74 9 Rotasjon 9 Rotasjon 9.1 Rotasjonsbevegelse 9.101 a) I en sirkel med radius 2,50 m spenner en vinkel v over en bue på 1,50 m. Hvor stor er v i radianer og i grader? b) En sirkelbue som er 14,0 cm lang, spenner over en vinkel på 128. Hva er radien i sirkelen? c) Vinkelen mellom to radier i en sirkel med radien 1,50 m er 0,700 rad. Hvor lang er sirkelbuen som vinkelen spenner over? 9.102 En flypropell gjør 1900 omdr/min. a) Hva er vinkelfarten i rad/s? b) Hvor lang tid bruker propellen på å dreie 35? 9.103 En elektrisk vifte gjør 500 omdr/min. Vifta blir slått av. Rotasjonsfarten avtar da jevnt til 200 omdr/min på 4,0 s. a) Hvor stor er vinkelakselerasjonen? b) Hvor stor er baneakselerasjonen til et punkt på viftebladet som er 40 cm fra rotasjonsaksen? 9.104 Et sirkulært sagblad med diameteren 60,0 cm blir satt i gang, og etter 6,00 s er vinkelfarten til sagbladet blitt 140 rad/s. a) Finn den gjennomsnittlige vinkelakselera sjonen. b) Hva er baneakselerasjonen til et punkt på periferien til sagbladet? 9.105 Et svinghjul med diameteren 1,20 m gjør 200 omdr/min. a) Hva er vinkelfarten til svinghjulet i rad/s? b) Hva er banefarten til et punkt på periferien? Hjulet øker vinkelfarten jevnt til 1000 omdr/min på 60 s. c) Hva er vinkelakselerasjonen? 9.106 Et sagblad har diameteren 75 cm. Et punkt på periferien til sagbladet øker farten jevnt fra 10 m/s til 20 m/s på 6,0 s. Hvor stor er vinkelakselerasjonen til sag bladet i dette tidsintervallet? 9.107 Et svinghjul med radien 40 cm har den konstante vinkelakselerasjonen 0,60 rad/s 2. Hjulet starter fra ro. Finn baneakselerasjonen og banefarten for et punkt på periferien a) ved starten b) etter 2,5 s c) etter 4,0 s 9.2 Kraftmoment og vinkelakselerasjon 9.108 Fire legemer med massene 2,0 kg, 3,0 kg, 1,0 kg og 1,5 kg er plassert langs en rett linje som vist på figuren. 1,0 m 1,0 m 1,0 m 2,0 kg 3,0 kg 1,0 kg 1,5 kg Finn treghetsmomentet til dette systemet om en akse som står vinkelrett på l, og som går gjennom a) 3,0 kg-massen b) 1,0 kg-massen 9.109 Vi har en jevntykk bjelke med massen 4,00 kg og lengden 2,00 m. I hver ende av bjelken er det festet to små kuler, hver med massen 0,500 kg. Regn ut treghetsmomentet til dette systemet om en akse vinkelrett på bjelken 1) gjennom den ene enden 2) gjennom midtpunktet til bjelken l
9 Rotasjon 75 9.110 + Anslå ditt eget treghetsmoment om en vertikal akse gjennom midtpunktet på toppen av hodet ditt når du står rett opp med armene strekt rett ut. Mål eller gjør rimelige anslag av størrelsene du trenger. 9.111 Et vognhjul er laget slik figuren nedenfor viser. Hjulet har radien 30 cm, og selve hjulet har massen 3,0 kg. Hver av de åtte eikene har massen 0,20 kg. Finn treghetsmomentet til hjulet om en akse som går vinkelrett på hjulplanet, gjennom sentrum. 9.115 En snor er surret rundt en homogen sylindrisk skive med radien 60 cm og massen 9,0 kg. Skiva kan rotere friksjonsfritt om en horisontal akse gjennom sentrum. a) Regn ut vinkelakselerasjonen til skiva når vi drar i snora med en konstant kraft på 20 N. b) Vi fester så et lodd i snora og lar loddet falle fritt til bakken. Tyngdekraften på loddet er 20 N. Hva er vinkelakselerasjonen nå? 9.116 + Figuren nedenfor viser en såkalt Atwood maskin. Trinsa er en ring. Vi holder først loddet til venstre i ro, og så slipper vi. Finn akselerasjonen til loddene. Du kan se bort fra massen til eikene og friksjon i trinse festet. Tips: Snordraget er ikke det samme på begge sider av trinsa. 9.112 En stuper har treghetsmomentet 12 kgm 2. Under satsen øker vinkelfarten fra 0 til 6,0 rad/s i løpet av 0,20 s. a) Finn vinkelakselerasjonen under satsen. b) Hvor stort er kraftmomentet på stuperen under satsen? 