1 Primtall og divisorer

Oppgaver

1 Primtall og divisorer KATEGORI 1 1.1 Primtallsfaktorisering Oppgave 1.110 Bruk lommeregneren til å finne ut om tallet er et primtall. a) 47 b) 61 c) 143 Oppgave 1.111 Finn ut ved hjelp av tverrsummen om tre går opp i tallet. 1) 233 2) 1011 3) 12 343 4) 23 202 Oppgave 1.112 Finn ut ved hjelp av den alternerende tverrsummen om 11 går opp i tallet. 1) 121 2) 211 3) 814 4) 91 718 Oppgave 1.113 Primtallsfaktoriser tallene. a) 30 b) 252 c) 297 d) 550 1.2 Eratostenes såld Oppgave 1.120 Ta først kvadratrota av tallet. Undersøk så om tallet er et primtall eller et sammensatt tall. a) 79 b) 97 c) 123 d) 143 Oppgave 1.121 To primtall er primtallstvillinger hvis differansen mellom primtallene er 2. De to første primtallstvillingene er da 3 og 5. Finn alle primtallstvillingene under 50. 1.3 Jakten på store primtall Oppgave 1.130 a) Finn det minste primtallet som er større enn 200. b) Finn det største primtallet som er mindre enn 300. 203

Oppgave 1.131 a) Hvor mange primtall er mindre enn 50? b) Bruk formelen til Atle Selberg og finn omtrent hvor mange primtall som er mindre enn 50. c) Er det godt samsvar mellom svarene i oppgave a og b? Oppgave 1.132 a) Regn ut 47 178 481. b) Undersøk om mersennetallet 2 23 1 er et primtall. 1.4 Divisor og multiplum Oppgave 1.140 Finn største felles divisor for tallene. a) 30 og 42 b) 84 og 105 c) 126 og 180 d) 350 og 875 Oppgave 1.141 Finn minste felles multiplum for tallene. a) 24 og 120 b) 60 og 90 c) 126 og 150 d) 30 og 77 Oppgave 1.142 Vi har gitt tallene a = 126 og b = 294. a) Finn sfd(a, b). b) Finn mfm(a, b). c) Finn summen uten bruk av lommeregneren. 1 42 + 1 294 Oppgave 1.143 Vi har gitt tallene a = 180 og b = 450. a) Finn sfd(a, b). b) Finn mfm(a, b). c) Finn summen uten bruk av lommeregneren. 1 180 + 11 450 204 Sinus X > Primtall og divisorer Oppgave 1.144 Finn fellesnevneren og regn ut. 1 a) 132 + 1 b) 1 234 225 + 1 1050 1.5 Euklidalgoritmen Oppgave 1.150 Bruk euklidalgoritmen og finn største felles divisor for tallene. a) 30 og 45 b) 26 og 90 c) 105 og 147 d) 88 og 220 Oppgave 1.151 Bruk euklidalgoritmen og finn største felles divisor for tallene. a) 42 og 196 b) 126 og 135 c) 80 og 168 d) 210 og 375 1.6 Den omvendte euklidalgoritmen Oppgave 1.160 Vi har gitt tallene a = 96 og b = 168. a) Finn d = sfd(a, b). b) Bruk euklidalgoritmen omvendt og finn to hele tall x og y slik at 96x + 168y = d Oppgave 1.161 Vi har gitt tallene a = 135 og b = 324. a) Finn d = sfd(a, b). b) Bruk euklidalgoritmen omvendt og finn to hele tall x og y slik at 135x + 324y = d Oppgave 1.162 Vi har gitt tallene a = 372 og b = 465. a) Finn d = sfd(a, b). b) Bruk euklidalgoritmen omvendt og finn to hele tall x og y slik at 372x + 465y = d

