side 1 Tall og algebra 7. årstrinn Veiledningen fordeler kompetansemålene i hovedområdet tall og algebra på tre gjennomgående emner: tallforståelse, de fire regneartene og algebra. Veiledningen tar også for seg emnet tekster i Til sammen dekker veiledningen alle kompetansemålene innenfor hovedområdet. Tabellen gir oversikt over progresjon innenfor de fire emnene og gir eksempler på hvordan du kan jobbe med kompetansemål innenfor hvert emne og på hvert årstrinn.
side 2 Desimaltall og prosent Nedenfor finner du eksempler på hvordan kompetansemålene som handler om tallforståelse for heltall, brøk, desimaltall og prosent kan tolkes og operasjonaliseres som læringsmål og fordeles på 5., 6. og 7. årstrinn. I mange tilfeller vil arbeidet med nye læringsmål utfordre elevene til å bruke det de har lært tidligere. Slik får de stadig møte de samme begrepene i nye situasjoner, og får bekreftet og utvidet sine kunnskaper. Kompetansemål 7. årsstrinn Eleven skal kunne beskrive plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei på tallinja Læringsmål 5., 6. og 7. årstrinn Eksempler på læringsmål finner du plassert på årstrinn nedenfor. Til hvert læringsmål finner du eksempler på innhold og arbeidsmåter. 5. årstrinn: utvide brøker i praktiske situasjoner ved bruk av konkreter Vis elevene at plate sjokolade kan deles opp i,, osv, og at alt utgjør samme mengde sjokolade. Elevene kan finne tallmønsteret i disse brøkene, og være bevisst på at telleren alltid er halvparten av nevneren. Diskuter med elevene hvordan de kan regne om fra den ene uttrykksformen til den andre (ved å multiplisere eller dividere med samme tall i teller og nevner). Matematisk sett er utvidelse og forkorting av brøker det samme som å multiplisere eller dividere med 1, noe som kan være vanskelig for elever å se. Når elevene ser på utvidelse eller forkorting av brøk som del av en mengde, må de sammenlikne ulike mengder. Se for eksempel på en mengde med 2 røde og 3 grønne brikker: Hvor stor brøkdel av brikkene er røde? Hvor mange røde og grønne brikker ville det vært hvis det var 10 brikker med samme fordeling av farger? Hvor stor brøkdel ville vært røde? Hva med 20 brikker? Eller 100 brikker? Svaret på alle spørsmålene vil være, men kan også uttrykkes på ulike måter som viser hvor mange røde brikker det er i forhold til det totale antallet: som 2 av 5, som 4 av 10, som 8 av 20, og som 40 av 100 Mange elever vil ha problemer med å innse at disse brøkene er like store.
side 3 Forklar for elevene at det handler om hvor stor del av det hele som er røde. Elevene kan igjen utfordres til å finne tallmønsteret. De må multiplisere eller dividere med samme tall i teller og nevner, det vil si at de multipliserer eller dividerer med:,,, altså 1. Da endrer ikke tallverdien seg. 5. årstrinn: plassere enkle brøker på tallinja Lag ulike tallinjer for å plassere tall. Legg vekt på å forklare elevene at dette er et hjelpemiddel blant annet for å forstå tallstørrelser i forhold til hverandre. Du kan for eksempel bruke hyssing med klyper. Plasser 0 og 1 ganske langt fra hverandre. La elevene plassere følgende på tallinja: Ta også med noen brøker som er nesten lik en av disse, for eksempel: og liknende. Bruk konkreter av ulike slag til å lage bilder av disse brøkene. 5. årstrinn: finne sammenhengen mellom enkle brøker og desimaltall Dette handler om enkle brøker, det vil si brøker som kan gjøres om til tideler. La elevene arbeide med brøksirkler, brøkstaver, tellebrikker osv., og utforske hvor mange tideler (eller omtrent hvor mange tideler) ulike brøker er det samme som. For eksempel: Elevene vil se at noen av brøkene kan "måles" nøyaktig med tidels biter, mens for eksempel en tredel er litt mer enn tre tideler. Tre tideler er nesten sju tideler. En firedel er midt mellom to og tre tideler. Går det an å si to og en halv tidel? Hvor mye er en halv tidel? Kanskje noen kan se at det er en tjuedel. Kanskje de også kan se at det er fem hundredeler? Da er tida moden for å innføre flere desimaler! Se beskrive desimaltall med tideler, hundredeler og tusendeler. 5. årstrinn: plassere desimaltall med en desimal på tallinja Lag ei tallinje fra 0 til 1. Bruk gjerne hyssing og klesklyper med tallkort. Elevene har tidligere arbeidet med plassering av enkle brøker på tallinja. Denne gangen skal de konsentrere seg om tidelene. Hvor mange tideler er det plass til mellom 0 og 1?
