Definisjon av god regning

Definisjon av god regning Å kunne regne er en viktig forutsetning for egen utvikling, og for å ta hensiktsmessige avgjørelser på en rekke områder i eget daglig- og arbeidsliv. Videre er det nødvendig for å kunne ta stilling til samfunnsspørsmål på en reflektert og kritisk måte ved å forstå sammenhenger og vurdere fakta (KD, 2012). Tradisjonelt har regning blitt oppfattet som det å beherske de fire regneartene. I dette dokumentet definerer vi regning ved hjelp av fem tråder som er flettet sammen: 1. Forståelse: Forstå matematiske begreper, representasjoner, operasjoner, prosedyrer og relasjoner 2. Beregning: Utføre prosedyrer som involverer tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt 3. Anvendelse: Formulere problemer matematisk og utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer 4. Resonnering: Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller utvide fra noe kjent til noe som ikke er kjent 5. Engasjement: Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk Figur 1: God regning består av fem sammenflettede tråder (oversatt utgave, hentet fra Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001, s. 117) Inndelingen i fem tråder er hentet fra et større forskningsarbeid gjennomført i USA, ledet av Jeremy Kilpatrick (se for eksempel Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001) 1. Den viktigste egenskapen ved regning er at de fem trådene er flettet sammen og avhengige av hverandre. Elever blir gode i regning når de arbeider med å utvikle alle trådene samtidig. De styrker da forbindelsen mellom trådene og utvikler kunnskap som er solid, varig, tilpasningsdyktig, nyttig og relevant. I en arbeidsøkt kan fokuset være på en eller to av trådene, for eksempel forståelse og resonnering, i en 1 Kilpatrick m. fl. (2002; 2001) bruker ikke begrepet regning, men matematisk kyndighet (mathematical proficiency). 1

kortere periode, men størsteparten av tiden skal eleven arbeide med å utvikle alle trådene samtidig (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). Kilpatrick m. fl. (2002; 2001) bruker termen matematisk kyndighet (mathematical proficiency), og innholdet i de fire første trådene samsvarer i stor grad med Niss og Jensen (2002) sin beskrivelse av åtte matematiske kompetanser som ligger til grunn for læreplanene i Kunnskapsløftet (Utdanningsdirektoratet, 2006). Hovedinnholdet samsvarer også med OECD sin beskrivelse av matematiske evner (mathematical capabilities) som benyttes i PISA-undersøkelsen (OECD, 2010). Vi har valgt å bruke Kilpatrick m. fl. (2002; 2001) sin inndeling i fem tråder fordi den gir en tydelig og strukturert beskrivelse av regning. I tillegg inkluderer den en femte tråd, engasjement, som omhandler elevenes motivasjon, noe som for eksempel ikke inngår i Niss og Jensen sin beskrivelse av matematisk kompetanse. Våre beskrivelser av de fem trådene er basert på arbeidet til Kilpatrick m. fl. (2002; 2001), Niss og Jensen (2002) og National Centre for Excellence in Teaching Mathematics (NCETM) (2008), i tillegg til rammeverket for matematikk i PISA 2012 2 (OECD, 2010). Selv om arbeidet til de ulike forfatterne har resultert i forskjellig begrepsbruk og struktur, er de, som nevnt over, i stor grad enige om hovedinnholdet 3. 1. Forståelse: Forstå matematiske begreper, representasjoner, operasjoner, prosedyrer og relasjoner. Elever som har utviklet forståelse kan mer enn isolerte fakta og prosedyrer. De vet hvorfor en matematisk ide er viktig, i hvilke situasjoner den er nyttig, og de ser sammenhenger mellom matematiske ideer (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008). Elevene er i stand til å tolke, forstå og benytte ulike representasjoner, og de kan se sammenhenger mellom forskjellige representasjoner knyttet til en gitt situasjon (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). For eksempel kan elever som har utviklet forståelse for den matematiske ideen som ligger til grunn for forenkling av brøker med tall, utvide forståelsen til også å gjelde brøker med variabler. På den annen side kan elever som stryker like tall i teller og nevner uten forståelse for hvorfor, komme fram til mange ulike resultater når de skal forenkle 2 a 2. 2a, a, 2a + 1, a + 2, a + 1 er vanlige svar. Elever som har utviklet forståelse kan 2 2 PISA 2012 bruker en modifisert versjon av Niss og Jensen (2002) sitt arbeid. 3 Niss og Jensen (2002) beskriver åtte matematiske kompetanser, NCETM (2008) fem typer læringsutbytter, mens PISA 2012 bruker sju mathematical capabilities (OECD, 2010) 2

