Øving 1. Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme. Veiledning: Mandag 19. januar Innleveringsfrist: Fredag 23. januar kl 12.

Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009 Veiledning: Mandag 19. januar Innleveringsfrist: Fredag 23. januar kl 12.00 Øving 1 Oppgave 1 a) Komponentene av en vektor A er A = 7.1 og A y = 1.3. Lengden A = A av denne vektoren er da A) 6.0 B) 7.2 C) 8.4 D) 9.6 b) Vinkelen mellom -aksen og vektoren A = 3.7 ˆ 2.3 ŷ er (målt i grader mot urviseren; en hatt over og y symboliserer enhetsvektor i den aktuelle retningen) A) 38 B) 148 C) 212 D) 238 c) Komponentene av to vektorer A og B er henholdsvis A = 4.1, A y = 7 og B = 6.6, B y = 3.1. Lengden av vektoren B A er da A) 11.4 B) 14.6 C) 19.5 D) 23.3 d) Komponentene av to vektorer A og B er henholdsvis A = 6.1, A y = 5.8 og B = 9.8, B y = 4.6. Skalarproduktet ( Prikkproduktet ) A B er da A) 9.7 B) 0 C) -33.1 D) -86.5 e) Integralet av funksjonen 2 fra = 0 til = 1 er A) 2/3 B) 3/4 C) 4/5 D) 5/6 f) Hvis r = 2 1 så er dr/d lik A) B) r/ C) /r D) r g) Hvis A = (1, 0, 0) og B = (0, 1, 0), er kryssproduktet A B lik A) (1, 1, 0) B) (0, 0, 1) C) (0, 0, 0) D) (1, 1, 1) Oppgave 2 a) En tynn kobbertråd med sirkulært tverrsnitt har lengde 1.0 m. Tråden har konstant masse pr lengdeenhet, µ = 0.20 g/cm. Hva er trådens masse? Hva er trådens diameter? Oppgitt: Massetetthet for kobber: ρ = 8.92 g/cm 3. b) En annen kobbertråd, også denne 1.0 m lang, har variabelt tverrsnitt t() = t 0 1 ( ) 2 L/2 L 1

der = 0 og = L = 1.0 m representerer trådens to ender og t 0 = 3.0 mm 2. Hvor er tråden tynnest, og hvor er den tykkest? Hva er trådens minimale og maksimale tykkelse? Regn ut trådens masse. Tips: En liten (infinitesimal) bit av tråden med lengde d, lokalisert mellom og d, har masse dm = ρ t() d. For å finne massen til hele tråden må vi summere slike små biter. Hvis hver bit er uendelig liten, består tråden av uendelig mange biter, og summen utfører vi da ved å integrere. c) I naturlig forekommende kobber har vi atomer som består av 29 elektroner og en kjerne med 29 protoner og enten 34 eller 36 nøytroner. Vi har med andre ord to ulike isotoper av kobber, og naturlig kobber inneholder 69.17 % av den lette isotopen og 30.83 % av den tunge isotopen. Hva blir da midlere masse pr kobberatom? Er det her nødvendig å ta hensyn til elektronene? Oppgitt: m p m n 1.67 10 27 kg, m e 9.11 10 31 kg. d) Hvor mange kobberatomer er det i tråden i punkt a? En mer passende antallsenhet i slike sammenhenger er mol, der 1 mol 6.02 10 23 (Avogadros tall, etter Amedeo Avogadro, italiensk kjemiker, 1776-1856). Hvor mange mol kobberatomer er det i tråden i punkt a? e) Et proton har elektrisk ladning e, et elektron har ladning e, og et nøytron har null elektrisk ladning. Her er e den såkalte elementærladningen, e 1.6 10 19 C, hvor vi har innført SIenheten for elektrisk ladning, nemlig C (coulomb), etter den franske fysiker Charles Augustin de Coulomb (1736-1806). Hvor stor ladning har alle protonene i tråden i punkt a tilsammen? Hva med alle elektronene? Hva er trådens totale ladning? Oppgave 3 a) Ei tynn sirkulær skive har radius R og uniform nettoladning σ 0 pr flateenhet. Hva blir skivas totale ladning? b) Ei anna sirkulær skive har radius R og netto ladning σ(r) = σ 0 (1 r/r) pr flateenhet, dvs den avtar lineært med avstanden r fra skivas sentrum. Hva blir skivas totale ladning? Tips: En tynn ring med indre radius r og ytre radius r dr har areal da = 2πr dr, og følgelig ladning dq = σ(r) da = σ(r) 2πr dr. Oppgave 4 Bestem gravitasjonskraften F g som virker mellom to oksygenmolekyler (O 2 ) i innbyrdes avstand 300 Å. Er F g tiltrekkende eller frastøtende? De to oksygenmolekylene tilføres ett ekstra elektron hver. Hvor stor blir den elektriske kraften F e mellom de to ionene (O 2 )? Er F e tiltrekkende eller frastøtende? Bestem forholdet mellom F e og F g. Avhenger dette forholdet av avstanden mellom de to ionene? 2

Oppgitt: Molekylært oksygen har masse 32 g/mol, 1 mol = 6.02 10 23, gravitasjonskonstanten er G = 6.67 10 11 m 3 /kg s 2, e = elementærladningen = 1.6 10 19 C, 1/4πε 0 9 10 9 Nm 2 /C 2 og 1 Å = 1 ångstrøm = 10 10 m. Oppgave 5 a) Seks like store ladninger q er plassert i hjørnene av en regulær sekskant. Hvor stor blir kraften på en testladning Q i sentrum av sekskanten? b) En av de seks ladningene fjernes. Hva blir nå kraften på Q? Tegn en figur og forklar hvordan du har tenkt. c) Erstatt seks med sju og gjenta oppgave a! Fasitsvar: Oppgave 1: a) B b) C c) A d) D e) D f) C g) B Oppgave 2: a) 20 g, 1.7 mm b) 25 g c) 1.06 10 25 kg d) 1.89 10 23 atomer, 0.31 mol e) ±877 kc Oppgave 3: b) πσ 0 R 2 /3 Oppgave 4: F e /F g 10 33 3

Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009 Veiledning: Mandag 26. januar Innleveringsfrist: Fredag 30. januar kl 12.00 Øving 2 Oppgave 1 (fra tidligere midtsemesterprøver) a) Figuren viser feltlinjer for et uniformt elektrisk felt. Et elektron som plasseres i dette feltet vil A B C D bevege seg med konstant hastighet mot venstre. bevege seg med konstant hastighet mot høyre. akselereres mot venstre. akselereres mot høyre. E b) To positive og to negative punktladninger, alle fire like store i absoluttverdi (q), skal plasseres i hvert sitt hjørne av et kvadrat. På hvilken måte skal punktladningene plasseres for å oppnå størst mulig elektrisk feltstyrke midt på høyre sidekant, i punktet P? q q q q 1 P 2 P A 1 B 2 C 3 D 4 q q q q q q q q 3 P 4 P q q q q Kommentar: På midtsemesterprøven i dette faget skal slike oppgaver kun besvares med en bokstav, dvs uten utregning eller begrunnelse. Ettersom dette er en regneøving, foreslår jeg at du svarer med begrunnelse og/eller utregning (dvs: som vanlig på en regneøving!). 1

