(x) = 1 x, x 1. Bruk Simpsons metode til å finne tilnærmingen S 4 til lengden s.
IR151 Matematikk 1 3. desember 15 Løsningsforslag Løsning. Bruker ds = 1 + f (x) dx. Siden f (x) = x blir ds = 1 + 4x dx. Lengden av kurven 1 s = 1 + 4x dx. Intervallet [, 1] delt i fire biter gir punktene x =, x 1 =.5, x =.5, x 3 =.75 og x 4 = 1. Lager tabell over tilhørende y-verdier når y = 1 + 4x Simpsons metode gir s = 1 1 + 4x dx S 4 =.5 3 x n.5.5.75 1. y n 1 1.1183 1.4141 1.878.367 (1. + 4 1.1183 + 1.4141 + 4 1.878 +.367) 1.47898. (Utregning av eksakt svar bruker trigonometrisk substitusjon og gir omtrent 1.47894... som verdi for lengden.) Oppgave 1............................................................................ (15%) Funksjonene f(x) = x og g(x) = x, x 1, avgrenser et flatestykke F. (a) Finn arealet til F. (b) Finn koordinatene til tyngdepunktet i flatestykket F. (c) Finn volumet av det romlegemet som framkommer når flatestykket F roterer en gang om y-aksen. Løsning. (a) Arealet er gitt ved A = 1 ( x) x dx = [ x 4 3 x3/ ] 1 = 4 3 = 3. (b) Regner med tetthet 1 så m = A = /3 fra (a). Regner moment: og M x= = 1 1 x( x x) dx = 1 M y= = 1 ( x) ( x) dx = 1 = 1 ( 4 8 ) = 3 3. Det gir tyngdepunkt ( x, ȳ) = x x 3/ dx = 1 [ x 4 ] 1 5 x5/ = 1 4 5 = 1 5 4 4 x + x x dx = 1 ( Mx= m, M ) ( y= 1/5 = m /3, /3 ) = ( 3 /3 1, 1). (c). Bruker sammenhengen mellom volum og moment: V x= = π xm = π 3 1 3 = π 5. [ 4x 8 3 x3/ ] 1
IR151 Matematikk 1 3. desember 15 Løsningsforslag Oppgave 11............................................................................ (15%) Løs differensiallikningene (a) y + 4y + 5y =. (b) y + y 3y = 4e x. (c) y = k(y ), der y() = 8, y(5) = 5, og k er en konstant. Løsning. (a). Andre orden lineær diff.likn. Karakteristisk likning r + 4r + 5 = som har løsninger r = 4 ± 16 4 5 = 4 ± 4 = ± i. I oppsettet i boka er k = og ω = 1. Tilfelle III løsning y(x) = Ae x cos(x) + Be x sin(x). (b). Andre orden lineær diff.likn. som er inhomogen. Karakteristisk likning r + r 3 = som fra abc-formelen har løsninger r 1 = 3 og r = 1. Homogen løsninga av likninga er y h (x) = Ae 3x + Be x. Høyre side i likning er f(x) = 4e x. Gjetter y p (x) = Ce x. Men dette er del av homogen løsning, så vi må modifisere ved å gange med x. Altså y p (x) = Cxe x. Det gir y p(x) = Ce x + Cxe x og y p(x) = Ce x + Cxe x. Setter inn i likning y p + y p 3y p = Ce x + Cxe x + (Ce x + Cxe x ) 3Cxe x = 4Ce x = f(x) = 4e x. Vi må ha C = 1 så y p (x) = xe x. Tilsammen gir dette løsningen (c). Skriver vi likninga som y(x) = y h (x) + y p (x) = Ae 3x + Be x + xe x. y ky = k så ser vi at det er ei lineær første ordens likning. p(t) = k så F (t) = e kdt = e kt. q(t) = k. Løsning y(t) = 1 ( ) F (t)q(t) dt = e kt ke kt dt = e kt e kt + C = + Ce kt. F (t) Må finne k og C. så C = 8 = 6. Vi kan nå finne k: 8 = y() = + Ce = + C, 5 = y(5) = + 6e 5k noe som gir at 6e 5k = 5 = 3. Da er e 5k = 1/ og 5k = ln(e 5k ) = ln( 1 ) = ln så k = ln 5. Løsningen er altså y(t) = + 6e t ln()/5. (Dette kan forresten skrives som y(t) = + 6 t/5 siden t ln()/5 = ln( t/5 )).
IR151 Matematikk 1 3. desember 15 Løsningsforslag Oppgave 1............................................................................. (5%) Ei differensiallikning er gitt ved dy dx = 1 y med startbetingelse y() =. Finn en tilnærmet verdi for y(1.) ved Eulers Metode med steglengde h =.5. Løsning. Euler s metode. Oppgitt x =, y =, f(x, y) = 1 y og h =.5. Vi får y(1.).875. x n y n f(x n, y n ) y n+1 = y n + hf(x n, y n ) 1 = 1 +.5(1) =.5.5.5 1.5 =.75.5 +.5(.75) =.875 1..875 Oppgave 13............................................................................. (5%) En parametrisk kurve er gitt ved x = sin(t) og y = cos(t), t π. Finn overflatearealet av det romlegemet som framkommer når kurven roterer en gang om y-aksen. Løsning. Skal bruke formelen S x= = πxds. Her er x = sin(t). Må finne ds. Når x = sin(t) er dx/dt = cos(t) og når y = cos(t) er dy/dt = sin(t). Det gir ( ) dx + dt ( ) dy = ( cos(t)) + ( sin(t)) = 4(cos (t) + sin (t)) = 4 dt slik at Finner areal: (dx ) ds = + dt ( ) dy dt = 4dt = dt. dt π/ π/ S x= = π sin(t) dt = 4π sin(t) dt = 4π [ 1 ] π/ cos(t) = 4π ( 1 ( 1) + 1 ) 1 = 4π.