Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014 Innleveringsfrist: torsdag 25. september 2014, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, Ekspedisjonskontoret, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner på hjemmesiden. Dersom du på grunn av sykdom eller andre tungtveiende grunner har behov for å utsette innleveringen, må du i god tid før innleveringsfristen sende søknad til: studieinfo@math.uio.no Husk at sykdom må dokumenteres ved legeattest. Oppgavesettet består av tilsammen 12 punkter. For å få godkjent Oblig 1 må du besvare minst 10 av de 12 punktene og det må komme frem av besvarelsen at du har prøvd seriøst å løse disse punktene. Videre må minst 8 av punktene være besvart på en tilfredsstillende måte, med en ryddig fremstilling og gode begrunnelser. Det kreves også at alle Matlab-delene i oppgavesettet er rimelig godt besvart. Der det står at Matlab skal brukes, må det vedlegges passende utskrifter av m-filer og dagbokfil ( diary ) med kommentarer. De som foretrekker det kan bruke Python istedet for Matlab, og det må da vedegges tilsvarende dokumentasjon. Studenter som ikke får sin opprinnelige besvarelse godkjent, men som har gjort et reelt forsøk på å løse oppgavesettet, vil få en mulighet til å levere en revidert besvarelse. Studenter som ikke får godkjent begge sine besvarelser til oblig. 1 og oblig. 2 vil ikke få adgang til avsluttende eksamen. Det er lov å samarbeide om oppgavene. Men alle må levere sin egen personlig besvarelse og selv ha gjennomført alle Matlab-kjøringer (evt Python-kjøringer). Er vi i tvil om at du virkelig ha forstått det du har levert inn, kan vi be deg om en muntlig redegjørelse. Det vises ellers til regelverket for obligatoriske oppgaver, som du finner via en lenke på hjemmesiden til emnet. Lykke til! 1

1 En modell for trafikk i veinettverk Vi skal se på en enkel modell for trafikk i et veinettverk. Vi vil da trenge begrepet rettet graf som forklares først. En rettet graf G = (V, E) består av en endelig ikketom mengde V, der elementene kalles hjørner (eller punkter), samt en mengde E av ordnede par av elementer fra V. Hvert slikt par kalles en kant og er på formen e = (u, v) der u, v V er distinkte hjørner. 1 Hvis e = (u, v) E, så kalles u og v endehjørner for kanten e. For å unngå isolerte hjørner (som er uinteressante) antar vi at ethvert hjørne er endehjørne for (minst) en kant. Spesielt er antall kanter minst 1 og antall hjørner minst 2. Den enkleste rettede grafen etter denne definisjonen er på formen G = (V, E) der V = {u, v} og E = {(u, v)}. Denne grafen kan visualiseres i planet slik: u (u,v) v Figure 1: En graf Eksempel 1. Betrakt den rettede grafen G = (V, E) der V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } og E = {(v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ), (v 3, v 4 ), (v 4, v 1 ), (v 1, v 3 )}. I planet kan den visualiseres slik: v 1 e 1 v 2 e e 5 4 e 2 v v 4 e3 3 Figure 2: Nok en graf Her er e 1 = (v 1, v 2 ), e 2 = (v 2, v 3 ), e 3 = (v 3, v 4 ), e 4 = (v 4, v 1 ) og e 5 = (v 1, v 3 ). Et veinettverk kan representeres ved en rettet graf G = (V, E). Her vil hjørnene svare til veikryss, mens hver kant svarer til et veistrekk (en veibit?) mellom to veikryss med retning slik kanten angir. Altså: kanten (u, v) svarer til veistrekket fra kryss u til kryss v. Hvis det fins et veistrekk i motsatt retning fra v til u vil dette gi kanten (v, u). I en rettet graf som representerer et veinettverk, slik vi er vant til, 1 Noen tillater at u og v kan være like, altså at en kant kan være på formen (v, v). I denne obligen er det ikke noe poeng å godta slike kanter. 2