Oppgave 2 y 3q q 0 a a) To punktladninger 3q og q er plassert på -aksen i henholdsvis = 0 og = a. Forklar hvorfor mulige likevektsposisjoner for en tredje ladning q må være på -aksen. b) Det er en likevektsposisjon 0 på -aksen for denne tredje ladningen. (I tillegg til det singulære punktet = a.) Bestem 0. Begrunn, uten ytterligere regning, at denne likevekten er ustabil med hensyn på en liten forflytning i -retning. (Alternativt, med ytterligere regning: Vurder stabiliteten av likevekten ved å se på df/d i = 0.) [I likevekt virker det ingen netto kraft på ladningen. Når den forskyves en avstand fra likevektsposisjonen, vil den påvirkes av en kraft. Dersom denne kraften virker i samme retning som, er likevekten ustabil, i motsatt fall stabil.] Oppgave 3 En tynn stav med lengde L har uniform ladning λ pr lengdeenhet. a) Hvor mye ladning dq er det på en liten lengde d av staven? Hva er stavens totale ladning Q? P θ 2 θ 1 R y L b) Vi legger staven på -aksen, slik at punktet P har koordinater (, y) = (0, R). Vis at det elektriske feltet i P, dvs i avstand R fra staven, er gitt ved E = E ˆ E y ŷ, med E = λ 4πε 0 R (cosθ 1 cosθ 2 ) E y = λ 4πε 0 R (sin θ 1 sin θ 2 ) Her er θ 1 og θ 2 vinklene som dannes mellom linjene fra P til stavens endepunkter og normalen til staven gjennom P (dvs y-aksen), som vist i figuren. (Fortegnet til vinklene er som indikert i figuren, dvs θ er negativ når < 0). 2

[Tips: Feltet de fra en liten bit d av staven (i posisjon ) er de = (λ d/4πε 0 r 2 )ˆr, der r er avstandsvektoren fra biten d til punktet P. Prøv deretter å ende opp med θ som integrasjonsvariabel ved å finne en sammenheng mellom og θ.] c) Bestem feltet når P er like langt fra stavens to ender. Hva blir E når P er langt unna staven (dvs R L). NB: Her er vi ikke ute etter (det i og for seg korrekte) svaret E 0 for R, men derimot hvordan E avhenger av R til ledende orden for R L. Er svaret som forventet? d) Hva blir det elektriske feltet i avstand R fra en uendelig lang uniformt ladet stav? (Dvs: L ) Oppgave 4 Ei tynn, sirkelforma skive med radius R 0 har uniform ladning σ pr flateenhet. P a σ R 0 a) Hvor mye ladning dq er det på en tynn ring av skiva, med radius R og bredde dr? Hva er skivas totale ladning Q? b) Bestem det elektriske feltet E i et punkt P på symmetriaksen i en avstand a fra skiva. (Tips: Finn først feltet de i P fra en tynn ring med radius R og bredde dr, og integrer deretter fra R = 0 til R = R 0.) c) Hva blir E (igjen: til ledende orden, jfr forrige oppgave) i de to tilfellene a R 0 og a R 0, dvs henholdsvis langt unna og nært inntil skiva? (Du drar kanskje kjensel på svaret i tilfellet a R 0? Tenk dessuten litt på hva det andre tilfellet, R 0 a, innebærer.) Oppgitt: (1 α) ±1/2 1 ± α/2 dersom α 1. (Dette er ikke noe mystisk, men rett og slett de to første leddene i en polynomutvikling ( rekkeutvikling ) av funksjonene f(α) = (1α) ±1/2 om punktet α = 0. Se notatet rekkeutvikling.pdf under samme katalog som fagets hjemmeside.) 3

Oppgave 5 a) For staven og skiva i oppgave 3 og 4, prøv å skissere elektriske feltlinjer, både i et plan som inneholder staven (skiva) og i et plan normalt på staven gjennom dens midtpunkt (normalt på skiva gjennom dens sentrum). Vis skissene i stor og liten målestokk i hvert av de fire tilfellene, slik at de gir et kvalitativt bilde av feltet, både nært og langt unna staven (skiva). (I alt 8 figurer.) b) Skisser elektriske feltlinjer for disse to systemene av punktladninger: (i) q q (ii) 2q q Tips: I denne oppgaven kan det være til hjelp å gå inn på f.eks. http://www.falstad.com/vector3de, som er en Java applet for å visualisere (blant annet) elektriske feltlinjer ( Display: Field Lines ) fra diverse ladningsfordelinger (punktladninger og kontinuerlige fordelinger). finite line representerer nettopp den ladete staven. Det nærmeste vi kommer den sirkulære skiva er charged plate, som har endelig utstrekning i -retning. Stavlengden og platestørrelsen kan varieres med det nederste rullefeltet. Oppgave 6 Ammoniakk, NH 3, er en elektrisk dipol, bortrifluorid, BF 3, er det ikke. Bruk denne opplysningen til å finne ut (kvalitativt) hvordan disse to molekylene ser ut. Kontroller svaret ditt via internett eller andre kilder. Fasitsvar: Oppgave 2b: 0 = (3 3)a/2. ( ) Oppgave 4b: E = σ a 2ε 0 1 a 2 R 2 0 4

Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009 Veiledning: Mandag 2. februar Innleveringsfrist: Fredag 6. februar kl 12.00 Øving 3 Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver) a) Figuren viser et uniformt elektrisk felt E (heltrukne linjer). Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke? A 1 B 2 C 3 D 4 2 1 3 4 E b) En partikkel med negativ ladning plasseres med null starthastighet i et elektrostatisk felt E. Partikkelens bevegelse blir A i retning lavere potensial. B i retning lavere potensiell energi. C i samme retning som E. D i retning normalt på E. c) Den potensielle energien til to elektroner i innbyrdes avstand 1 Å (= 10 10 m) er [1 ev = 1.6 10 19 J] A 14.4 mev B 14.4 ev C 14.4 kev D 14.4 MeV 1

d) En berylliumkjerne med ladning 4e og masse 9m p og en α-partikkel (dvs en heliumkjerne) med ladning 2e og masse 4m p er i ro. De to partiklene kan gis like stor hastighet ved å A B C D akselerere dem gjennom en like stor potensialforskjell. akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom V/2 volt. akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom 8V/9 volt. akselerere α-partikkelen gjennom V volt og berylliumkjernen gjennom 9V/8 volt. Oppgave 2 Vi har et uniformt elektrisk felt E = E 0 ˆ. Bestem potensialforskjellen mellom origo og følgende punkter (, y) i y-planet: (i) (a, 0) (ii) (0, a) (iii) (a, a) Oppgave 3 I kartesiske koordinater er et infinitesimalt (differensielt) linjeelement (veielement) gitt ved (vektoren) dl = d ˆ dy ŷ dz ẑ Et infinitesimalt volumelement er (den skalare størrelsen) dv = d dy dz Et infinitesimalt flateelement kan vi uttrykke som en vektor: På samme måte som et linjeelement må spesifiseres ved hjelp av en absoluttverdi (dvs lengden av elementet) og en retning, må et flateelement spesifiseres ved hjelp av en absoluttverdi (dvs arealet av flaten) og en orientering. Og skal vi få til å spesifisere flateelementets orientering, er det vel egentlig ganske naturlig å velge den retningen i rommet som står normalt på flaten; den såkalte flatenormalen. Det betyr at et flateelement med areal da, som er orientert i rommet på en slik måte at enhetsvektoren ˆn (dimensjonsløs og med lengde 1) står vinkelrett på flaten, kan spesifiseres med vektoren da ˆn Med andre ord: En vektor med retning vinkelrett på flaten, med absoluttverdi lik flatens areal da, og med dimensjon lik lengde kvadrert. (Dvs, enhet m 2.) For lettvinthets skyld bruker vi gjerne notasjonen da = da ˆn for et slik flateelement. I kartesiske koordinater har vi dermed følgende tre infinitesimale flater, med orientering slik at flatenormalen peker henholdsvis langs -, y- og z-aksen: da da y da z = dy dz ˆ = d dz ŷ = d dy ẑ 2

