Notater til eksamensforelesning i TMA4105

Notater til eksamensforelesning i TMA4105 Åsmund Eldhuset Definitivt ikke ferdig! Dette er ikke ment som en frittstående tekst, men kun som supplement til læreboken. Hvis det er uoverensstemmelse mellom boken og disse notatene, hør på boken! Rapporter gjerne feil eller forbedringsforslag til asmunde krøllalfa stud.ntnu.no. Denne utgaven er publisert 28.04.2012. Contents 0 Generelt 2 9 Polarkoordinater og kjeglesnitt (ferdig) 3 9.1 Polarkoordinater (ferdig).................................. 3 9.2 Graftegning i polarkoordinater (ferdig).......................... 3 9.3 Arealer og lengder i polarkoordinater (ferdig)....................... 4 9.4 Kjeglesnitt (ferdig)..................................... 5 9.6 Kjeglesnitt og parametriske ligninger; sykloiden (ferdig)................. 6 10 Vektorer og romlig geometri 6 10.1 Tredimensjonale koordinatsystemer (ferdig)........................ 6 10.2 Vektorer (ferdig)...................................... 7 10.3 Prikkprodukt (ferdig).................................... 7 10.4 Kryssprodukt (ferdig).................................... 8 10.5 Linjer og plan i rommet.................................. 9 10.6 Sylindre og kvadriske flater (ferdig)............................ 9 11 Vektorfunksjoner og bevegelse i rommet 10 11.1 Vektorfunksjoner og deres deriverte............................ 10 11.2 Integraler av vektorfunksjoner............................... 11 11.3 Buelengde i rommet.................................... 11 11.4 Kurvatur av en kurve.................................... 11 11.5 Tangential- og normalkomponentene av akselerasjon................... 11 11.6 Hastighet og akselerasjon i polarkoordinater....................... 12 12 Partiellderiverte 12 12.1 Funksjoner av flere variabler (ferdig)........................... 12 12.2 Grenseverdier og kontinuitet i høyere dimensjoner.................... 12 12.3 Partiellderiverte (ferdig).................................. 13 12.4 Kjerneregelen........................................ 13 12.5 Retningsderiverte og gradientvektorer........................... 14 12.6 Tangentplan og differensialer................................ 14

12.7 Ekstremverdier og sadelpunkter (ferdig).......................... 14 12.8 Lagrangemultiplikatorer (ferdig).............................. 15 12.9 Taylors formel for to variabler............................... 16 13 Integrasjon med flere variabler 16 13.1 Doble og itererte integraler over rektangler........................ 16 13.2 Dobbeltintegraler over generelle regioner......................... 16 13.3 Areal ved dobbelintegrasjon................................ 17 13.4 Dobbeltintegraler i polarform............................... 17 13.5 Trippelintegraler i rektangulære koordinater....................... 17 13.6 Moment og massesentre.................................. 17 13.7 Trippelintegraler i sylindriske og sfæriske koordinater.................. 17 13.8 Substitusjoner i multiple integraler (ferdig)........................ 18 14 Integrasjon i vektorfelter 18 14.1 Kurveintegraler (ferdig)................................... 18 14.2 Vektorfelter, arbeid, sirkulasjon og fluks......................... 19 14.3 Stiuavhengighet, potensialfunksjoner og konservative felter............... 19 14.4 Green s teorem i planet................................... 19 14.5 Flater og areal........................................ 21 14.6 Flateintegraler og fluks................................... 22 14.7 Stokes teorem (ferdig)................................... 22 14.8 Divergensteoremet og en forent teori (ferdig)....................... 