01.09.03 Forelesningsnotater ECON 2910 VEKST OG UTVIKLING, HØST 2003 2. Solow-modellen En enkel verbal beskrivelse av Solow-modellen er at den består av tre likninger, hvorav en for produksjon i økonomien, en for vekst i kapital, og en for vekst i arbeidskraft. Den vanligste versjon av modellen har disse likningene med i den enklest tenkelige form: Y t = produksjon/inntekt (= BNP) K t = kapital L t = arbeidskraft (1) Y t = F (K t, L t ) Med bruk av Cobb-Douglas-funksjonen som i Jones blir det (1 ) Y = K α 1-α t L t Her er variablene i tillegg normert slik at det ikke blir er noen konstant faktor. (2) dk t /dt = sy t δk t Bruttoinvestering er gitt ved en konstant sparerate, anvendt på totalinntekten. Vi kunne like gjerne ha kalt dette for en konstant investeringsrate. Poenget her er at vi har ingen stabiliseringspolitiske problemer, men alltid full sysselsetting. Ønsket sparing gitt ved den konstante sparerate gir investering lik sparerate multiplisert med BNP ved full sysselsetting. Modellen gir ingen forklaring på hvorfor spareraten er det den er eller for at den er konstant. Nettoinvestering (= kapitaltilvekst) framkommer ved fradrag av kapitalslit bestemt som en konstant andel av kapitalbeholdningen. (3) dl t /dt = nl t Konstant vekst i arbeidskraft (= befolkning). Vi har altså tre likninger, tre variable tidsfunksjoner (Y t, K t, L t ) og tre konstante parametre (s, n, δ). Funksjonen F(, ) antas kjent, for eksempel som en Cobb-Douglas-funksjon. F(, ) tillegges egenskaper som en vanlig tofaktor produktfunksjon, dvs. F K > 0, F L > 0, F KK < 0, F LL < 0, F KL > 0. Skalaegenskaper Dessuten forutsettes at F(, ) har konstant skalaavkastning (pari-passu), dvs. F(hK, hl) hf(k,l) for enhver h>0 (homogen av grad 1) En tolking av denne homogenitetsforutsetningen er at den for det første uttrykker at naturressurser i praksis ses bort fra. For det andre er det ikke lenger noen skalafordeler å hente ved arbeidsdelingsgevinster.
En løsning av modellen er tidsforløpene fra t=0 til t= for modellens variable for gitte startverdier, dvs K 0 og L 0. Vi er interessert i å finne modelløsningens egenskaper og spesielt dens avhengighet av parameterverdiene. Modelløsningens karakteristika kan vi deretter konfrontere med stylized facts om moderne økonomier. Modellen på intensivform Som følge av F-funksjonens skalaegenskaper vil modelløsningen være den samme for alle startverdier som er proporsjonale, dvs. med samme verdi for forholdet K 0 /L 0. Vi kan utnytte skalaegenskapen ved å reformulere modellen. Vi innfører y t = Y t /L t k t = K t /L t Vi kan da reformulere modellen som to likninger: (4) y t = Y t /L t = 1/L t F(K t,l t ) = F(K t /L t, L t /L t ) = F(k t, 1) = f(k t ) (5) dk t /dt = d(k t /L t )/dt = 1/L t dk t /dt + K t d(1/l t )/dt) = 1/L t (sy t δk t ) + K t (-1/ L 2 t ) dl t /dt = sy t - δk t - k t n = sy t - (δ + n) k t Vi har altså nå kommet fram til en ny standardform på modellen ved å utnytte at skalegenskapen gjør det mulig å uttrykk alt pr arbeidskraftenhet. Vi kaller dette for modellen på intensivform. (4 ) y t = f(k t ) (med Cobb-Douglas y t = k α t ) (5 ) dk t /dt = sy t - (δ + n) k t y t = f(k t ) kan vi tolke som en slags produktfunksjon som gir produksjonsintensiteten (produksjon pr capita) som en stigende funksjon av kapitalintensitet. Vis dette, dvs. at f (k) > 0 for Cobb-Douglas-versjonen eller generelt. Men her er det avtakende avkastning. Økt kapitalintensitet gir økt produksjon pr capita, men med avtakende avkastning. Vis dette, dvs. at f (k) < 0 for Cobb-Douglas-versjonen eller generelt. Ved å sette (4 ) inn i (5 ) kan vi redusere modellen til en eneste likning: (5 ) dk t /dt = s f(k t ) - (δ + n) k t For en gitt k 0, dvs. forholdet K 0 /L 0, vil (5 ) bestemme utviklingen av k t ved en differensiallikning. Utviklingen i y t følger da av (4 ) og utviklingen i K t og Y t finnes ved å multiplisere opp med L t =L 0 e nt. [Hvis vi setter inn Cobb-Douglas-funksjonen i (5 ) blir differensiallikningen en Bernoulli-likning som kan løses eksplisitt, se Sydsæter: Matematisk analyse, Bind II.] Konvergens mot en langsiktig likevektstilstand Solow-modellens dynamikk kan finnes uten å løse modellen eksplisitt. I et (y,k)- diagram kan y = f(k) inntegnes sammen med de to komponentene i uttrykket for dk/dt. FIGUR 2
