Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 6 eksamensoppgaver.org
eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org. Løsningen er myntet på elever og privatister som vil forbrede seg til eksamen i matematikk. Lærere må gjerne bruke løsningsforslaget i undervisningsøyemed, men virksomheter har ingen rett til å anvende dokumentet. Løsningsforslagene skal utelukkende distribueres fra nettstedet eksamensoppgaver.org, da det er viktig å kunne føye til og rette eventuelle feil i ettertid. På den måten vil alle som ønsker det, til enhver tid nne det siste oppdaterte verket. eksamensoppgaver.org ønsker videre at est mulig skal få vite om eksamensløsningene, slik at det nnes et eget nettsted hvor man kan tilegne seg dette gratis. Dersom du sitter på ressurser du har mulighet til å dele med deg, eller ønsker å bidra på annen måte, håper eksamensoppgaver.org på å høre fra deg.
eksamensoppgaver.org 3 Innholdsfortegnelse oppgave 4 a).................................... 4 b).................................... 4 c)..................................... 4 d.)................................... 5 d.)................................... 5 d.3)................................... 6 e)..................................... 7 f)..................................... 7 g).................................... 8 oppgave 9 a).................................... 9 b).................................... 9 c)..................................... 9 d).................................... e)..................................... oppgave 3 a).................................... b).................................... c)..................................... d).................................... oppgave 4 - alternativ I a.)................................... a.)................................... b).................................... c)..................................... 3 oppgave 4 - alternativ II 4 a).................................... 4 b.)................................... 4 b.)................................... 4 c)..................................... 5 oppgave 5 6 a).................................... 6 b).................................... 6 c)..................................... 7 d).................................... 7
eksamensoppgaver.org 4 oppgave a) Deriverer fx) = e x cos x f x) = e x ) cos x + e x cos x ) = e x cos x + e x sin x ) = cos x sin x ) e x b) gx) = 3 sinx) ) g ) x) = 3 sinx) 3 sinx) x) = 3 sinx) 3 cosx) = 3 cosx) 3 sinx) = 3 cosx) 3 sinx) c) cos x = x [, π sin x cos x = sin x = sin x cos x = tan x tan x = x = arctan ) = π 4 = π π 4 Og siden = 7π 4 + kπ k Z x [, π k = {, } { 3π L = 4, 7π } 4
eksamensoppgaver.org 5 d.) d.) Vi har parameterfremstillingen l : { x = t y = t 3 3t og vi vet at grafen vil skjære y-aksen når x = x = t = y = likeså skjærer den x-aksen når y = y = t 3 3t = t t 3 ) = dette gir oss to likninger t = t 3 = som gir oss t = t = ± 3 og vi bestemmer x-koordinatene x ± ) 3 = ± 3) = 3 så da har vi alle punktene. Nemlig at den skjærer x- og y-aksen i, ) og kun x-aksen i 3, )