a) Vis at i kulekoordinater (r, θ, φ) er de tilsvarende størrelser da r da θ da φ dv dl = dr ˆr r dθ ˆθ r sin θ dφ ˆφ = r 2 sin θ dθ dφ ˆr = r dr sin θ dφ ˆθ = r dr dθ ˆφ = r 2 dr sin θ dθ dφ Med andre ord: Flateelementet da r er orientert slik at flatenormalen peker radielt utover, dvs langs ˆr, og tilsvarende for de to andre. I denne oppgaven betyr vis at egentlig overbevis deg selv om at du har forstått at. Tips: Det vil være til stor hjelp å tegne opp et infinitesimalt volumelement som avgrenses av flatene r og rdr, θ og θdθ, φ og φdφ. Se figur i ukentlig sammendrag, uke 4. Legg merke til at enhetsvektorene ˆr, ˆθ og ˆφ ikke er faste vektorer i rommet (i motsetning til de kartesiske enhetsvektorene ˆ, ŷ og ẑ), de er avhengige av hvor i rommet vi er, og endrer retning ettersom vi flytter oss rundt omkring. Eksempler: I et punkt på y-aksen (med y > 0) er ˆr = ŷ mens i et punkt på z-aksen (z > 0), derimot, er ˆr = ẑ. I hele y-planet er ˆθ = ẑ, mens ˆφ = ˆ på positiv y-akse og ˆφ = ˆ på negativ y-akse. b) Vis, på grunnlag av formlene over, at ei kule med radius R har volum 4πR 3 /3 og overflateareal 4πR 2. Kommentar: Omkretsen av en sirkel med radius R er 2πR. Sirkelen utspenner en vinkel på 2π (radianer). Disse resultatene kommer vi fram til ved å starte med et infinitesimalt bueelement dl = R dθ og integrere fra 0 til 2π. Tilsvarende har en kuleflate med radius R et areal 4πR 2. Kuleflaten utspenner en romvinkel på 4π (såkalte steradianer). Legg merke til analogien mellom vinkel i planet og romvinkel i rommet! I sistnevnte tilfelle er utgangspunktet et infinitesimalt flateelement da R = R 2 dω, der dω = sin θ dθ dφ er et infinitesimalt romvinkelelement. Integrasjon over θ (fra retning nord, dvs langs positiv z, dvs θ = 0, til retning sør, dvs langs negativ z, dvs θ = π) og φ (fra retning langs positiv, dvs φ = 0, og en hel runde rundt, dvs til φ = 2π) gir deretter hele kuleflatens totale areal A, evt. den totale romvinkelen Ω = 4π. Vi kommer mere tilbake til dette i forelesningene, i forbindelse med Gauss lov. 3

c) Anta nå at vi har ei kule med radius R. Inni kula har vi elektrisk ladning gitt ved ladningstettheten (dvs ladning pr volumenhet) ρ(r, θ) = ρ 0 r R cos2 θ Hvor har vi størst ladningstetthet? Enn minst? Bestem kulas totale ladning Q. Oppgave 4 En elektrisk dipol som består av to punktladninger ±q, er plassert langs z-aksen med sentrum i origo, som vist i figuren. Det elektriske dipolmomentet er da p = qa, der a = a ẑ er vektoren fra q til q. z V =? r 1 a q θ r r 2 (f.eks.) q Siden vi her opplagt må ha symmetri med hensyn til rotasjon omkring z-aksen, er det tilstrekkelig å se på forholdene i et halvplan som inneholder z-aksen, f.eks. z-planet, med > 0. Vi kan videre velge mellom kartesiske koordinater (, z) eller polarkoordinater (r, θ) for å angi en vilkårlig posisjon i dette planet. Vi skal se på begge deler i denne oppgaven. Vinkelen θ kan vi selvsagt velge i forhold til hvilken kartesiske akse vi vil; her lar vi θ være vinkelen som r danner i forhold til z-aksen (se figuren). a) Bestem først sammenhengen mellom de kartesiske koordinatene og polarkoordinatene, dvs (r, θ), z(r, θ) og r(, z). b) Vis at potensialet fra en slik dipol i kartesiske koordinater blir V (, z) = q 1 4πε 1 0 2 (z a/2) 2 2 (z a/2) 2 Hva blir potensialet på -aksen, V (, 0)? Enn på z-aksen, V (0, z)? (På hele z-aksen; pass på fortegnene...!) Skisser funksjonen V (0, z). 4

c) Vis at i stor avstand fra dipolen (dvs r a) er potensialet med god tilnærmelse gitt i polarkoordinater ved V (r, θ) = p cosθ 4πε 0 r = p r 2 4πε 0 r 3 Tips: Ta utgangspunkt i at 1 1 = r 2 r 1 r 1 r 2 r 1 r 2 og bruk figuren til å finne et tilnærmet uttrykk for dette når r a. Mens potensialet fra en enkelt punktladning avtar som 1/r, avtar altså potensialet fra en dipol raskere, nemlig som 1/r 2. Er dette rimelig? Kommentar: For den som insisterer på en mer rigid matematisk tilnærming til denslags, er det her snakk om å bestemme V (r,θ) til ledende orden i den lille parameteren a/r. Med andre ord, det oppgitte uttrykket for V (r,θ) er eksakt for en såkalt ideell dipol med null utstrekning (dvs a 0). Ekstranøtt, hvis du synes dette ble for lett: Hva blir dominerende korreksjon til den oppgitte V (r, θ)? Dvs: Hva blir neste ledd i rekkeutviklingen (Maclaurinrekken) til V (r,θ) for små verdier av a/r, dvs a/r 1? 5

Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009 Øving 4 Veiledning: Mandag 9. februar og fredag 13. (evt 6.) februar Innleveringsfrist: Fredag 13. februar kl 12.00 Oppgave 1 z E =? r 1 q a θ r r 2 q I forrige øving betraktet vi en elektrisk dipol, bestående av to punktladninger ±q lokalisert på z-aksen i z = ±a/2. Vi regnet ut det eksakte potensialet V e (, z) og fant V e (, z) = q 1 4πε 1 0 2 (z a/2) 2 2 (z a/2) 2 Deretter viste vi at potensialet i stor avstand fra dipolen (r a) blir tilnærmet lik (indeks a for approimately ) qa cosθ V a (r, θ) = 4πε 0 r 2 Her er r avstanden fra origo, dvs dipolens midtpunkt, og θ er vinkelen mellom z-aksen og r. (Dipolmomentet er p = qa.) 1

a) I denne første deloppgaven skal vi visualisere dipolpotensialet og sammenligne det tilnærmede uttrykket V a med det eksakte uttrykket V e. Dette kan vi gjøre ved å skrive et program i Octave (eller MatLab) som regner ut differansen, eller kanskje like gjerne det prosentvise avviket = 100 (V e V a )/V e mellom det eksakte og det tilnærmede uttrykket gitt ovenfor, og som plotter V e (, z), V a (, z) og feilen (, z) i tre forskjellige figurer. Noen tips og kommentarer: Konverter først V a (r, θ) til V a (, z). Vurder om du skal plotte potensialene i SI-enhet (V) som funksjon av og z i en passende enhet, eller om du skal skrive om uttrykkene for V e og V a og plotte dimensjonsløse potensialer som funksjon av dimensjonsløse koordinater. Finn et fornuftig område i (, z)-planet for plottene dine. Det kan være lurt å begrense også funksjonsaksen i plottene dine, da potensialet blåser opp i nærheten av ladningene. Noen kommandoer og funksjoner som du kan få bruk for: linspace, meshgrid, mesh, ais, cais, figure, label, ylabel, zlabel. Let opp dokumentasjon for hjelp til å bruke disse. (Google for eksempel gnu octave manual (for Octave) eller mathworks matlab manual (for MatLab).) Det viktigste poenget med denne oppgaven er å få litt trening i å bruke programmering i tilknytning til det å jobbe med fysikk. Du vil få flere anledninger senere. b) Tilbake til papir og blyant! Ta utgangspunkt i det tilnærmede uttrykket V a (r, θ) og bestem det elektriske feltet E(r, θ) = E rˆr E θˆθ i stor avstand fra dipolen. Det oppgis at gradientoperatoren i kulekoordinater er = ˆr r ˆθ 1 r θ ˆφ 1 r sin θ φ [Fasit: E r = p cosθ/2πε 0 r 3, E θ = p sin θ/4πε 0 r 3.] Kontroller om disse uttrykkene er fornuftige for θ = 0 og for θ = π/2. Hva med r = 0? c) På grunn av rotasjonssymmetrien omkring z-aksen kan vi f.eks. anta at vi befinner oss i z-planet. Bestem det elektriske feltet E(, z) = E ˆE z ẑ uttrykt i kartesiske koordinater for r a. Tips: Ta utgangspunkt i uttrykkene for E r og E θ i punkt b). Tegn gjerne opp en figur og finn på den måten sammenhengen mellom koordinatene (, z) og (r, θ), og feltkomponentene E, E z og E r, E θ. [Fasit: E = 3pz/4πε 0 ( 2 z 2 ) 5/2, E z = p(2z 2 2 )/4πε 0 ( 2 z 2 ) 5/2.] 2