side 4 Hvordan skal elevene finne den rette plassen til de ulike tidelene? La elevene komme med forslag. Understrek at alle typer brøker baseres på deling av en hel i like store deler. Denne gangen skal elevene ha 10 like store deler. Fortell elevene at når de adderer eller subtraherer tideler, hopper de opp og ned med like store hopp. Når de arbeider med tideler, er nevnerne alltid like. Arbeid med desimaltall kan med fordel kobles til målinger, siden vårt målesystem er basert på titallsystemet og desimaltallene som posisjonssystem. Vær oppmerksom på at elevene kan misoppfatte måling og desimaltall ved at "meter er det som kommer før komma, og centimeter er det som kommer etter". Da blir 1 meter og 3 centimeter fort til 1,3 meter, og 1 meter og 30 centimeter blir 1,30 meter. Mange elever ser ikke noe ulogisk i dette hvis de ikke er bevisst på tideler og hundredeler i desimalnotasjon. 5. årstrinn: beskrive desimaltall med tideler, hundredeler og tusendeler Elevene har blitt introdusert for desimaltall via kjennskapen til brøk. Hva skjer med med brøker som ikke kan gjøres om til tideler? Kan for eksempel skrives som desimaltall? Det ligger midt mellom to og tre tideler. Hva skal elevene velge å måle den halve tidelen med? Elevene kan nå begynne å arbeide med desimaltall, og oppdeling i 10: Hver tidel skal deles opp i 10 like deler. Hvor stor brøkdel blir hver lille tidels tidel? Hvor mange slike er det plass til i en hel? Arbeid med ulike representasjoner for brøk. La tallinja være en av disse representasjonene. La elevene arbeide med ulike brøker der de skal finne hvor mange tideler og hvor mange hundredeler brøkene kan måles med. Bruk gjerne lengdemåling som en av aktivitetene. Når en lengde ikke går opp i hele meter, bruker man tidels meter. Når en lengde ikke går opp i tidels meter, må man gå over til hundredels meter. Hva skjer når heller ikke det går opp? Da kan elevene introduseres for tusendelen. Hver hundredel deles i 10 like deler. Elevene kan være med å utforske hvor mange slike det er plass til i en hel. Noen vil med en gang innse at det er 10 10 10 = 1000. Det kan være at elevene har behov for å arbeide med dette en god stund. 6. årstrinn: sortere desimaltall etter størrelse og begrunne resultatet Først bør elevene konsentrere seg om tall mellom 0 og 1. Hva er størst, 0,09 eller 0,3? Noen elever trenger konkreter for å se at 0,3 er størst. De kan arbeide med desimeter og centimeter, eller hektogram og gram. Les 0,09 som ni hundredeler, og 0,3 som tre tideler. Bruk konkreter og tallinja for å se forskjell på tideler og hundredeler. Velg først mange eksempler med to ulike desimaltall som skal sorteres etter størrelse. Deretter kan elevene sortere tre eller flere desimaltall. Ta etter hvert med desimaltall som består av en heltallsdel forskjellig fra 0 og en desimaldel.
side 5 6. årstrinn: plassere desimaltall på tallinja Se også eksempelet over. I dette arbeidet må tallinja fininndeles, med ti hundredeler mellom hver tidel, ti tusendeler mellom hver hundredel, og så videre. Noen ganger går det ikke opp, så da blir desimaltallene en tilnærming til brøkverdien. Snakk om ulike situasjoner der det er en fordel å bruke brøk, og der det er en fordel å bruke desimaltall. 6. årstrinn: utvide brøker til hundredel, og forstå prosent som del av hundre Elevene kan i første omgang arbeide med prosenttall mindre enn 100. Lag poser med 10 brikker i ulike farger (men med fler enn 1 av de fleste fargene). Gi elevene i oppgave å lage en oversikt over fargefordelingen, først antallet, deretter brøkdelen som hver farge utgjør av de 10 brikkene. Når elevene har gjort det, kan de tenke ut og lage en oversikt over hvor mange det vil være av hver farge hvis fargefordelingen skal være den samme, og det er 100 brikker. Skriv antall og brøkdel som del av 100. Gjør tilsvarende med poser med 20 brikker og poser med 25 brikker. Nå kan elevene introduseres for prosent som begrep. Prosentvis fordeling av fargene er det antall det ville ha vært av hver farge dersom det var 100 brikker. Nå kan dere diskutere hvordan elevene kan regne ut hvis det er 15 brikker, 23 brikker eller andre tall som ikke er en faktor av 100. Elevene kan komme med forslag, og finne fram til ulike metoder. Hvor skal prosent plasseres på tallinja? 7. årstrinn: finne sammenhengen mellom desimaltall, brøk og prosent, og gi eksempler på bruk av disse uttrykksmåtene for tallstørrelser Det kan være vanskelig for elevene å gå fra brøk til desimaltall der det ikke går an å utvide til tidel eller hundredel med naturlige tall. Da er tiden inne for å sammenlikne brøkstreken med et divisjonstegn. er det samme som 5 : 12 Elevene kan foreslå situasjoner der det er en fordel å bruke de ulike representasjonene. Desimaltallene er lett å regne med. Prosent er fint når man for eksempel skal sammenlikne arbeidsledighet i ulike land med forskjellig innbyggertall. Brøk er gunstig å bruke som del av en hel, spesielt tredeler, sjudeler, osv. Brøk er også mest gunstig når man skal regne sannsynlighet.
