EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile: Tillatte hjelpemidle Innføingsak: 6 inkl fosiden 0 Kun eksamenskalkulato TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus tillatt Rute Maks ant vedleggsfile til besvaelsen Kontinuasjon 1 Odinæ
Oppgave 1 Finn følgende integale a 2 0 (x2 + x)dx b ln(ax)dx, hvo a e en positiv konstant c x 3 x(x + 1) dx d xe x 2 dx e Aealet begenset av gafen til f(x) = x 10 og g(x) = x 11, kan finnes ved hjelp av integasjon Lag figu og skave aealet Hva bli aealet? Oppgave 2 La F (x, y) = x 2 + y 2 3xy, hvo F e definet fo alle x og y a Finn eventuelle stasjonæe punkte, og klassifise disse b La omådet D væe begenset av linjene y = x + 1, y = x 1, y = x + 1 og y = x 1 Tegn D i et koodinatsystem c Finn de globale maksimums- og minimumspunktene til F (x, y) nå definisjonsomådet e D Angi også de tilhøende maksimumsog minimumsvediene (Punktet telle dobbelt) 2
Oppgave 3 a Finn den invese matisen til A = 2 1 0 1 1 0 1 0 1 b Fo hvilke vedie av a ha likningssystemet en løsning? Løs likningssystemet fo a = 1 [ ] 1 3 c La B = 1 2 Finn B 2 d Løs matiselikningen BX 2I = B 1 hvo I e identitetsmatisen Oppgave 4 2x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3 ax 1 + + x 3 = 1 Simen love stoeboen sin, Espen, at han skal få en 100-lapp hve tedje måned i to å (i alt 8 hundelappe) Han få føste hundelapp om te månede a Hva e nåvedien til disse 8 hundelappene som Simen love, nå månedsenten e på 1 posent? b Rett ette Simen ha gitt Espen 4 hundelappe, ønske Simen å bli kvitt de fie gjenvæende betalingene askee Han vil nå betale hve måned med føste betaling om en måned Hvilket beløp skal han betale hve måned fo at betalingene skal ha samme nåvedi som den oppinnelige betalingsplanen? 3
Oppgave 5 La kostnadsfunksjonen til en bedift væe gitt ved K(x) = x 2 + x, de x e antall podusete enhete Makedspisen e p (p 1) pe enhet a Fo hvilket poduset kvantum e gensekostnaden 25? b Sett opp pofittfunksjonen og finn maksimal pofitt π max som funksjon av p (Vi kalle denne funksjonen π max (p)) c Finnes det en p slik at π max (p) = 1000? Hvis ja, finn denne Hvis nei, begunn hvofo ikke Oppgave 6 Kikki ha nyttefunksjon N(x, y) = xy, hvo x e kilo peanøtte og y kilo blåbæ Kilopisen fo peanøtte 10 kone og kilopisen fo blåbæ e 20 kone Kikki ha 100 kone og buke hele summen a Hvo mange kilo av henholdsvis peanøtte og blåbæ kjøpe hun? b Pisen på peanøtte og blåbæ dobles hve uke, og Kikki handle hve uke peanøtte og blåbæ fo 100 kone Kall antall kilo Kikki kjøpe av peanøtte i uke i fo A i og antall kilo blåbæ B i Finn lim n n i=1 A i og lim n n i=1 B i 4
Rekke og finansmatematikk Bankfomel: Sette du inn et beløp A i banken med ente pe å, ha beløpet vokst til A(1 + ) n hvo n e antall å Sum aitmetisk ekke: S(n) = n 2 (a 1 + a n ) = n(a 1 + (n 1)d 2 ) Sum geometisk ekke: S(n) = a 1 1 k n 1 k En geometisk ekke med uendelig mange ledd e konvegent fo 1 < k < 1, og summen e: S = a 1 1 1 k Nåvedi av A om t tidspeiode: Kontinuelig foenting: A t = A 0 e t A (1+) t Nåvedi betalingstøm (n utbetalinge, føste utbetaling e om en tidspeiode): S = A 1 (1+) n Nåvedi betalingstøm (n utbetalinge, føste utbetaling umiddelbat): S = A( + 1) 1 (1+) n Nåvedi betalingstøm (evig, føste utbetaling e om en tidspeiode): S = A Nåvedi betalingstøm (evig, føste utbetaling umiddelbat): S = A(1+) Fomel fo teminbeløp ved annuitetslån: A = K Funksjonsanalyse fo funksjone i to vaiable 1 (1+) n Kandidate fo (lokale) topp og bunn: f x(x, y) = f y(x, y) = 0 Test: > 0, A > 0 bunn, > 0, A < 0 topp, < 0 sadel ( = AC B 2, hvo A = f xx(x, y), B = f xy(x, y), C = f yy(x, y)) Totaldeivet-fomel: z = f(x(t), y(t)) gi dz dt = f x x t + f y y t Deivet til nivåkuve f(x, y) = konstant: dy dx = f x (x,y) f y (x,y) Lagange funksjon: L(x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c) Integasjon x n dx = 1 n+1 xn+1 + K (desom n 1) x 1 dx = 1 xdx = ln x + K (desom n = 1) e x dx = e x + K Delvis integasjon: u vdx = (u v) u v dx 5
Eksempel (Substitusjon): e 2x dx, u = 2x gi e u 1 2 du = 1 2 eu + K = 1 2 e2x + K ( f(u(x))u (x)dx = f(u)du) Eksempel (Delbøk): 2 x 2 1 dx, skiv 2 x 2 1 som A x 1 + B x+1 Lineæ algeba a b c d = ad bc a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Et lineæt likningssystem bestående av n likninge med n ukjente: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 og finn A og B a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n Cames egel: x j = a 11 a 12 a 1,j 1 b 1 a 1,j+1 a 1n a 21 a 22 a 2,j 1 b 2 a 2,j+1 a 2n a n1 a n2 a n,j 1 b n a n,j+1 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn A 1 = 1 det(a) adj(a) (NB! det(a) 0) adj(a) = kof(a) t A 11 A 12 ( 1) n+1 A 1n A 21 A 22 ( 1) n+2 A 2n kof(a) =, ( 1) n+1 A n1 ( 1) n+2 A n2 ( 1) 2n+1 A nn hvo A ij e den deteminanten som famkomme ved å styke i te ekke og j te søyle i A 6