Maple kan selv konstruere taylorpolynomer til en gitt funksjon om et gitt punkt. Kommandoen er taylor der vi må taste inn funksjonen, punktet a vi finner polynomet om, og hvilken orden n vi vil at polynomet skal ha (i akkurat den rekkefølgen). Eksempel: s d taylor sin, = 0, 9 s := K 6 3 C 0 5 K 5040 7 C O 9 () Merk: Det siste leddet i hvert taylorpolynom kan du se bort fra. (Det betyr bare at det neste leddet er av slik grad eller høyere.) At Maple tar med dette siste leddet, betyr at vi må sette n ett steg høyere enn orden til det taylorpolynomet vi er ute etter. Merk: Vi vil at Maple skal oppfatte taylorpolynomet som et helt vanlig polynom. Det gjør vi ved kommandoen convert: p d convert s, polynom p := K 6 3 C 0 5 K 5040 7 () For å finne p for eksempel, skriver vi subs =, p 44 5040 (3) og vil vi plotte polynomet, kan vi det også: plot p, = 0..$Pi
0 K p 4 p 3 p 4 p 5 p 4 3 p 7 p 4 K4 K6 K8 K0 K K4 Den ligner på grafen til sin når bare ikke er for stor. Eksempel:
taylor sin, =, 7 sin C cos K C K 8 sin K 8 cos K C 6 sin C 4 cos K 3 C K 7 9 sin K 3 8 cos K 4 C 9 768 C O K 7 sin C 6 3840 cos K 5 C K 84 46080 sin K 3 56 cos K 6 (4) Det ville kanskje være bedre i dette eksemplet om taylorkoeffisientene kom på desimalform. Det kan vi fikse ved å skrive ettallet som.0 taylor sin, =.0, 7 0.844709848 C 0.705530 K.0 K 0.77663 K.0 C 0.075045363 K.0 3 K 0.0433496495 K.0 4 C 0.094005688 K.0 5 K 0.06894357 K.0 6 C O K.0 7 (5) Oppgave 3.5.5 P, P,..., P 5, men siden vi skal plotte disse polynomene, gjør vi det litt annerledes: (husk at det er snakk om en tabell) for n from by to 5 do t d taylor ln, =, n C : p d convert t, polynom t := K C O K p := K : plot p, = 0.5..4 end do
3 0 3 4 t := K K K C O K 3 p := K K K
0.5 0 3 4 K0.5 K K.5 t := K K K C 3 K 3 C O K 4 p := K K K C 3 K 3
7 6 5 4 3 0 3 4 t := K K K C 3 K 3 K 4 K 4 C O K 5 p := K K K C 3 K 3 K 4 K 4
0 3 4 K K4 K6 K8 K0 K t := K K K C 3 K 3 K 4 K 4 C 5 K 5 C O K 6 p := K K K C 3 K 3 K 4 K 4 C 5 K 5
30 0 0 0 3 4 Vi skal sammenligne disse plottene med grafen til ln plot ln, = 0.5..4
. 0.8 0.6 0.4 0. 0 K0. 3 4 K0.4 K0.6 Det hadde vært enklere å sammenligne om vi hadde tegnet alle grafene i samme koordinatsystem P d plot ln, = 0.5..4, color = red P := PLOT... (6)
P d plot K, = 0.5..4, color = orange P := PLOT... (7) P d plot K K K, = 0.5..4, color = yellow P := PLOT... (8) P3 d plot K K K C 3 K 3, = 0.5..4, color = green ; P3 := PLOT... (9) P4 d plot K K K C 3 K 3 K 4 K 4, = 0.5..4, color = blue P4 := PLOT... (0) P5 d plot K K K C K 3 K K 4 C K 5, = 0.5..4, color = magenta 3 4 5 P5 := PLOT... with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, compleplot, compleplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot, display, dualaisplot, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, interactive, interactiveparams, intersectplot, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matriplot, multiple, odeplot, pareto, plotcompare, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedra_supported, polyhedraplot, rootlocus, semilogplot, setcolors, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematriplot, surfdata, tetplot, tetplot3d, tubeplot display P, P, P, P3, P4, P5 () ()
30 0 0 0 3 4 K0 Det ble bedre. Her ser vi hvordan polynomene klarer å imitere logaritmen i et stadig større intervall når vi øker ordnen til taylorpolynomet. Vi ser det kanskje enda bedre om vi belger intervallet [0.5, 3] for. Du kan selv endre kommandoene over for å få det slik. Oppgave 3.5.7