1.7 Diofantiske likninger Oppgave 1.170 Løs de diofantiske likningene ved hjelp av lommeregneren når x og y er positive hele tall. a) 2x + 3y = 7 b) 5x + 7y = 43 c) 7x + 9y = 83 d) 3x + 5y = 22 Oppgave 1.171 Løs de diofantiske likningene ved hjelp av lommeregneren når x og y er positive hele tall. a) 5x + 8y = 39 b) 4x + 7y = 45 c) 6x + 5y = 37 d) 7x + 11y = 73 Oppgaver 1.172 Løs de diofantiske likningene ved hjelp av lommeregneren når x og y er positive hele tall. a) 8x + 9y = 70 b) 5x + 9y = 65 c) 3x + 7y = 42 d) 7x + 3y = 32 Oppgave 1.173 Lille Grete er i butikken og kjøper boller og brus. Bollene koster 6 kr per stykk, og brusen koster 11 kr per flaske. Til sammen betaler hun 70 kr. Vi antar at Grete kjøper x boller og y flasker med brus. a) Sett opp en diofantisk likning som gir sammenhengen mellom x og y. b) Tegn linja som har likningen i oppgave a, og finn grafisk hvor mange boller og hvor mange flasker brus Grete kjøper. Oppgave 1.174 I ei skål ligger det både skruer og muttere. En skrue veier 5 g, og en mutter veier 7 g. Det som ligger i skåla, veier til sammen 70 g. a) Det er x skruer og y muttere i skåla. Sett opp en diofantisk likning som gir sammenhengen mellom x og y. b) Tegn linja og finn grafisk hvor mange skruer og hvor mange muttere det er i skåla. KATEGORI 2 1.1 Primtallsfaktorisering Oppgave 1.210 Undersøk hvor mange av tallene 2, 3, 5 og 11 som går opp i tallet, uten bruk av lommeregner. a) 270 b) 759 c) 10 230 d) 21 329 Oppgave 1.211 Primtallsfaktoriser tallene. a) 1323 b) 6006 c) 9317 d) 21 344 1.2 Eratostenes såld Oppgave 1.220 a) Skriv tallene fra 1 til 100 i spiralform på et ruteark. Begynn med tallet 1 midt på arket og skriv i annenhver rute og på annenhver linje slik som antydet nedenfor. 5 4 3 6 1 2 7 8 9... b) Sett et kryss over alle primtallene. Ser du noe mønster? 205

1.3 Jakten på de store primtallene Oppgave 1.230 a) Mellom 120 og 130 fins det bare ett primtall. Hvilket? b) Finn det største primtallet under 1000. Oppgave 1.231 a) Finn det minste primtallet p slik at 2p + 1 ikke er et primtall. b) La n være et positivt oddetall. Finn det minste tallet n slik at n 2 2 ikke blir et primtall. Oppgave 1.232 Den norske matematikeren Viggo Brun (1885 1978) la fram en teori om at summen av den uendelige rekken ( 1 3 + 1 5 ) + ( 1 + 1 5 7 ) + ( 1 11 + 1 13 ) + der (3, 5), (5, 7), (11, 13),, er primtallstvillingene, er lik B = 1,90216054 Vi lar a 1 = 1 3 + 1, a 5 2 = 1 + 1 5 7 osv. være leddene i rekken ovenfor. Vi lar B n være summen av de n første leddene i rekken. a) Finn B 7. b) Finn den største n slik at B n < 1,42. Oppgave 1.233 Den kinesiske matematikeren Jing-run Chen viste i 1973 at ethvert helt tall større enn 3 kan skrives på formen p + q r der p, q og r er primtall. Skriv disse tallene på formen p + q r. a) 25 b) 50 c) 90 d) 100 1.4 Divisor og multiplum Oppgave 1.240 Finn største felles divisor for tallene. a) 462 og 11 466 b) 975 og 4420 c) 595 og 30 030 d) 10 659 og 15 939 Oppgave 1.241 Finn minste felles multiplum for tallene i oppgave 1.240. Oppgave 1.242 Vi har gitt tallene a = 2015 og b = 2387. a) Finn sfd(a, b). b) Finn mfm(a, b). Oppgave 1.243 a) Finn minste felles multiplum for tallene 156 og 198. b) Finn summen av brøkene 1 156 + 1 198 Oppgave 1.244 Regn ut. 1 a) 84 + 1 126 b) 1 1156 1 2256 Oppgave 1.245 a) Finn minste felles multiplum for tallene 210 og 350. b) Regn ut og forkort svaret mest mulig. 1 210 1 350 1.5 Euklidalgoritmen Oppgave 1.250 Bruk euklidalgoritmen og finn største felles divisor for tallene. a) 2604 og 3248 b) 486 og 13 662 c) 41 327 og 726 869 d) 557 566 og 582 958 206 Sinus X > Primtall og divisorer

