NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 9701355 EKSAMEN I TFY450 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK og FY045 KVANTEFYSIKK Mandag 1. desember 008 kl. 09.00-13.00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter Et ark med uttrykk og formler er vedlagt. Sensuren faller i desember 008. Oppgave 1 En partikkel med masse m befinner seg i et endimensjonalt potensial som består av en deltafunksjonsbrønn, V x = βδx β > 0. Det opplyses at energiegenfunksjoner i dette potensialet må oppfylle diskontinuitetsbetingelsen ψ /ψ x=0 + ψ /ψ x=0 = mβ h. a. Vis at dette systemet har bare én bundet tilstand, med energien E E B = mβ h. b. Anta at partikler med masse m og energi E > 0 sendes fra venstre inn mot denne deltafunksjons-brønnen. Dette spredningsproblemet kan beskrives ved hjelp av en energiegenfunksjon som har formen ψ I x = e ikx + Be ikx ψ i + ψ r for x < 0. Finn bølgetallet k uttrykt ved energien E. Sannsynlighets-strømtettheten kan for x < 0 skrives på formen [ ] j = Re ψ h d I im dx ψ I = j i + j r = j i j r. Finn j i og j r uttrykt ved k og den komplekse koeffisienten B. [Hint: z z = iimz.] Hvilken form skal energiegenfunksjonen ha for x > 0 i dette spredningsproblemet?
Side av 5 c. Det kan vises at koeffisienten B er B = 1 + i h k mβ 1. Finn energien E når det oppgis at 5 % av partiklene reflekteres av potensialbrønnen. Utled formelen ovenfor for B. Oppgave I denne oppgaven betrakter vi en spinn- 1 -partikkel som befinner seg i et konstant og homogent magnetfelt B rettet i z-retningen. Når vi ser bort fra andre frihetsgrader, kan Hamilton-operatoren for dette spinnet skrives på formen der vi antar at ω er positiv. H = ωs z, a. Finn energiegenverdiene og de tidsavhengige stasjonære tilstandene for dette systemet, og pass på at disse skal oppfylle ligningen i h d χt = Hχt = Eχt, dt der E er de respektive egenverdiene. Finn spinnretningene σ for de stasjonære tilstandene, og kontrollér at disse retningene er tidsuavhengige. Hvorfor er en lineærkombinasjon med tidsuavhengige koeffisienter av de stasjonære tilstandene en mulig tilstand for dette systemet? Hvorfor er en slik lineærkombinasjon den mest generelle tilstanden vi kan ha for dette systemet? b. Ved t = 0 foretas det en måling av komponenten S y av spinnet. Finn måleresultatet dersom spinnet umiddelbart etter målingen befinner seg i tilstanden 1/ χ0 = i/. Finn spinnretningen σ 0 ved tiden t = 0 dvs umiddelbart etter målingen. Finn også spinnretningen σ ved tidene t = π/ω og t = π/ω. Oppgave 3 I denne oppgaven betrakter vi et topartikkelsystem eller snarere et ensemble av slike, der begge partiklene har spinn 1 dvs s 1 = s = 1: S 1 = h s 1 s 1 + 1 = h og S = h s s + 1 = h. Ved en måling av S 1z og S z etterlates spinn nummer 1 i en av triplett-tilstandene 1 1, 0 1, 1 1 og spinn nummer i en av tilstandene 1, 0, 1. Vi bruker
