Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier : Et absolutt nødvendig, men ikke tilstrekkelig vilkår for konvergens er at: lim 0 Konvergens vha. delsummer :,.,,,. I motsatt fall divergerer rekka. Eksempel : 2 : 2 4 8 6 2, 4 3 4, å Eksempel 2: 8 7 8, 6 5 6,.,. 2 2 2 2 3 2 000 :, 0 "oscillerer" 0,.. Rekka divergerer. Eksempel 3 2 3 3 : 3 2 3 4 4 5 2 3 2 3 2 3 2 3 5 6 Konvergens Side
Uendelige geometriske rekker : : å: : lim 0 : Altså: En uendelig geometrisk rekke konvergerer hvis og bare hvis p rekketest : 2 3 hvor: p er et positivt tall : : 0 : 2, 2 3 Med p = får vi den harmoniske rekke: 2 3 4 I henhold til kriteriet vil også den harmoniske rekke divergere, dvs. Likevel vil vi ofte støte på denne rekka fordi den danner et slags grensetilfelle mellom konvergens og divergens og derfor er fin å sammenlikne andre rekker med. Merk! Selv når en p rekke konvergerer ( p > ), finnes det ingen enkel formel for å beregne summen Det gjelder generelt for de fleste uendelige rekker. ( Geometriske rekker er ett av få unntak ). Konvergens Side 2
Integraltesten. Metoden går på å sammenlikne rekka Det forutsettes at leddene er positive ( a i > 0 ), monotont avtagende ( a i+ < a i ) og at:,,2,3, a a 2 a 3 a 2 a 3 a 4 a 4 f(x) 2 3 4 5 x Da ser vi av figuren (areal betraktning) at: Det innebærer at rekka og integralet enten begge konvergerer eller begge divergerer. Hvis integralet konvergerer,, må altså Det er ikke dermed sagt at vi kjenner summen S selv om vi kjenner C., æ det :, : å : Hvor: S n er summen av de n første leddene, og R n er restleddet Med tilsvarende figurbetraktning som over finner vi da at: Konvergens Side 3
Eksempel : 4 9. 0 Det betyr at rekka konvergerer siden integralet gjør det, men vi er ennå langt unna å finne summen S. Sammenhengen gir bare indikasjonen: 2 å..,6253 5 50 :,64474,6453 det : 6,644934 Eksempel 2 : 2 3. ln ln ln Det betyr at den harmoniske rekka divergerer, dvs., som tidligere nevnt. Det kan likevel være morsomt å se hvor langsomt den divergerer. Selv om rekka divergerer, vil en bestemt delsum være endelig, dvs... ln0 434 ln0 999,3 Det innebærer altså at 000 å 0 Til sammenlikning anslås antall elementærpartikler i hele universet å være i størrelsesorden 0 Konvergens Side 4
Jamføringstesten ( Sammenlikningstesten ) Gitt 2 uendelige, positive rekker (, 0 Sistnevnte forutsettes å være en kjent rekke, dvs. en rekke vi med sikkerhet vet konvergerer eller divergerer. Da har vi: 2 ( Punktet er nødvendig fordi de første k leddene ikke avgjør om rekke konvergerer eller ei ) Eksempel Rekka 2 2 :, 4, Eksempel 2 Rekka 3 2 : 3 2 3, 3 3 At den siste summen divergerer vet vi ut i fra p rekketesten side 2 ( Her: ) Grensetest (tillegg til jamføringstesten) Eksempel. 3? 3 3 3 å Konvergens Side 5
Alternerende rekker Alternerende rekker er rekker med vekselvis positive og negative ledd., 0 lim 0 Dette kan vi illustrere grafisk siden delsummene,,,. S = a S 3 = a a 2 + a 3 lim S 5 S 4 S 2 = a a 2 a a 2 a 3 a 4 2 3 4 5 n Vi innser at delsummene må nærme seg en grenseverdi S, dvs. rekka konvergerer. Eksempel Eksempel 2 2 3 4 lim lim 0 2., lim lim 2 2 0 Restledd i alternerende rekker: Som før kan vi skrive: S = S n + R n, hvor R n =restleddet. Bare n er stor nok slik at, innser vi at restleddet i absoluttverdi aldri kan bli større enn første utelatte ledd i delsummen.. å, å: 0 Eksempel: : 2! 3!.. 3 : 3 3 2 3 8, 3 3! Siden 4.ledd egentlig er negativt innebærer det: 0,760 0,7223 ( Kontroll med kalkulator: 0,765 ) 62 Konvergens Side 6
Absolutt konvergens, å Dette gjelder uansett hvilket fortegn måtte ha. Eksempel 2 2 4 8 2 2 å å : 2 4 8 6, 2 4 8,. 6 Dvs. alle rekker, Eksempel 2. 2 :, Dvs. rekker Merk! Summen av en absolutt konvergent rekke er konstant, uansett i hvilken rekkefølge vi grupperer leddene. Det behøver ikke være tilfellet for en betinget konvergent rekke! Forholdstesten ( d Alemberts test) En mye brukt test som bygger på prinsippet for geometriske rekker. : Vi forutsetter at: Som før nevnt vil delsummen alltid være endelig, så det holder egentlig å undersøke restleddet : å. å det å å: Konvergens Side 7
Forholdstesten, forts Vi kan følgelig konkludere med: : : lim... å ø. Eksempel 2! lim lim 2!! 2 lim 2 2!! 2 lim 2 0 Rekka konvergerer absolutt. ( Merk! Vi behøver ikke ta hensyn til fortegnsbyttet fordi vi regner i absoluttverdier ). Eksempel 2 Testen fungerer også utmerket for potensrekker. 2 3 lim lim lim Betyr: Rekka konvergerer absolutt når, dvs. for Rekka divergerer for For, dvs., gir ikke testen noe svar. Men innsatt i rekka får vi: : 2 3.. 2, 7 : Konklusjon: 2 3. Rekka konvergerer for :, Konvergens Side 8
Rottesten :. : lim Akkurat som for forholdstesten:... å ø. Eksempel 2 2 8 4 32 6. lim lim 2 lim 2 2 2 Rekka konvergerer absolutt. Merk! Siden rekka konvergerer absolutt kan vi stokke om rekkefølgen på leddene uten at summen endres.. 2 8 4 32. 2 4 8 2 2 Konvergens Side 9
Flytskjema for å avgjøre om en uendelig rekke konvergerer n' te ledd-testen. lim a n n = 0? nei Rekka divergerer. ja / kanskje Geometrisk rekke? t t an = a + ar + ar +... nei 2? ja Konvergerer til a hvis r < r Divergerer hvis r p rekke test. Er rekka på formen n= nei? p n ja Konvergerer hvis p> Divergerer hvis p Ikke-negative ledd og/eller absolutt konvergens. Konvergerer a n? Anvend jamførings-, integral-, forholds- og/eller rot-testen. ja Også den opprinnelige rekka konvergerer. nei / kanskje Alternerende rekke test. a n = u u2 + u3...? ja Finnes et heltall N slik at u N u N +...? nei Prøv hva du kan oppnå med delsummer ( jfr. eksempler s. ), søk i mer avanserte lærebøker, forsøk Maple, Matlab, etc. nei ja Konvergerer hvis lim u n 0 n Divergerer i motsatt fall. Konvergens Side 0