d) En ideell elektrisk dipol tilsvarer (formelt) at vi lar avstanden a mellom q og q gå mot null, uten at dipolmomentet p = qa forsvinner. Det innebærer at vi må la q og a 0 samtidig, og på en slik måte at produktet p = qa blir endelig (dvs verken null eller uendelig). I praksis tilsvarer dette at vi befinner oss i stor avstand r fra dipolen, slik vi nettopp har gjort i denne oppgaven. Det elektriske feltet fra en slik ideell elektrisk dipol kan skrives på såkalt koordinatfri form: E dipol (r) = 1 [3 (p ˆr) ˆr p] 4πε 0 r3 Vis at dette uttrykket er i samsvar med E(r, θ) og E(, z) som du regnet ut i hhv b) og c). Oppgave 2 (fra tidligere midtsemesterprøver) a) Fire punktladninger, to positive og to negative (q = 9 µc), er plassert i hjørnene på et kvadrat med sidekanter 5 cm, som vist i figuren. Hva er systemets potensielle energi? A B C D 19 J Null -7 J -38 J q 5 cm q 5 cm q q b) To punktladninger Q 1 = 69 nc og Q 2 = 98 nc er plassert i y-planet, som vist i figuren. Et elektron flyttes fra punkt A til punkt B. Hvor stor endring gir denne forflytningen i systemets potensielle energi? ( Systemet = de to punktladningene og elektronet.) (1 ev = 1.6 10 19 J) y A B C D -1 kev -1 ev 1 ev 1 kev B 0.6m Q 0.8m 1 Q 2 0.6m A 3

c) Hvor stor er radien til en (kuleformet) ekvipotensialflate på 50 V med en punktladning 10 nc i sentrum? Null potensial velges uendelig langt unna. A 1.3 m B 1.8 m C 3.2 m D 5.0 m d) Hvis potensialet V som funksjon av avstanden r fra en ladningsfordeling er som vist i graf nr 1, hvilken graf viser da det elektriske feltet E som funksjon av avstanden r? V 1 E 2 E 3 A 2 B 3 C 4 D 5 E r 4 E 5 r r r r e) Potensialet i et område er V (, y, z) = (2 V/m) (3 V/m)y (4 V/m)z Da er -komponenten av det elektriske feltet i dette området A 2 V/m B 3 V/m C 4 V/m D 9 V/m 4

Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009 Øving 5 Veiledning: Mandag 16. og fredag 20. (evt 13.) februar Innleveringsfrist: Fredag 20. februar kl 12.00 Oppgave 1 z a a a y Figuren over viser en gaussflate (dvs lukket flate) S formet som en kube med sidekanter a. Flaten er plassert i et område hvor det er en elektrisk feltstyrke E. I hvert av tilfellene a) d), bestem total (netto) elektrisk fluks φ som passerer gjennom flaten S. Bruk Gauss lov og bestem i hvert tilfelle også den totale ladningen Q innenfor S. a) E = Cˆ b) E = C 2ˆ c) E = C (yˆ ŷ) Her er C en (skalar) konstant (og da med varierende enhet). d) For tilfellet b) skal du bestemme ladningstettheten ρ innenfor S. Ta utgangspunkt i Gauss lov idet du betrakter et lite (infinitesimalt) volumelement a 2 d, dvs en tynn skive med tykkelse d og endeflater med areal a 2, lokalisert mellom og d. (Mer presist: Bruk Gauss lov på flaten som omslutter dette volumelementet.) Noen svar: b): Q = Cε 0 a 4 d): ρ = 2Cε 0 1

Oppgave 2 Bruk Gauss lov til å bestemme det elektriske feltet i avstand r fra en uendelig lang (tynn) stav med ladning λ pr lengdeenhet. Tips: Utnytt sylindersymmetrien i problemet til å velge en fornuftig gaussflate. (Sammenlign svaret med det du fant i oppgave 3d i øving 2.) Oppgave 3 (multiple choice) a) På en lukket flate er det elektriske feltet E overalt rettet innover. Da kan vi fastslå at A flatenormalen ˆn over hele flaten er parallell med E B flaten omslutter null netto ladning C flaten omslutter en netto negativ ladning D flaten omslutter en netto positiv ladning b) Figuren illustrerer en lukket flate som omslutter to punktladninger q og q. Netto elektrisk fluks ut gjennom denne flaten er da A null B q/ε 0 C q/ε 0 D 2q/ε 0 q q c) En punktladning q er plassert i det ene hjørnet av en kube. Hva blir den elektriske fluksen gjennom den skraverte sideflaten i figuren til høyre? (Tips: Utnytt symmetrien i problemet.) A q/ε 0 B q/4ε 0 C q/8ε 0 D q/24ε 0 q 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 2

Oppgave 4 ( oppgave 3, kontinuasjonseksamen 15. august 2003) En elektrisk dipol består av to punktladninger q og q med en (fast) innbyrdes avstand a. Dipolen er plassert i et homogent ytre elektrostatisk felt E = Eˆ. Anta at dipolen ligger i y-planet og slik at vektoren a fra q til q, og dermed også dipolmomentet p = qa, danner en vinkel θ med E. Vinkelen θ regnes mot urviseren i forhold til -aksen, som vist i figuren. q y a p q θ E a) Hva blir den totale kraften (fra det ytre feltet E) på dipolen? b) Fra mekanikken har vi at dreiemomentet τ omkring en bestemt akse er definert som τ = i r i F i, der r i er armen fra aksen og ut til posisjonen der kraften F i angriper. (Det står litt om kryssprodukt mellom vektorer helt til slutt i denne oppgaven.) Vis at for den elektriske dipolen i det homogene feltet blir dreiemomentet omkring aksen som går normalt gjennom dipolens midtpunkt τ = p E = E p = pe sin θ ẑ c) Til slutt skal du finne et uttrykk for den potensielle energien U(θ) til den elektriske dipolen ovenfor. Skisser også U(θ). Hvilken orientering av dipolen i forhold til E representerer en stabil likevekt? Til hjelp på punkt c): La oss for enkelhets skyld holde oss i y-planet. En kraft F = F ˆ F y ŷ = F r ˆr F α ˆα som angriper i en posisjon r = r cosα ˆ r sin α ŷ vil da gi et dreiemoment τ = r F omkring z-aksen: y F α F F r r sin α r α r cos α Vi vet dessuten at kraften F kan avledes fra den potensielle energien U ved hjelp av gradientoperatoren: F = U. I polarkoordinater (r, α) har vi = ˆr r ˆα1 r α 3