vil det som regel være slik at ethvert hjørne har minst én kant som går ut og minst én kant som går inn. Men vi trenger ikke å anta dette generelt. Vi skal nå modellere trafikken og antar, noe forenklet, at nettverket er lukket fra omverdenen, slik at ingen biler forlater eller kommer inn i nettverket. Det er altså et visst antall biler som kjører i nettverket. 2 Trafikken i nettverket kan representeres ved en vektor x R n med én komponent for hvert veistrekk i nettverket. La nemlig kantene være e 1, e 2,..., e n og la x j være variabelen som svarer til kanten e j (j n). Vi tenker på x j som antall biler på veistrekket e j ved et visst tidspunkt. Vektoren x = (x 1, x 2,..., x n ) gir oss da et øyeblikksbilde av trafikken i de ulike deler av nettverket, og x j / n i=1 x i vil være andelen av det totale antall biler som er på kant e j ved et gitt tidspunkt. For å modellere hvordan trafikken endres, som funksjon av tiden, innfører vi en passende Markov kjede: Vi tenker oss at tilstandsrommet er E, altså kantmengden i nettverket. 3 Videre lager vi en n n stokastisk matrise (overgangsmatrise) P = [p ij ] der p ij angir sannsynligheten for at en bil på kant (veistrekk) e j går over til kant e i i løpet av ett tidsskritt. Vi lar her tidsskrittene være små slik at hvis e j = (u, v) (kanten går inn til v), så er p ij > 0 bare for de kantene e i som forlater v, altså kanter på formen e i = (v, w). Vi tillater også at p jj > 0 for noen (eller alle) j er fordi noen av bilene på veistrekket e j ikke kommer fram til krysset i løpet av ett tidsskritt. Hvis x R n er en sannsynlighetsvektor som angir fordelingen av bilene på hvert veistrekk i et gitt øyeblikk, vil da P x angi den sannsynlige fordelingen av bilene etter ett tidsskritt. Så hvis x 0 angir fordelingen ved starttidspunktet, vil Markov kjeden {x k } k 0 der x k = P x k 1, k 1, angi fordelingen av bilene etter k tidskritt for hver k. Kommentar: i matematiske modeller i anvendelser er det ofte en problemstilling å få tak i relevante data for modellen. I vår modell gjelder dette matrisen P. Man vil her kunne estimere P ved å observe trafikken i løpet av en viss tidsperiode. (Det finnes andre veitrafikk modeller som kan være mer realistiske, men som ofte baseres på parametre som er vanskelig å finne gode verdier på.) 2 Det mer generelle tilfelle der det er trafikk inn/ut av nettverket kan håndteres på flere måter, men vi går ikke inn på dette her. 3 I mange situasjoner som kan modelleres med en rettet graf er det naturlig å betrakte Markov kjeder der tilstandsrommet er hjørnemengden V. I en del situasjoner, slik som her, er det kantmengden som er det naturlige tilstandsrommet. 3

Eksempel 1, forts. Anta grafen fra Eksempel 1 representerer et lite trafikk nettverk. En mulig overgangsmatrise kan da være P = 0.8 0 0 0.3 0 0.2 0.7 0 0 0 0 0.3 0.4 0 0.4 0 0 0.6 0.5 0 0 0 0 0.2 0.6 La oss f.eks. se på den 4. kolonnen i P : den forteller oss at blant bilene på veistrekket e 4, så vil 30 prosent gå over til e 1, 50 prosent vil forbli på e 4, og 20 prosent vil gå over til e 5 (i løpet av ett tidsskritt). Det er lett å sjekke at P er regulær (ved å regne ut at P 4 bare har positive koeffisienter). Teorem 18 i Lays avsnitt 4.4 forteller oss at P har en entydig likevektsvektor q og at enhver Markov kjede assosiert med P vil konvergere mot q. Utregning gir q = (0.3103, 0.2069, 0.1724, 0.2069, 0.1035). (Dette kan du gjerne sjekke!). Etter en stund vil altså trafikken stabilisere seg i nettverket og rundt 31 prosent av bilene vil befinne seg på veistrekket e 1. Hvis det f.eks. er totalt 200 biler som sirkulerer i dette nettverket, betyr det at det vil være 62 biler langs e 1. Nå er det ikke sikkert at dette er fysisk mulig! I praksis vil det da være kødannelser i nettverket og modellen må endres. I en slik situasjon vil man måtte vurdere forskjellige mulige tiltak: legge til en eller flere kanter (altså lage ny(e) veistrekk, eventuelt tillate toveis kjøring), eller fjerne en eller flere kanter (som kan tenkes å bidra til avlastning av et bestemt veistrekk). Vi ser nå nærmere på et mer realistisk eksempel. Grafen er en forenkling av veinettverket i Oslo, se Figur 3 (på siste side). Vi har m = 8 veikryss og n = 28 kanter. Disse veikryssene er Oslo S, Skøyen, Majorstua, Smestad, Ullevål, Sinsen, Carl Berner, Økern. Veistrekkene svarer til Ring 2, Ring 3 osv. (med litt fri tenkning rundt dette!) og innholder gater/veier med stor trafikk. Oppgave 1 Betrakt grafen i Figur 3. (i) En 28 28 overgangsmatrise P = [p i,j ] for dette nettverket finner du på m- filen Oslo.m (som er tilgjengelig på samme nettside som Oblig 1). Sjekk at P er regulær ved hjelp av Matlab og angi minste k slik at P k bare har positive elementer.. 4

