FAKUTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl 09.00-13.00 Sted: Åsgårdveien 9 Tillatte hjelpemidler: Formelsamlinger i matematikk og fysikk, lommekalkulator Oppgavesettet er på 4 sider inklusiv forside Kontaktperson under eksamen: Ruth Esser Telefon: 99417884
FAKUTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOOGI EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl 09.00-13.00 Stad: Åsgårdvegen 9 ovlege hjelpemiddel: Formelsamlingar i matematikk og fysikk, lommekalkulator Oppgåvesettet er på 4 sider inklusiv forside Kontaktperson under eksamen: Ruth Esser Telefon: 99417884
Oppgave 1 Et elektron med masse m beveger seg langs x-aksen i et potensial definert ved V (x) = 0 for 0 x a V (x) = for x < 0 eller x > a. a) Vis at den tidsuavhengige Schrödingerligningen kan skrives som h2 d 2 ψ(x) + V (x) ψ(x) = E ψ(x). 2m dx 2 (Hint: Bruk separasjon av variable.) b) Vis at de normerte egenfunksjonene og de tilhørende egenverdiene er gitt ved ( ) 2 nπx ψ n (x) = sin E n = h2 π 2 2m 2 n2, n = 1, 2,.... c) Beregn forventningsverdi av posisjon x og impuls p. Ved tiden t = 0 har partikkelen en bølgefunksjon ψ(x, 0) = 1 2 [ψ 1 (x) + ψ 2 (x)]. d) Vis at ψ(x, t) kan skrives som ψ(x, t) = 1 e iωt [sin ( ) πx + sin Her er ω definert som ω π 2 h/(2m 2 ). ( ) ] 2πx e 3iωt. e) Hvis du måler energien til partikkelen, hvilke verdier kan du få og hvor sannsynlige er hver av verdiene? Vi har nå to partikler i boksen, begge med masse m. Vi neglisjerer spinnet til partiklene. Vi antar at vi har et idealisert system der partiklene ikke vekselvirker. Én av partiklene befinner seg i tilstand ψ n 1 og den andre befinner seg i tilstand ψ n2. 2
Oppgåve 1 Eit elektron med masse m beveger seg langs x-aksen i eit potensial definert ved V (x) = 0 dersom 0 x a V (x) = dersom x < 0 eller x > a. a) Vis at den tidsuavhengige Schrödingerlikninga kan skrivast som h2 d 2 ψ(x) + V (x) ψ(x) = E ψ(x). 2m dx 2 (Hint: Bruk separasjon av variable.) b) Vis at dei normerte eigenfunksjonane og dei tilhøyrande eigenverdiane er gjevne som ( ) 2 nπx ψ n (x) = sin E n = h2 π 2 2m 2 n2, n = 1, 2,.... c) Berekn forventingsverdi av posisjon x og impuls p. Ved tida t = 0 har partikkelen ein bølgefunksjon ψ(x, 0) = 1 2 [ψ 1 (x) + ψ 2 (x)]. d) Vis at ψ(x, t) kan skrivast som ψ(x, t) = 1 e iωt [sin ( ) πx + sin Her er ω definert som ω π 2 h/(2m 2 ). ( ) ] 2πx e 3iωt. e) Dersom du måler energien til partikkelen, kva for verdiar kan du få og kor sannsynlege er kvar av verdiane? Vi har nå to partiklar i boksen, begge med masse m. Vi neglisjerar spinnet til partiklane. Vi antek at vi har eit idealisert system der partiklane ikkje vekselverkar. Ein av partiklane er i tilstand ψ n1 og den andre er i tilstand ψ n2. 2
f) Hva er grunntilstanden og den første eksiterte tilstanden for dette systemet av to partikler, og hva er de tilsvarende energiene dersom partiklene kan skilles? dersom de er fermioner (antisymmetrisk bølgefunksjon)? dersom de er bosoner (symmetrisk bølgefunksjon)? Oppgave 2 Energiegenfunksjonen til hydrogenatomet kan generelt skrives på formen (spinn neglisjert) ψ nlm (r, θ, φ) = R nl (r)y lm (θ, φ) der den radielle delen av bølgefunksjonen er gitt ved løsningen av differensialligningen h2 d 2 [ ũ 2m dr + e2 1 2 4πɛ 0 r + h2 2m ] l(l + 1) ũ = Eũ r 2 og ũ(r) rr(r). Y lm er normerte: 2π 0 dφ π 0 dθ sin θ Y lm 2 = 1. a) Hva er de mulige verdiene for kvantetallene n, l og m? Uttrykket i hakeparentes er V eff. ag en skisse av potensialet som funksjon av r for l = 0 og l = 1 og gi en fysisk interpretasjon av dette