TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave Blandet drops a) Tippekupong På en tippekupong er det gitt 2 fotballkamper. For hver kamp skal en tippe om det blir hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B). En tipperekke består av ett tips for hver av de 2 kampene. Hvor mange forskjellige rekker kan en tippe?. 7747 2. 728 3. 47900600 4. 220 5. 5344 b) Idrettslag NTNUI (NTNUs idrettslag) skal være med på en stafett der det er åtte etapper. Treneren har bestemt hvilke åtte løpere som skal være med på stafettlaget, men hun har enda ikke bestemt hvilken rekkefølge de skal løpe i. Hvor mange slike rekkefølger er det?. 5230 2. 36 3. 40320 4. 2060 5. 256 c) Royal League Royal League arrangeres for første gang i Skandinavia i 2004, med 4 lag fra Norge, 4 lag fra Sverige og 4 lag fra Danmark. De 4 lagene fra Norge er de som endte på de 4 første plassene i eliteserien. I eliteserien i Norge deltok 4 lag i 2004. Hvor mange mulige kombinasjoner av lag kunne ha deltatt i Royal League fra Norge?. 24 2. 00 3. 284 4. 24024 oving7-oppg-b 3. februar 2008 Side
5. 877829200 d) Kumulativ sannsynlighet Den diskrete stokastiske variablen X har punktsannsynlighet x 2 3 4 5 6 P(X = x) 0.25 0.05 0.2 0. 0.35 0.05 Hva er den kumulative sannsynligheten F(4) = P(X 4)?. 0.3 2. 0.5 3. 0.6 4. 0.95 5. e) Levetid Levetiden X (målt i år) til en bestemt type mekaniske komponenter har vist seg å følge en fordeling med kumulativ fordelingsfunksjon gitt ved F(x) = exp ( x2 2α ) der α er en parameter som beskriver kvaliteten til komponentene. Hva er sannsynlighetstettheten til X? x x2. α exp ( 2α ) 2. x α 2 exp ( x2 2α ) 3. αxexp ( x2 2α ) 4. x 2 α 2 exp ( x2 2α ) 5. 0 f) Kumulativ sannsynlighet 2 X og Y har simultansannsynlighetstetthet f(x, y). For at { kxy 0 < x <,0 < y < f(x,y) = 0 ellers skal tilfredsstille kravene til å være en sannsynlighetstetthet, må k være. 4 2. 2 3. 4. 2 5. 4
g) Buss 9 Antall passasjerer på buss 9 til Dragvoll har fordelingen: f(x ukedag) = f(x lørdag) = f(x søndag) = Poiss(4)) for x = 0,..,56 56 for x = 0,..,42 42 Vi ser på en tilfeldig valgt dag, hva er forventet antall passasjerer den tilfeldig valgte dagen?. 56 2. 42 3. 4 4. 2 5. 25 h) Forventning En diskret stokastisk variabel X har punktsannsynlighet gitt som x -2-0 2 f(x) 0. 0. 0.5 0.2 0. Da er forventning og standardavvik lik:. E(X) = 0. og SD(X) =.0 2. E(X) = 0. og SD(X) =.04 3. E(X) = 0.0 og SD(X) =.00 4. E(X) = 0. og SD(X) =.04 5. E(X) = 0. og SD(X) =.0 i) Hvilken fordeling? Vi har en prosess som kan beskrives som følgende:. Eksperimentet består av n gjentatte forsøk. 2. Hvert forsøk undersøker man om en hendelse A inntreffer (suksess) eller ikke (A =fiasko). 3. Sannsynligheten for hendelsen A (suksess) kaller vi p, og denne er den samme fra forsøk til forsøk. 4. De n gjentatte forsøkene er uavhengige av hverandre. Vi lar videre den stokastiske variablen X være antall ganger hendelsen A (suksess) inntreffer på de n uavhengige forsøkene. Hvilken fordeling har X?. Hypergeometrisk