23 0 Generelt En ligning eller en samling med ligninger kan tolkes som at den representerer en geometrisk form (f.eks. et punkt, en kurve, en flate eller et volum) den geometriske formen utgjøres av samlingen av alle punkter som tilfredsstiller ligningen. For eksempel beskriver 4x + y 3z = 8 et plan: det finnes uendelig mange kombinasjoner av x, y og z som passer inn i den ligningen (f.eks. (0, 8, 0) og (1, 10, 2)), og det viser seg at alle punktene sammen danner et plan. Riemanns definisjon av integraler definerer integralet av f(x) fra x = a til x = b på følgende måte: 1. Del x-aksen fra a til b inn i n like brede biter, hver med bredde x. Bit nr. i (fra og med 0 til og med n 1) begynner på koordinaten x i = a + i x. 2. Over hver bit av x-aksen lager man en søyle med høyde f(x i ). Arealet av denne søylen er da f(x i ) x, og det samlede arealet blir n 1 i=0 f(x i) x. 3. Til sammen vil alle søylene nesten dekke over hele arealet mellom grafen og x-aksen. Jo flere biter vi har, jo mindre blir x (så søylene blir smalere), og jo mindre kommer søylenes areal til å bomme på det faktiske arealet under grafen. 4. Vi definerer det bestemte integralet av f(x) fra x = a til x = b som grenseverdien for summen av søylenes areal etterhvert som n blir større og større (evt. at x går mot null): b a n 1 f(x) dx = lim f(x i ) x. n i=0

5. Alternativ tolkning som ikke er helt matematisk korrekt, men som gjør det enklere å se for seg hva som skjer, og som jeg kommer til å basere meg på: man deler opp i uendelig mange søyler som alle har den uendelig smale bredden dx (de er så smale at det ikke lenger er noen forskjell mellom rektangelarealene og arealet under grafen). Søylen på posisjon x har arealet f(x) dx. Integraltegnet er bare en sum av disse uendelig mange og uendelig smale søylene. Husk at cos 2 θ + sin 2 θ = 1. Rottmann er din venn! 9 Polarkoordinater og kjeglesnitt (ferdig) 9.1 Polarkoordinater (ferdig) I polarkoordinater angis et punkt ved (r, θ), og man finner dette punktet ved å stille seg i origo og se langs den positive x-aksen, snu seg θ radianer i positiv omløpsretning (mot klokken) og så gå strekningen r i den retningen (evt. begynne med å gå en strekning r langsetter den positive x-aksen og så rotere linjestykket (strålen) man fikk θ radianer). Et gitt punkt har uendelig mange polarkoordinater fordi man kan legge til eller trekke fra 2π på vinkelen θ så mange ganger man vil. Men selv om man sier at man skal holde seg til 0 θ < 2π, vil ethvert punkt (unntatt origo) fortsatt ha to polarkoordinater: (r, θ) og ( r, θ + π) (eller ( r, θ π) hvis θ π) dette fordi man har lov til å ha en negativ r, som tilsier at man skal slå ut en vinkel θ og så gå en strekning r baklengs. Ligningen r = a beskriver alle punkter med avstand a fra origo, altså en sirkel med radius a. Ligningen θ = θ 0 beskriver alle punkter med vinkel θ 0, dvs. en uendelig lang linje gjennom origo (på begge sider, husk at negativ r er tillatt) med vinkel θ 0 med positiv x-akse. Hvis man tegner en rettvinklet trekant med strålen fra origo og til punktet (r, θ) som hypotenus, og to linjestykker parallelle med x- og y-aksene som kateter, vil man se følgende sammenheng mellom polarkoordinatene til et punkt og det samme punktets kartesiske (x og y) koordinater: x = r cos θ y = r sin θ x 2 + y 2 = r 2 Ligninger kan ofte konverteres frem og tilbake mellom polare og kartesiske koordinater, men noen ganger må man bruke flere kartesiske ligninger for å til sammen beskrive én polarligning. 9.2 Graftegning i polarkoordinater (ferdig) Grafer i polarkoordinater oppgis ofte ved at r er en funksjon av θ gitt en vinkel, kan vi altså finne grafens avstand fra origo ved denne vinkelen. Vær oppmerksom på at man kanskje må la θ bli større enn 2π for å komme helt rundt (evt. at man ikke trenger å la θ bli 2π en gang), og at endene i en polargraf ikke nødvendigvis møtes (grafen kan f.eks. være en spiral). Dette uttrykkes ved r = f(θ).