a) (i) Vi trenger bare å finne taylorpolynomet av orden 30, for de andre to får vi ved å avkorte det lengste. convert taylor sin, = 0, 3, polynom K 6 3 C 0 5 K 5040 7 C 36880 9 K C C C 35568748096000 7 K 550043330985984000000 5 K 3996800 C 6450040883000 9 C 884769937397095454366000000 9 6700800 3 K 5090947709440000 K 0888869450483560768000000 7 307674368000 5 58506738884976640000 3 For å skrive plottekommandoen, bruker vi så klipp og lim. Siden sinus er begrenset mellom, mens polynomer har en tendens til å vokse ganske fort i absoluttverdi, velger vi å bruke kommandoen implicitplot Vi har allrede hentet inn Maples plottekommandoer, så den er grei. (3) P d implicitplot y = sin, = 0..5, y =K.5...5, color = red, gridrefine = P := PLOT... P d implicitplot y = K 6 3 C 0 5 K 5040 7 C 36880 9, = 0..5, y =K.5...5, color = green, gridrefine = P := PLOT... P d implicitplot y = K 6 3 C 0 5 K 5040 7 C K 307674368000 5 C 35568748096000 7 K gridrefine = 3996800 C 6700800 3 36880 9 K 6450040883000 9, = 0..5, y =K.5...5, color = blue, P := PLOT... P3 d implicitplot y = K 6 3 C 0 5 K 5040 7 C 36880 9 K 3996800 C 6700800 3 (4) (5) (6)
K K C 307674368000 5 C 58506738884976640000 3 C display P, P, P, P3 35568748096000 7 K 6450040883000 9 C 550043330985984000000 5 K 5090947709440000 0888869450483560768000000 7 884769937397095454366000000 9, = 0..5, y =K.5...5, color = magenta, gridrefine = P3 := PLOT... (7)
.5 y 0.5 0 5 0 5 K0.5 K K.5 Se så fint polynomene imiterer en sinus. Men de er jo bare polynomer, så de klarer det bare et stykke, før de skjærer aldeles ut. Men de klarer det lenger jo høyere grad de har.
Oppgave 3.5.8 a) convert taylor tan, = Pi 6, 6, polynom 3 3 C 4 3 K 9 p C 4 9 3 K 6 p C 8 9 K 6 p 3 C 4 9 3 K 6 p 4 C 04 35 K 6 p 5 (8) Her vet vi at koeffisienten foran leddet av grad 5 er lik Derfor er f 5 p 6 lik f 5 p 6 5! 04 35 $ 5! 83 9 (9) Oppgave 3.5.9 a) Å finne taylorpolynomet er ingen sak. Vi kaller det p p d convert taylor sin, = 0,, polynom p := K 6 3 C 0 5 K 5040 7 C 36880 9 K C 35568748096000 7 K 6450040883000 9 3996800 C For å evaluere dette polynomet for ulike verdier av, bruker vi kommandoen subs 6700800 3 K 307674368000 5 (0)
Det er fristende å bruke en for-løkke for å beregne polynomverdiene det spørres om. Tellevariabelen n (eller hva vi kaller den) i en for-løkke, skal ta heltallsverdier. Derfor skriver vi det slik: for n from by to 5 do subs = n, p end do 0 9064750380575379079073707 90965607360000000000000000000000 6585059760498609096695507 334565948750000000000000000 498093004746889780093 685590000000000000000000000 060574634064086630834 7333739930750976565 43680506303079339 900948663673088000 Dette ble voldsomme brøker. Vi er antakelig bedre tjent med desimaltall: () for n from by to 5 do evalf subs = n 0, p, 7 end do 0.0998334 0.986693 0.9550 0.389483 0.479455 () Oppgave 3.5.30
a) (i) Her trenger vi ikke Maple for å derivere funksjonen. Men la oss likevel gjøre det for treningens skyld. For å få den førstederiverte av en funksjon f skrev vi kommandoen diff f, For å få den andrederiverte skriver vi diff f,, eller diff f, $ : diff cos,, Kcos (3) Vi trenger heller ikke Maple for å løse likningen Kcos = 0 Løsningen er La oss likevel se hva Maple gjør om vi ber programmet om å løse likningen: p C kp for alle hele tall k solve Kcos = 0, p Vi fikk altså bare én av de uendelig mange løsningene. Resten må vi så finne ut selv. (4) (ii) Vi velger å plotte én periode av cos der går fra 0 til p. I vendepunktet = p er funksjonsverdien lik 0 og den deriverte lik - Tangenten har derfor likningen y = 0 K K p I vendepunktet = 3 p Tangenten har derfor likningen y = 0 C er funksjonsverdien lik 0 og den deriverte lik K 3 p P d implicitplot y = cos, = 0.. Pi, y =K.., color = red P := PLOT... P d implicitplot y =K C Pi, = 0.. Pi, y =K.., color = blue (5) (6)
P d implicitplot y = K 3 Pi display P, P, P P := PLOT..., = 0.. Pi, y =K.., color = green P := PLOT... (6) (7) y 0 3 4 5 6 K K
(iii) Det har naturligvis med grafens form i et vendepunkt å gjøre. Taylors restleddformel sier at forskjellen mellom f og tangenten i punktet a, f a er begrenset av Den andrederiverte er null i vendepunktet, og derfor vanligvis liten i en omegn om vendepunktet. Derfor blir feilskranken også liten. f'' c! K a