side 6 Brøkregning Nedenfor finner du eksempler på hvordan kompetansemålene som handler om addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av hele tall, brøker og desimaltall kan tolkes og operasjonaliseres som læringsmål og fordeles på 5., 6. og 7. årstrinn. I mange tilfeller vil arbeidet med nye læringsmål utfordre elevene i forhold til å bruke det de har lært tidligere. Slik får de stadig møte de samme begrepene i nye situasjoner, og får bekreftet og utvidet sine kunnskaper. Kompetansemål 7. årstrinn Elevene skal kunne finne samnemnar (bm.: fellesnevner) og utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøkar utvikle og bruke metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning, og bruke lommereknar i berekningar beskrive plassverdisystemet for desimaltall, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent, og plassere dei på tallinja stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, og argumentere for løysingsmetodar Læringsmål for 5., 6. og 7. årstrinn Eksempler på læringsmål finner du plassert på årstrinn nedenfor. Til hvert læringsmål finner du eksempler på innhold og arbeidsmåter. 5. årstrinn: uttrykke en hel som brøk på ulike måter La elevene legge opp brøkstavene. Da ser de at en hel kan lages og uttrykkes ved to todeler, tre tredeler, fire firedeler osv. Ved at du stiller spørsmål kan du "guide" elevene fram mot å se at teller og nevner er like når man har en hel. Eksempel på spørsmål: hvor mange todeler er en hel? hvor mange femdeler er en hel? Du kan videre knytte brøk til divisjon, for eksempel slik: hvis du har fem bøker som skal deles på fem barn, blir det ei bok på hvert barn. Etter denne muntlige delen, kan elevene tegne ei tallinje med de ulike brøkdelene og skrive 1 hel uttrykt på mange måter. 5. årstrinn: addere og subtrahere enkle brøker med like nevnere ved å bruke konkretiseringsmateriell, illustrasjoner eller gjenstander fra dagliglivet Bruk konkretiseringsmateriell som for eksempel brøksirkler eller brøkstaver. Stavene eller sektorene i samme farge har samme nevner. Du lager først oppgaver for at elevene senere kan følge opp med å lage egne oppgaver. La elevene lese regnestykket og svaret slik: to sjudeler pluss tre sjudeler blir fem sjudeler.