Stigningstallet til en polarkurve er ikke gitt av df, siden dette vil fortelle hvor mye r endrer seg dθ når θ endrer seg litt. I stedet må vi ta utgangspunkt i dy = dy/dθ og sette inn uttrykkene for x dx dx/dθ og y som funksjoner av r og θ. F.eks. er dy dθ = d dθ (r sin θ) = d dθ (f(θ) sin θ) = f (θ) sin θ + f(θ) cos θ og tilsvarende for dx. Da ender man opp med følgende formel for stigningstallet i punktet (r, θ): dθ dy dx = f (θ) sin θ + f(θ) cos θ (r,θ) f (θ) cos θ f(θ) sin θ. Notasjonen dy dx (r,θ) betyr verdien av dy i punktet (r, θ). dx Pass på at noen formler, f.eks. r 2 = sin θ, ikke definerer r som funksjon av θ. Husk at når man mater en verdi inn i en funksjon, skal man få én verdi ut igjen, men i dette eksempelet vil de fleste verdier av θ gi to verdier for r: én positiv og én negativ. Når man skal tegne grafer for slike uttrykk, må man da passe på å tegne den negative r en samtidig som man tegner den positive. 9.3 Arealer og lengder i polarkoordinater (ferdig) Hvis vi har en polarkurve som går mellom vinklene α og β, kan det være interessant å finne arealet mellom kurven og origo. r antas å være en funksjon av θ, men i stedet for å skrive r = f(θ) anser vi i stedet r som selve funksjonen (altså r = r(θ)) så da må man huske at r ikke er en fri variabel, men en funksjon. La oss først tenke oss at vi deler opp området vårt i uendelig mange sirkelsektorer som hver har et uendelig lite vinkelutslag dθ. Sektoren som starter i vinkel θ vil da ha radien r = r(θ). En sirkel, som har areal πr 2, kan anses som en sirkelsektor med vinkel 2π. Vår sirkelsektor tar opp et uendelig lite areal da. Den utgjør en andel på dθ av hele sirkelens areal, altså 2π da = dθ 2π πr2 = 1 2 r2 dθ. (Uttrykket for da kalles for area differential; merk at uttrykket ville ha sett annerledes ut i et annet koordinatsystem.) Formelen for arealet blir da A = β α da = β α 1 2 r2 dθ. Hvis regionen ikke går helt inntil origo, men kan beskrives som området mellom to kurver r 2 (ytterst) og r 1 (innerst), får vi A = β α 1 β 1 β ( 1 2 r2 2 dθ α 2 r2 1 dθ = α 2 r2 2 1 ) 2 r2 1 (Vær så snill og ikke forkort dette til (r 2 r 1 ) 2!) β 1 ( ) dθ r 2 α 2 2 r1 2 dθ. I alle situasjoner er det viktig at sidekantene i regionene vi jobber med danner stråler ut av origo. Hvis det ikke er tilfelle, må sidekantene også beskrives ved hjelp av egne r-funksjoner. Det er lov å dele opp integralene i flere deler hvis det er nødvendig å bruke flere funksjoner (bare sett vinkelgrensene der hvor man må gå over fra en funksjon til en annen).