eksamensoppgaver.org 6 d.3) Vi deriverer vt) = r t) [ t vt) = ), t 3 ) ] 3t) = [ t, 3t 3 ] Hastighetsvektoren er parallell med x-aksen når y-komponenten til hastighetsvektoren) er lik null og da er koordinatene r ) = y t) = 3t 3 = 3t = 3 t = ± [ ] ), ) 3 3 = [, ] [ ] r ) = ), ) 3 3 ) = [, 4] og videre er den parallell med y-aksen når x-komponenten er lik null. x t) = t = t = da er koordinatene r ) = [ ], ) 3 3 = [, ]
eksamensoppgaver.org 7 e) La oss ta for oss en funksjon fx) = x x [, 5] vi nner arealet mellom grafen til f og x-aksen ved å løse integralet 5 x dx = 3 x3 5 = F 5) F ) = 3 5)3 = 5 3 Dersom vi vil nne volumet kan vi snurre grafen til f 36 om x-aksen løser vi integralet π 5 x ) dx = π 5 5 x5 = F 5) F ) = π 5 55 = 65π f ) Vi løser integralet x e x dx ved å sette u = e x u = e x v = x v = x og bruke delvis integrasjon x e x dx = x e x x e x dx = x e x x e x e x dx = x x ) e x + C
eksamensoppgaver.org 8 g) Vi er gitt at Det betyr at a 3 =.6 a 7 =.688 a k 3 =.6 a k =.6 ) og a k 7 =.688 a k 6 =.688 ) Finner kvotienten: altså et likningssett vi kan løse, løser først ) med hensyn på a k a =.6 k så setter inn dette for a i ) ).6 k 6 =.688.6 k 6 k =.688.6 k 4 =.688.688 k = 4.9.6 Dermed kan vi konkludere med at rekka er konvergent fordi > k > Finner summen: Men først nner vi a ved å sette inn for k i ).6 a = = 4.688.6.6.688.6 =.6.688.6. ) ) 4 Så summen, S er S =.9 =. =
eksamensoppgaver.org 9 oppgave a) Funksjonsuttrykket og denisjonsmengden er fx) =. sin.7x.49) +. x [, 365 Vi vet at den laveste verdien f kan ha, er når sin.7x.49) = og høyeste verdi er sin.7x.49) = da ser vi at f er fx) =. ) +. =. og fx) =. +. =.3 så vi ser at uansett vil f > og dermed vil endringen alltid være positiv. b) Toppunktet på grafen er som sagt når sin.7x.49) =.7x = π +.49 + kπ k Z π +.49 + kπ x = + 365k.7 Altså T,.3), hvilket betyr at dag i dette året steg aksjen seg med.3 kroner. c) fx) =.. sin.7x.49) +. =.. sin.7x.49) =... sin.7x.49) =. sin.7x.49) =.. sin.7x.49) =..7x = arcsin.) +.49 arcsin.) +.49 + kπ π + arcsin.) +.49 + kπ x = x =.7.7 x 4.49 + 365k x 85.49 + 365k Altså den 5 og 86 dagen.
eksamensoppgaver.org d) Løser dette `grisete` integralet på lommeregneren 78.46 + 365. sin.7x.49) +. ) dx 5.46 e) Velger A = og da har vi 365.79 sin.7.49) + d dx = 87.6 cos.79x.49) + dx F 365) F ) = 87.6 365 = 87.6 cos.79 365).49) + 365d + cos.49) = 87.6.79.79 d = 87.6 +.79 cos6.3845).79 cos.49) 365 d.4
eksamensoppgaver.org oppgave 3 a) Enten svarer de ja, eller så svarer de nei, og derfor velger jeg binomisk sannsynlighetsfordeling. Setter X =`Antall elever som vil ha skidag` og standardfeilen Sˆp = ˆp = 66 84 = 4.786 4 ) 4.45 84 b) Som vi vet gir et 95% kondensintervall oss z =.96, dermed har vi ˆp.96 Sˆp, ˆp +.96 Sˆp.698,.873 c) I den nye undersøkelsen nner vi og så S ˆp = ˆp = 5 8.83 5 8 5 ) 8.339 8.83.96.339,.83 +.96.339.753,.887 d) Det kan se slik ut når vi ser på spredningen i kondensintervallene fra b) og c). Vi ser at kondensintervallet i b) strekker seg fra.698,.873 mens kondensintervallet i c) strekker seg fra.753,.887 konndensintervallet har i tillegg til å øke sannsynligheten for at en elev er for skidag, også blitt smalere. Men man skal også huske på at kondensintervallet er 95%, derfor er det 5% sannsynlighet for at den ene eller den andre er feil.