side 7 Elevene skriver deretter regnestykket. Etter hvert kan elevene selv finne fram til regelen for å addere brøker med like nevnere. Først arbeider elevene med oppgaver der svaret blir mindre enn en hel, men etter hvert bør svarene bli større enn en hel. Konkreter fra dagliglivet kan være halvlitersflasker, kvartliters og tredelsliters kartonger med melk og juice. Klokka kan også brukes. Når elevene har blitt trygge på addisjonen ved å bruke konkretene, skal de tegne brøkdelene og skrive regnestykkene. Bruk varierte figurer til tegning; ikke bare sirkler, men kvadrater, rektangler og ulik størrelse på disse. Du bør forsikre deg om at elevene vet hva som er mest av og dvs. brøker med samme teller og ulike nevnere, og hva som er mest av to brøker med like nevnere, men ulike tellere. Det er viktig at elevene reflekterer rundt størrelsen på brøkene: hvordan er svaret i forhold til de to brøkene jeg adderte/subtraherte? 5. årstrinn: holde ved like den lille multiplikasjonstabellen og bruke sammenhengen mellom divisjon og multiplikasjon til å utføre divisjon Den lille multiplikasjonstabellen kan holdes ved like for eksempel ved daglige femminutters økter med hoderegningstrening, eller ved spill med kort og terninger. Elevene har arbeidet med divisjon i praktiske sammenhenger tidligere. På 5. årstrinn bør det legges opp til at elevene ser at de "får noe igjen" for å ha lært den lille multiplikasjonstabellen. Du kan stille spørsmål slik at elevene ser at når: 3 4 = 12, så er 12 : 4 = 3. Slik kan du vise elevene at divisjon ikke er et helt nytt tema. Elevene kan i tillegg arbeide med hundrearket (med tallene 1-10 loddrett og vannrett utenfor selve hundrekvadratet). Her kan de lage sammenhenger mellom divisjon og multiplikasjon selv. Eksempel: Her vises 3 6 = 18. Ut fra det kan elevene se at: 18 : 3 = 6 og 18 : 6 = 3
side 8 5. årstrinn: utvikle og effektivisere hoderegning Hoderegning er nyttig, bl.a. i praktiske situasjoner. Elevene kan leke butikk. Læreren og etter hvert elevene kan lage regnefortellinger der elevene kan benytte hoderegning. Hoderegning kan være et fast innslag for eksempel 5 eller 10 minutter av hver matematikktime med oppgaver som for eksempel: "På 5. årstrinn er det 48 elever, på 6. årstrinn 41 elever og på 7. årstrinn 32 elever. Hvor mange elever er det på 5. - 7. årstrinn?" "Jeg er fire ganger så gammel som dere, hvor gammel er jeg?" Elevene kan også oppfordres til å tenke gjennom hvilke ganger i løpet av en dag de regner i hodet. Slik blir de bevisste på at matematikk brukes utenfor klasserommet. 5. årstrinn: velge og begrunne passende regneart i praktiske situasjoner, og vurdere om svaret er rimelig Elevene bør hele tiden begrunne hvorfor de for eksempel vil dividere eller hvorfor de vil addere. Som utgangspunkt må de få varierte oppgaver. For eksempel kan elevene gå i butikken eller lage kantine/kafe og få i oppgave å regne ut hva de må betale for varer, hvor mye de mangler for å kjøpe en bestemt vare, hvor mye fem stykker av en vare koster, hvor mye dyrere en vare er enn en annen. Læreren kan også samle en del tekstoppgaver der noen er divisjonsoppgaver, noen addisjonsoppgaver, osv. Elevene får i oppgave å finne alle multiplikasjonsoppgavene og begrunne hvorfor de vil bruke multiplikasjon. Det er viktig å trene tidlig på å vurdere svaret. Når elevene etter hvert tar i bruk kalkulator, må de venne seg til å vurdere gyldigheten av svarene. De kan øve seg på å stille spørsmål av typen: hvor stort svar forventer jeg på denne oppgaven?" 5. årstrinn: forklare sin egen framgangsmåte muntlig, og drøfte benevning i enkle oppgaver Elevene kan forklare overfor medelever og lærer hvorfor de bruker for eksempel multiplikasjon i en oppgave. Å begrunne og forklare er en del av den grunnleggende ferdigheten å uttrykke seg muntlig. En øvelse kan være at to og to elever bytter oppgaver for å se om de forstår hverandres føringer. Betydningen av benevning er viktig å få fram. At en lengde er 2, kan bety 2 km, 2 m, 2 cm, og disse er det stor forskjell på. Selv om det er langt fram til avsluttende grunnskoleeksamen, står det i sensorveiledningen at å forklare framgangsmåter, begrunne svar, skrive oversiktlig og være nøyaktig med benevninger, teller ved avsluttende karakter. 6. årstrinn: bruke hoderegning og overslagsregning i beregninger Hoderegning og overslagsregning kan være faste innslag i hver time. Ved hoderegning skal eleven gi et eksakt svar som er regnet ut i hodet. Ved overslagsregning skal eleven ha et omtrentlig svar som er regnet ut i hodet etter at tallene som inngår er avrundet.