Vi kan finne kurvelengden/buelengden på tilsvarende måte, men nå ser vi på lengden av yttersiden av sektoren i stedet for arealet. Dessuten må vi ta hensyn til at på den ene siden av sirkelsektoren stikker kanskje kurven litt lenger ut enn på den andre. Hvis vi befinner oss i vinkelen θ, er lengden av den ene sidekanten i sektoren r = r(θ). Det betyr at ytterkanten av sirkelsektoren spenner ut en strekning r dθ, og ytterkanten er tilnærmet en rett linje fordi vinkelen til sektoren er så liten. Hvis vi går litt lenger bort, til θ + dθ, vil r ha endret seg litt denne endringen kaller vi dr. Så kurven er tilnærmet lik hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter r dθ og dr. Lengden av denne er, i følge Pythagoras, dl = ( (r dθ) 2 + dr 2 = r 2 + ( ) ) dr 2 dθ dθ 2 = r 2 + ( dr 2 dθ) dθ. Dermed får vi L = β α dl = β α r 2 + ( ) 2 dr dθ. dθ Når blir bedt om å finne arealet mellom to kurver, må man være påpasselig med å analysere kurvene for å finne rette θ-grenser for punktene hvor de skjærer hverandre. Man kommer som regel langt ved å sette r 1 = r 2 og løse for θ, men man kan bli lurt pga. at ett punkt kan representeres på flere forskjellige måter. 9.4 Kjeglesnitt (ferdig) Et kjeglesnitt er en kurve som oppstår i skjæringen mellom en kjegle og et plan. Typen avhenger av hvordan planet står i forhold til kjeglen (se Figure 9.19 på side 591). Et kjeglesnitt av en bestemt type kan uttrykkes på flere forskjellige måter, men alle kan skrives om til en standardligning for den aktuelle typen. Standardligningene er utledet fra avstandsuttrykkene man kan sette opp ut fra beskrivelsen av kjeglesnittypen. En parabol tar utgangspunkt i et brennpunkt (0, p) og en linje ( directrix ) som går gjennom (0, p) og er parallell med x-aksen; parabolen består av alle punkter som har samme avstand til brennpunktet og linjen. p kalles for fokuslengde. Standardligningen for en parabol er y = x2. 4p Dette er i praksis en annengradsligning uten førstegradsledd eller konstantledd. En ellipse tar utgangspunkt i to brennpunkter på x-aksen med en avstand c fra origo, og består av alle punkter som er slik at summen av avstandene til de to brennpunktene er 2a. Radiusen langs x-aksen blir da a, og radiusen langs y-aksen blir b, hvor b = a 2 c 2 (så a, b og c henger sammen slik at bare to av dem kan velges fritt; da vil den siste være gitt). Standardligningen for en ellipse er x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Huskeregel for sammenhengen b = a 2 c 2 : triangelet med hjørnene (0, 0), (c, 0) og (0, b) er rettvinklet; katetene har lengde b og c, og fordi punktet (0, b) er en del av ellipsen, må avstanden derfra og til (c, 0) (altså hypotenusen i triangelet vårt) være a, så da er a 2 = b 2 + c 2 i følge Pythagoras. En sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse hvor a = b (så radiusen er a) og c = 0. Standardligniningen er x 2 + y 2 = r 2. En hyperbel tar utgangspunkt i to brennpunkter ( c, 0) og (c, 0) og består av alle punkter som er slik at differansen mellom avstandene til de to brennpunktene er 2a. Hvis vi denne gangen lar b = c 2 a 2 (a og c er byttet om i forhold til i ellipsen), blir standardligningen x2 y2 = 1. a 2 b 2