Oppgave 1.251 Bruk euklidalgoritmen til å finne største felles divisor for tallene. Finn deretter minste felles multiplum. a) 5796 og 19 992 b) 198 198 og 213 444 1.6 Den omvendte euklid algoritmen Oppgave 1.260 Finn den største felles divisoren d for tallene a og b. Finn deretter hele tall x og y slik at ax + by = d a) a = 5390 og b = 7007 b) a = 2695 og b = 6370 c) a = 2457 og b = 4998 Oppgave 1.261 Finn den største felles divisoren d for tallene a og b. Finn deretter hele tall x og y slik at ax + by = d. a) a = 456 og b = 828 b) a = 459 og b = 663 c) a = 735 og b = 1050 1.7 Diofantiske likninger Oppgave 1.270 Løs den diofantiske likningen når x > 0 og y > 0. a) 3x + 11y = 54 b) 4x + 7y = 100 c) 2x + 5y = 52 d) 4x + 7y = 67 Oppgave 1.272 Forklar hvorfor den rette linja 18x + 15y = 100 aldri kan gå gjennom et punkt med heltallige koordinater. Oppgave 1.273 På en matematikktest er det gitt noen 4-poengspørsmål og noen 12-poengspørsmål. Svarene er enten riktige eller gale. En elev fikk 298 poeng på testen. Har eleven grunn til å klage? Oppgave 1.274 a) Finn den generelle løsningen av den diofantiske likningen 8x + 75y = 1200 b) Til oppsetningen av en skolerevy skal det bestilles brus og pizza. En flaske brus koster 8 kr og en pizza 75 kr. Hvor mange brus og hvor mange pizzaer kan en få kjøpt for akkurat 1200 kr? c) En elev mener at det blir for mange brus i forhold til tallet på pizzaer. Han hevder at fordelingen mellom brus og pizza blir bedre hvis de øker kjøpesummen med 100 kr. Regn ut de mulige kombinasjonene av brus og pizza i dette tilfellet. Oppgave 1.271 Løs den diofantiske likningen. a) 5x + 13y = 89 b) 7x + 11y = 76 c) 5x + 13y = 100 d) 8x + 15y = 125 207

Oppgave 1.275 En metallstang er 800 cm lang. Den skal kuttes opp i dellengder på 9 cm og 13 cm. Finn de mulige kombinasjonene av de to dellengdene slik at vi får brukt hele metallstanga. Oppgave 1.276 Det var en gang en bonde som brukte 100 gullmynter til å kjøpe 100 dyr for. Ei ku kostet 10 gullmynter, en gris kostet 3 gullmynter, og ei høne kostet en halv gullmynt. Bonden kjøpte minst ett av hvert av de tre dyra. Hvor mange kuer, griser og høner kjøpte bonden? BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 1.300 Motebutikken Steikje Fint selger bukser og skjorter. Buksene koster 630 kr per stykk og skjortene 434 kr. a) Finn største felles divisor for tallene 630 og 434 ved hjelp av euklidalgoritmen. b) Finn minste felles multiplum for tallene 630 og 434 ved regning. c) Forklar hvorfor den diofantiske likningen 630x + 434y = 12 572 har heltallige løsninger. d) En dag selger butikken Steikje Fint bukser og skjorter for 12 572 kr. Hvor mange bukser og hvor mange skjorter selger butikken den dagen? Oppgave 1.302 Hva er det minste naturlige tallet n slik at verken 6n + 1 eller 6n 1 er et prim tall? Oppgave 1.303 Den indiske astronomen Brahmagupta (født 598) utviklet en metode for å løse lineære diofantiske likninger. Metoden bygger på euklidalgoritmen og er veldig lik vår egen metode. Finn den minste positive løsningen av denne likningen fra Brahmaguptas skrifter: 137x + 10 = 60y Oppgave 1.304 a) Forklar hva vi mener med et primtall. b) Finn største felles divisor for tallene 228 og 306 ved hjelp av primtallsfaktorisering. c) Finn største felles divisor for tallene 228 og 306 ved hjelp av euklidalgoritmen. d) Finn minste felles multiplum for tallene 228 og 306. e) Noen ungdommer er på båttur. En vanlig billett koster 306 kr. Studenter får rabatt og betaler 228 kr. Til sammen betaler disse ungdommene 2898 kr. Bruk blant annet det du gjorde i opp gave c, til å finne ut hvor mange studenter som var med på turen, og hvor mange ungdommer det var til sammen. Oppgave 1.301 Løs den diofantiske likningen når x > 0 og y > 0. a) 23x + 41y = 402 b) 17x + 32y = 411 c) 25x + 42y = 687 d) 53x + 69y = 817 208 Sinus X > Primtall og divisorer