Da kan det vises at og dermed er τ = U α, du = τ dα ettersom U ikke avhenger av r i vårt tilfelle. (Vi har fast r = a/2 for dipolen.) Kommentar: En elektrisk isolator, et såkalt dielektrikum, består typisk av molekyler med null nettoladning, men med en intern ladningsfordeling (dvs plassering av atomkjerner og elektroner) som er skjev. Sagt på en annen måte: Ladningsmiddelpunktet for molekylets positive ladning (dvs atomkjernene) er ikke i samme posisjon som ladningsmiddelpunktet for molekylets negative ladning (dvs elektronene). Slike polare molekyler kan betraktes som elektriske dipoler. (Vel, de er elektriske dipoler.) Eksempel: Vann, H 2 O. H O 2δ δ δ H =^ Siden oksygen er mer elektronegativt (dvs, det har større lyst på ekstra elektroner) enn hydrogen, vil elektronfordelingen være noe forskjøvet i retning oksygenatomet i et vannmolekyl. Det betyr at i nærheten av O-atomet har vi et lite overskudd av negativ ladning, f.eks. 2δ. På grunn av elektrisk nøytralitet totalt sett (og pga symmetrien i vannmolekylet), må vi da ha et lite overskudd, δ, av positiv ladning i nærheten av hvert H-atom. Et dielektrikum kan også bestå av atomer eller molekyler uten en slik polar ladningsfordeling, dvs med elektrisk dipolmoment p = 0. Men dersom et slik materiale plasseres i et ytre elektrisk felt, vil atomenes elektroner og kjerner trekkes i hver sin retning, slik at det induseres et elektrisk dipolmoment p ind med retning langs E. Størrelsen på slike induserte dipolmoment er typisk liten i forhold til permanente dipolmoment (som i vann), men kvalitativt blir oppførselen den samme. Dermed: Har du forstått denne oppgaven, har du essensielt forstått hvordan et dielektrikum påvirkes av et ytre elektrisk felt. 4

Kryssprodukt mellom vektorer Kryssproduktet mellom to vektorer er en tredje vektor med retning normalt på begge de to første, og med absoluttverdi lik produktet av absoluttverdien av de to første multiplisert med sinus til vinkelen mellom disse. Fortegnet på vinkelen mellom de to vektorene regnes som positivt når vi går fra den første vektoren til den andre. Denne fortegnskonvensjonen er det samme som det dere kanskje kjenner som høyrehåndsregelen: c c = a b c = c = a b sin θ b b θ a a La høyre hånds fire fingre (unntatt tommelen) peke langs den første vektoren. Bøy dem deretter slik at de peker langs den andre vektoren. (Vi bøyer fingrene den retningen som gir en vinkel mindre enn 180 grader.) Tommelen peker nå i kryssproduktets retning. Altså: har absoluttverdi Eksempel 1: a = 10 ˆ og b = 5 ŷ gir Eksempel 2: a = 5 ŷ og b = 10 ˆ gir Av dette ser vi at Eksempel 3: a = 2 ˆ 3 ŷ og b = 5 ˆ 2 ŷ gir I disse eksemplene har vi brukt at c = a b c = c = a b sin θ = a b sin θ c = a b = 50 ẑ c = a b = 50 ẑ b a = a b c = a b = 2 2 ẑ 3 5 ẑ = 19 ẑ ˆ ˆ = 0 ŷ ŷ = 0 ˆ ŷ = ẑ ŷ ˆ = ẑ 5

Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009 Øving 6 Veiledning: Mandag 23. og fredag 27. (evt 20.) februar Innleveringsfrist: Fredag 27. februar kl 12.00 Oppgave 1 Ei kule med radius R har kulesymmetrisk ladningsfordeling (ladning pr volumenhet) for r < R. (ρ = 0 for r > R) ρ(r) = ρ 0 ( ) 1 r2 R 2 a) Skisser ρ(r). Hva er kulas totale ladning? [Svar: 8πρ 0 R 3 /15] b) Bruk Gauss lov og finn E(r). Skisser E(r) mellom r = 0 og r = 3R. Oppgave 2 R 1 R 2 To metallkuler med radius hhv R 1 og R 2 er forbundet med en lang og tynn metalltråd. Hvordan vil en netto ladning Q fordele seg på de to kulene? (Vi antar at metalltråden er så tynn at vi kan se bort fra eventuell netto ladning på den.) Hva blir den elektriske feltstyrken på overflaten av hver av de to kulene? (Avstanden mellom kulene er så stor at vi kan se bort fra direkte vekselvirkning mellom dem. Dermed får kulene uniform ladningsfordeling på overflaten.) Tips: Bestem først potensialet på kulene. 1

Oppgave 3 To parallelle kvadratiske metallplater har sidekanter lik 50 cm. Avstanden mellom platene er 1 cm. a) De to metallplatene tilføres en viss mengde ladning, hhv Q og Q. Potensialforskjellen mellom platene blir deretter målt til 96 V. Hvor stort er da det elektriske feltet mellom platene? Hva er plateladningen Q? b) Rommet mellom platene fylles med vann, noe som fører til at potensialforskjellen mellom platene reduseres til 1.2 V. Bestem vannets polarisering P, dvs dipolmoment pr volumenhet. Hvor mye utgjør dette i forhold til maksimal teoretisk polarisering P ma i vann? Det oppgis at ett vannmolekyl har dipolmoment 6.2 10 30 Cm, samt at molart volum for vann er 18 cm 3. Det betyr at i 18 cm 3 vann er det ett mol vannmolekyler, dvs 6.02 10 23 molekyler. Noen tallsvar: a) E = 9.6 kv/m b) P/P ma 4 10 7 Oppgave 4 Ei kule med radius R har uniform ladning σ pr flateenhet på overflaten av nordlige halvkule (z > 0) og uniform ladning σ pr flateenhet på overflaten av sørlige halvkule (z < 0). Hva er kulas dipolmoment p? [Svar: 2πR 3 σ ẑ] Tips: Finn først dipolmomentet dp til to smale ringer, hver med areal da = (2πρ) (R dθ) og med ladning ±dq = ±σ da, positiv på ringen på nordlige halvkule og negativ på ringen på sydlige halvkule. Kulas totale dipolmoment bestemmes deretter ved å summere opp slike par av ringer, dvs ved å integrere, inntil vi har fått med oss hele kuleflaten. z _ θ d R da = bredde omkrets bredde: Rd θ omkrets: 2πρ _ ρ _ 2

Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009 Veiledning: Mandag 2. og fredag 6. mars. Innleveringsfrist: Fredag 6. mars kl 1200. Øving 7 Oppgave 1 (a) d L ε 1 V 0 ε 2 (b) d ε 1 ε 2 V 0 I denne oppgaven skal vi se på parallellplatekondensatorer satt sammen av to metallplater i innbyrdes avstand d og med plateareal A = L 2. Du kan anta at L d, slik at vi kan se bort fra randeffekter og anvende resultater utledet for uendelig store plater. I hvert tilfelle er metallplatene koblet til en spenningskilde slik at potensialforskjellen mellom platene holdes fast på V 0, med høyest potensial på den øverste platen. Rommet mellom platene er fylt med to ulike dielektrika, som vist i figuren over. Disse har relative permittiviteter hhv ε r1 og ε r2 = 4ε r1. For hver av de to kondensatorene (a) og (b) skal du bestemme E, P og D i rommet mellom metallplatene. Skisser feltlinjer for de tre vektorfeltene. Bestem videre ladning pr flateenhet på de ulike overflatene. (Dvs: fri ladning σ f pr flateenhet på metallplatene og indusert (bundet) ladning σ i pr flateenhet på overflaten av de ulike dielektriske lagene.) Finn kapasitansene C a og C b til hhv kondensator (a) og (b), uttrykt ved A, d og ε r1. Bruk formelen for parallellkobling av kapasitanser og vis at C a tilsvarer en parallellkobling av to kondensatorer med plateavstand d og plateareal A/2, fylt med dielektrika med relativ permittivitet hhv ε r1 og ε r2 = 4ε r1. Tilsvarende, bruk formelen for seriekobling av kapasitanser og vis at C b tilsvarer en seriekobling av to kondensatorer med plateavstand d/2 og plateareal A, fylt med dielektrika med relativ permittivitet hhv ε r1 og ε r2 = 4ε r1. Til slutt: Anta at d = 1 mm, A = 10 cm 2, V 0 = 100 V og ε r1 = 2, og regn ut tallverdier for de ulike størrelsene som er involvert (σ f, σ i, E, P, D, C). Noen tallsvar: E a = 10 5 V/m, D b = σ fb 2.8 µc/m 2, C a 44 pf, C b 28 pf 1