Side 3 av 5 her de magnetiske kvantetallene m 1 og m som merkelapper, sammen med partikkelindeksene 1 og. Topartikkelsystemet havner altså i en av 9 mulige produkt-tilstander av typen m 1 m, der m 1 = 1, 0, 1 og m = 1, 0, 1. Disse 9 tilstandene danner en basis for dette spinnsystemet, som vi godt kan kalle den gamle basisen. Gjør vi i stedet en måling av størrelsen S og z-komponenten S z av det totale spinnet S = S 1 + S for dette topartikkelsystemet, havner systemet i en tilstand av typen s, m slik at S = h ss + 1 og S z = hm, der det oppgis at s 1 s s s 1 + s. Disse tilstandene s, m velger vi å kalle nye. a. Kontrollér at antallet av nye tilstander er lik antallet gamle. Hvorfor kan de nye tilstandene s, m uttrykkes som lineærkombinasjoner av de gamle, m 1 m? Vis at den gamle tilstanden 1 1 1 er en egentilstand til Ŝz = Ŝ1z + Ŝz med egenverdien h. Hvorfor er den nye tilstanden, lik den gamle 1 1 1, og hvorfor er, = 1 1 1? b. Fra de generelle stigeoperator-relasjonene se formelarket følger det at vi for hvert av spinnene har Ŝ n 1 n = h 0 n ; Ŝn 0 n = h 1 n ; n = 1,, mens vi for de nye tilstandene har Ŝ, = h, 1, Bruk disse relasjonene til å vise at den nye tilstanden, 1, med s = og m = 1, er osv., 1 = 1 1 1 0 + 0 1 1. Vis at den nye tilstanden med s = og m = 0 er, 0 = 1 6 1 1 1 + 0 1 0 + 1 1 1. Hva er den fysiske tolkningen av koeffisientene i denne utviklingsformelen? c. Topp-trinnet 1, 1 i triplett- stigen for s = 1 skal være en lineærkombinasjon av de to gamle tilstandene med m = 1, samtidig som den er ortogonal på, 1 fordi s-kvantetallene er forskjellige for tilstandene, 1 og 1, 1. Disse kriteriene oppfylles av 1, 1 = 1 1 1 0 0 1 1. Vis med utgangspunkt i tilstanden 1, 1 at 1, 0 = 1 1 1 1 1 1 1. Finn til slutt den normerte singletten 0, 0 uttrykt ved de gamle tilstandene med m = 0.
Side 4 av 5 Oppgave 4 Et elektron som ved tiden t = befinner seg i grunntilstanden i et hydrogenatom, utsettes for en transient forbigående perturbasjon, i form av et homogent tidsavhengig elektrisk felt som svarer til et perturberende ledd V t = zee 0 exp t /τ i Hamilton-operatoren. Ifølge 1.-ordens tidsavhengig perturbasjonsteori er overgangssannsynligheten fra grunntilstanden ψ i = ψ 100 = πa 3 0 1/ exp r/a 0 ved t = til en bundet slutt-tilstand ved t = gitt ved der ω fi = E f E i / h. P i f = a i f 1 = i h ψ f = ψ nlm = R nl ry lm θ, φ expiω fi t ψ f V t ψ i dt a. Vis at denne overgangssannsynligheten kan skrives på formen P i f = fτ ψ f z/a 0 ψ i d 3 d r fi fτ, der integralet er dimensjonsløst, og finn funksjonen fτ uttrykt ved de oppgitte størrelsene. Oppgitt: π exp ay + bydy = a expb /4a; Rea > 0. Vis at overganger bare er mulig til slutt-tilstander med l = 1 og m = 0 til 1. orden. [Hint: z = r cos θ = r 4π/3 Y 10.] b. Figuren ovenfor viser at mesteparten av perturbasjonen foregår i løpet av et tidsintervall τ. Finn den τ-verdien τ m som gir den maksimale overgangssannsynligheten P i f for fastholdt E 0, og sammenlign τ m med den naturlige perioden T fi = π/ω fi. Lag en rask skisse av P i f τ/p i f τ m som funksjon av τ/τ m for fastholdt E 0, og kommentér spesielt oppførselen for tilfellene τ << τ m og τ >> τ m. a 0,
Side 5 av 5 c. Dipolmomentene d fi = ψ f z ψ i for overganger fra ψ 100 til tilstandene ψ n10 er av størrelsesorden a 0 Bohr-radien eller mindre. F.eks er ψ 10 z ψ 100 0.745 a 0 og ψ 310 z ψ 100 0.98 a 0. La oss anta at E 0 har samme styrke som feltet fra protonet i en avstand a 0, dvs E 0 = e/4πɛ 0 a 0, slik at ee 0 a 0 = e /4πɛ 0 a 0 = 7. ev. Ser vi da på overgangen ψ 100 ψ 10, med hω 1 = E E 1 = 10. ev, så følger det fra resultatene ovenfor og formelen at fτ m = π e ee0 a 0, hω 1 P 100 10 τ = P 100 10 τ m fτ fτ m 9.1 τ/τ m exp[1 τ/τ m ]. Dette resultatet har for å si det mildt en alvorlig svakhet for τ τ m. Forklar hva svakheten består i, og hvordan feilen har kommet inn.