2. Binomisk 3. Negativ binomisk 4. Geometrisk 5. Poisson j) Poisson Antall trær innenfor et areal av størrelse a viser seg å være Poisson-fordelt med forventning 5a. Hvor stort må arealet minst være for at sannsynligheten for at det skal være minst ett tre der skal være større enn 0.9?. -2.20 2. 0.5 3. 0.30 4..05 5. 2.6 k) Jegeren En jeger skyter 3 tilfeldig utvalgte voksne elger i et område der det er 4 hanner og 3 hunner. Sannsynligheten for at han skyter en hann og to hunner er da. 0.34 2. 0.54 3. 0.66 4. 0.87 5. 2.0 l) Temperatur Vi ser på dagtemperaturen i Trondheim i juli, og finner at dagtemperaturen er tilnærmet normalfordelt med forventning 5 grader og standardavvik 5 grader. Hva er sannsynligheten for at dagtemperaturen en tilfeldig valgt dag i juli er lavere enn 5 grader eller høyere enn 20 grader?. 0.05 2. 0.0 3. 0.8 4. 0.77 5. 0.86 m) Levetid 2 Levetiden til en vedlikeholdsenhet kan antas å være eksponensialtfordelt med forventning 40000 timer. Hvor stor er sannsynligheten for at enheten fungerer etter 40000 timers drift? (Oppgave tatt fra faget Maintenance Management ).. 0.63
2. 0.37 3. 0.50 4..00 5. 0.25 n) Normalfordeling La X være en normalfordelt stokastisk variabel med forventning µ og varians σ 2. Da er den stokastiske variablen Z = X µ σ 2. Kjikvadratfordelt med frihetsgrad 2. Standard normalfordelt 3. Normalfordelt med E(Z) = 0 og Var(Z) = σ 2 4. Gammafordelt med E(Z) = 0 og Var(Z) = 5. Poissonfordelt med µ = 0 o) Finn sannsynlighetstetthet La X være kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet { 3e 3x for x 0 f(x) = 0 ellers Vi definerer Y = X. Sannsynlighetstettheten til Y er da for y 0. 0 2. 3 y e 3 y 3. 3 y 2 e 3 y 4. 3ye 3 y 5. 3y 2 e 3 y p) Levetid 3 Levetiden til en vilkårlig bilsikring, T, er en tilfeldig variabel som oppgis å tilhøre sannsynlighetsfordelingsklassen { 0 t 0 f(t;α) = 2αte αt2 t > 0 hvor α > 0 er en ukjent parameter. Hver bil inneholder 5 sikringer og det elektriske systemet fungerer så lenge alle 5 sikringene fungerer. Anta at de 5 sikringene i en bil feiler uavhengig av hverandre. Finn tettheten til levetiden for det elektriske systemet.
q) Tennis To spillere A og B spiller en tenniskamp der førstemann som vinner 3 set vinner kampen. Spillerne er like gode, så en kan anta at sannsynligheten for å vinne hvert set er 0.5 for begge spillere. Anta dessuten at set-resultatene er uavhengige av hverandre. Dersom A leder -0 i set, hva er sannsynligheten for at han vil vinne kampen? Oppgave 2 Simultanfordeling - Eksamen august 2006, oppgave 4 av 4 Simultanfordelingen, f(x, y), til de to diskrete stokastiske variablene X og Y er gitt i følgende tabell: y=0 y= y=2 x=- 6 2 2 x=0 2 6 2 x= 2 2 6 Finn marginalfordelingen til X og til Y, og beregn forventning og varians til X og til Y. Beregn kovariansen mellom X og Y, Cov(X, Y ). Er X og Y uavhengige? Svaret skal begrunnes. Oppgave 3 Eksamen desember 2007 - Vinkorker (oppgave 3 av 3, punkt a av a-c) Kraften som er nødvendig for å trekke ut en kork fra en vinflaske er en viktig egenskap ved korken. Dersom kraften er for liten gir ikke korken nok beskyttelse mot innsig av luft for vinen inni flasken. Dersom kraften er for stor, vil korken være vanskelig å fjerne. Kraften (Newton) for en bestemt korktype kan antas normalfordelt (Gaussisk fordelt) med forventning µ og standardavvik σ. a) Anta i dette punktet at kraften har forventning 30.0 og standardavvik 36.0. Hva er sannsynligheten for at kraften som er nødvendig for å trekke ut en kork er mellom 300.0 og 30.0? En kork ble utsatt for en kraft på 330 uten at korken gikk ut. Hva er sannsynligheten for at en kraft større enn 360 er nødvendig for å trekke ut korken?