Oppgave 2: Grenseflatebetingelser for E (og D) Vi skal her se nærmere på hvordan det elektriske feltet oppfører seg når vi krysser en grenseflate med ladning σ pr flateenhet. Med grenseflate mener vi ikke annet enn en flate som deler rommet i områdene 1 ( over ) og 2 ( under ): område 1 flateladningstetthet σ område 2 Oppgaven går i korthet ut på å vise at det elektriske feltet er diskontinuerlig når vi krysser en slik grenseflate med elektrisk ladning: E 1 E 2 = σ ε 0 ˆn ( ) Her er E 1 feltet i område 1 like over flaten, E 2 tilsvarende i område 2 like under flaten, mens ˆn er en flatenormal (enhetsvektor) med retning oppover. Kommentarer og tips: Dette kan være et flatt plan, men det kan f.eks. også være en liten bit av en kuleflate: Er vi tilstrekkelig nær en kuleflate, ser også den flat ut. Vi tenker oss dessuten at det ikke er noe netto ladning like over eller like under den angitte flaten. (Men andre steder kan det godt være netto ladning.) Det betyr at vi ser en diskontinuitet i elektrisk ladning når vi spaserer fra område 2 gjennom flaten og inn i område 1. (Men i flaten har vi en kontinuerlig flateladning σ.) Du ser at ligningen ( ) er en kompakt måte å uttrykke at tangentialkomponenten av E er kontinuerlig, E 1 E 2 = 0 (evt E = 0) mens normalkomponenten er diskontinuerlig, E 1 E 2 = σ ε 0 (evt E = σ ε 0 ) når vi krysser grenseflaten. Bruk de to Mawell-ligningene, E dl = 0 og E da = q in /ε 0, for det elektrostatiske feltet til å utlede de oppgitte grenseflatebetingelsene for henholdsvis E og E. Fornuftig valg av lukket integrasjonskurve og -flate ( gaussboks ) vil være som angitt i figuren nedenfor, henholdsvis en rektangulær kurve med sidekanter h og L og en pilleeske med sidekanter h, L og L. Begge omslutter en bit av grenseflaten. Du lar så L være liten men endelig (dvs så liten at feltstyrken kan antas å være konstant over hele lengden L, eventuelt over hele flaten L L), mens du lar høyden h 0. 2

For tangentialkomponenten: For normalkomponenten: område 1 grenseflaten område 1 lukket kurve L område 2 h L L område 2 lukket flate (gaussflate) Sluttkommentar: Du har nå brukt Gauss lov for E til å utlede grenseflatebetingelsen for normalkomponenten av det elektriske feltet, dvs E. Da er det selvsagt ingen som kan hindre deg i å bruke Gauss lov for den elektriske forskyvningsvektoren D til å utlede en tilsvarende grenseflatebetingelse for normalkomponenten D : D 1 D 2 = σ f (evt D = σ f ) Her er σ f netto fri ladning pr flateenhet i grenseflaten mellom område 1 og 2. 3

Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009 Øving 8 Veiledning: Mandag 09. og fredag 13. (evt 06.) mars Innleveringsfrist: Fredag 13. mars kl. 1200 (Svartabell på siste side.) Opplysninger: Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt. Dersom ikke annet er oppgitt, er potensial underforstått elektrostatisk potensial, og tilsvarende for potensiell energi. Dersom ikke annet er oppgitt, er nullpunkt for (elektrostatisk) potensial og potensiell energi valgt uendelig langt borte. Noe av dette kan du få bruk for: 1/4πε 0 = 9 10 9 Nm 2 /C 2, e = 1.6 10 19 C, m e = 9.11 10 31 kg, m p = 1.67 10 27 kg, g = 9.8 m/s 2 Symboler angis i kursiv (f.eks V for potensial) mens enheter angis uten kursiv (f.eks V for volt). 1) Fire punktladninger er plassert på -aksen, som vist i figuren: Positive ladninger Q i = a og = a, negative ladninger 2Q i = a b og = (a b). En positiv testladning q kan bevege seg friksjonsfritt og kun langs y-aksen. Denne slippes, med null hastighet, fra sin startposisjon y = y på den positive y-aksen. Hva skjer da med testladningen q? A Den vil forsvinne mot y =. B Den vil oscillere fram og tilbake omkring origo. C Den vil oscillere omkring en likevektsposisjon y 0 > 0. D Både A, B og C er mulig; utfallet avhenger av forholdet b/a. 2Q (ab) Q a y y q Q a 2Q ab 1

2) Figuren viser et snitt gjennom sentrum av ei metallkule med et kuleformet (men ikke konsentrisk plassert) hulrom inni. I hulrommet er det en positiv punktladning q (plassert i snittet gjennom sentrum av kuleflatene, men ikke i sentrum av hulrommet). Metallkula er ellers elektrisk nøytral slik at hele systemets nettoladning er q. Punktladningen holdes fast i den angitte posisjonen. Hvilken figur angir korrekt elektriske feltlinjer for dette systemet? 1 2 A 1 B 2 C 3 D 4 3 4 3) To kuler, 1 og 2, har like stor radius R og like stor ladning Q. Kulene vekselvirker ikke med hverandre. Kule 1 har ladningen jevnt fordelt utover overflaten mens kule 2 har ladningen jevnt fordelt utover hele volumet. Kule 1 har potensiell energi U 1, kule 2 har potensiell energi U 2. Finn det riktige svaret! A B C D U 1 = Q 2 /8πε 0 R, U 2 = Q 2 /20πε 0 R U 1 = Q 2 /8πε 0 R, U 2 = Q 2 /10πε 0 R U 1 = Q 2 /8πε 0 R, U 2 = 3Q 2 /20πε 0 R U 1 = Q 2 /8πε 0 R, U 2 = 3Q 2 /40πε 0 R [Tips: Hva velger en elektrisk leder, og hvorfor?] 4) To metallkuler tiltrekker hverandre elektrostatisk. Hvilket utsagn er da alltid sant? A Begge kulene er ladet. B Minst en av kulene er ladet. C Ingen av kulene er ladet. D Kulene har samme type ladning. 2