representere situasjonen på flere måter, for eksempel ved å bruke fyrstikkesker til å representere variabelen a (antall fyrstikker i eskene) og fyrstikker til å representere konstanten 2: 2a+2 2a 2 2 To fyrstikkesker og to fyrstikker To fyrstikkesker og to fyrstikker delt på to Ved å ha erfaring med og forstå ulike representasjoner, kan elevene bruke de som er mest hensiktsmessige. Elever som har utviklet forståelse, kan se mønster og systemer i forskjellige problemer og situasjoner (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Følgende eksempel er hentet fra en elevgruppe på ungdomsskolen: Som introduksjon til potensbegrepet, arbeidet en klasse med å se på hvordan alger som formerer seg ved todeling øker i antall. Det ble utarbeidet tegninger, tabeller og stolpediagram som viste veksten. Tilslutt ble utviklingen oppsummert ved å uttrykke antall alger etter hver deling som potenser. Utviklingen ble så summert opp i det generelle uttrykket 2 n der n står for antall delinger. Et drøyt år seinere undersøkte klassen hvordan ei krone ville vokse år for år med forskjellige rentesatser, både som tabell og graf. Da utbryter en elev som kjenner igjen mønsteret og kan knytte det til tidligere erfaringer: Neste gang skal jeg ta 100 prosent rente. Da blir det akkurat som da vi hadde algene. Eleven knyttet den nye kunnskapen til det han kunne fra før, og oppdaget en sammenheng mellom potensbegrepet og rentebegrepet. Videre kan elever som forstår, lettere løse nye og ukjente problemer og konstruere ny kunnskap. De kan også rekonstruere fakta og prosedyrer som de har glemt (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). 2. Beregning: Utføre prosedyrer som involverer tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt Beregning handler om å beherske forskjellige prosedyrer ved å bruke hoderegning, blyant og papir, digitale verktøy eller andre hjelpemidler (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Selv om ordet beregning impliserer en aritmetisk prosedyre, slik som de fire regneartene, omfatter det her å beherske prosedyrer fra alle områder innen matematikken, slik som måling (måle lengder), algebra (løse likninger), geometri (konstruere en sirkel), funksjoner (tegne grafer) og statistikk (beregne gjennomsnittet). Å beherske betyr å kunne utføre prosedyrene effektivt, nøyaktig og fleksibelt. Elever som utfører prosedyrer fleksibelt, kan veksle mellom forskjellige prosedyrer og velge prosedyren(e) som er mest nyttige i den bestemte 3

situasjonen. De kan også tilpasse prosedyrene slik at de blir lette å bruke (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). Elevene kan for eksempel regne ut 37 + 44 ved å se at det er det samme som 40 + 40 + 1 eller 40 + 41, og de kan også bruke denne erfaringen til å regne ut 370 + 440 og 3,7 + 4,4. I tillegg går beregning ut på å vurdere hvorvidt et resultat er rimelig. For eksempel vil elever som er gode til å regne, raskt oppdage at 37 18 ikke kan bli verken 295 eller 5796. Siden 37 10 = 370 og 37 20 = 740, må 37 18 gi et svar mellom 370 og 740. Bruk av digitale hjelpemidler, som lommeregner og datamaskin, kan øke elevenes forståelse og prosedyrekunnskap dersom de benyttes på en måte som støtter og integrerer de ulike trådene (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). Forståelse og beregning utfyller hverandre. Elever som forstår, kan sammenligne og vurdere forskjeller og likheter mellom forskjellige prosedyrer, og de kan tilpasse prosedyrene til situasjonen. Forståelse gjør at det blir lettere for elevene å lære nye prosedyrer. Det er mindre sannsynlig at de gjør feil når de bruker prosedyrene, og det blir lettere å huske dem. Samtidig kan prosedyrekunnskap styrke og utvikle forståelsen. Ved å utvikle en prosedyre som kan løse mange problemer, oppdager elevene at matematikken er forutsigbar, strukturert og består av mønster (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). 3. Anvendelse: Formulere problemer matematisk og utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer Et begrep eller en prosedyre er ikke nyttig hvis ikke elevene vet når og hvor det skal brukes. I skolen får elevene spesifikke problemer de skal løse, men utenfor skolen møter elevene situasjoner hvor deler av utfordringen består i å vite hva problemet dreier seg om. Elevene må derfor være i stand til å formulere og avgrense problemer. De må utvikle løsningsstrategier, velge den strategien som er mest hensiktsmessig for å løse problemene og tolke resultatet (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Problemene kan være rent matematiske eller anvendte, og de kan være åpne eller lukkede 4 (Niss & Jensen, 2002). Elever kan løse rutineoppgaver ved å bruke standard prosedyrer. For å løse mer komplekse problemer, både i skolen og i dagliglivet, må de utvikle egne strategier (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Komplekse problemer blir i 4 Åpne oppgaver er oppgaver elevene kan tolke og løse på ulike måter, og de kan gjerne ha flere mulige svar/resultater. Lukkede oppgaver har kjent fremgangsmåte og ett riktig svar. 4