side 9 Det betyr at overslagsregning kan ha flere svar, avhengig av om tallene er avrundet til nærmeste tier, hundrer osv, og hvor gode hoderegnere elevene er. 6. årstrinn: bruke kalkulator i beregning Du bør være bevisst på når og hvordan elevene bruker kalkulator. Kalkulator kan brukes til å sjekke om et svar er rett, til arbeid med tallforståelse og til å regne ut eksakte svar. En oppgave som tester tallforståelse kan være: "Tast inn 78. Finn ut hva du må multiplisere med for at svaret skal bli så nær 100 som mulig." Dersom elevene regner med store tall og med problemløsingsoppgaver, og det er framgangsmåten som er det vesentlige, kan de bruke kalkulator til å regne ut et eksakt svar. 6. årstrinn: addere og subtrahere desimaltall Desimaltall består av to deler: en heltallsdel og en desimaldel. En vanlig misoppfatning er at delene sees som uavhengige deler. Elevene lærer at på samme måte som ti enere veksles inn i en tier, veksles ti tideler inn i en hel og ti hundredeler inn i en tidel. Arbeidet med addisjon og subtraksjon av desimaltall krever at elevene har et ryddig oppsett av oppgaven og holder orden på enere, tideler, hundredeler osv. Start først med oppgaver der det ikke er minnetall. Deretter innføres minnetall. Eksempel: 2,5 + 4,6 = 7,1 5 tideler + 6 tideler er 11 tideler som er en hel (minnetall) og 1 tidel. Tidligere arbeid med å vurdere svar fortsetter her. 6. årstrinn: multiplisere og dividere naturlige tall og desimaltall med 10, 100 og 1000 Målet er at elevene skal lære at det er enkelt å multiplisere og dividere naturlige tall med 10, 100 og 1000. Det er viktig at elevene opparbeider forståelse som bakgrunn for regelen. Regelen om at man legger til en null ved multiplikasjon med 10 kan føre til problemer senere i desimaltall, for eksempel: 3,4 10 kan da bli 3,40. Arbeid med posisjonssystemet er grunnlaget for forståelse her. Elevene må trene på å forstå at 6 i 600 er ti ganger så mye som 6 i 60. Hvordan kommer man da fra 60 til 600? Jo, ved å multiplisere med 10.
side 10 Elvene kan gjøre det samme med 100 og 1000 også. Etter hvert kan arbeidet utvides til tall som ikke ender på null, som for eksempel 43. Hva er tidelen av 43? 6. årstrinn: multiplisere desimaltall med naturlige tall Noen elever tror de lærer noe helt nytt når de skal multiplisere desimaltall. Her er det viktig at du peker på sammenhengen mellom det nye og det elevene har lært før. Eksempel: 3 2,4. Akkurat som ved multiplikasjon av hele tall, kan denne multiplikasjonen sees på som gjentatt addisjon, men i lengden blir det tungvint. Elevene kan regne ut 24 3. Videre kan elevene sammenlikne 24 og 2,4, og se at det ene tallet er tidelen av det andre. Da må også svaret på 2,4 3 være tidelen av svaret på 24 3. I tillegg bør elevene gjøre et overslag over hvor stort svaret skal bli. 6. årstrinn: multiplisere desimaltall med desimaltall Bruk samme tankegang som i eksemplet over. Kan du regne ut svaret i en multiplikasjon, kan du si svaret i flere multiplikasjoner. Dersom 24 15 = 360, hva blir da 2,4 15? Hvorfor? Hva blir 2,4 1,5? Hvorfor? Vurdering av svar er viktig også her. Læreren kan gi elevene en oppgave med mange forslag til svar der elevene vurderer og begrunner hvilket svar som passer. Eksempel: 1,8 15. Er svaret 27, 270 eller 0,27. Hvorfor? 6. årstrinn: dividere desimaltall med naturlige tall Start med oppgaver der dividend er større enn divisor. Gjentatt subtraksjon er en måte å tenke divisjon på. Elevene kan få enkle oppgaver som kan regnes i hodet slik at de øver tankegangen i divisjon. Eksempel: 16,8 : 4. 16 hele dividert med 4 blir 4 hele, 8 tideler dividert med 4 blir 2 tideler, altså 4,2. Deretter er tankegangen den samme som ved multiplikasjon. Vet elevene hvordan de regner ut 152 : 4 = 38, kan de også regne ut 15,2 : 4 = 3,8 fordi 15,2 er en tidel av 152. 7. årstrinn: vise hvordan en brøk kan utvides, og forklare det med illustrasjoner, hjelpemidler og regning Elevene må lære at en brøk ikke blir større selv om den utvides. Bruk brøkstavene og be elevene lete etter brøker som er like store. For å forsikre deg om at alle forstår, kan elevene forklare hvordan de ser at brøker er like store, for eksempel at: = =