5) Ei kule med radius R har en ladningstetthet, dvs ladning pr volumenhet, som er omvendt proporsjonal med avstanden r fra kulas sentrum: ρ(r) = k/r (k = konstant). Fastslå, ved hjelp av Gauss lov, hvilken graf i figuren til høyre som representerer den resulterende elektriske feltstyrken E som funksjon av r. [Ikke bekymre deg over at ladningstettheten ρ når r 0. Ladningen i kula er likevel endelig.] E E 1 2 A 1 B 2 C 3 D 4 E R r R E 3 4 r R r R r 6) Du bringer en positivt ladet glass-stav nesten inntil den ene (den til venstre) av to nøytrale metallkuler som er i innbyrdes kontakt. Deretter fjerner du de to metallkulene fra hverandre. Da har metallkula til høyre fått A B C D positiv ladning. negativ ladning. samme ladning som kula til venstre. netto ladning, men fortegnet kan ikke bestemmes.? 7) To konsentriske (tynne) metalliske kuleskall har radius henholdsvis a og b (b > a), og ladning henholdsvis Q og Q. Hva blir kapasitansen til en slik kondensator? (Tips: Finn potensialforskjellen mellom indre og ytre kuleskall.) A 4πε 0 ab/(b a) B πε 0 (b a) C 4πε 0 a 2 /(b a) D 4πε 0 (b a) 3 /3ab Q Q a b 3

8) Fem like punktladninger q er plassert på et kvadrat som vist i figuren. En sjette ladning q er plassert i kvadratets sentrum O. I hvilken retning virker nettokraften på q? q A B q A B C D Langs OA. Langs OB. Langs OC. Langs OD. O q q q C q D 9) Tre metallkuler henger i hver sin tynne (isolerende) tråd. Når du holder kule 1 og 2 i nærheten av hverandre, observerer du at de tiltrekker hverandre. Når du gjør det samme med kule 2 og 3, ser du at disse frastøter hverandre. Da kan du konkludere med at A kulene 1 og 3 har ladning med motsatt fortegn. B kulene 1 og 3 har ladning med samme fortegn. C en av kulene er elektrisk nøytral. D vi ikke har nok informasjon til å bestemme fortegnet på ladningen på alle tre kulene. 10) To uniformt ladete kuler har ladning henholdsvis Q og 3Q. Hvilken figur beskriver korrekt de elektrostatiske kreftene som virker på de to kulene? 1. A 1. B 2. C 3. D 4. 2. 3. 4. 4

11) Det elektriske feltet på symmetriaksen og i avstand fra sentrum av en jevnt ladet sirkulær skive med ladning Q og radius R er A B C D Q ( 1 / ) 2 R 2 2πε 0 R 2 Q ( 1 R/ ) 2 R 2 2πε 0 R 2 Q ( 1 R/ ) 2 R 2 2πε 0 R 2 Q ( 1 / ) 2 R 2 2πε 0 R Tips: Vurder grensetilfeller av de oppgitte alternativene i stedet for å regne. 12) Hvis det elektriske feltet E som funksjon av avstanden r fra en ladningsfordeling er som vist i graf nr 1, hvilken graf viser da det elektriske potensialet V som funksjon av avstanden r? (Tips: Husk at E = V, med kulesymmetri E(r) = dv/dr.) E 1 V V A 2 B 3 C 4 D 5 V r V r 2 3 r r 4 5 r 13) Figuren til høyre viser fire punktladninger og en gaussflate (stiplet). Hvilke ladninger bidrar til netto elektrisk fluks gjennom gaussflaten? A Bare q 1 og q 4. B Bare q 2 og q 3. C Alle fire. D Svaret avhenger av formen på gaussflaten. q 1 q 2 q 3 q 4 5

14) En ladet glass-stav bringes i nærheten av et elektrisk nøytralt stykke metall slik at metallet får et overskudd av negativ og positiv ladning på henholdsvis venstre og høyre side, som vist i figuren. På metallstykket er da det elektriske potensialet A B C D like stort overalt. størst på den positive siden. størst på den negative siden. størst på midten. V? V? V? 15) Figuren viser tre hule konsentriske metallkuler med netto ladning 2Q (på innerste kule), Q (på midterste kule) og Q (på ytterste kule). Alle de tre kuleskallene har en viss tykkelse. Hvor mye ladning er samlet på ytre overflate av den midterste kula? (Tips: Gauss lov og E = 0 inne i metall.) A Q B 2Q C Q D 0 2Q Q Q metall vakuum 16) Hvilken vektor representerer best retningen til det elektriske feltet i punktet P på 20-volts ekvipotensialflaten? A 1 B 2 C 3 D 4 1 4 2 P 3 40 V 30 V 20 V 10 V 17) En parallellplatekondensatorer har ladning Q og Q på henholdsvis øvre og nedre metallplate. Kondensatoren er i utgangspunktet fylt med luft, men så skyves en dielektrisk skive (med samme areal som metallplatene) inn mellom platene, som vist i figuren. Hvilken av følgende påstander er da riktig? A B C D Potensialforskjellen mellom metallplatene forblir uendret. Kondensatorens kapasitans forblir uendret. Potensiell energi lagret i kondensatoren forblir uendret. Den elektriske feltstyrken i luftlagene forblir uendret. før etter luft luft dielektrisk skive luft 6

18) Hva er ikke en enhet for elektrisk feltstyrke E? A N/C B V/m C kg m 2 /s 2 C D N/VF 19) Figuren viser en metallkule med netto ladning 2Q omgitt av et luftlag, etterfulgt av et metallisk kuleskall med netto ladning Q. Hvilken figur angir da korrekt feltlinjer for E? (Tips: Gauss lov og E = 0 inne i metall.) 1 2 A 1 B 2 C 3 D 4 Q 2Q 2Q 2Q Q 3 4 2Q Q Q 20) To (tilnærmet uendelig) store parallelle metallplater har like stort areal A og netto ladning henholdsvis Q og Q. Platene ligger i innbyrdes avstand d (d A). Hvor stor er den innbyrdes kraften pr flateenhet, f = F/A, mellom de to platene dersom σ = Q/A = 10 5 C/m 2? A 5.7 N/m 2 B 88 N/m 2 C 245 N/m 2 D 1.6 kn/m 2 Q, A F _Q, A d 7

Øving 8 i Elektromagnetisme / Elektrisitet og magnetisme våren 2009 Innleveringsfrist: Fredag 13. mars kl. 1200. Navn: Øvingsgruppe: Oppgave A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Det er tilstrekkelig å levere inn utfylt svartabell innen fristen for å få godkjent denne øvingen. 8

Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009 Øving 9 Veiledning: Mandag 09. og fredag 13. (evt 06.) mars Innleveringsfrist: Fredag 13. mars kl. 1200 (Svartabell på siste side.) Opplysninger: Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt. Dersom ikke annet er oppgitt, er potensial underforstått elektrostatisk potensial, og tilsvarende for potensiell energi. Dersom ikke annet er oppgitt, er nullpunkt for (elektrostatisk) potensial og potensiell energi valgt uendelig langt borte. Noe av dette kan du få bruk for: 1/4πε 0 = 9 10 9 Nm 2 /C 2, e = 1.6 10 19 C, m e = 9.11 10 31 kg, m p = 1.67 10 27 kg, g = 9.8 m/s 2 Symboler angis i kursiv (f.eks V for potensial) mens enheter angis uten kursiv (f.eks V for volt). 1) En vilkårlig formet elektrisk leder har netto ladning Q. Hva skjer i punktet P dersom ladningen på lederen økes til 2Q? A Kun potensialet fordobles. B Kun den elektriske feltstyrken fordobles. P C Både potensialet og den elektriske feltstyrken fordobles. Q D Både potensialet og den elektriske feltstyrken halveres. 2) En kompakt metallkule har positiv ladning Q. Avstanden fra kulas sentrum til punktet A er halvparten så stor som til punktet B. Null potensial velges uendelig langt borte. Da gjelder følgende for den elektriske feltstyrken E og potensialet V i de to punktene: A E A = 4E B, V A = 4V B B E A = 4E B, V A = 2V B A B C E A = 2E B, V A = 4V B D E A = 2E B, V A = 2V B Q 1

