Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 00 kl. 09.00-15.00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling To ark med utrykk og formler samt nomenklatur for organiske forbindelser er vedlagt. Sensuren faller. september 00. Oppgave 1 En partikkel med masse m beveger seg i et éndimensjonalt potensial V (x), som foreløpig er uspesifisert. Ved t = 0 prepareres dette systemet i en begynnelsestilstand beskrevet ved bølgefunksjonen ( ) mω 1/4 Ψ(x, 0) = e mωx / h. π h a. Finn (helst uten regning) forventningsverdien x 0 av partikkelens posisjon ved t = 0. Angi den hermiteske operatoren ˆp x som svarer til observabelen p x (impulsen), og bestem forventningsverdien p x 0 av impulsen ved t = 0. b. Beregn forventningsverdien x 0 og vis at usikkerheten i partikkelens posisjon ved t = 0 er ( x) 0 = h/(mω). c. Vis at forventningsverdien av observabelen p x for en vilkårlig kvadratisk integrerbar tilstand Ψ(x, t) kan skrives på formen p x Ψ = h Ψ/ x dx. Beregn p x 0 for begynnelsestilstanden Ψ(x, 0), og finn usikkerheten ( p x ) 0. Kontrollér at ( x) 0 og ( p x ) 0 oppfyller Heisenbergs uskarphetsrelasjon.
Side av 4 d. Anta at partikkelen beveger seg i det harmoniske oscillator-potensialet V (x) = 1 mω (x + a), der a > 0. Bruk Ehrenfests teorem til å finne x t og p x t for t > 0, og kontrollér at disse størrelsene oppfører seg slik en bør forvente. [Hint: Finn en.-ordens diff.-ligning for p x t eller x + a t.] e. For t > 0 kan bølgefunksjonen for dette systemet skrives på formen Ψ(x, t) = c n ψ n (x)e ient/ h, n=0 der ψ n (x) og E n er de ortonormerte energiegenfunksjonene og de tilhørende energiegenverdiene for den aktuelle oscillatoren. Vis at c n = ψ n (x)ψ(x, 0)dx ( ψ n, Ψ(0) ) ; n = 0, 1,,. Hva er den fysiske tolkningen av koeffisientene c n? Hva kan du si om n=0 c n? f. Bestem koeffisienten c 0 som funksjon av parameteren a, og kontrollér at resultatet er fornuftig i grensen a 0. g. Finn forventningsverdien av energien E for dette systemet, og kontrollér at også dette resultatet er fornuftig i grensen a 0. Oppgave For et elektron med masse m e i Coulomb-potensialet V (r) = e 4πɛ 0 r h m e a 0 r har en for første eksiterte energinivå E fire ortonormerte energiegentilstander av typen ψ nlm (r) = R nl (r)y lm (θ, φ) : ψ 00 = R 0 Y 00, ψ 10 = R 1 Y 10 og ψ 1±1 = R 1 Y 1±1, der R 0 = (8a 3 0) 1/ ( r/a 0 )e r/a 0 og R 1 = (4a 3 0) 1/ r a 0 e r/a 0, og Y lm er sfæriske harmoniske: (a 0 = 4πɛ 0 h ) m e e Y 00 = 1 4π, Y 10 = 3 4π cos θ, Y 3 1±1 = 8π sin θ e±iφ.
Side 3 av 4 a. De fire funksjonene ψ 00, ψ 10 og ψ 1±1 er simultane egentilstander til dreieimpulsoperatorene ˆL z = h i φ og ˆL = h og Hamilton-operatoren for dette systemet, ( ( Ĥ = h + V (r) = h m e m e r + r θ + cot θ θ + 1 sin θ ) φ ) + ˆL r m e r + V (r). Hvilke betingelser må disse tre operatorene oppfylle for at det skal eksistere et simultant sett av egenfunksjoner? Beregn egenverdiene til ˆL z og ˆL eksplisitt for tilstanden ψ 11 (vha operatoruttrykkene ovenfor). b. Anta at systemet ved t = 0 prepareres i den normerte begynnelsestilstanden Ψ(r, 0) = (πa 3 0) 1/ r a 0 e r/a 0 cos θ. Denne funksjonen kan utvikles i det fullstendige settet av simultane egentilstander til operatorene ˆL z, ˆL og Ĥ. Hvilke kvantetall l og m vil inngå i utviklingen av Ψ(r, 0)? Det opplyses at denne utviklingen vil inneholde bidrag for alle energiegenverdiene (dvs hele spektret til Ĥ), unntatt grunntilstandsenergien E 1. Hvorfor inngår ikke grunntilstanden ψ 100 i utviklingen av Ψ(r, 0)? c. Med systemet preparert i begynnelsestilstanden Ψ(r, 0) er det ved en energimåling en viss sannsynlighet (P ) for å måle energien E (for første eksiterte energinivå). Finn denne sannsynligheten P. d. Bidraget fra de bundne tilstandene til forventningsverdien av energien [for tilstanden Ψ(r, 0)] er gitt ved summen E n P n, n= der P n er sannsynligheten for å måle energien E n = E 1 /n. Siden energiene E n er negative, er denne summen nødvendigvis mindre enn null. Samtidig kan det vises at E er lik null for tilstanden Ψ(r, 0). Hvordan vil du forklare avviket mellom resultatet E = 0 og den negative summen ovenfor?
Side 4 av 4 Oppgave 3 a. Gitt følgende bruttoformel: C 3 H Cl. Beregn antall dobbeltbindingsekvivalenter. Angi strukturene til to konstitusjonsisomere med bruttoformel C 3 H Cl. Strukturene skal ikke ha kirale karbonatomer. b. Redegjør for bensenstrukturen. c. Sett opp IUPAC-navn for (husk å angi stereokjemien): d. Angi stereokjemien etter R/S-systemet: Framgangsmåten skal vises. e. Illustrér følgende benevnelser med struktureksempler: (i) sekundært amid, (ii) tertiær alkohol. f. Hva dannes når CH 3 CH CHO (i) oksideres, (ii) reduseres?
Formler og uttrykk Vedlegg 1 av Noe av dette kan du få bruk for. Ehrenfests teorem d dt x = 1 m p x ; d dt p x = V/ x. Noen integraler I 0 (α) I (α) J(α, β) e αx dx = π/α, x e αx dx = d dα I 0(α) = 1 π α 3/, e αx +βx dx = (π/α) 1/ e β /(4α), 0 x n e αx dx = n! α n+1. Hermiteske operatorer For en hermitesk operator ˆF er ( ˆF Ψ 1 ) Ψ dτ = Ψ 1 ˆF Ψ dτ for vilkårlige, kvadratisk integrerbare funksjoner Ψ 1 og Ψ. Standard éndimensjonal harmonisk oscillator (V = 1 mω x ) ψ n (x) = Sfæriske harmoniske Ĥψ n (x) = hω(n + 1 )ψ n(x), n = 0, 1,,...; ψ n, ψ k ψ n (x)ψ k (x)dx = δ nk ; ( ) mω 1/4 1 π h n n! H n(ξ)e ξ /, ξ = x mω/ h ; H 0 (ξ) = 1, H 1 (ξ) = ξ, H (ξ) = 4ξ. Y l m Y lmdω = δ l lδ m m, l = 0, 1,,..., m = 0, ±1, ±,..., ±l. Vedlegg : Samme som ved våreksamen 00.