side 11 La elevene selv finne ut hvordan teller og nevner er i forhold til hverandre. Nevner er dobbelt så stor som teller. Deretter kan elevene finne ut hvordan kommer man fra nevner 2 til nevner 6. Svaret er at de må multiplisere med 3, både i teller og nevner. Etter å ha arbeidet med brøkstavene kan elevene tegne to likeverdige brøker, og slik se at brøkene er like store. Se også undervisningsopplegg på 7. årstrinn. 7. årstrinn: finne fellesnevner der en av nevnerne er fellesnevneren, og bruke dette i addisjon og subtraksjon Her er slike oppgaver relevante: + og + Nevnerne er ulike, men elevene kan utvide brøker. Spør hvordan 3 i nevner kan bli 9 i nevner. Elever som er usikre, bør bruke brøksirkler eller brøkstaver og alle bør i starten tegne brøkdelene. Slik kan du unngå at elevene lærer brøkregning mekanisk og uten forståelse. 7. årstrinn: bestemme fellesnevner der ingen av nevnerne er fellesnevneren ved å finne minste felles multiplum, og bruke dette i addisjon og subtraksjon Under Undervisningsopplegg finner du et detaljert eksempel knyttet til dette læringsmålet. 7. årstrinn: multiplisere et helt tall med en brøk Her menes oppgaver av typen: Ta utgangspunkt i praktiske situasjoner og lag regneoppgaver derfra. Etter hvert kan elevene øve på å finne praktiske situasjoner som passer til brøkoppgaver. For eksempel: hvilken situasjon kan beskrive multiplikasjonen? Som ved hele tall og desimaltall kan multiplikasjon sees som gjentatt addisjon. Bruk brøkstaver, og deretter tallinja, for så å skrive: = + + = Etter flere eksempler med denne progresjonen, kan elevene selv finne regelen for å multiplisere et helt tall med en brøk. Fra arbeid med hele tall kjenner elevene til den kommutative loven slik at: =
side 12 7. årstrinn: multiplisere to enkle brøker ved å bruke arealbetraktning En del elever kan ha brukt arealbetraktning i forbindelse med multiplikasjon av hele tall. Multiplikasjonen vises ved å bruke enhetsrektangel der den ene faktoren er lengden i rektangelet og den andre faktoren er bredden i rektangelet. Tegningen viser hvordan arealbetraktning kan brukes på multiplikasjon av brøker. 7. årstrinn: multiplisere og dividere flersifrede naturlige tall med egne og standard algoritmer Elevene har arbeidet med multiplikasjon og divisjon med naturlige tall tidligere, og mange har utviklet egne algoritmer. Disse kan være tungvinte, men læreren bør vurdere algoritmene og vurdere behovet for felles algoritmer i klassen. Å bruke arealbetraktning på multiplikasjon er nyttig for å forstå standardalgoritmen.
side 13 Figuren viser hvordan elevene kan visualisere multiplikasjon som areal av rektangler. Det kan være en måte å se at rektanglene kan deles opp i mindre rektangler, som et puslespill. Oppdeling i tiere og enere er bare én måte å dele opp på. Denne oppdelingen leder fram mot en standard algoritme. 7. årstrinn: multiplisere og dividere med 0,1, 0,01 og 0,001 Elevene kjenner fra før multiplikasjon og divisjon med dekadiske enheter større enn 10. Å multiplisere med 0,1 er det samme som å dividere med 10. Denne sammenhengen trenger elevene hjelp til å forstå. Elevene kan få oppgaver av typen: multipliser 45 med 10, med 1 og med 0,1. Poenget er å se at svaret blir ti ganger mindre når tallet de multipliserer med blir ti ganger mindre. Fra posisjonssystemet kjenner elevene sammenhengen 0,1 er, og 0,01 er Altså å multiplisere med 0,1 er som å dividere med 10. En misoppfatning innen divisjon er at svaret blir mindre når man dividerer. Her ser elevene at de får større svar. Samtaler i elevgruppa er viktig her. 7. årstrinn: multiplisere og dividere desimaltall På dette årstrinnet kan elevene få introdusert divisjon av desimaltall med desimaltall, for eksempel 8,4 : 1,4.
side 14 Det er to typer divisjon, delingsdivisjon og målingsdivisjon. Innføring i divisjon handler ofte om delingsdivisjon, å dele en mengde i et antall delmengder. Hvor mye får hver? Ved målingsdivisjon viser divisor hvor stor delmengden er. Divisjon med desimaltall er ofte målingsdivisjon. 8,4 : 1,4 kan tilsvare følgende situasjon: elevene har 8,4 m stoff som skal deles i biter på 1,4 m. Hvor mange biter blir det? Ved divisjonen 8,4 : 1,4 bruker elevene sin kunnskap om hva 84 : 14 er, i tillegg til kunnskapen om å dividere med 10, 100 osv. Du kan spørre hvor mange ganger mindre 8,4 er enn 84, og hvor mange ganger mindre 1,4 er enn 14. Begge er 10 ganger mindre. Da må svaret bli 100 ganger mindre enn svaret på 84 : 14. 7. årstrinn: bruke prosentregning med hele prosent i praktiske situasjoner, kunne gjøre overslag, og vurdere svaret Elevene kan øve på å kjenne igjen prosent fra hverdagslige situasjoner som for eksempel prosentvis innhold av næringsstoffer, sukker, osv. i matvarer. Sammenhengen mellom prosent, desimaltall og brøk er viktig. Elevene bør bli kjent med de "enkle" prosenttallene 50 %, 25 %, 75 % og 10 % og kunne avsette disse på tallinja sammen med tilhørende brøker og desimaltall. Elevene bør også øve på å gjøre overslag på hvor mye for eksempel 50 % av 2500 personer er eller hvor mye 10 % av kommunens innbyggere er. Hoderegning er nødvendig her. Mange elever kjenner til sammenhengen mellom desimaltall og prosent fra før slik at de vet at 32 % = 0,32. Da kan de regne ut en bestemt prosent av et tall, for eksempel 32 % av 500 som 500 0,32. På 7. årstrinn regner elevene som regel bare med hele prosenter. Prosentregning får en mye større plass på 8.- 10. årstrinn.