Betrakt så Markov kjeden {x k } k 0 der x 0 = (1/28,..., 1/28) og x k = P x k 1, k 1. Siden P er regulær vet vi at enhver Markov kjede assosiert med P konvergerer mot en entydig bestemt likevektsvektor x. Finn x ved å beregne x k med Matlab inntil det ikke er noen endring med 4 desimalers nøyaktighet. (ii) Anta nå at nettverket endres (pga veiarbeid) slik at kant nr. 28 forsvinner. Dette svarer til man innfører enveiskjøring mellom Smestad og Majorstua (retning Smestad). Oppdater P ut fra dette ved å fjerne rad og kolonne 28, sette p 25,22 = 0.7, p 21,24 = 0.8, og la de andre sannsynlighetene være uendret. (Den nye matrisen blir også regulær.) Beregn med Matlab den nye likevektsvektoren ˆx R 27. Hvilke tre veistrekk får størst økning i trafikk? Hvis den totale trafikkmengden i nettverket er 50000 biler, hva er da endringene for disse tre veistrekkene? 2 Permutasjonsmatriser, direkte summer og rang Vi skal se på noen nyttige resultater om rangen til matriser. Vi må først introdusere et par begreper. En permutasjonsmatrise P (av orden n) er en n n matrise der kolonnene fremkommer ved å bytte om på rekkefølgen av kolonnene i identitetsmatrisen I n. Vi betrakter også I n selv som en permutasjonsmatrise (der ombyttingen er den "trivielle", dvs rekkefølgen forandres ikke). Det er opplagt fra definisjonen at permutasjonsmatriser er stokastiske matriser, men disse er av en veldig spesiell type. Videre er enhver permutasjonsmatrise P av orden n invertibel: kolonnene til P danner jo en basis for R n, så dette følger av Invertibel Matrise Teoremet. F.eks. er de to eneste permutasjonsmatrisene av orden 2 gitt ved [ ] [ ] 1 0 0 1 I 2 =, P =. 0 1 1 0 Vi kan angi en permutasjonsmatrise av orden n ved hjelp av en permutasjon (eller ombytting hvis du vil) av tallene fra 1 til n: per definisjon er dette en avbildning σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} som er 1-1 og på (mao en bijeksjon). Matrisen P σ = [e σ(1) e σ(2) e σ(n) ] er da en permutasjonsmatrise (av orden n). Hvis f.eks. σ : {1, 2, 3} {1, 2, 3} er permutasjonen av tallene fra 1 til 3 gitt ved σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1, 5

så er den assosierte permutasjonsmatrisen gitt ved P σ = [e σ(1) e σ(2) e σ(3) ] = [e 2 e 3 e 1 ] = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Oppgave 2 Skriv ned alle permutasjonsmatriser av orden 3. Kommentar: Det finnes nøyaktig n! permutasjoner av tallene 1 til n, og dermed nøyaktig n! permutasjonsmatriser av orden n. Du kan gjerne tenke over hvordan du ville forklare dette. Siden dette ikke er vesentlig i denne obligen skisserer vi bare en måte å innse dette: overbevis deg selv at man kan tenke på en permutasjon av tallene fra 1 til n som en ordnet liste σ(1), σ(2),..., σ(n) av alle tallene fra 1 til n; så kan du slå opp i Kalkulus-boka til Lindstrøm og finne en begrunnelse (ved et enkelt induktivt argument) for at det finnes nøyaktig n! måter å ordne n forskjellige objekter i rekkefølge. Oppgave 3 Begrunn at hvis P er en permutasjonsmatrise (av orden n), så fremkommer P ved å bytte om på rekkefølgen av radene i identitetsmatrisen I n. Hint 1: Begynn med å se på første rad til P. Hint 2: En bijeksjon har en omvendt funksjon som selv er en bijeksjon. Vi kan derfor si at en permutasjonsmatrise er en kvadratisk matrise der hvert element er 0 eller 1, og det er nøyaktig én 1 er i hver rad og i hver kolonne. Oppgave 4 La A være en m n matrise, og la P og Q være permutasjonsmatriser av orden henholdsvis n og m. Sett B = AP og C = QA. (i) Begrunn at kolonnene i B består av de samme kolonnene som A har, men med ombyttet rekkefølge, mens radene i C består av de samme radene som A har, men med ombyttet rekkefølge. Gi et eksempel som illustrerer dette med m = n = 3 og P = Q I 3. (ii) Bruk forrige punkt til å vise at rank B = rank A = rank C. (iii) Sett A = QAP. Vi sier da at A er fremkommet fra A ved rad- og kolonnepermutasjoner. Begrunn at rank A = rank A. Kommentar ang. punkt (iii) ovenfor: generelt vil rank A = rank A når P og Q er vilkårlige invertible matriser, men da er ikke sammenhengen mellom A og A så sterk. Vi bruker O for å symbolisere enhver nullmatrise (av passende størrelse). 6.