Alle kjeglesnittene kan sentreres rundt et annet punkt enn origo, f.eks. (x 0, y 0 ), ved å bytte ut x og y i standardformlene med hhv. (x x 0 ) og (y y 0 ). Man kan også bytte rollene til x og y, og oppnår da at kjeglesnittet speiles om linjen y = x. Ved hjelp av implisitt derivering kan man finne uttrykk for stigningstallene på forskjellige punkter på kjeglesnittene. I en hyperbel går det an å tegne to linjer i kryss mellom origo som går uendelig langt ut uten noen gang å treffe hyperbelen. Disse kalles asymptoter og er gitt ved y = ± b a x. 9.6 Kjeglesnitt og parametriske ligninger; sykloiden (ferdig) Det er ofte upraktisk å hanskes med ligninger som involverer både x og y, siden det ikke alltid er så lett å se hvilke x- og y-verdier som passer i ligningen. Dessuten er man ofte interessert i å studere kurver som beskriver hvordan en partikkel beveger seg over tid. Parametrisering går ut på å uttrykke en kurve ut ifra én variabel t, som ofte representerer tid (eller en overflate ut ifra to variabler u og v). Da får man to ligninger: én som uttrykker x ut ifra t, og én som uttrykker y ut ifra t. Parametrisering av parabol: x = t, y = x2 4p = t2 4p. En sykloide er grafen som beskrives av et punkt på et sykkelhjul etterhvert som det triller bortover. Hvis hjulet starter rett over origo slik at punktet står i origo, blir parametriseringen x = a(t sin t), y = a(1 cos t). 10 Vektorer og romlig geometri 10.1 Tredimensjonale koordinatsystemer (ferdig) Jeg regner med at folk er noenlunde komfortable med kartesiske 3D-koordinater (x, y, z). Alternativ høyrehåndsregel: strekk armen og hånden ut; vend alle fingrene unntatt tommelen slik at de peker 90 grader på armen; pek tommelen loddrett oppover. Armen blir da x-aksen, de fire fingrene blir y-aksen og tommelen blir z-aksen. En ligning som setter én variabel til en konstant verdi, f.eks. x = 4, beskriver et plan som er parallelt med ett av standardplanene (yz-planet, zx-planet eller xy-planet). En ligning som setter to variabler til konstante verdier, f.eks. x = 4, y = 7, beskriver en linje parallell med en av aksene. Studér figurene og ligningene på side 615. Avstanden mellom punktene (x 1, y 1, z 1 ) og (x 2, y 2, z 2 ) er (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Rekkefølgen man subtraherer i har ikke noe å si pga. at man kvadrerer. En sfære (kule) med sentrum (x 0, y 0, z 0 ) og radius r har standardformel (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = r 2.

10.2 Vektorer (ferdig) En skalar er ett enkelt tall. En vektor er en sekvens av tall (vanligvis to eller tre). En vektor kan tolkes enten som at den beskriver en retning og en lengde, eller som at den beskriver ett spesifikt punkt den kan ikke beskrive både et startpunkt og en retning og lengde ut fra det punktet på én gang (dette er et linjestykke, og det trenger man to vektorer for å beskrive én for startpunktet og én for sluttpunktet, eller én for startpunktet og én som går fra startpunktet til sluttpunktet). Forskjellige notasjoner: (a, b, c) = [a, b, c] = a, b, c = ai + bj + ck. De første er mer kompakte, men den siste gjør noen resultater lettere å utlede (og det blir tydeligere at vektorintegraler kan gjøres komponentvis). Standard enhetsvektorer: i = 1, 0, 0 (parallell med x-aksen), j = 0, 1, 0 (parallell med y- aksen) og k = 0, 0, 1 (parallell med z-aksen). Lengden av en vektor v = v 1, v 2, v 3 er v = v 2 1 + v 2 2 + v 2 3. En enhetsvektor er en vektor med lengde 1. Gitt en vektor v kan man lage en enhetsvektor i v samme retning slik:. v Midtpunktet av linjestykket fra (x 1, y 1, z 1 ) og (x 2, y 2, z 2 ) er ( x 1 +x 2, y 1+y 2 ), z 1+z 2 2 2 2. Jeg regner med at folk har styring på addisjon og subtraksjon av vektorer. Studér tabellen på side 623. 