9.113 En møllestein som er formet som en homogen sylinder med radius 8,0 cm, har massen 2,0 kg. a) Hva er treghetsmomentet til steinen om en akse vinkelrett på steinen gjennom sentrum? b) Hvor stort kraftmoment trengs for å akselerere steinen fra ro til vinkelfarten 120 rad/s på 8,0 s? m 1 r M m 2 M = 3,00 kg r = 10,0 cm m 1 = 15,0 kg m 2 = 10,0 kg 9.114 En lett snor er surret rundt et hjul med radien 30 cm. Når vi drar i snora med en konstant kraft på 8,0 N, kommer hjulet i rotasjonsbevegelse om en akse gjennom sentrum. Etter 2,0 s er vinkelfarten blitt 6,28 rad/s. a) Regn ut vinkelakselerasjonen til hjulet. Vi forutsetter at snora hele tida er vinkelrett på hjulradien. b) Finn treghetsmomentet til hjulet. 9.3 Rotasjonsenergi 9.117 En meterstav med massen 220 g kan rotere om en akse som står vinkelrett på staven, og som går gjennom 50 cm-merket. a) Regn ut treghetsmomentet til staven om denne aksen. b) Hvor stor rotasjonsenergi har staven hvis den roterer med vinkelfarten 20 rad/s?
76 9 Rotasjon 9.118 En flypropell er 2,08 m lang (fra ende til ende) og har massen 117 kg. Du kan se på flypropellen som ei tynn stang. Propellen gjør 2400 omdr/min. Hva er rotasjonsenergien til propellen? 9.119 Vi ser på jorda som en homogen kule. Massen er 5,97 10 24 kg, og radien er 6,37 10 6 m. Jorda roterer om en akse gjennom jordsentrum og polene. a) Finn treghetsmomentet til jorda om denne aksen. b) Hva er vinkelfarten til jorda? c) Finn rotasjonsenergien til jorda. 9.120 + En 20 cm lang blyant balanserer på spissen. Så faller den, men blyantspissen flytter seg ikke i fallet. a) Hvor stor er vinkelfarten idet toppenden treffer bordet? b) Hvor stor fart har toppenden da? 9.121 Noen varebiler blir drevet av energi som er lagret i et svinghjul. Varebilene blir ladd opp ved at en elektrisk motor blir brukt til å gi svinghjulet den største vinkelfarten det kan ha, 600 rad/s. Svinghjulet er en homogen sylinder med massen 500 kg og radien 90 cm. a) Hvor stor rotasjonsenergi har svinghjulet etter oppladning? En slik varebil krever en gjennomsnittseffekt på 7,5 kw i bruk. b) Hvor lenge kan varebilen gå mellom hver oppladning? 9.122 + Et lodd med massen 50 g er festet til en sytråd som er surret rundt en homogen sylindrisk skive med massen 400 g og radien 12 cm. Sylinderskiva kan rotere friksjons fritt om en aksel som faller sammen med sylinderens symmetriakse. Vi holder loddet i ro med snora stram, og så slipper vi. a) Finn farten til loddet når det har falt 75 cm. b) Hvor stor er rotasjonsenergien til sylinderskiva da? 9.123 En kule med massen 2,5 kg ruller uten å gli. Farten til tyngdepunket er 10 m/s. a) Beregn den translatorisk kinetiske energien til kula. b) Beregn rotasjonsenergien til kula. c) Beregn den samlede kinetiske energien til kula. d) Gjenta beregningene for et sylinderskall (en hul sylinder) med samme masse og fart. 9.124 En homogen kule, en homogen sylinder og et hjul alle med massen 3,0 kg ruller på et horisontalt underlag. Tyngdepunktene har samme fart, 6,0 m/s. Bestem den samlede kinetiske energien til hvert av de tre legemene. 9.125 + Et sykkelhjul, en homogen sylinder og en kule som har like radier og masser, ruller om kapp nedover et skråplan. a) Hvem vinner, og hvem taper? Et sykkelhjul, en homogen sylinder og en kule som har ulike radier og masser, ruller om kapp nedover et skråplan. b) Hvem vinner, og hvem taper? 9.126 + En homogen sylinder som har massen 1,5 kg og radien 12 cm, blir rullet i gang oppover et skråplan med hellingsvinkelen 28. Begynnelsesfarten til sylinderens tyngde punkt er 5,0 m/s. a) Hvor langt oppover skråplanet ruller sylinderen før den snur? b) Finn tyngdepunktets akselerasjon. 9.4 Spinn 9.127 En kvinne med massen 50 kg står ytterst på en stor sylindrisk skive med massen 110 kg og radien 4,0 m. Skiva gjør 0,50 omdr/s om en akse gjennom sentrum av skiva. Regn ut spinnet til dette systemet.
