Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2 exp(u 2 )du = 2x exp(x 4 ) dx ln x x exp((ln x)2 ) = 2x exp(x 4 ) x ln x. ii) f (x) = f(x) d dx (cos(x) ln(x)) = xcos(x) ( cos(x) sin(x) ln(x)). x OPPGÅVE 2: Rekn ut dei ubestemte integrala i) e x sin (e x )dx, ii) x 2 + x 2 + x dx. i) La u = e x s.a. du = e x dx: e x sin (e x )dx = sin (u)du = u sin (u) u u 2 du = u sin (u) + u 2 + C = e x sin (e x ) + e 2x + C. ii) Polynomdivisjon og delbrøkoppspalting gir: Integrerer og får: x 2 + x 2 + x dx = x 2 + x 2 + x = + x x 2 + x = + x 2 x +. ( + x 2 x )dx = x + ln x + (x + ) + C. 2
2 OPPGÅVE 3: Finst det konstantar α og β som gjer at funksjonen { αx f(x) = 2 + β, x < 0, ln(x + ), x 0, blir kontinuerleg og deriverbar i x = 0? Kontinuitet: lim x 0 αx + β = lim x 0 + ln(x + ) β = 0. Men vi kan ikkje bestemme α s.a. funksjonen også er deriverbar fordi f (0) = lim x 0 2αx = 0, f +(0) = lim x 0 + x+ =, og vi må kreve at f (0) = f +(0). OPPGÅVE 4: a) Finn volumet av omdreiingslekamen som er danna ved å rotere området avgrensa av y = /x p, y = 0, x = og x = R > om x-aksen. b) For kva verdier av p er volumet av omdreiingslekamen i a) avgrensa når R +? a) Volumet er gitt ved formelen V (R) = π R f(x) 2 dx = π R { π x dx = p (R p ), p p π ln(r), p =. b) Når p > konvergerer det ubestemte integralet slik at: lim V (R) = π R p, p >. For p divergerer p-integralet mot, og dermed er volumet ikkje avgrensa. Avgjer om følgjande rekker konvergerer: i) n= OPPGÅVE 5: n, ii) 4/3 n= n 4/3 ( n 2 + 2n n). i) Dette er ei p-rekke med p = 4/3 >. Rekka er dermed konvergent. ii) Bruker grensesamanlikningstest med rekka i i): a n lim = lim n b n n n2 + 2n n = lim n2 + 2n + n n n 2 + 2n n 2 som viser at rekka konvergerer. = lim n n2 + 2n + n 2n =,
3 OPPGÅVE 6: For kva verdiar av x konvergerer rekka x n ln(n + ) n= absolutt eller betinga, og for kva x-verdiar divergerer rekka? For x > eksisterer ikkje lim n a n og rekka divergerer. Forholdstesten gir at ρ = lim n a n+ a n = x, som viser at rekka konvergerer absolutt når x <. For x = er rekka alternerande, og konvergerer betinga. For x = ser vi at rekka divergerer ved samanlikning med den harmoniske rekka. OPPGÅVE 7: a) Finn den generelle løysinga til differensiallikninga når k er konstant. dy dt + ky = t, b) Kva blir det dominerande leddet til y = y(t) funne i a), for k < 0, k = 0 og k > 0, når t +? a) Anta k 0.. ordens lineær likning med integrerande faktor e kt : Anta k = 0: b) d dt (ekt y) = te kt y(t) = t k k 2 + Ce kt dy dt = t y(t) = 2 t2 + C. k < 0, C 0 : y(t) Ce kt, eller y(t) = O(e kt ), t, k < 0, C = 0 : y(t) t, k eller y(t) = O(t), t, k = 0 : y(t) 2 t2, eller y(t) = O(t 2 ), t, k > 0 : y(t) t, eller y(t) = O(t), t. k