10.3 Prikkprodukt (ferdig) Prikkprodukt er en operasjon man gjør mellom to vektorer, og som resulterer i et tall derfor kalles det også skalarprodukt. Tallet avhenger av lengden på vektorene og vinkelen mellom dem. Prikkproduktet mellom en hvilken som helst vektor u og en enhetsvektor v kan tolkes som projeksjonen av u langs linjen som v beskriver altså lengden av skyggen som u ville ha laget på en linjen som er parallell med v dersom solen stod rett ovenfor u og v. Dersom v ikke er en enhetsvektor, vil prikkproduktet bli skyggens lengde ganget med lengden på v. u v = 0 hvis og bare hvis u v (de står vinkelrett på hverandre). Algebraisk formel, hvis man har vektorkoordinatene: u v = u 1, u 2, u 3 v 1, v 2, v 3 = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 altså komponentvis multiplisering. Geometrisk formel, hvis man har lengdene og vinkelen θ mellom vektorene (vinkelen må måles ved at man setter vektorenes startpunkter inntil hverandre og måler vinkelen på den siden de åpner seg ut mot): u v = u v cos θ. Denne kan man benytte til å finne vinkelen hvis man bare har vektorkoordinatene: θ = u v. (Merk at u v ikke er en egen notasjon; det er bare u v produktet av to vektorlengder: u v.) Studér regnereglene på side 631. Lengden av projeksjonen ( skyggen ) av u på v er, som nevnt over, u v. Boken kaller dette for v scalar component of u in the direction of v. Hvis man multipliserer dette med v får man ( ) v u v en vektor for projeksjonen: proj v u = v. v 2

Dersom en kraft F gjør et arbeid på et legeme som beveger seg en uendelig liten strekning ds (merk at ds er en vektor), vil kraften gjøre et arbeid på dw = F ds på legemet i løpet av denne strekningen. 10.4 Kryssprodukt (ferdig) Kryssprodukt er også en operasjon man gjør mellom to vektorer, men denne gangen får man ut en ny vektor, som står vinkelrett på de originale vektorene og hvor lengden avhenger av lengden på vektorene og vinkelen mellom dem. Høyrehåndsregelen: Strekk armen ut, hold fingrene vinkelrett ut mot siden og pek tommelen opp. Hvis u peker langs armen din og v langs fingrene, vil u v peke langs tommelen. Formelen for kryssproduktet mellom u = u 1, u 2, u 3 og v = v 1, v 2, v 3 : u v = u 2 v 3 v 2 u 3, v 1 u 3 u 1 v 3, u 1 v 2 v 1 u 2 Huskeregel: et kryssprodukt kan uttrykkes som determinanten til følgende matrise (se matte 3-boken for huskeregler for utregning av determinanter): i j k u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = i u 2 u 3 v 2 v 3 j u 1 u 3 v 1 v 3 + k u 1 u 2 v 1 v 2 = i(u 2 v 3 v 2 u 3 ) j(u 1 v 3 v 1 u 3 ) + k(u 1 v 2 v 1 u 2 ) = u 2 v 3 v 2 u 3, v 1 u 3 u 1 v 3, u 1 v 2 v 1 u 2 Husk det negative fortegnet på den midterste komponenten! Som en kontroll på at man har regnet riktig kan man sjekke at prikkproduktene av resultatet og hver av u og v blir 0. Kryssproduktet er ikke kommutativt, dvs. at man ikke uten videre kan bytte om på vektorene. Gjør man det, vil man få en vektor som peker i motsatt retning. Faktisk er v u = u v. Kryssproduktet er heller ikke assosiativt, dvs. at (u v) w sannsynligvis ikke vil være lik u (v w). u v = 0 hvis og bare hvis u v (de er parallelle). Husk alltid at resultatet av et kryssprodukt ikke er et tall, men en vektor. Dog gjelder følgende for lengden av kryssproduktet av to vektorer med vinkelen θ mellom seg: u v = u v sin θ. Lengden av et kryssprodukt kan dermed tolkes som arealet av parallellogrammet som spennes ut av u og v. Studér regnereglene på side 637. Hvis man tråkker på en sykkelpedal med en kraft F, og r er vektoren fra rotasjonssenteret ut til der man tråkker, skaper man et dreiemoment (torque) på r F. Dreiemoment er det som skaper rotasjon, tilsvarende som at kraft er det som skaper rettlinjet bevegelse. Det såkalte trippelskalarproduktet, eller boksproduktet: (u v) w, gir en skalar som kan tolkes som volumet av parallellpipeden med u, v og w som sidekanter.