For et utvalg på 8 korker, hva er sannsynligheten for at utvalgsgjennomsnittet av kreftene er større enn 320? Oppgave 4 Eksamen desember 2007 - Valg i kommune (Oppgave av 3) I kommunestyrevalget i en Vestlandskommune er det kun to lister, Borgelig fellesliste KBF og Sosialistisk fellesliste KSF. Det er sannsynlighet 0.70 for at en vilkårlig velger stemmer KBF og sannsynlighet 0.30 for at han stemmer KSF. Anta at velgerne ankommer valglokalene i tilfeldig rekkefølge på valgdagen samt at antallet stemmeberettigete er stort nok til at en kan anta at de ti første som stemmer har samme stemmesannsynlighet uavhengig av hva de foran har stemt. a) Hva er sannsynlighetene for at: - KSF får sin første stemme av den velgeren som ankommer som nummer tre? - KSF har to av stemmene når fem velgere har stemt? - KSF er største parti når ni stemmer er avgitt? I fylkestingsvalget i det fylket kommunen tilhører er det tre lister, Borgerlig fellesliste FBF, Sentrumslista FCL og Sosialistisk fellesliste FSF. Anta at alle velgere stemmer både i kommunestyreog fylkestingsvalg. Det er kjent at en vilkårlig velger som stemmer KBF i kommunestyrevalget stemmer FBF med sannsynlighet 0.80, FCL med sannsynlighet 0.5 og FSF med sannsynlighet 0.05. Tilsvarende vil en vilkårlig KSF-velger stemme FBF med sannsynlighet 0.0, FCL med sannsynlighet 0.20 og FSF med sannsynlighet 0.70. b) Regn ut sannsynlighetene for at en vilkårlig velger stemmer på hvert av partiene FBF, FCL og FSF i fylkestingsvalget. Hva er sannsynligheten for at FBF har fem, FCL har to og FSF har tre stemmer i fylkestingsvalget når ti velgere har stemt? c) På valgdagen kommer en vilkårlig velger ut fra valglokalet og oppgir at han har stemt på FCL i fylkestingsvalget. Hva er sannsynligheten for at han har stemt på KSF i kommunestyrevalget? På valgdagen kommer en vilkårlig velger ut fra valglokalet. Dersom han har stemt på FCL med sannsynlighet 0.70 og på FBF med sannsynlighet 0.30 i fylkestingsvalget, hva er da sannsynligheten for at han har stemt på KSF i kommunestyrevalget? Oppgave 5 Kolibakterier i drikkevann Eksamen august 2000, oppgave 3 av 4, punkt a,b (av a-f) Et viktig kriterium for god drikkevannskvalitet er at antall kolibakterier ikke er for høyt. For å overvåke dette tas det jevnlige prøver av vannet og antall kolibakterier i disse bestemmes. Erfaring tilsier at antall (X) kolibakterier i v liter drikkevann er poissonfordelt med parameter
λv, dvs. P(X = x) = (λv)x x! exp( λv) ; x = 0,,2,... a) Skriv ned E(X). Bruk dette til å gi en tolkning av parameteren λ. Dersom λ = 3 og v = 0.5, bestem sannsynlighetene P(X = 0) og P(X > 3). b) Dersom λ = 3 og v = 0.5, bestem P(X > 3 X > 0). La X og X 2 være antall kolibakterier i to uavhengige prøver på henholdsvis v = og v 2 = 2 liter vann. For λ = 3, bestem sannsynlighetene P(X + X 2 > 3) og P(X + X 2 > 3 X > 0 X 2 > 0). Oppgave 6 Levetid til elektroniske komponenter Eksamen desember 999, oppgave 4 av 5, punkt a,b (av a-e) Levetiden (målt i måneder), X, til en del typer elektroniske komponenter har vist seg å følge en fordeling med sannsynlighetstetthet { x e x θ for x > 0 f(x) = 2θ 0 ellers, der θ er en parameter som beskriver kvaliteten til komponentene. Tilhørende kumulative fordelingsfunksjon er gitt ved { F(x) = e x θ for x > 0 0 ellers. I hele denne oppgaven antar vi at levetider til ulike komponenter er uavhengige. [Hint: Du kan i denne oppgaven uten bevis benytte at 0 x α e x θ dx = 2θ 2α+2 Γ(2α + 2), for α >,θ > 0, der Γ(α) er gamma-funksjonen (se også tabell).] (6.) a) For θ = 2.0, finn sannsynligheten for at en elektronisk komponent av denne typen fremdeles skal funksjonere etter 0 måneder. Gitt at en komponent fremdeles funksjonerer etter 0 måneder, hva er sannsynligheten for at den også vil funksjonere etter 20 måneder dersom θ = 2.0? Vis at E(X) = 2θ 2. b) Et bestemt instrument inneholder to elektroniske komponenter, komponent A og komponent B. For at instrumentet skal funksjonere må begge de to elektroniske komponentene funksjonere. La X A betegne levetiden til komponent A og la X B være levetiden til komponent B. Levetiden til instrumentet blir dermed U = min(x A,X B ).