Oppgave 1.305 a) Forklar, uten å regne, hvorfor den diofantiske likningen 12x 15y = 34 ikke har heltallige løsninger. b) 1) Forklar hvorfor den diofantiske likningen 11x + 23y = 123 har heltallige løsninger. 2) Finn den generelle løsningen av likningen i oppgave b1. Oppgave 1.306 Knut eier en sportsforretning. Han kjøper inn et parti joggesko av typene A og B. Type A koster 185 kr og type B 505 kr. Hele partiet koster til sammen 19 095 kr. Hvor mange av hver type kjøper han inn? Oppgave 1.307 Løs den diofantiske likningen. a) 5x + 12y = 134 b) 3x + 13y = 127 c) 9x + 11y = 201 d) 13x + 15y = 274 Oppgave 1.308 a) Finn største felles divisor for tallene 234 og 264 ved hjelp av primtallsfaktorisering. b) Finn største felles divisor for tallene 234 og 264 ved hjelp av euklidalgoritmen. c) Finn minste felles multiplum for tallene 234 og 264. d) Finn summen 13 234 + 8 264 uten å bruke lommeregneren. Forkort svaret ved regning. e) Hvorfor har den diofantiske likningen 234x 264y = 54 heltallige løsninger? f) Heidi og Arne bor på hybel og tar noen ganger toget hjem i helgene. Heidi betaler 234 kr for en tur-returbillett, og Arne betaler 264 kr for en tilsvarende billett. I løpet av et halvår betalte Heidi 54 kr mer enn Arne for hjemreisene med toget. Hvor mange ganger reiste hver av dem hjem med toget dette halvåret? Bruk blant annet euklidalgoritmen når du løser oppgaven. Oppgave 1.309 a) På hvor mange måter kan du skrive 42 som summen av to primtall? b) Undersøk om det fins noen primtall mellom 200 og 210. Oppgave 1.310 a) Et helt tall kalles perfekt hvis summen av alle divisorene mindre enn tallet er lik tallet. 1) Vis at 6 er et perfekt tall. 2) Finn det neste perfekte tallet etter 6. b) Et helt tall kalles multiplikativt perfekt hvis produktet av alle divisorene mindre enn tallet er lik tallet. 1) Vis at 6 er multiplikativt perfekt. 2) Kan du finne flere multiplikativt perfekte tall? 3) La n være et postivt heltall og p et primtall. Vis at hvis n = p 3 så er n et multiplikativt perfekt heltall. Oppgave 1.311 Differansen mellom to positive hele tall a og b er 6. Dessuten er sfd(a, b) = 6 og mfm(a, b) = 1260. Finn tallene. 209