10.5 Linjer og plan i rommet 10.6 Sylindre og kvadriske flater (ferdig) Begrepet sylinder er egentlig mer generelt enn det man er vant med fra geometri. En rett linje som flyttes langs en hvilken som helst plan kurve skaper en flate som kan omtales som en sylinder. Kurven kalles da en genererende kurve for sylinderen. Det vi vanligvis tenker på som en sylinder har en sirkel som genererende kurve. Kjeglesnitt kan tas ut i tre dimensjoner på forskjellige måter; dette kalles kvadriske flater (quadric surfaces). Disse beskriver man implisitt. Side 655 inneholder en fin oversikt. Et triks for å se hvordan en flate ser ut er å sette en av variablene til forskjellige konstante verdier og se hva slags kurve den resulterende ligningen da beskriver. Setter man f.eks. z = 1, får man kurven hvor flaten skjærer planet z = 1 (som er parallelt med xy-planet). En ellipsoide har ligningen x 2 a + y2 2 b + z2 2 c = 1. 2 Vi ser at hvis vi setter z = 0, står vi igjen med ligningen for en ellipse i xy-planet, og tilsvarende hvis vi setter x eller y lik 0. Hvis man setter z til en eller annen konstant som er mindre enn c 2, kan man skrive om ligningen slik at man står igjen med ligningen for en litt mindre ellipse. Den samme effekten får man med x og y. Så hvis man tar et plan og skjærer en ellipsoide, vil man alltid få ut en ellipse. En sfære er en ellipsoide hvor a = b = c og radien er lik disse tallene. Ligningen skriver man vanligvis som x 2 + y 2 + z 2 = r 2. En elliptisk kjegle (elliptical cone) har ligningen x 2 a 2 + y2 b 2 = z2 c 2. Vi ser at hvis z = 0, er (x, y) = (0, 0) den eneste løsningen, så kjeglen går gjennom origo. Hvis vi setter z til en konstant som ikke er 0, kan vi skrive om ligningen til x 2 (az/c) + y2 2 (bz/c) = 1. 2 I høyden z over xy-planet vil altså et utsnitt av kjeglen se ut som en ellipse med radiene az/c og bz/c. Radiene øker altså lineært oppover og nedover, og derfor blir sidekantene av kjeglen rettlinjede. En elliptisk paraboloide har ligningen x 2 a 2 + y2 b 2 = z c. Hvis man setter z = 0, er (x, y) = (0, 0) den eneste løsningen, så paraboloiden går gjennom origo. Negative z-verdier gjør ligningen umulig å løse, så ingen deler av paraboloiden befinner seg under xy-planet. For positive z-verdier kan vi skrive om ligningen til x 2 (a z/c) 2 + y 2 (b z/c) 2 = 1

altså en ellipse med radii a z/c og b z/c. Så paraboloiden blir bredere jo høyere opp man kommer, men breddeøkningen er langsommere og langsommere. Hvis man derimot setter x = 0, kan man skrive om ligningen til z = c y altså får man en parabol hvis man skjærer b 2 paraboloiden med yz-planet; tilsvarende hvis man setter y = 0. En enkappet hyperboloide (hyperboloid of one sheet) har ligningen x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1. Hvis vi setter x eller y til en konstant, står vi igjen med ligningen for en hyperbel som åpner seg bort fra z-aksen, mens hvis z er konstant, får vi ligningen for en ellipse (hvor radiene øker langsommere og langsommere jo større absoluttverdien til z er). En tokappet hyperboloide (hyperboloid of two sheets) har ligningen z 2 c 2 x2 a 2 y2 b 2 = 1. Hvis vi setter x eller y til en konstant, står vi igjen med ligningen for en hyperbel som åpner seg bort fra hhv. y- eller x-aksen. Hvis z er en konstant, kan vi nesten skrive om ligningen til ligningen for en ellipse, bare at det blir z2 1 på høyre side. Hvis dette er mindre enn 0, som er c 2 tilfelle for z < c, blir ligningen