litteraturen ofte omtalt som problemløsningsoppgaver. En oppgave er en problemløsningsoppgave dersom eleven ikke har en klar løsningsmetode i den innledende fasen. En oppgave som for en elev er en rutineoppgave, kan være en problemløsningsoppgave for en annen (se for eksempel Björkqvist, 2003; Niss & Jensen, 2002). Et eksempel er følgende oppgave: En fabrikk som produserer marshmallows ønsker å utvide sortimentet med en eske som rommer 4,5 l. Hvor høy må den være dersom arealet til bunnen er 2,5 dm 2? For elever som kjenner og forstår formelen for volum, vil oppgaven være en rutineoppgave. Elever som ikke forstår, må bruke egen kunnskap og erfaringer til å utvikle egne løsningsmetoder. De må forstå hva problemene handler om og kunne utføre de beregningene som er nødvendige for å løse problemene. Elever må også kunne løse et problem på forskjellige måter (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Marshmallowsoppgaven kan bli en åpen oppgave ved å endre teksten til: En fabrikk som produserer marshmallows ønsker å utvide sortimentet med en eske som rommer 4,5 l. Finn passende dimensjoner for esken. Elevene kan velge å lage esker med ulike former og størrelser, og de kan velge ulike strategier for å komme fram til en eske med riktig volum. Elever som kan anvende matematikk bruker tid på å forstå et gitt problem og finne ut hvordan problemet er knyttet til matematiske ideer de kjenner fra før. Elevene fokuserer på hvordan de skal angripe problemet, ikke bare hvilke beregninger som skal gjøres. Anvendelse henger tett sammen med forståelse og beregning. Elevene benytter matematiske ideer og prosedyrer for å forstå og løse problemer. Videre kan problemløsning bidra til at elevene lærer nye begreper og utvikler større forståelse for matematiske ideer, begreper og prosedyrer (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). Ved å arbeide med følgende oppgave eller tilsvarende, kan elevene utvikle et godt grunnlag for å utvikle nye begreper og prosedyrer knyttet til kombinatorikk og sannsynlighet: I en kiosk kan du velge mellom seks ulike smaker på kuleis. Du skal ha to kuler. Hvor mange valgmuligheter du? Elevene kan tolke og løse oppgaven på flere måter. De kan finne antall kombinasjoner når det kun er lov med ulike smaker, eller de kan bestemme at det også er lov å velge to iskuler med lik smak. Skal rekkefølgen bety noe, eller være likegyldig? Utforskingen gir elevene erfaringer de kan bygge videre på. Muligheten til å ta egne valg underveis bidrar også til at elevene vil se på oppgaven som sin egen, noe som igjen kan bidra til at de blir motiverte for å undersøke og lære mer (Björkqvist, 2003). 5

4. Resonnering: Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller å utvide fra noe kjent til noe som ikke er kjent Resonnering er limet som holder matematikken sammen. Resonnering handler om å forklare sammenhengen mellom begreper og situasjoner. Elevene bruker resonnering for å navigere mellom faktakunnskap, begreper, prosedyrer og løsningsmetoder. De ser at alt henger sammen og at det virker fornuftig. Resonnering handler også om å vurdere gyldigheten til løsningen(e) på et problem og å reflektere over valgte strategier. I resonnering inngår det å kunne forklare sine løsninger til andre og presentere strategiene på ulike nivåer (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). Videre inngår det å kunne tolke og forstå matematiske tekster og andre sine løsninger og utsagn (Niss & Jensen, 2002; OECD, 2010). For eksempel kan elever som har utviklet forståelse for areal, bruke resonnering for å sammenligne arealet til forskjellige figurer ved å omforme dem til figurer elevene har erfaring med. De kan også estimere og beregne arealet til uregelmessige flater. Videre kan de bruke forståelsen om arealet til rektangler og sammenligning av ulike areal, til å utlede formler for arealet til for eksempel trekanter, parallellogram og trapes. De kan også avgjøre om et uttrykk gir et areal eller en omkrets ved å studere variablene som inngår, for eksempel 2πr og πr 2 (formler for omkrets og areal til en sirkel) Elevene blir gode i resonnering ved å forklare og begrunne løsningene sine for andre. For eksempel bør elever som har lært å løse likninger eller finne funksjonsuttrykket til lineære funksjoner, av og til bli bedt om å forklare og begrunne prosedyren. Videre bør elever får sjansen til å utforske og diskutere, for eksempel summen av tre påfølgende tall, slik at de kan finne matematiske sammenhenger og forklare dem for andre. Resonnering er nært knyttet til de andre trådene. Når elevene løser problemer, kan de utvikle forståelse, utføre de nødvendige prosedyrene, anvende kunnskapen de har, forklare hvordan de resonnerer til andre og se at matematikk er nyttig og noe de er i stand til å gjøre (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). 5. Engasjement: Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk Å være engasjert i en matematisk aktivitet er nøkkelen til å lære matematikk. Engasjement handler om at elevene er motiverte for å lære matematikk, at de ser på matematikk som nyttig og verdifullt, og at de tror at de kan lære matematikk dersom de gjør en innsats. Videre handler det om elevenes 6