3) Tre isolerte metallkuler 1, 2 og 3 (dvs: de påvirker ikke hverandre) har hver en positiv ladning Q. Kulenes diameter er hhv 2a, 3a og 5a. Hvordan forholder kulenes elektriske potensial seg til hverandre? A V 1 : V 2 : V 3 = 2 : 3 : 5 B V 1 : V 2 : V 3 = 5 : 3 : 2 C V 1 : V 2 : V 3 = 6 : 10 : 15 D V 1 : V 2 : V 3 = 15 : 10 : 6 5a 2a 3a Q Q Q 1 2 3 4) To negative punktladninger, hver med ladning q, er plassert på -aksen i henholdsvis = a og i = a. Det elektriske feltet på -aksen er da E() = E() ˆ. Hvilken graf angir riktig E()? 1 E() 2 E() A 1 B 2 C 3 D 4 3 a E() a 4 a E() a a a a a 5) Riktig figur angir elektriske feltlinjer i et plan som går gjennom sentrum av en metallkule med nettoladning Q > 0. A B C D A B C D 2

6) En metallkule med ladning q og radius R er belagt med et lag elektrisk nøytral plast med tykkelse R og permittivitet ε = 3ε 0. Pilene i figuren angir da feltlinjer for A B C D elektrisk forskyvning D elektrisk felt E polarisering P både D og E plast lag metallkule ladning q 7) Riktig figur angir elektriske feltlinjer for en parallellplatekondensator som er halvveis fylt med et dielektrisk materiale (dvs det skraverte området har ε > ε 0 ). Platenes lineære utstrekning er stor i forhold til avstanden mellom platene. Øverste plate har negativ ladning Q, nederste plate har positiv ladning Q. A B C D A C B D 8) Ei kompakt metallkule med radius a har nettoladning q > 0. Den er belagt med et lag (elektrisk nøytral) plast med tykkelse a/2. Deretter følger et (elektrisk nøytralt) metallisk kuleskall med tykkelse a/2. Utenfor dette har vi vakuum. Plasten er et dielektrikum med permittivitet ε 1 = 10ε 0. I hvilken av de 4 angitte posisjonene A, B, C eller D er den elektriske feltstyrken størst? Avstanden fra kulas sentrum er i A: a/2, B: 5a/4, C: 7a/4, D: 5a/2. ε 0 metall A B C D 5a/2 D 2a ε 1 metall A 3a/2 a B C 3

9) Fire punktladninger er plassert i y-planet. To har positiv ladning q og ligger i henholdsvis (, y) = (a, a) og ( a, a), og to har negativ ladning q og ligger i henholdsvis (, y) = (a, a) og ( a, a). Hva blir retningen på det elektriske feltet E på -aksen (anta > a), dvs i (, 0)? y A Langs ˆ. B Langs ˆ. C Langs ŷ. D Langs ŷ. q q a a a a q q 10) For systemet med de fire punktladningene i oppgave 9: Hva blir V (, 0), dvs på -aksen? A V = 0 B V = q/4πε 0 C V = q/4πε 0 ( a) 2 a 2 D V = q/4πε 0 ( a) 2 a 2 11) Ei metallkule med radius R har netto ladning Q. Hva er kulas potensielle energi U? (Vi velger U = 0 når alle infinitesimale bidrag til Q er uendelig langt fra hverandre.) metallkule A B C D U = Q 2 /πε 0 R U = Q 2 /2πε 0 R U = Q 2 /4πε 0 R U = Q 2 /8πε 0 R Q R 12) To parallellplatekondensatorer er koblet i parallell, som vist i figuren. De øverste metallplatene er koblet sammen med en elektrisk leder (f.eks. kobberledning) slik at disse to platene har samme elektriske potensial. Det samme gjelder for de to nederste metallplatene. Derfor er potensialforskjellen (eller spenningsfallet) V den samme for begge kondensatorene. Hva blir total kapasitans C for en slik parallellkobling av to kondensatorer, hver med kapasitans henholdsvis C 1 og C 2? A C 1 C 2 Q 1 B (C 1 C 2 )/2 C (1/C 1 1/C 2 ) 1 V D 2(1/C 1 1/C 2 ) 1 Q 1 C 1 C 2 Q 2 Q 2 4

13) To parallellplatekondensatorer er koblet i serie, som vist i figuren. Nederste metallplate på kondensator 1 er koblet sammen med øverste metallplate på kondensator 2 via en elektrisk leder (f.eks. kobberledning) slik at disse to platene har samme elektriske potensial. Total potensialforskjell (eller spenningsfall) V over de to kondensatorene er lik summen av spenningsfallene V 1 og V 2 over hver av de to. Netto ladning på de ulike metallplatene er som vist i figuren. Hva blir total kapasitans C for en slik seriekobling av to kondensatorer, hver med kapasitans henholdsvis C 1 og C 2? Q A C 1 C 2 B (C 1 C 2 )/2 C (1/C 1 1/C 2 ) 1 D 2(1/C 1 1/C 2 ) 1 V 1 V 2 Q Q Q C 1 C 2 V 14) En parallellplatekondensator består av to parallelle metallplater i innbyrdes avstand d. De to metallplatene har ladning henholdsvis Q og Q. En metallskive med tykkelse h = 2d/3 settes inn midt mellom platene. Da blir potensialforskjellen mellom kondensatorplatene A ni ganger større. Q B tre ganger større. C tre ganger mindre. h d V D ni ganger mindre. Q 15) Potensialet på et uendelig stort positivt ladet plan er 20 V. Planet har en uniform ladningstetthet 4 nc/m 2. I hvilken avstand fra planet er da V = 0? A B C D 9 m 9 cm 9 mm Potensialet V er her negativt overalt. 5

16) To tilnærmet uendelig store metallplater har ladning ±σ pr flateenhet og er plassert i yz planet, dvs i = 0 (den positive), og i = 5a (den negative), som vist i figuren nedenfor til venstre. Rommet mellom platene er delvis fylt med to (elektrisk nøytrale) dielektriske lag, som vist i figuren til venstre. Det dielektriske laget i rommet 0 < < 2a har permittivitet ε 1 = 4ε 0. Det dielektriske laget i rommet 3a < < 5a har permittivitet ε 2 = 2ε 0. Hvilken av de fire grafene i figuren nedenfor til høyre illustrerer da potensialet V som funksjon av avstanden fra den positivt ladete metallplata? A 1 B 2 C 3 D 4 ε 1 vakuum ε 0 ε 2 V V 0 1 2a 3a 5a 0 2a 3a 5a 3 V V 2 4 0 2 a 3 a 5 a 0 2a 3a 5a 0 2a 3a 5a 17) En parallellplatekondensator består av to parallelle metallplater i innbyrdes avstand d. De to metallplatene har ladning henholdsvis Q og Q. Et dielektrikum med permittivitet ε > ε 0 fyller den venstre halvdelen av rommet mellom kondensatorplatene, som vist i figuren. I den høyre halvdelen har vi vakuum. Pilene i figuren angir da feltlinjer for Q A elektrisk forskyvning D B C D elektrisk felt E polarisering P både D og E ε Q ε 0 d V 18) En parallellplatekondensator består av to parallelle metallplater i innbyrdes avstand d. De to metallplatene har areal A og ladning henholdsvis Q og Q. Et dielektrikum med permittivitet ε = ε r ε 0 > ε 0 fyller den venstre halvdelen av rommet mellom kondensatorplatene, som vist i figuren. I den høyre halvdelen har vi vakuum. Hva blir kondensatorens kapasitans C, uttrykt ved C 0 = ε 0 A/d, som ville ha vært kapasitansen uten dielektrikumet til stede? (Tips: Dette er en parallellkobling av to kondensatorer.) A C = [2ε r /(ε r 1)]C 0 B C = [ε r /(ε r 1)] C 0 C C = (ε r 1)C 0 D C = [(ε r 1)/2]C 0 d ε= ε r ε 0 Q, A Q, A ε 0 V 6