La nå A 1 og A 2 være to matriser (som ikke trenger å være av samme størrelse). Blokkmatrisen [ ] A1 O A = O A 2 kalles den direkte summen av A 1 og A 2, og angis ved A = A 1 A 2. Oppgave 5 Anta at A 1 er en m 1 n 1 matrise og A 2 er en m 2 n 2 matrise, begge ulik nullmatrisen. Anta videre at {u 1,..., u r } er en basis for Col A 1, mens {v 1,..., v s } er en basis for Col A 2. Hvis x = (x 1,..., x n1 ) R n 1, lar vi x R n 1+n 2 være definert ved x = (x 1,..., x n1, 0,..., 0). Tilsvarende hvis y = (y 1,..., y n2 ) R n 2, lar vi y R n 1+n 2 være definert ved y = (0,..., 0, y 1,..., y n2 ). (i) Begrunn at {u 1,..., u r, v 1,..., v s} er en basis for Col (A 1 A 2 ). (ii) Bruk (i) til å begrunne at rank (A 1 A 2 ) = rank A 1 + rank A 2. Bruk deretter rangteoremet for matriser til å konkludere med at dim(nul (A 1 A 2 )) = dim(nul A 1 ) + dim(nul A 2 ). 3 Rettede grafer og indikatormatriser Vi vender nå tilbake til generelle rettede grafer. I denne seksjonen skal vi studere forbindelsen mellom slike grafer og matriser/lineær algebra. La G = (V, E) være en rettet graf med m hjørner og n kanter. Til G knytter vi en m n matrise A = [a ij ] der rader svarer til hjørner og kolonner svarer til kanter. Vi velger da først en ordning av henholdsvis hjørner og kanter, slik at første hjørne svarer til første rad osv. Matrisen A er definert slik: kolonnen som svarer til kanten (u, v) har 1 i raden som svarer til u og 1 i raden som svarer til v, mens alle andre elementer i denne kolonnen er 0. Hver kolonne i A inneholder derfor nøyaktig én 1 er og én ( 1) er, resten er nuller. Matrisen A, som avhenger av den valgte ordningen på hjørner og kanter, kalles en indikatormatrise for grafen G. 7

Eksempel 1, forts. For grafen G fra Eksempel 1 får vi indikatormatrisen A oppgitt under, når vi lar rader og kolonner svare til hjørner og kanter i den rekkefølgen disse ble listet i Eksempel 1 (fra venstre mot høyre): A = 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 Oppgave 6 (i) Betrakt grafen G = (V, E) fra Eksempel 1 med følgende ordning av hjørner og kanter: V : v 4, v 1, v 3, v 2 E : (v 2, v 3 ), (v 4, v 1 ), (v 3, v 4 ), (v 1, v 3 ), (v 1, v 2 ). Skriv ned indikatormatrisen A for G du nå får. Bruk Matlab til å beregne rank A og rank A, og sjekk at disse to tallene er like. (ii) Hvilken indikatormatrise for G man får avhenger av hvilken rekkefølge man bruker for hjørner og kanter. Imidlertid vil rangen til en indikatormatrise for G alltid være den samme (utregningen i punkt (i) gir et eksempel på at dette stemmer). Bruk Oppgave 4 til å begrunne denne påstanden. Oppgave 7 La A være en indikatormatrise for en rettet graf G. Begrunn at radene i A er lineært avhengige. (Hint: summer alle radene i A). Begrunn deretter at rank A m 1 (der m er antall hjørner). Det kan vises at rangen til A er lik m 1 hvis og bare hvis grafen er "sammenhengende". Slike indikatormatriser danner grunnlaget for en lang rekke modeller for trafikk i veinettverk. Det samme gjelder andre typer nettverk: data, internett, rutenett for fly, telenett etc. Man er da interessert i ulike problemstillinger angående strøm, kapasiteter etc. Dette leder ofte til optimering med begrensninger gitt ved ulikheter, og mer om dette kan du lære i emnet MAT-INF3100 Lineær optimering. Lykke til! 8

Figure 3: Forenklet Oslo veinettverk 9