Levetidene for begge komponentene er på formen gitt i ligning (6.), men med ulik kvalitetsparameter θ, dvs. komponent A har kvalitetsparameter θ A, mens komponent B har kvalitetsparameter θ B. Finn sannsynlighetstettheten for instrumentets levetid (uttrykt ved θ A og θ B ). Hva blir forventet levetid for instrumentet? Oppgave 7 Eksamen mai 2003, oppgave 3 av 3, punkt a,b av a-e Et apparat inneholder k like komponenter og fungerer bare dersom alle disse er i orden. Komponentenes levetider T,T 2,... T k er uavhengige og eksponensielt fordelte med parameter β (> 0), dvs. sannsynlighetstettheten er f(t) = β e t/β for t 0, 0 for t < 0. a) Finn den kumulative fordelingsfunksjonen for levetiden til en komponent. Hva blir P(T < 3) og P(2 < T < 4) når β = 5? b) La X betegne apparatets levetid. Vis at X er eksponensielt fordelt med parameter β/k. Hva blir apparatets forventede levetid når k = 4 og β = 5? Oppgave 8 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet { 2xe x 2 for x 0 f(x) = 0 ellers Finn sannsynlighetsfordelingen til a) U = X 2 b) V = 2X c) W = X 2 Oppgave 9 Eksamen desember 999, oppgave 5 av 5 I en poissonprosess med intensitet λ, la X betegne tiden frem til første hendelse og la X 2 betegne tiden mellom første og andre hendelse. Som kjent er da X og X 2 uavhengige og eksponensialfordelte med forventning /λ (dette trenger ikke du vise). La Y betegne tiden frem til andre hendelse, dvs. Y = X + X 2. Vis at da er Y gamma-fordelt med parametre α = 2 og β = /λ, dvs. vis at sannsynlighetstettheten for Y er { λ f(y) = 2 ye λy for y > 0, 0 ellers.
Oppgave 0 Eksamen august 2000, oppgave 4 av 4 La X og Y være uavhengige og eksponensialfordelt med E(X) = E(Y ) = /λ. La videre Z være lik absoluttverdien av differansen mellom X og Y, dvs Z = X Y. Finn sannsynlighetstettheten til Z. Hva blir E(Z)? Oppgave Oppgave 7.3 fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave 7.7 fra læreboka. Oppgave 3 Oppgave 7.5 fra læreboka. Fasit 3. a) 0.03,0.28,0.260 4. a) 0.47, 0.309, 0.099 b) 0.590,0.65,0.245,0.072 c) 0.364,0.270 5. a) 0.223, 0.066 b) 0.0849, 0.9788, 0.987 6. a) 0.206,0.59 b) f(u) = (/θ A + /θ B )exp( u /2 (/θ A + /θ B ))/(2u /2 ),E(U) = 2(θ A θ B / (θ A + θ B )) 2 7. a) 0.452, 0.220 b).25 0. E[Z] = /λ