MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for en kropp (field på engelsk). Eksempel 1.1. Fire velkjente ringer med vanlig addisjon og multiplikasjon. Alle elementer (tall) har en additiv invers. I de tre siste ringene har alle elementer bortsett fra 0 en multiplikativ invers. Disse tre er derfor også kropper. Eksempel 1.2. Forskjellige ringer i en variabel («polynomringer»). [x] [x] [x] [x] F. eks. består [x] av alle polynomer med variabel x og heltallige koeffisienter. Polynomer kan adderes og multipliseres (og altså gi nye polynomer i den samme ringen!). Alle elementer har en additiv invers. Et polynom (av positiv grad) vil ikke ha en multiplikativ invers i noen av disse ringene. En ring er altså en mengde med elementer hvor elementene kan adderes og multipliseres slik vi gjør med tall. (En presis definisjon vil bli gitt senere i kurset.) Når vi studerer ringer vil vi både undersøk hva som er sant i alle ringer og hvordan ulike ringer forholder seg til hverandre. Grupper En gruppe er en mengde med elementer som kan settes sammen (elementene a og b gir et nytt element ab) og hvor alle elementer har en invers. Det er altså bare en operasjon, ikke to som for en ring. I grupper behøver ikke ab være lik ba. Når vi har en geometrisk figur kan vi finne symmetrier til figuren. Da får vi en gruppe av symmetrier. Eksempel 1.3. La den den geometrisk figuren være en regulær 6-kant. 6-kanten har 6 ulike speilinger og 6 ulike rotasjoner (med 60 o, 120 o, 180 o, 240 o og 360 o = 0 o. Jeg kan «sette sammen» to slike symmetrier og få en ny symmetri. F. eks. hvis jeg først tar en speiling og deretter tar en (annen) speiling vil resultatet bli det samme som om jeg bare bruker en av rotasjonene. Tar jeg først en rotasjon og så en speiling blir resultatet det samme som om jeg bare bruker en (annen) av speilingene. Vi får en multiplikasjonstabell for symmetriene til figuren. Rekkefølgen vi setter sammen symmetriene i har betydning for resultatet: Prøv to ulike speilinger! Eksempel 1.4. La den geometriske figuren være en sirkel. Da er alle rotasjonene symmetrier til sirkelen. Det er uendelig mange av dem. Denne gruppen av rotasjoner er abelsk fordi ab = ba for alle rotasjoner a og b. Eksempel 1.5. Når vi ser på løsningene til en polynomligning har disse også symmetrier ved at de kan permuteres (byttes om) på bestemte måter. Disse permutasjonene av røttene til polynomet danner en gruppe. Gruppene har altså bare en operasjon (sammensetning) og er derfor på en måte enklere enn ringer. Grupper kan allikevel virke mer eksotiske enn ringer. Vi starter med gruppene. 1

Anvendelser og mål for kurset Vi skal bruke teorien for grupper og ringer til å vise følgende tre resultater. Teorem (Vinkeltredeling er umulig generelt). Ikke alle vinkler kan deles i tre ved konstruksjon med passer og linjal. F. eks. kan ikke 20 o konstrueres med passer og linjal. Teorem (Dobling av kuben er umulig generelt). Fra et gitt linjestykke er det umulig å konstruere med passer og linjal et linjestykke med lengde 3 2 av det opprinnelige linjestykket. Teorem (Å kvadrere sirkelen er umulig generelt). Fra en gitt sirkel er det umulig å konstruere med passer og linjal et kvadrat med samme areal som sirkelen. Dette er de tre klassiske konstruksjonsproblemene som grekerne ikke klarte å løse. Hvorfor de ikke klarte det forklares av denne teorien. I tillegg kan man med denne matematikken vise følgende (men vi rekker ikke å gjøre det): Teorem (Niels Henrik Abel). Det finnes ingen formel for løsningene til den generelle femtegradsligningen som bare bruker de fire regneartene og rotutdragning. 