uttrykket. Det orbitale angulære moment til atomet er gitt ved operatoren = h i r b) Vis at operatorene x, y og z ikke kommuterer med hverandre (bare ett eksempel, for eksempel x og y ). Hva betyr dette for eventuelle målinger av -komponentene? c) Vis at 2 = 2 x + 2 y + 2 z kommuterer med for eksempel x. Vis at også Hamilton-operatoren H = p2 2m + V kommuterer med (for eksempel) x forutsatt at potensialet V bare er en funksjon av r. d) Vi antar at funksjonen u(ρ) = ũ(r) der ρ r/(na) og der a er Bohrradien, kan skrives på formen u(ρ) = ρ l+1 e ρ v(ρ), 3
f) Kva er grunntilstanden og den fyrste eksiterte tilstanden for dette systemet av to partiklar, og kva er dei tilsvarande energiane dersom partiklane kan skiljast? dersom dei er fermionar (antisymmetrisk bølgefunksjon)? dersom dei er bosonar (symmetrisk bølgefunksjon)? Oppgåve 2 Energieigenfunksjonen til hydrogenatomet kan generelt skrivast på formen (spinn neglisjert) ψ nlm (r, θ, φ) = R nl (r)y lm (θ, φ) der den radielle delen av bølgefunksjonen er gjeven ved løysinga av differensiallikninga h2 d 2 [ ũ 2m dr + e2 1 2 4πɛ 0 r + h2 2m ] l(l + 1) ũ = Eũ r 2 og ũ(r) rr(r). Y lm er normerte: 2π 0 dφ π 0 dθ sin θ Y lm 2 = 1. a) Kva er dei moglege verdiane for kvantetalla n, l og m? Uttrykket i hakeparentes er V eff. ag ei skisse av potensialet som funksjon av r for l = 0 og l = 1 og gje ein fysisk interpretasjon av dette uttrykket. Det orbitale angulære momentet til atomet er gjeve ved operatoren = h i r b) Vis at operatorane x, y og z ikkje kommuterar med kvarandre (bare eitt eksempel, for eksempel x og y ). Kva betyr dette for eventuelle målingar av -komponentane? c) Vis at 2 = 2 x + 2 y + 2 z kommuterar med for eksempel x. Vis at også Hamilton-operatoren H = p2 2m + V kommuterar med (for eksempel) x dersom potensialet V berre er ein funksjon av r. d) Vi antek at funksjonen u(ρ) = ũ(r) der ρ r/(na) og der a er Bohrradien, kan skrivast på formen u(ρ) = ρ l+1 e ρ v(ρ), 3
og at v(ρ) kan skrives som en potensrekke v(ρ) = c j ρ j. j=0 Koeffisientene i rekken er gitt ved rekursjonsformelen c j+1 = Vis at når l = n 1 så blir Finn normaliseringskonstanten N n. 2(j + l + 1 n) (j + 1)(j + 2l + 2) c j. R n(n 1) = N n r n 1 e r/(na). e) Vis at usikkerheten, σr 2 r 2 r 2, for tilstander av formen ψ n(n 1)m er gitt som r σ r =. 2n + 1 Sammenlign funksjonene R 10 og R 32, og lag en skisse av disse funksjonene som funksjon av r. Hva kan du si om σ r og maksima til funksjonene? Nyttige formler i h ψ t = h2 2m 2 ψ + V ψ d 2 f dx 2 = k2 f f = A sin(kx) + B cos(kx) sin 2 x dx = 1 2 sin x cos x + x 2 + C x sin 2 x dx = 1 4 (x sin(2x) + 1 2 cos(2x) ) + x2 4 + C 0 r n e kr dr = n! k n 1 der A, B og C er operatorer. [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B 4
og at v(ρ) kan skrivast som ei potensrekke v(ρ) = c j ρ j. j=0 Koeffisientane i rekka er gjevne ved rekursjonsformelen c j+1 = Vis at når l = n 1 så blir Finn normaliseringskonstanten N n. 2(j + l + 1 n) (j + 1)(j + 2l + 2) c j. R n(n 1) = N n r n 1 e r/(na). e) Vis at uvissa, σr 2 r 2 r 2, for tilstandar av formen ψ n(n 1)m er gjeven som r σ r =. 2n + 1 Samanlikn funksjonane R 10 og R 32, og lag ei skisse av desse funksjonane som funksjon av r. Kva kan du seie om σ r og maksima til funksjonane? Nyttige formlar i h ψ t = h2 2m 2 ψ + V ψ d 2 f dx 2 = k2 f f = A sin(kx) + B cos(kx) sin 2 x dx = 1 2 sin x cos x + x 2 + C x sin 2 x dx = 1 4 (x sin(2x) + 1 2 cos(2x) ) + x2 4 + C 0 r n e kr dr = n! k n 1 der A, B og C er operatorar. [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B 4