side 15 Regneark Nedenfor finner du eksempler på hvordan kompetansemålene som handler om sammenhengen mellom strukturer i tallmønstre og formler i regneark kan tolkes og operasjonaliseres som læringsmål og fordeles på 5., 6. og 7. årstrinn. I mange tilfeller vil arbeidet med nye læringsmål utfordre elevene til å bruke det de har lært tidligere. Slik får de stadig møte de samme begrepene i nye situasjoner, og får bekreftet og utvidet sine kunnskaper. Evnen til å se algebraiske strukturer og sammenhenger, utvikles også gjennom hoderegningsstrategier og egne algoritmer. Her videreføres strukturer i tallmønstre, og veiledningen fokuserer på sammenhengen mellom dette og formler i regneark som en del av området algebra. Kompetansemål 7. årstrinn Elevene skal kunne utforske og beskrive strukturar og forandringar i enkle geometriske mønster og talmønster beskrive referansesystemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit regneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere enkle berekningar Læringsmål 5., 6. og 7. årstrinn Eksempler på læringsmål finner du plassert på årstrinn nedenfor. Til hvert læringsmål finner du eksempler på innhold og arbeidsmåter. 5. årstrinn: fortsette tallmønster der tallene har en fast differens, og kunne beskrive tallmønsteret muntlig og skriftlig Elevene kan øve på å telle med 2 av gangen, 3 av gangen, osv: 0-3 - 6-6 - 9 -... Deretter kan elevene lage og øve på rekker som ikke starter med 0, men har en fast differens. Eksempel er 1-5 - 9-13 -... Spørsmål til elevene kan være: Hvor stor er differensen? Hvordan er tallene i rekka i forhold til 4-gangen (en mer enn 4-gangen) Hensikten med rekkene er at elevene skal se etter mønster, strukturer og sammenhenger. Det bygger opp tallforståelsen, og forbereder elevene til mer generell algebra. 5. årstrinn: lage geometriske mønster med tellemateriell, pinner, ruter eller liknende, kunne forstørre mønsteret systematisk, og beskrive tallmønsteret som de voksende figurene danner Elevene kan for eksempel bruke kvadratiske plastbrikker og lage ulike figurtall som kvadrattall, rektangeltall, trekanttall og krysstall.