2 Hva er en gruppe? Kapittel 1, avsnitt 4-5: Definisjon av gruppe, abelsk gruppe og undergruppe Stoff: Gruppe, abelsk gruppe, den generelle lineære gruppen, gruppetabell, undergruppe, karakterisering av undergruppe (5.14) Oppgaver 4: 1 8, 15 18, 23, 27, 34 36 Oppgaver 5: 1 7, 8 12, 20, 22 24, 26 30, 33, 39, 40, 43, 47, 51 Først trenger vi begrepet operasjon. En operasjon på en mengde G gir for alle ordnede par av elementer a og b i G et nytt element i G som vi betegner med a b. Dette er ingenting annet enn en funksjon (avbildning) fra mengden av ordnede par G G til G. Vi skriver også : G G G Etter å ha observert gruppestrukturen i flere sammenhenger ble de abstrakte egenskapene skrevet ned på slutten av 1800-tallet. Dette er aksiomene for en gruppe: Definisjon 2.1. En gruppe er en mengde G med en operasjon som oppfyller tre betingelser. 1. (Assosiativitet) For alle elementer a, b, c i G skal a (b c) = (a b) c. 2. (Nøytralt element) Det finnes et element e i G slik at e a = a = a e for alle elementer a i G. 3. (Invers) For ethvert element a i G finnes det et element b i G slik at a b = e = b a. Vi trenger noen eksempler for bedre å forstå hva dette er. Forsøk å forstå hva de tre gruppeaksiomene sier i hvert eksempel. Disse eksemplene vil bli brukt flere ganger i kurset. Du kan tenke på dem når det kommer noe nytt. Eksempel 2.2. Eksempel 2.3., + addisjon av heltall, +, +, +, multiplikasjon av rasjonale tall 0,,, bare to elementer Eksempel 2.4. +, multiplikasjon av positive rasjonale tall +, 2

Eksempel 2.5. (Rotasjoner av planet om origo) Rot = {R θ 0 θ < 360 o } med R θ R ϕ = R θ+ϕ mod 360 o Eksempel 2.6. (Rotasjoner av planet om origo med vinkel 60 o ) Rot(60) = {R θ 0 θ < 360 o og θ et multiplum av 60 o } med R θ R ϕ = R θ+ϕ mod 360 o Hvor mange elementer har denne gruppen? Oppgave 2.7. Samme formulering, men med en annen vinkel. Er det en gruppe? Hvor mange elementer har gruppen? (a) 45 o (b) 70 o (c) 72 o (d) 10 o Definisjon 2.8. En gruppe G med operasjon er abelsk hvis a b = b a for alle elementer a og b i gruppen. Eksempel 2.9. Se på eksemplene over. Avgjør om de er abelske. Eksempel 2.10 (Den generelle linære gruppen). La GL(n, ) være alle invertible n-ganger-n-matriser med reelle tall og som matrisemultiplikasjon. Denne gruppen er ikke abelsk hvis n > 1! Hva er GL(1, )? Lemma. En gruppe har bare et nøytralt element. Bevis. La e og e være to nøytrale elementer i gruppen. Da har vi at e = e e per definisjon av at e er et nøytralt element = e per definisjon av at e er et nøytralt element Teorem (4.16 1 ). La a og c være elementer i en gruppe G. Da har ligningene a x = c and y a = c alltid løsninger x og y i G og disse løsningene er entydige. Bevis for den første ligningen. (Eksistens) Vi finner en løsning på den første ligningen: La b være en invers til a i G. La x = b c, sett inn og regn ut. venstresiden: høyresiden: a (b c) = (a b) c = e c = c c (Entydighet) Anta x = f og x = g er to løsninger, dvs a f = c og a g = c som gir a f = a g Vi multipliserer ligningen med b (som vi husker var en invers til a) på venstresidene: b (a f ) = b (a g) som ved assosiativitet gir (b a) f = (b a) g og siden b a = e får vi e f = e g dvs (siden e er det nøytrale elementet) f = g Oppgave 2.11. Finn en løsning for den andre ligningen! 1 Slike tall i parantes viser til resultater i læreboken 3