Vedlegg: Formler og uttrykk Noe av dette kan du få bruk for. Sannsynlighets-strømtetthet Målepostulatet [ jr, t = Re Ψ r, t h ] Ψr, t. im i De eneste mulige verdiene som en måling av observabelen F kan gi er en av egenverdiene f n. ii Umiddelbart etter målingen av F er systemet i en egentilstand til den tilhørende operatoren F, nemlig en egentilstand som svarer til den målte egenverdien f n. Spinn 1 For en partikkel med spinn 1 kan en bruke spinnoperatoren S = 1 hσ = 1 hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z, der σ x = 0 1 1 0, σ y = 0 i i 0 er de såkalte Pauli-matrisene. Pauli-spinorene χ + =, σ z = 1 0 1 0 0 1 og χ = 0 1 er da a egentilstander til S z = 1 hσ z med egenverdiene ± 1 h. En normert spinntilstand χ = b kan karakteriseres ved spinnretningen, σ = χ σχ = ê x Rea b + ê y Ima b + ê z a b. Matrisene S x = 1 hσ x osv oppfyller dreieimpulsalgebraen, [S x, S y ] = i hs z, [S y, S z ] = i hs x, [S z, S x ] = i hs y. Videre er S x = S y = S z = h 4 1 0 0 1 og S = 3 h 4 1 0 0 1. Stigeoperator-relasjoner for dreieimpulser Ĵ + j, m = h j mj + 1 + m j, m + 1 ; Ĵ j, m = h j + mj + 1 m j, m 1.
Sfæriske harmoniske { L L z } { h ll + 1 Y lm = hm } Y lm ; Y l m Y lmdω = δ l lδ m m; L z = h i φ ; Y 0 = 1 3 3 Y 00 = 4π, Y 10 = 4π cos θ, Y 1,±1 = 8π sin θ e±iφ. 5 15 15 16π 3 cos θ 1, Y,±1 = 8π sin θ cos θ e±iφ, Y,± = 3π sin θ e ±iφ. Utgangspunktet for tidsavhengig perturbasjonsteori Med en Hamilton-operator Ĥ = Ĥ0 + V t kan den eksakte løsningen utvikles i de uperturberte stasjonære løsningene: Ψr, t = n a n tψ 0 n r, t, der Ψ 0 n r, t = ψ n re ient/ h, Ĥ0ψ n r = E n ψ n r. Det eksakte ligningssettet for utviklingskoeffisientene er i h da k dt = n e iω knt V kn ta n t; V kn t = ψ k V t ψ n, ω kn = E k E n / h. Med a n t 0 = δ ni oppfyller den eksakte amplituden ligningen Noen fysiske konstanter a f t = δ fi + 1 i h t e n t 0 iω fnt V fn t a n t dt. a 0 4πɛ 0 h m e e = 1 α h m e c = 0.59 10 10 m; α e 4πɛ 0 hc = 1 137.036 ; c =.998 10 8 m/s; h = 0.658 10 15 evs; m e = 0.5110 MeV/c. h m e a 0 Tidsutvikling av forventningsverdier δ-funksjonen og sprangfunksjonen 13.6 ev. d dt F = ī [Ĥ, F ] + F. h t d Θx = δx; dx fxδx adx = fa.