Oppgave 1.312 Vi har to tall a og b, der 2 < a < b. Dessuten er sfd(a, b) = 2 og mfm(a, b) = 70. Finn tallene a og b. Oppgave 1.313 Fra arbeidene i matematikk til den indiske astronomen Brahmagupta (født 598) har vi følgende problem: Det er gitt at sola gjør 30 omdreininger rundt jorda på 10 960 dager. Hvor mange hele dager har det gått (fra sola var i et gitt startpunkt) når sola har gjort et helt antall omdreininger pluss 8080/10 960 av én omdreining? Vi lar y være det ukjente antallet dager og x antallet hele omdreininger. Når 30 omdreininger tar 10 960 dager, vil én omdreining ta 10 960/30 dager. a) Forklar at 8080 y = ( x + 10 960 10 960 ) 30 b) Omform likningen til en lineær diofantisk likning og løs den. Oppgave 1.314 Pierre de Fermat fattet interesse for såkalte vennskapstall. Det er par av tall som er slik at hvert tall er summen av divisorene til det andre tallet. Pytagoreerne hadde 2000 år tidligere oppdaget at 220 og 284 er vennskapstall. Divisorene til 220 er 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 og 110, og summen av alle disse er 284. Divisorene til 284 er 1, 2, 4, 71 og 142, og summen av disse er 220. Tallparet 220 og 284 ble oppfattet som symboler på vennskap. I middelalderen ble det solgt talismaner der disse tallene var inngravert. Å bære en slik talisman skulle fremme kjærligheten. I 1686 oppdaget Fermat vennskapstallene 17 296 og 18 416. Andre matematikere fulgte opp med nye og større vennskapstall, men de overså vennskapstallene 1184 og 1210. Disse vennskapstallene ble først oppdaget i 1866 av den 16-årige italieneren Nicolò Paganini. Kontroller at 1184 og 1210 er vennskapstall. 210 Sinus X > Primtall og divisorer

FASIT oppgavedel 1.100 a) Primtall b) Primtall c) Ikke primtall 1.111 a) 3 går ikke opp b) 3 går opp c) 3 går ikke opp d) 3 går opp 1.112 a) 11 går opp b) 11 går ikke opp c) 11 går opp d) 11 går opp 1.113 a) 2 3 5 b) 2 2 3 3 7 c) 3 3 3 11 d) 2 5 5 11 1.120 a) Primtall b) Primtall c) Sammensatt d) Sammensatt 1.121 a) (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43) 1.130 a) 211 b) 293 1.131 a) 15 b) Omtrent 13 c) Ja 1.132 a) 8 388 607 b) Ikke primtall (2 23 1 = 47 178 481) 1.140 a) 6 b) 21 c) 18 d) 175 1.141 a) 120 b) 180 c) 3150 d) 2310 1.142 a) 42 b) 882 c) 4 147 1.143 a) 90 b) 900 c) 1.144 61 a) 5148 b) 17 3150 3 100 1.150 a) 15 b) 2 c) 21 d) 44 1.151 a) 14 b) 9 c) 8 d) 15 1.160 a) 24 b) x = 2 og y = 1 1.161 a) 27 b) x = 5 og y = 2 1.162 a) 93 b) x = 1 og y = 1 1.170 a) x = 2 og y = 1 b) x = 3 og y = 4 c) x = 8 og y = 3 d) x = 4 og y = 2 1.171 a) x = 3 og y = 3 b) x = 6 og y = 3 c) x = 2 og y = 5 d) x = 1 og y = 6 1.172 a) x = 2 og y = 6 b) x = 4 og y = 5 c) x = 7 og y = 3 d) x = 2 og y = 6 1,173 a) 6x + 11y = 70 b) 8 boller og 2 brus 1.174 a) 5x + 7y = 70 b) 7 skruer og 5 muttere 1.210 a) 2, 3 og 5 b) 3 og 11 c) 2, 3, 5 og 11 d) 11 1.211 a) 3 3 3 7 7 b) 2 3 7 11 13 c) 7 11 11 11 d) 2 2 2 2 2 23 29 1.230 a) 127 b) 997 1.231 a) 7 b) 11 1.232 a) 1,303207 b) 14 1.233 a) 25 = 11 + 7 2 b) 50 = 29 + 7 3 1.240 a) 42 b) 65 c) 35 d) 33 1.241 a) 126 126 b) 66 300 c) 510 510 d) 5 148 297 1.242 a) 31 b) 155 155 1.243 59 a) 5148 b) 5148 1.244 5 a) 252 b) 275 651 984 1.245 1 a) 1050 b) 525 1.250 a) 28 b) 54 c) 2431 d) 1058 1.251 a) 84, 1 379 448 c) 15 246, 2 774 772 1.260 a) 539, x = 4 og y = 3 b) 245, x = 7 og y = 3 c) 21, x = 59 og y = 29 266