Teorem (4.17). Til hvert element i en gruppe finnes det bare en invers. Bevis. Anta a er et element i en gruppen G med inverser b og c. Dvs a b = e og a c = e Altså er x = b og x = c løsninger på ligningen a x = e. Fra forrige resultat må b = c. Notasjon 2.12. Vi bruker normalt skrivemåten a 1 for inversen til a. For abelske grupper brukes ganske ofte + som operasjonstegn. Da bruker vi a for inversen til a. Oppgave 2.13. La a og b være elementer i en gruppe G. Da har a og b inverser a 1 og b 1. Finn et uttrykk for inversen til elementet a b i G. Undergrupper Definisjon 2.14. Gitt en gruppe G med operasjon. Da er en undergruppe av G en delmengde H av G slik at H med operasjonen blir en gruppe. Merk at dette krever at H er lukket under operasjonen. Eksempel 2.15. Se på eksemplene over. Eksempel 2.16. En gruppe G har alltid to undergrupper, nemlig G selv og undergruppen H = {e}, den trivielle undergruppen. Notasjon 2.17. At H er en undergruppe av G skriver boken kort som H G. Hvis H i tillegg ikke er G selv (dvs H er en ekte undergruppe av G) kan man skrive H < G for å angi dette. Eksempel 2.18 (Den spesielle linære gruppen). La SL(n, ) være alle n-ganger-n-matriser med reelle tall og determinant lik 1 og som matrisemultiplikasjon. Denne gruppen er ikke abelsk hvis n > 1! Og SL(n, ) < GL(n, ). Hva er SL(1, )? Teorem (5.14). En delmengde H av en gruppe G med operasjon er en undergruppe hvis og bare hvis 1. H er lukket under operasjonen. 2. Det nøytrale elementet e i G er også i H. 3. Hvis a er et element i H er også inversen til a med i H. Eksempel 2.19. Hvorfor er SL(n, ) en undergruppe av GL(n, )? Bruker teoremet. Sjekker betingelsene. (i) Hvis A og B er i SL(n, ) har vi det(a) = 1 og det(b) = 1. Generelt har vi at det(ab) = det(a) det(b). Altså får vi det(ab) = 1 1 = 1 og AB er i SL(n, ). (ii) Det nøytrale elementet i GL(n, ) er enhetsmatrisen I n. Den har determinant det(i n ) = 1... 1 = 1 så I n er i SL(n, ). (iii) Vi bruker multiplikasjonsregelen for determinanten med B = A 1 for å finne determinanten til inversen til A: det(a) det(a 1 ) = det(aa 1 ) = det(i n ) = 1 det(a 1 ) = 1 det(a) så For A i SL(n, ) er det(a) = 1 og vi får dermed at det(a 1 ) = 1! Altså er også A 1 i SL(n, ). Oppgave 2.20. La H være mengden av alle 3 3-matriser som har 0 overalt under hoveddiagonalen og bare 1 på hoveddiagonalen. Vis at H < SL(3, ) (for inversen bruk 3 radoperasjoner). Avgjør om H er abelsk. 4

Eksempel 2.21. Om gruppetabellen til en gruppe. Vi hadde at Rot 60 = {R θ 0 θ < 360 o og θ et multiplum av 60 o } med R θ R ϕ = R θ+ϕ mod 360 o var en gruppe med 6 elementer. Oppgave 2.22. Skriv opp gruppetabellen den er 6 6. Prøv å finne noen undergrupper av Rot 60. Sjekk med tabellen! Avsnitt 5-6: Sykliske (under)grupper Stoff: Orden til gruppe og element, sykliske undergrupper, generator for syklisk undergruppe, en undergruppe av en syklisk gruppe (6.6, 6.14) Oppgaver 6: 8 11, 17 20, 22 24, 32 34, 41, 45, 49, 51, 52 Vi innfører noen viktige grupper med et eksempel. Eksempel 2.23. La 10 = {0, 1, 2,..., 8, 9}. For elementer a og b i 10 definerer vi a b = a + b (mod 10), resten etter divisjon med 10. Dette påstår jeg gjør 10 til en gruppe (blir vist neste samling). (i) Hva er 7+8 og 6+4? (ii) Hva er det nøytrale elementet? (iii) Hva er inversen til 3? Hva er inversen til 5? Eksempel 2.24. Nå gjør vi det samme med 16. (i) Hva er 9+9+9 og 15+15+15+15? (ii) Hva er det nøytrale elementet? (iii) Hva er inversen til 11? Oppgave 2.25. Finn den minste undergruppen H av 16 som innholder a der a = 0, a = 1,..., a = 15. Finn spesielt antall elementer i H i hvert av tilfellene. Eksempel 2.26. Nå gjør vi det samme med 17. (i) Hva er inversen til 10? (ii) Finn 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7. Oppgave 2.27. Finn den minste undergruppen H av 17 som innholder a der a = 0, a = 1, a = 2,..., a = 16. Finn spesielt antall elementer i H i hvert av tilfellene. Eksempel 2.28. La 17 = {1, 2, 3,..., 16} med operasjonen a b = ab (mod 17). Dette påstår jeg er en gruppe. (i) Hva er det nøytrale elementet? (ii) Hva 7 8? Hva er inversen til 10? Oppgave 2.29. Finn den minste undergruppen H av 17 som innholder a der a = 1, a = 2,..., a = 16. Finn spesielt antall elementer i H i hvert av tilfellene. Teorem (5.17). La a være et element i gruppen G. Da er H = {a n n } en undergruppe av G og den minste undergruppen som innholder a. Definisjon 2.30. Anta a er et element i en gruppe G. Undergruppen a = {a n n } kalles den sykliske undergruppen generert av a. Vi sier også at en undergruppe H < G er en syklisk undergruppe hvis det finnes et element a slik at H = a. Hvis G er en syklisk undergruppe av seg selv kalles G en syklisk gruppe. Ordenen til elementet a er antall elementer i a. Vi skriver a for dette tallet. Ordenen til en gruppe G er antall elementer i gruppen. Vi skriver G for dette tallet. 5

Eksempel 2.31. Vi har at 6 15 har orden 5, dvs 6 = 5, og 15 = 15. Tilsvarende har R 240 Rot(60) orden 3, dvs R 240 = 3, og Rot(60) = 6. Oppgave 2.32. Finn fem elementer i GL(2, ) av orden to og to elementer av orden fire. Finn også et element som ikke har endelig orden. Oppgave 2.33. Finn den minste undergruppen H av 24 som innholder a og b der (i) a = 4 og b = 6 (ii) a = 6 og b = 9 (iii) a = 10 og b = 15 (iv) a = 12 og b = 15 (v) a = 21 og b = 10 Hva er mønsteret? Teorem (6.6). En undergruppe av en syklisk gruppe er syklisk. Kapittel 2, avsnitt 8: Permutasjonsgrupper Stoff: Permutasjoner, den symmetriske gruppen på n elementer S n, to viktige eksempler Oppgaver: 1, 4, 6 15, 18, 19, 39 En permutasjon av en mengde A er en avbildning (funksjon!) σ: A A som er bijektiv, dvs to elementer går ikke på det samme elementet og alle elementer blir truffet. Eksempel 2.34. La A = {1, 2, 3, 4}. Da kan vi skrive opp verditabellen for en permutasjon σ. Dette gir en standard skrivemåte. Hvis τ også er en permutasjon av A kan vi sette sammen σ og τ til τσ (som vi setter sammen funksjoner) eller med τ først: στ. Ofte vil τσ στ. F. eks. σ = 4 2 3 4 1 τ = 4 1 2 4 3 som gir τσ = Eksempel 2.35. Vi finner alle permutasjonene av {1, 2, 3}. ρ 0 = µ 1 = 1 3 2 ρ 1 = µ 2 3 1 2 = 3 2 1 ρ 2 = µ 3 1 2 3 = 2 1 3 4 στ 2 4 3 1 Så regner vi ut multiplikasjonstabellen (gjør det selv! den er altså 6 6). Dette er en gruppe og den heter S 3. Legg merke til at den ikke er abelsk (fordi?). Tilsvarende har vi S n og S A for enhver mengde A. Teorem (8.5). S n er en gruppe for alle heltall n > 0 og (mer generelt) S A er en gruppe for enhver mengde A. Eksempel 2.36. Gruppen D 3 av symmetrier av en likesidet trekant. Da er ρ 1 og ρ 2 (og ρ 0!) rotasjoner og µ i speilinger. Så D 3 = S 3. Oppgave 2.37. Finn undergrupper av D 3 ved å tenke på symmetrier av trekanten. Oppgave 2.38. D 4 er gruppen av symmetriene til kvadratet. Hvor mange elementer har D 4? Finn undergrupper av D 4 ved å tenke på symmetrier av kvadratet. 6