side 16 Spørsmål til elevene: Hvor mange deler består de ulike figurene av? Hvordan lager du en figur når du kjenner til figuren foran? Kan du tegne for eksempel figur nummer 10? 5. årstrinn: lære forskjell på rader og kolonner i regneark og plassere tall og tekst i celler Ta utgangspunkt i et vanlig excel regneark. For å lære forskjellen på rader, kolonner og celler, kan elevene trene på to typer oppgaver: elevene fargelegger f.eks. c2 rød, d1 gul, osv slik at de til slutt får en figur som er kjent elevene får en figur med tall, skrift eller farge i. Hva står i a3? Hvilken farge har g5? 6. årstrinn: fortsette tallmønster der det er enkle tallmessige sammenhenger mellom tallene, og kunne beskrive tallmønsteret muntlig og skriftlig Dette er en fortsettelse av eksempelet om tallmønster over. Progresjonen ligger i å lage rekker der differensen mellom leddene øker med 1, for eksempel 1-2 - 4-7. Differensene blir her 1, 2 og 3. Elevene kan også prøve seg på tallmønster der hvert ledd multipliseres med et fast tall, for eksempel 2 eller 3 : 1-2 - 4-8 - 16 og 1-3 - 9. Tallrekker kan også avta, for eksempel 144-72 - 36. Spørsmål til elevene kan være: hvordan kommer du fra et tall til det neste? kan du lage tall nummer 6? 6. årstrinn: lage tallmønster i regneark, for eksempel multiplikasjonstabeller, og forklare hvordan tallrekker vokser i regneark Elevene kan trene på å lage enkle formler i regneark, for eksempel multiplikasjonstabeller. Her er 6-gangen:
side 17 Eller to mer enn 5-gangen: Når elevene har laget regnearket, kan de få oppgaver som viser at de kan lese av regnearket, for eksempel hvor mye er 4 5 + 2? Dette er trening i den grunnleggende ferdigheten å lese. 6. årstrinn: lage rekursive formler som produserer enkle tallmønster i regneark En rekursiv formel, er en formel som viser hvordan man kan regne ut et nytt tall i mønsteret når man vet tallet foran, for eksempel A n+1 = A n Ved at elevene arbeider med følgende rekke kan du oppklare en typisk misforståelse innenfor desimaltall:
side 18 Når elevene teller oppover med 0,1, vil mange si at 0,11 kommer etter 0,9. Elevene kan oppfordres til først å gjette tallene, og deretter lage tallmønsteret for å se at de har gjettet riktig. Elevene kan arbeide parvis, den ene lager tallmønsteret, og den andre finner ut hvilken formel som er brukt. 7. årstrinn: finne og beskrive tallmønster i multiplikasjonstabeller og andre tallkart a) Elevene kan finne tallmønster i den vanlige multiplikasjonstabellen. Deretter kan de få en kalender å utforske. b) La elevene få et såkalt hundrekart (se rike oppgaver, Hundrekartet). Gi først en helt åpen oppgave: Finner dere noen tallmønstre i hundrekartet? La elevene arbeide med denne oppgaven en stund. Det er en fordel hvis elevene har tellebrikker som de kan legge over tallene slik at de ser at det danner et mønster. La elevene vise fram og forklare mønstrene de har funnet for hverandre. Senere kan læreren styre oppgaven mer og lage utfordringer av typen: Legg brikker (eller fargelegg) for alle tall i 3 - gangen. Ser elevene noen mønstre? Så kan elevene igjen utforske gangerekkene på egenhånd, hvis de ikke allerede har gjort i den åpne oppgaven. 7. årstrinn: bruke regneark til praktiske oppgaver, som å lage eget budsjett og handlelister Et mål for bruken av regnearket er at elevene ser nytten og arbeidsbesparelsen ved å bruke regneark. En oppgave kan være å lage en handleliste der sumformelen skal brukes og der elevene lager formelen for pris for et antall varer.
side 19 Når regnearket er laget, kan elevene få spørsmål fra regnearket og oppgaver der de skal bytte ut tall. På den måten kan de se nytten av regnearket.
side 20 Diagram og tabeller Her finner du eksempler på hvordan du kan formulere læringsmål som vektlegger arbeidet med matematiske tekster i form av regnefortellinger, oppgavetekster, tabeller, diagram og litteratur på 5., 6. og 7. årstrinn. Kompetansemål 7. årstrinn Elevene skal kunne representere data i tabellar og diagram som er framstilte digitalt og manuelt, og lese, tolke og vurdere kor nyttige dei er stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, og argumentere for løysingsmåtar Grunnleggende ferdigheter Flere av de grunnleggende ferdighetene er sentrale når det gjelder arbeid med matematiske tekster. I læreplanen beskrives det slik: Å kunne lese i matematikk inneber å tolke og dra nytte av tekstar med matematisk innhald og med innhald frå daglegliv og yrkesliv. Slike tekstar kan innehalde matematiske uttrykk, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement. Å kunne uttrykkje seg skriftleg i matematikk inneber å løyse problem ved hjelp av matematikk, beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Ein lagar teikningar, skisser, figurar, tabellar og diagram. I tillegg nyttar ein matematiske symbol og det formelle språket i faget. Læringsmål 5., 6. og 7. årstrinn Eksempler på læringsmål finner du plassert på årstrinn nedenfor. Til hvert læringsmål finner du eksempler på innhold og arbeidsmåter. 5. årstrinn: lese fortellinger for barn og kunne stille matematiske spørsmål ut fra det de har lest Det finnes mange bøker og fortellinger med matematisk innhold. Noen tekster forutsetter at du stiller spørsmål som leder elevene fram til matematikken i teksten. Eksempler på tekster med matematisk innhold: Talldjevelen av Hans M. Enzenberger (f.eks. kapittel 2 handler om titallsystemet og kapittel 5 om figurtall) Alice i eventyrland av Lewis Carroll Charlie og den store glassheisen av Roald Dahl