1.261 a) 12, x = 20 og y = 11 b) 51, x = 3 og y = 2 c) 105, x = 3 og y = 2 1.270 a) x = 7 og y = 3 b) (x, y) = (18, 4), (11, 8) eller (4, 12) c) (x, y) = (1, 10), (6, 8), (11, 6), (16, 4) eller (21, 2) d) (x, y) = (15, 1), (8, 5) eller (1, 9) 1.271 a) x = 10 13n y = 8 + 5n, der n er et helt tall b) x = 3 11n y = 5 + 7n, der n er et helt tall c) x = 7 13n y = 5 + 5n, der n er et helt tall d) x = 10 15n y = 3 + 8n, der n er et helt tall 1.272 sfd(18, 15) = 3 går ikke opp i 100. 1.273 Ja, sfd(4, 12) = 4 går ikke opp i 298. Likningen 4x + 12y = 298 har derfor ikke heltallige løsninger. 1.274 a) x = 75 75 n y = 8 + 8 n, der n er et helt tall b) 75 brus og 8 pizzaer c) 50 brus og 12 pizzaer eller 125 brus og 4 pizzaer 1.275 9 cm 86 73 60 47 34 21 8 13 cm 2 112029384756 1.276 5 kuer, 1 gris og 94 høner 1.300 a) 14 b) 19 220 d) 11 bukser og 13 skjorter 1.301 a) x = 5 og y = 7 b) x = 11 og y = 7 c) x = 9 og y = 11 d) x = 5 og y = 8 1.302 n = 20 1.303 x = 10, y = 23 1.304 b) 6 c) 6 d) 11 628 e) Det er 6 studenter og til sammen 11 ungdommer. 1.305 a) sfd(12, 15) = 3 går ikke opp i 34. b) 1) Fordi sfd(11, 23) = 1 går opp i 123 2) x = 7 23n y = 2 + 11n 1.306 Type A: 65, type B: 14 1.307 a) x = 10 12n y = 7 + 5n b) x = 12 13n y = 7 + 3n c) x = 4 11n y = 15 + 9n d) x = 13 15n y = 7 + 13n 1.308 a) 6 b) 6 c) 10 296 d) 17 198 e) Største felles divisor for 234 og 264 går opp i 54. f) Heidi reiste 7 ganger og Arne 6 ganger. 1.309 a) 4 (5 + 37, 11 + 31, 13 + 29, 19 + 23) b) Ingen primtall 1.310 a) 1) 6 = 1 2 3 2) 15 = 1 3 5 b) 1) 6 = 1 2 3 2) 8 og 27 1.311 84 og 90 1.312 10 og 14 1.313 b) x = 2 + 3n y = 1000 + 1096n 2.110 a) Kongruente b) Inkongruente c) Kongruente 2.112 a) Riktig b) Riktig c) Gal d) Riktig 2.113 d) Er feil 2.127 a) 1 2.128 a) x 3 (mod 5) b) x = 46 2.130 a) 5 og 1 b) 5 c) 1 d) 7 2.131 a) 2 og 3 b) 6 c) 5 d) 5 2.133 a) 2) 1 b) 2) 1 2.140 a) 0 b) 3 c) 2 d) 5 2.141 a) 1 b) 4 c) 1 d) 1 2.142 a) 1 b) 2 c) 2 d) 8 2.143 a) 1) 13 2) 2 b) 1) 3 2) 3 2.144 a) y = 0 b) x = 2 2.150 a) Har løsning b) Har løsning c) Har ikke løsning 2.151 a) Har løsning b) Har ikke løsning c) Har løsning 267