Avsnitt 9: Baner, sykler og de alternerende gruppene Stoff: Banen til et element i en permutasjonsgruppe, permutasjoner som produkter av sykler, transposisjoner (9.15), jevne og ujevne permutasjoner, den alternerende gruppen på n elementer A n (9.20) Oppgaver: 1, 3, 5, 7, 10, 13 18, 36, 37 Definisjon 2.39. En ekvivalensrelasjon på en mengde A er en delmengde av ordnede par R A A med tre egenskaper. Hvis (a, b) er et element i R skriver vi a R b. Egenskapene er da: (Refleksivitet) For alle elementer a er a R a. (Symmetri) Hvis a R b så b R a. (Transitivitet) Hvis a R b og b R c så holder også a R c. Eksempel 2.40. La A være mengden av alle brøker a hvor a og b er heltall med b 0. Da er b to brøker a b og c likeverdige hvis ad = bc. Likeverdighet er en ekvivalensrelasjon på mengden d av alle brøker A. Oppgave 2.41. Vis dette! Når vi har en ekvivalensrelasjon på en mengde A kan vi samle alle elementer som er ekvivalente i en delmengde av A. Denne delmengden kalles en ekvivalensklasse. Mengden A deles opp i ekvivalensklasser fordi to ulike ekvivalensklasser ikke overlapper (pga transitiviteten). Hvis a er et element i A skriver vi gjerne [a] for ekvivalensklassen som består av alle elementer som er ekvivalente med a. Omvendt, hvis vi deler en mengde A opp i ikke-overlappende delmengder (en partisjon av A) kan vi definere en ekvivalensrelasjon ved å si at to elementer er ekvivalente hvis de ligger i samme delmengde. Eksempel 2.42. De rasjonale tallene er mengden av ekvivalensklasser [ a ] av brøker. b Se også læreboken 0.18-22. Definisjon 2.43. Anta σ er en permutasjon av en mengde A. Vi sier at elementet b er i banen til a under σ hvis det finnes et heltall n slik at b = σ n (a). Vi skriver a σ b. Lemma 2.44. Relasjonen σ er en ekvivalensrelasjon. Bevis. Vi sjekker egenskapene. (Refleksivitet) For alle elementer a er a σ a: Vi kan velge n = 0. Siden σ 0 = id er a = σ 0 (a). (Symmetri) Hvis a σ b så b σ a: Vi har at b = σ n (a) for et heltall n. Vi multipliserer med σ n til venstre på begge sider og får a = σ n (b), altså b σ a. (Transitivitet) Hvis a σ b og b σ c så holder også a σ c: Vi har b = σ n (a) og c = σ m (b) for heltall n og m. Det følger at σ m+n (a) = σ m (σ n (a)) = σ m (b) = c så a σ c. Ekvivalensklassen [a] = {b a σ b} til a kalles for banen til a under σ. Mengden A deles altså opp i baner. Eksempel 2.45. Anta σ = 4 5 4 1 5 2 3 Da er banen til 1 under σ gitt ved å anvende σ flere ganger: 1 σ 4 σ 2 σ 1 Skrivemåte: (1, 4, 2) forteller det samme (her er rekkefølgen viktig). Dette kalles for en sykel (av lengde 3). Altså er banen til 1 gitt som [1] = {1, 2, 4} (her betyr ikke rekkefølgen noe). 7