9 Rotasjon 77 9.128 En homogen sylindrisk skive med radius 0,60 m roterer i et horisontalt plan om en vertikal akse gjennom midtpunktet. Skiva har massen 1,2 kg, og den gjør 240 omdr/min. a) Regn ut treghetsmomentet til skiva om aksen. b) Finn spinnet til skiva. 9.133 a) En sykkel står opp ned. Forhjulet roterer, og det har en vinkelakselerasjon. 9.129 a) Definer størrelsen spinn og formuler bevaringsloven for spinn. En kunstløper roterer med armene strukket rett oppover. Så senker han armene til de blir horisontale. b) Hva skjer med vinkelfarten? c) Vil rotasjonsenergien til kunstløperen øke eller minke? Forklar. 9.130 En kunstløper har treghetsmomentet 5,0 kgm 2 når hun har begge armene og et bein utstrakt. Hun roterer med vinkelfarten 4,0 rad/s. Når hun trekker til seg armene og beinet, blir treghets momentet 0,60 kgm 2. a) Hva blir da vinkelfarten? b) Finn endringen i rotasjonsenergien til kunst løperen. Se på figuren ovenfor. Hvilke av størrelsene nedenfor kan pilene på figuren symbolisere? Begrunn svarene dine kort. 1. banefart 2. baneakselerasjon 3. sentripetalakselerasjon b) En amerikansk fotball (den sigarformede varianten) blir kastet slik at den roterer jevnt rundt sin lange akse med 7,7 omdreininger per sekund mens den er i svevet. 9.131 + En kuleformet stjerne med radius 7,0 10 8 m roterer om sin egen akse med omløpstida 30 d. Så kollapser stjernen (uten massetap) og blir til en nøytronstjerne med radius 1,6 10 4 m. Hvor stor blir omløpstida til nøytron stjernen? Blandede oppgaver 9.132 Svinghjulet i en maskin er formet som en ring med radien 20 cm. Massen til svinghjulet er 16 kg. Svinghjulet er først i ro. Så blir det satt i rotasjon om en akse gjennom sentrum, og vinkelfarten øker jevnt til 250 rad/s på 4,0 s. a) Finn spinnet og rotasjonsenergien til svinghjulet etter 4,0 s. b) Hvor stort var kraftmomentet på svinghjulet? Hvilken vinkelfart svarer dette til? c) Hvor stort spinn har ballen når vi antar at den har treghetsmomentet 8,0 10 3 kgm 2? d) Ballen blir kastet slik at den i tillegg har en lineær utgangsfart på 19 m/s. Ballens masse er 750 g. Hva er ballens totale kinetiske energi?
78 9 9.134 a) Utled Newtons 2. lov på rotasjonsform, ΣM = Iα, fra Newtons 2. lov på formen ΣF = ma. Du skal dra i gang et leketøysgyroskop. Gyroskopet består av et svinghjul på en aksling og et oppheng som akslingen er festet til. Figuren viser bare selve svinghjulet med akslingen. Sett fra siden Sett ovenfra Akslingen har radien 2,1 mm. En snor er viklet rundt akslingen. Du drar i snora med en konstant kraft på F = 15 N. I løpet av 1,8 s er vinkelfarten kommet opp i 317 rad/s. b) Bestem vinkelakselerasjonen til gyroskopet mens du dro i snora, og vis at gyroskopet har treghetsmoment 1,8 10 4 kgm 2. c) Hvor stor kinetiske energi har gyroskopet? 9.135 I en ulykke på en fjelltur falt Lise ned i snøen og er nå noen meter under overflaten. Tyngdekraften på Lise med utstyr er 1000 N. Venninnen Linda kommer til for å hjelpe Lise opp av hullet i snøen. Hun tar fram en vinsj fra ryggsekken, fester den og slipper tauet ned til Lise. Vinsjen består av en sylinder med radius 10 cm som tauet er viklet opp rundt. Til sylinderen er det koplet en sveiv med lengde 50 cm. Se figur. F F b) Linda sveiver deretter på vinsjen med en gjennomsnittlig vinkelfart på 3,0 rad/s. Hvor stor fart blir Lise nå løftet opp med? 9.136 a) Sammenhengen mellom kreftene som virker på et punktlegeme, og legemets akselerasjon er gitt ved Newtons 2. lov, ΣF = ma, der m er legemets masse. Bruk denne loven til å utlede den tilsvarende loven for rotasjonsbevegelsen til en punktmasse, ΣM = Iα. b) Her på jorda har døgnet 24 timer. Hvilken vinkelfart tilsvarer det? c) Ønsker du ofte at døgnet skulle ha mer enn 24 timer? Det ønsket får du oppfylt! For hvert hundre tusen år øker døgnlengden med omlag ett sekund. Vis at den tilsvarende vinkelakselerasjonen er 2,7 10 22 rad/s 2. d) Hvor mange år tar det før døgnlengden blir 25 timer? e) Hvor stort er det kraftmomentet som skal til for å oppnå denne akselerasjonen? Anta at jorda er en homogen kule med treghetsmomentet I = 2 5 mr 2. 