Differensen mellom de to leddene i (5 ) bestemmer hvordan k endres over tid. Hvis differensen for en valgt verdi av k er positiv, øker k, altså en bevegelse til høyre på k- aksen og omvendt hvis differensen er negativ. Hvis differensen er null, dvs. for den spesielle verdien k=k * slik at sf(k * ) = (δ + n) k *, vil altså k ikke endres. Tilsvarende får y da verdien y * =f(k * ). Vi kaller (k *, y * ) for modellens steady state eller langsiktige likevekt. I steady state vil altså modellens variable ikke endre seg (med mindre de utsettes for et sjokk). De to komponentene i uttrykket for dk t /dt kan vi tolke som uttrykk for hhv. faktisk sparing per capita for den gitte k og nødvendig sparing per capita for å opprettholde kapitalintensiteten. Når faktisk sparing er større enn nødvendig sparing, øker kapitalintensiteten. Hvis vi bruker uttrykkene capital widening og capital deepening, kan vi si at capital widening foregår ved at tilveksten i arbeidskraft utstyres med den samme kapitalmengde pr capita, mens capital deepening foregår når dk/dt er positiv. Vi kan godt kalle k * en likevektsverdi for k i vanlig betydning, men modellen som sådan representerer ikke en økonomi i ulikevekt, selv om k er ulik k *. Vi ser lett at modellen har ett og bare ett sett med steady state-verdier. Siden endrings- retningen for k fra ethvert punkt er mot k *, kan vi ytterligere konkludere at steady state-løsningen er stabil. Uansett hvilken k 0 en starter fra vil k asymptotisk nærme seg den langsiktige likevektstilstand. Inada-betingelsene To sjekkspørsmål i tilknytning til figuren 1) Er det opplagt at f(k) går gjennom origo? Ja, det følger av skalaegenskapen! 2) Er det opplagt at sf(k) vil skjære (δ+n)k? Nei, det følger ikke av de øvrige forutsetninger! Vi skal imidlertid anta at det er tilfellet og vi gjør det ved å forutsette at f( ) oppfyller Inada-betingelsene som er: lim df(k)/dk når k 0 og lim df(k)/dk 0 når k, dvs. at tangenten til f(k) blir vertikal når k går mot null og horisontal når k går mot uendelig. Cobb-Douglas-funksjonen oppfyller dette. Faktorpriser Vi har hittil sett ganske mekanistisk på modellen, men la oss nå tolke den som følger. Vi antar at vi har en frikonkurranseøkonomi med bare en vare, men med mange produksjonsenheter og konsumenter. Produksjonsenhetene har samme teknologi og identisk med teknologien representert av makroproduktfunksjonen (1). Produsentene leier arbeidskraft til pris w og leier kapital til pris r. (Jfr. Jones, pp.20-21) Til enhver tid er det full utnytting av tilgjengelig arbeidskraft og kapital. Konsumentene spiller ikke noen aktiv rolle i denne modellen, de opptrer med konstant sparerate. Under frikonkurransebetingelser er faktorprisene bestemt ved marginalproduktivitet. (6) r = F K (K, L) og (7) w = F L (K, L) Vi skal reformulere disse sammenhengene for den modellen som formulert med y t og k t som variable. Det kan vi enkelt finne ved å huske på at 3
F(K t, L t ) = L t f(k t /L t ) Vi får (8) r = F(K t, L t )/ K = L t f (K t /L t ) 1/L t = f (K t /L t ) = f (k t ) Vi ser altså at F K (K, L) = f (k t ). 2 (9) w = F(K t, L t )/ L = f(kt/l t ) + L t f (K t /L t ) K t (-1)/L t = f(k t /L t ) K t /L t f (K t /L t ) = f(k t ) k t f (k t ) Profittraten r gir uttrykk for profitt pr kapitalenhet. Profitt er her brutto for kapitalslit. Uttrykket rk uttrykker profitt pr arbeidskraftenhet, mens w tilsvarende er lønn pr arbeidskraftenhet. På grunn av skalaegenskapen vil profitt og lønn ifølge marginalbetingelsen uttømme produktverdien. Det samme må være tilfellet regnet pr arbeidskraftenhet. Vi må ha (10) rk + w = y som følger trivielt av (8) og (9). Modellen med faktorpriser Relasjonene (4 ), (5 ), (8) og (9) utgjør vår modell: y t = f(k t ) dk t /dt = sy t - (δ+ n) k t r = f (k t ) w = f(k t ) k t f (k t ) Egenskaper ved den langsiktige likevektsløsningen Hvilke konklusjoner kan vi trekke om den likevektsbanen som steady state-løsningen representerer? 