Spørsmål. Hva er banen til 2? Hva er banen til 5? Hvor mange ekvivalensklasser får vi? Hvor mange baner har σ? Definisjon 2.46. Vi sier at en permutasjon σ i S n er en sykel hvis den (maksimalt) har én bane med flere enn et element. Eksempel 2.47. Permutasjonen τ = 4 5 1 5 3 2 4 har følgende baner: [1] = {1}, [2] = {2, 4, 5}, [3] = {3}, [4] = {2, 4, 5}, [5] = {2, 4, 5}. Det er bare en bane med flere enn ett element, nemlig {2, 4, 5}. Altså er τ en sykel. Eksempel 2.48. I Eksempel 2.45 er σ ikke en sykel fordi den har to baner (med mer enn et element), en av lengde 3 og en av lengde 2. Vi kan allikevel skrive σ som et produkt av to sykler: σ = (1, 4, 2)(3, 5). Tenk på dette produktet som en sammensetning av to funksjoner. Spørsmål 2.49. Gir produktet av sykler (3, 5)(1, 4, 2) en annen permutasjon? Er (1, 4, 2) = (2, 1, 4)? Hva er inversen til (3, 5)(1, 4, 2)? Teorem (9.8). Enhver permutasjon σ av en endelig mengde er et produkt av disjunkte sykler. Dette gir en alternativ (kortere) skrivemåte for alle permutasjoner. Oppgave 2.50. Skriv følgende permutasjoner som produkter av disjunkte sykler. 4 4 5 σ 1 = σ 4 3 2 1 2 = 2 3 4 5 1 4 5 4 5 6 7 σ 3 = σ 5 2 4 1 3 4 = 2 6 7 5 3 1 4 Oppgave 2.51. Permutasjonen σ ligger i S 8 og er gitt ved produktet av sykler σ = (1, 7)(2, 5, 3)(4, 8). Skriv opp permutasjonen σ i lang notasjon. Oppgave 2.52. La σ og τ være to permutasjoner i S 8 hvor σ = (1, 3, 5, 7)(2, 4, 6, 8) og τ = (1, 6)(2, 8, 5, 3). Finn τσ i sykelnotasjon [Svar: (1, 2, 4)(5, 7, 6)]. Finn også τ 1. Definisjon 2.53. En sykel av lengde 2 kalles en transposisjon. Teorem (9.12). Enhver permutasjon av en mengde på minst to elementer kan skrives som et produkt av transposisjoner. Eksempel 2.54. Sykelen (1, 2, 3, 4, 5) er f. eks. lik (1, 5)(1, 4)(1, 3)(1, 2) leses fra høyre fordi det er en sammensetning av funksjoner! Eller langsommere: 4 5 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 Fordi permutasjonen (1, 2, 3, 4, 5) kan skrives som et produkt av et jevnt (par) antall transposisjoner sier vi at den er jevn. Hvis en permutasjon kan skrives som et produkt av et odde antall transposisjoner kalles den odde. Teorem (9.15). En permutasjon av en endelig mengde kan ikke både være jevn og odde. Anta n 2. La A n være mengden av jevne permutasjoner i S n. 8

Teorem (9.20). La n 2. Da er A n en undergruppe av S n. Antall elementer i S n er n! og antall elementer i A n er halvparten; n! 2 Bevis. Vi sjekker undergruppekritériene: 1. Hvis σ og τ er to permutasjoner som begge kan skrives som produkter av et jevnt antall transposisjoner, vil produktet τσ være produktet av disse to produktene av transposisjoner og fordi jevn + jevn = jevn må τσ være en jevn permutasjon. 2. Identitetspermutasjonen er produktet av ingen, altså 0 transposisjoner, og er derfor med i A n. 3. En transposisjon er sin egen invers. Inversen til et produkt av transposisjoner er derfor produktet av de samme transposisjonene i motsatt rekkefølge. Dette viser spesielt at inversene til elementene i A n selv er med i A n. Avbildningen σ (1, 2)σ er en 1-til-1-avbildning (bijeksjon) fra de jevne til de odde permutasjonene (og den er sin egen invers). Altså er det like mange jevne som odde permutasjoner. Avsnitt 10: Restklasser og Lagrange teorem Stoff: Venstre- og høyre restklasser (10.1), restklasser i gruppetabeller, Lagrange teorem om ordenen til en undergruppe (10.10 12), indeksen til en undergruppe Oppgaver: 1, 4, 6, 7, 12, 14, 15, 19 22, 24, 34 Hvis vi har en undergruppe H av en gruppe G kan vi definere en relasjon på elementene i G. Hvis a og b er elementer i G setter vi a H b hvis a 1 b H. Teorem 2.55. Dette gir en ekvivalensrelasjon. Bevis. Vi sjekker kritériene for en ekvivalensrelasjon: 1. (Refleksivitet) a H a fordi a 1 a = e og det nøytrale elementet er et element i H siden H er en undergruppe. 