selvtillit og følelse av mestring i læringsprosessen (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001; NCETM, 2008). Engasjement er tett bundet sammen med de andre trådene. For å kunne utvikle de fire første trådene; forståelse, beregning, anvendelse og resonnering, bør elevene ha en forestilling om at matematikk er bygd opp på en logisk og fornuftig måte, og de må ha en tro på at de er i stand til å forstå og løse problemer i ulike situasjoner. Elever som ser på matematikk som en vilkårlig mengde med regler og prosedyrer, og som ikke har tro på at de kan lære matematikk, vil unngå faglige utfordringer og bli demotiverte dersom de feiler. Dersom elevene utvikler forståelse i matematikk, for eksempel ved å forstå hvorfor arealet til trekanter kun er avhengig av grunnlinjen og høyden, vil de oppleve mestring, og de får økt selvtillit i matematikk (Kilpatrick & Swafford, 2002; Kilpatrick, et al., 2001). Problemer som er knyttet til kontekster elevene kjenner, kan både inspirere til matematisk aktivitet og vise regningens relevans. Et eksempel finner vi i rammeverket for PISA (OECD, 2010, s. 34): En pizzarestaurant serverer to runde pizzaer med samme tykkelse i to forskjellige størrelser. Den minste har 30 cm diameter og koster 30 zeds. Den største har 40 cm diameter og koster 40 zeds. Hvilken pizza gir deg mest for pengene? Begrunn svaret ditt. Arbeid med slike kontekster involverer alle trådene. Elevene må tro at de kan løse oppgaven, forstå de matematiske begrepene, tolke situasjonen og uttrykke den med matematikkens språk. De må utføre nødvendige beregninger og argumentere for at resultatene de kommer fram til er holdbare og at de gir svar på spørsmålet. Ved å utvikle forskjellige strategier for å avgjøre hvilken vare som er mest lønnsom å kjøpe, kan de se nytten av å lære matematikk. 7

God regning på ungdomstrinnet Elever på ungdomstrinnet med gode regneferdigheter: - har en grunnleggende forståelse av matematiske begreper og ideer innenfor hovedområdene i læreplanen og forstår sammenhengen mellom dem - forstår og bruker ulike matematiske representasjoner - har utviklet varierte strategier for å løse matematiske problemer i ulike situasjoner, og kan utvikle nye strategier ved behov - sammenligner forskjellige strategier for å løse et problem, og vurderer hvilken som er mest hensiktsmessig i en gitt situasjon - reflekterer over og vurderer prosessen fra problem til løsning - behersker forskjellige prosedyrer og vet når og hvordan prosedyrene kan brukes - kan presentere, forklare, begrunne og diskutere matematikk - kan tolke og forstå andres matematikkholdige tekster og utsagn - er motiverte for å lære matematikk - har selvtillit i matematikk - ser på matematikk som nyttig og verdifullt og som noe de kan lære dersom de gjør en innsats 8

Referanser Björkqvist, O. (2003). Matematisk problemløsning I B. Grevholm (Red.), Matematikk for skolen (s. 51-70). Bergen: Fagbokforlaget. KD (2012). Rammeverk for grunnleggende ferdigheter. Oslo: Kunnskapsdepartementet (KD). Kilpatrick, J., & Swafford, J. (2002). Helping children learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press. NCETM (2008). Mathematics matters. London: National Centre for Excellence in Teaching Mathematics (NCETM). Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring: Ideer og inspiration til udvikling av matematikundervisning i Danmark. København: Undervisningsministeriet. OECD (2010). PISA 2012 Mathematics framework. Paris: OECD. Utdanningsdirektoratet (2006). Læreplanverket for Kunnskapsløftet (LK06). Oslo: Utdanningsdirektoratet. 9