1. Økonomien nærmer seg uavhengig av startpunkt en likevektsbane med konstant k=k * og y=y *. 2. Inntektsnivået i likevektsbanen er bestemt av sparerate s og befolkningsvekst n. 3. Langs likevektsbanen vokser følgende variable i takt (paripassu) med vekstrate lik n: Y, K, L, mens r og w er konstante. Av de tre observasjonene av modellens egenskaper er 1. og 2. egenskaper som kan empirisk testes, men det er ikke uten videre enkelt å fastslå om de holder. Observasjon 3. kan mer direkte konfronteres med virkeligheten og Solows egen (og mange andres) konklusjon er at den ikke holder for de økonomier teorien var tenkt å anvendes på. En mer treffende observasjon basert på vekstmønsteret i industriland på 1950- og 1960- tallet ville være 3. Y og K vokser i takt og sterkere enn L. r er tilnærmet konstant, mens w vokser i takt med Y/L. For å få teorien til å stemme bedre med virkeligheten, dvs. pkt 3 heller enn 3, introduserte Solow teknisk framgang i modellen. Vi kommer til det nedenfor. 4
Betydningen av sparerate og befolkningsvekst for langsiktig inntektsnivå Anta at økonomien er i en langsiktig likevektsbane med k=k * og y=y *. La spareraten øke fra s til s. FIGUR Vi ser av figuren at det nå framkommer en ny langsiktig vekstbane med k=k* og y=y*. Tilsvarende kan vi anta at befolkningsveksten faller fra n til n. Her er vi nær vesentlige konklusjoner i modellen. La oss fokusere på hvordan sammenhengen er mellom de langsiktige likevekstbanene og hhv. Sparerate og befolkningsvekst. Høyere sparerate gir høyere langsiktig inntektsnivå (y*). Høyere befolkningsvekst gir lavere langsiktig inntektsnivå. Disse utsagnene kan konfronteres med data i Jones (1998), fig.2.6 og 2.7 (pp.29-30) for BNP i 1990 for en lang rekke land og hhv. gjennomsnittlig sparerate og befolkningsvekst for perioden 1960-90 for de samme landene. Figurene gir en heuristisk bekreftelse ved at spredningen av de individuelle landdata har en får en hoveddimensjon som stemmer med modellen, men det er ikke noe bevis. I en grundigere undersøkelse må en kontrollere for andre relevante variable, det er ikke gjort her. Kapitalelastisiteten ε K Produktfunksjonen på Cobb-Douglas-form er Y = K α L 1-α og på intensivform y = k α. La oss se litt nærmere på hva α uttrykker. Vi kaller α for kapitalelastisiteten eller mer korrekt elastisiteten av produksjon mhp. kapital. Det betyr når vi ser på den opprinnelige produktfunksjonen litt forenklet sagt hvor mye Y øker i prosent når K øker med 1 prosent. Vi ser altså på en partiell endring (L er konstant), men i stedet for den deriverte ser vi på relative endringer i de variable. Vi kan definere kapitalelastisiteten formelt ved El K (Y) = [dy/y] / [dk/k] = dy/dk K/Y = F K K/Y = ε K Cobb-Douglas: El K (Y) = αk α-1 L 1-α K/Y = α For Cobb-Douglas-funksjonen er altså kapitalelastisiteten en konstant. Hvis vi i stedet tar utgangspunkt i en generell produktfunksjon Y = F (K, L), definerer vi kapitalelastisiteten tilsvarende og betegner også den som ε K. El K (Y) = F K K/Y = ε K (K,L) Forskjellen er at for den generelle produktfunksjonen blir kapitalelastisiteten en funksjon av K og L. For modellen på intensivform har vi funnet for Cobb-Douglas-versjonen at elastisiteten av y mhp. k også er lik α. Tilsvarende gjelder for en generell produktfunksjon. El k (y) = df/dk k/y = f (k) k/f(k) = El K (Y) = ε K Hvorfor er vi interessert i ε K? Fordi ε K gir uttrykk for den fallende avkastning av kapital, den eneste beholdningsvariabel i modellen. Vi kan påvirke framtidig produksjon pr capita ved å akkumulere kapital. ε K gir uttrykk for hvor stor avkastning vi får av dette. Vi skal senere komme tilbake til betydningen av dette. Kapitalelastisiteten gir også uttrykk for et annet viktig forhold, nemlig innntektsandelen for kapitalinntekt (profitt) når kapital avlønnes etter 5
grenseproduktivitet. Dette ser vi direkte av formelen F K K/Y. Når Cobb-Douglasfunksjonen gjelder er altså inntektsandelene konstante. For modellen på inntektsform får kapitalelastisiteten nøyaktig samme tolking: f (k) k/f(k) = r k/f(k) er kapitalinntekt pr capita dividert med inntekt pr capita, altså lik kapitalinntektens andel av totalinntekt. 6