2. (Symmetri) Anta a H b, dvs at a 1 b H. Vi vil vise at b H a, dvs at b 1 a H. Men hvis a 1 b H er også inversen (a 1 b) 1 = b 1 (a 1 ) 1 = b 1 a med i H siden H er en undergruppe. 3. (Transitivitet) Anta a H b og b H c, dvs a 1 b H og b 1 c H. Da har vi at også produktet (a 1 b)(b 1 c) er med i H siden H er en undergruppe. Vi regner ut produktet ved å bruke assosiativitet: (a 1 b)(b 1 c) = a 1 (bb 1 )c = a 1 c og dermed er a H c. Definisjon 2.56. Anta H er en undergruppe av G og a et element i G. Da definerer vi ah som mengden av alle elementer ah i G for h i H, kortere: ah = {ah h H}. Vi kaller ah for den venstre restklassen til H som inneholder a. Spørsmål 2.57. Hvorfor ligger a i ah? Forklar hvorfor ah = bh hvis og bare hvis a H b. Lemma 2.58. Alle venstre restklasser inneholder like mange elementer som H. Bevis. Vi lager en avbildning (funksjon) fra H til ah ved å sende h i H på ah i ah. Vi viser at denne avbildningen er en bijeksjon: Hvis to elementer h 1 og h 2 i H går på det samme elementet i ah har vi ah 1 = ah 2 dvs a 1 ah 1 = a 1 ah 2 dvs h 1 = h 2 (avbildningen er injektiv). Alle elementer i ah treffes (avbildningen er surjektiv): Hvis c er et element i ah har vi at c = ah for en h i H per definisjon av ah. Fra dette følger det et fint resultat: 9

Teorem (Lagrange). Hvis H er en undergruppe av en endelig gruppe G må ordenen til H dele ordenen til G. Bevis. De venstre restklassene til H deler G opp i disjunkte mengder fordi hver restklasse inneholder alle elementer som var ekvivalente under ekvivalensrelasjonen vi definerte ved hjelp av H, se Teorem 2.55. Alle restklassene har like mange elementer som H, se Lemma 2.58. Altså må ordenen til H dele ordenen til G. Korollar 2.59. Hvis G er en gruppe av orden p hvor p er et primtall så er G en syklisk gruppe. Oppgave 2.60. Bevis dette ved å bruke Lagrange teorem. Hint: Ta et element i G som ikke er det nøytrale elementet og se på undergruppen det elementet genererer. Korollar 2.61. Ordenen til et element (se Definisjon 2.30) i en endelig gruppe deler ordenen til gruppen. Oppgave 2.62. Bevis dette også! Hint: Beviset ligner på det forrige beviset. Avsnitt 11: Direkte produkt av grupper Stoff: Direkte produkt (11.2), direkte produkt av endelige sykliske grupper (11.5 6, 11.9) Oppgaver: 1 4, 6, 9, 15, 17, 45 Hvis vi har to grupper G 1, 1 og G 2, 2 kan vi lage en ny gruppe som kalles det direkte produktet av de to gruppene og skrives G 1 G 2. Elementene i produktet er alle ordnede par (a, b) hvor a G 1 og b G 2. Vi multipliserer komponentvis: (a, b) (c, d) = (a 1 c, b 2 d). Dette blir en nye gruppe! Eksempel 2.63. La G 1 = 3 og G 2 = 4. La G være produktet av de to gruppene; G = G 1 G 2. Spørsmål. Hva er (2, 3) + (2, 1)? Hva er inversen til (1, 1)? Hva er det nøytrale elementet i G? Finn G. Oppgave 2.64. La G = 3 4. (i) Finn ordenen til (1, 1). (ii) Elementet (2, 2) genererer en undergruppe H. Finn ordenen til H. (iii) Finn hvilke par (a, b) som genererer G. Oppgave 2.65. Finn ordenen til elementet a i 12 18 når (i) a = (3, 3) (ii) a = (8, 6) (iii) a = (5, 4) (iv) a = (7, 12) (v) a = (5, 5) Oppgave 2.66. Avgjør om 4 6 er en syklisk gruppe. 10