9.137 Thora og Thorvald skal på hyttetur. På veg til hytta må de åpne bommen som stenger skogsbilvegen. Bommen har total lengde L = 3,0 m og total masse M = 60 kg. Den kan rotere friksjonsløst om en akse som er plassert i avstanden L 3 fra enden av bommen. Bommen kan betraktes som sammensatt av to tynne homogene stenger som hver har samme masse, men forskjellig lengde, L 3 og 2L 3. Den frie enden av bommen hviler på en bukk når bommen er lukket i horisontal stilling. a) Hvor stor er kraften fra bommen på bukken? 2L 3 L 3 θ a) Vinsjen har et treghetsmoment på 0,12 kgm 2. Linda drar først med en kraft på 250 N vinkelrett på vinsjhåndtaket. Bestem vinkelakselerasjonen og snor draget. Du kan se bort fra friksjonskraften fra snøen.
9 Rotasjon 79 b) Vis at bommens treghetsmoment om rotasjonsaksen er I = 5 54 ML2, når du vet at treghetsmomentet for ei jevntykk stang med masse m og lengde l som roterer om en ende, er 1 3 ml2. c) Thorvald tar tak ytterst i bommen og løfter med en vertikal kraft på 100 N. Hvor stor er bommens vinkelakselerasjon i det den begynner å åpne seg? d) Kraften som skal til for å løfte bommen (i enden), avtar etter hvert som bommen åpnes. Forklar hvorfor. Vel framme på hytta skal Thorvald steke torskerogn, Thoras favorittmiddag. Han vet at det står to hermetikkbokser i skapet, en med torskerogn og en med lettflytende suppe, men ser til sin gru at papiretikettene er helt oppspist av mus. Begge boksene er helt like med radius r = 5,0 cm. Selve boksene veier 50 g hver, og innholdet veier 500 g. Thora løser problemet ved å la de to boksene rulle nedover et skråplan med den øvre enden 30 cm over golvet. Hun antar at suppa inne i boksen ikke settes i rotasjon. På egen hånd 9.138 Bygg en ballfelle av et brett en lang bordbit som er hengslet til en kort bordbit, se figuren nedenfor. Når du slipper brettet, vil ballen, som ligger løs i en grop øverst på brettet, lande i koppen som er festet litt lenger nede på brettet. (Legg litt bomull eller liknende i koppen og bruk en ball som spretter dårlig, slik at den ikke hopper ut av koppen når den treffer.) Gjør forsøk og bestem hvilket område startvinkelen må ligge innenfor for at ballen skal treffe koppen. Gjør beregninger som bekrefter observa sjonene dine. 100 cm 20 cm v h e) Begrunn kort hvilken av boksene som først vil nå golvet. f) Bruk energibetraktninger for å beregne farten til en av boksene (velg selv) idet den når golvet etter å ha rullet fra høyden h = 30 cm. Treghetsmomentet om symmetriaksen er I = 1 2 mr2 for en sylinder og I = mr 2 for et sylinderskall (hul sylinder). 9.139 Gå i en velassortert leketøysbutikk og kjøp et gyroskop. Studer bruksanvisningen og undersøk de eksperimentene som foreslås der. Hvis de ikke har gyroskop, kan du kjøpe en snurrebass og sette den i gang. Da snurrer den lenge på spissen uten å falle. Dersom den ikke snurrer, faller den øyeblikkelig ned om du stiller den på spissen sin. Kan du forklare det du observerer ved hjelp av bevaringsloven for bevegelsesmengde? Tips: Du må bruke vektordefinisjonen av spinn.