4 OPPGÅVE 8: Avgjer om påstandane under er sanne eller usanne. Gi ei kort grunngjeving for svaret ditt. a) Gitt at lim n a n = 0, og at rekka n= a n konvergerer. Då konvergerer også rekka absolutt. b) Kontinuerlege funksjonar definert på (a, b) har alltid eit maksimum og minimum på intervallet (a, b) dersom lim x a+ f(x) = L, lim x b f(x) = M, og L, M <. c) Middelverdien av funksjonen f(x) = xe x på intervallet [0, ] er f = e/2. a) GALT. Moteksempel: n= ( )n /n konvergerer betinga (alternerande rekke), men ikkje absolutt (harmonisk rekke). Men ei absolutt konvergent rekke vil også konvergere. b) GALT. Moteksempel: f(x) = x har verken maksimum eller minimum på vilkårlige opne mengder. Men dersom det finns x 0, x (a, b) s.a. f(x 0 ) < L, M og f(x ) > L, M, har f alltid eit maksimum og minimum på intervallet (a, b). c) GALT. Middelverdien til f på intervallet [0, ] er: f = 0 xe x dx = xe x 0 0 e x dx = e e + =. Vis ved induksjon at n k= OPPGÅVE 9: x k = x xn+ x, x. ) For n = gir formelen: x = k= x k = x x+ x 2) Anta formelen gjeld for n = k > : k k= xk = x xk + x k k= xk + x k = x xk x k k= xk = x xk +x k ( x) x = x( x) x. + xk = x xk+ x ) og 2) saman med matematisk induksjon gir at formelen gjeld for alle n.
5 OPPGÅVE 0: a) Finn Taylor-rekka om x = 0 til funksjonen f(x) = x x. b) For kva verdiar av x vil Taylor-rekka i a) konvergere mot f(x). a) Vi ser at Taylor-rekka må vere den geometriske rekka gitt i forrige oppgåve i grensa når n og x <. Vi kan også finne rekka ved å bruke definisjonen. Vi ser lett at f (x) = ( x) 2, f (x) = 2 ( x) 3, f (x) = 2 3 ( x) 4,..., f (n) (x) = n!( x) (n+),.... Formelen for den n-te deriverte kan vi eventuelt vise ved induksjon. Dette gir oss at f(0) = 0, f (n) (0) = n!, n > 0, som innsatt i formelen for Taylor-rekka gir: f (n) (0) f(x) = x n n! = n! n! xn = n=0 n= x n. b) Forholdstesten gir oss at Taylor-rekka konvergerer absolutt når: ρ = lim n x n+ x n Av utrykket i Oppgåve 9 ser vi at for x < er = x <. x x n+ f(x) = lim n x = x n. n= n= TILLEGG M00 (2 timer ekstra) OPPGÅVE : La z = + i, z 2 = + i. a) Rekn ut z + z 2, z z 2 og z /z 2. b) Skriv z på polar form og rekn ut z. 4 c) Finn alle dei komplekse løysingane til likninga z 8 + 2z 4 + = 0.
6 a) b) c) z + z 2 = 2i, z z 2 = 2, z /z 2 = i. z = 2e i π 4, z 4 = ( 2e i π 4 ) 4 = 2e iπ = 2. z 8 + 2z 4 + = (z 4 + ) 2 = 0 z 4 = z = e i π 4, e i 3π 4, e i 5π 4, e i 7π 4. Løys initialverdiproblemet: Likninga er separabel og vi får: Initialkravet gir OPPGÅVE 2: y 2 dy dx = y3 3, y(0) = 2. y 2 dy y 3 3 = dx 3 ln(y3 3) = x + C y 3 3 = C exp(3x) y(x) = 3 C exp(3x) + 3. y(0) = 2 3 C + 3 = 2 C = 5. OPPGÅVE 3: La f(x, y) = x 2 y 2 + xy a) Finn likninga for tangentplanet til flata z = f(x, y) i punktet (x, y) = (0, 0). b) Finn og klassifiser eventuelle kritiske punkt til f. a) Tangentplanet: b) Kritisk punkt: Klassifisering: z = 0 (x, y) = (0, 0) A = f xx (0, 0) = 2, C = f yy (0, 0) = 2, B = f xy (0, 0) =. Origo er eit sadelpunkt fordi 4 = AC < B 2 =.