eksamensoppgaver.org oppgave 4 - alternativ I a.) Vi er gitt at gammafunksjonen blant annet gir G) = og Gx + ) = x Gx) så da kan vi sette G) = G + ) = G) = a.) I tillegg til de egenskapene vi ga ovenfor, har den også egenskapen ) G = π da er det en smal sak å nne at ) ) 5 3 G = G + = 3 ) G + = 3 G ) = 3 π 4 b) Vi er gitt at π og bruker dette til å regne ut π sin m x cos n x dx = G m+ sin x cos x dx = G + = G = ) G n+ ) ) G m+n+ ) G + ) ) G ++ + ) G) G 5 ) G ) 3 4 π = π 4 3 π = = π 6 π 4 = 4 π 4 6 π = 3
eksamensoppgaver.org 3 c) Vi skal bruke substitusjon og nne et eksakt uttrykk for bruker substitusjonen π sin x cos x dx slik at og dermed u = sin x ± u = sin x du dx = sin x cos x dx = sin x cos x du sin π ) sin ) u du = u = u + + = u 3 3 = 3 u 3 = 6 u 3 = 6 u du = 3
eksamensoppgaver.org 4 oppgave 4 - alternativ II a) og x = + x + x) x = +. 99.7% +.) så da er gjennomsnittet x = 3.) = 93.7% +.) 3 99.7 + 93.7 = 96.7% b.) og siden vi vet at så + x ) = + x ) + x) n = + nx + x ) = x b.) videre I t =.. + x ) dx. x dx = x 3 x3 = x 3 x3. = x dx.. 3.)3 ) og ved lommeregneren =.993 I l.99339 Slik at I t er tilnærming og I l er lommeregneren. Setter med andre ord, ekstremt nøyaktig! I l I t %
eksamensoppgaver.org 5 c) setter E k = mc v c mc og får E k = x = v c mc x mc = x ) ) mc ser vi på det første leddet i parentesen, ser vi at vi kan skrive = x ) ) x + x ) x slik at E k = mc v c mc + ) x mc x mc v c mc v m c mv c
eksamensoppgaver.org 6 oppgave 5 a) Vi har likningen x + y x 4y = og vil skrive om likningen for å vise at den beskriver en sirkel med sentrum i S, ) og radius r = 5 bruker så fullstendig kvadrats metode og slik at x x + y 4y = x ) = x x + y ) = y 4y + 4 x ) + y ) = + 5 x ) + y ) = 5 Så da har vi vist at S, ) og r = 5 = 5. b) x ) + y ) = 5 setter inn for x og y i likningen og får + 5 cos t ) + + 5 sin t ) = 5 5 cos t ) + 5 sin t ) = 5 5 cos t + 5 sin t = 5 5 cos t + sin t ) = 5 cos t + sin t = 5 5 =
eksamensoppgaver.org 7 c) Vi vet at vt) = r t) og at at) = v t) = r t), dermed vt) = [) + 5 cos t ), ) + 5 sin t ) ] = [ 5 sin t, 5 cos t] at) = [ 5 sin t ) ) ], 5 cos t = [ 5 cos t, 5 sin t] og så ser vi om de to vektorene er ortagonale ved å sette vt) at) og da har vi vist at [ 5 sin t, 5 cos t] [ 5 cos t, 5 sin t] 5 sin t cos t 5 sin t cos t vt) at) d) Hvis punktet P 5, ) ligger på sirkelen vil det oppfylle likningen vi fant i a). Setter inn for x og y i likningen da får vi x ) + y ) = 5 5 ) + ) = 5 4) + 3) = 5 6 + 9 = 5 5 = 5 og som vi ser, oppfyller det likningen og vi kan konkludere med at P ligger på sirkelen. Videre vet vi at SP = [5, ] = [4, 3] og dersom tangenten har retningsvektoren n vil og dermed kan vi sette SP n [4, 3] [a, b] = a = 3 b = 4
eksamensoppgaver.org 8 slik at n = [3, 4] slik at vi kan sette parameterfremstillingen l slik l : { x = 3t + 5 y = 4t Dersom du er interessert, nner du ere løsningsforslag på eksamensoppgaver.org SLUTT