umulig å løse, så mellom z = c og z = c ligger det ingenting over/under disse z-verdiene får vi ellipser hvor radiene øker langsommere og langsommere. En hyperbolsk paraboloide har ligningen y 2 b 2 x2 a 2 = z c. Dersom man setter x eller y til en konstant, står man igjen med ligningen for en parabol som åpner seg henholdsvis oppover eller nedover (så skjæringen med et plan som er parallelt med xz-planet eller yz-planet gir en parabol), mens hvis man setter z til en konstant (altså at man skjærer med et plan som er parallelt med xy-planet), får man en hyperbel. Merk at alle de kvadriske flatene kan snus i forskjellige retninger ved å bytte om på x, y og z, og at de kan sentreres om punktet (x 0, y 0, z 0 ) i stedet for origo ved å bytte ut x med (x x 0 ) osv. 11 Vektorfunksjoner og bevegelse i rommet 11.1 Vektorfunksjoner og deres deriverte En funksjon kan anses som en maskin som tar inn en verdi og gir ut en annen, og som følger en regel om at hver gang den samme verdien gis inn, skal den samme verdien gis ut. Definisjonsområdet (domain) er de verdiene funksjonen tåler å mates med. Verdiområdet (range) er en mengde verdier som resultatverdiene garantert kommer til å ligge innenfor (men det er ikke noe krav om at funksjonen må klare å produsere enhver verdi fra verdiområdet). F.eks. er f(x) = x 2 en funksjon med definisjonsområde R (alle reelle tall) fordi den tåler ethvert reelt tall, og verdiområde R (fordi den bare produserer reelle tall, selv om den ikke klarer å produsere negative, reelle tall). g(x) = 1 har ikke R som definisjonsområde, fordi den ikke x tåler x = 0.

En vektorfunksjon er en funksjon med reelle tall som definisjonsområde og vektorer som verdiområde gitt et reelt tall (som ofte representerer et tidspunkt i antall sekunder siden en bestemt starttid ), vil funksjonen gi en vektor. En (tredimensjonal) vektorfunksjon tenker man ofte på som at den består av tre separate vanlige funksjoner, én som gir x-verdien, én som gir y og én som gir z: r(t) = a(t), b(t), c(t). En vektorfunksjon har et punkt L som grenseverdi når t t 0 dersom avstanden mellom r(t) og L går mot null når t t 0. En vektorfunksjon er kontinuerlig i et punkt t 0 dersom funksjonens grenseverdi når t t 0 er lik funksjonsverdien i dette punktet. Vektorfunksjonen som helhet er kontinuerlig hvis den er kontinuerlig i alle punktene i verdiområdet (uansett hvilken verdi av t fra definisjonsområdet man mater inn). Derivasjon av en vektorfunksjon gjøres ved å derivere hver komponentfunksjon for seg. Alle de vanlige derivasjonsreglene gjelder. (TODO: Prikkproduktregelen)(TODO: Kryssproduktregelen)(TODO: Kjerneregelen) For en vektorfunksjon som har konstant lengde (uansett hva t er, får man en vektor som er like lang, bare at den kan peke i forskjellige retninger) vil den deriverte alltid stå vinkelrett på den opprinnelige vektoren: r dr dt = 0. 11.2 Integraler av vektorfunksjoner Vektorfunksjoner kan integreres komponentvis, og resultatet blir en ny vektorfunksjon (dette gjelder ikke hvis det man integrerer er et prikkprodukt av to vektorer; da integrerer man prikkproduktet, som er en vanlig skalarfunksjon). Vektorfunksjonen r(t) = a(t), b(t), c(t) kan tolkes som at den består av tre funksjoner som gir verdien for hver komponent, og r(t) dt = a(t), b(t), c(t) dt = a(t) dt, b(t) dt, c(t)dt. 11.3 Buelengde i rommet 11.4 Kurvatur av en kurve Oppsummering av formler på side 693. Nevn κ = 1 v Oppgave: Kontinuasjonseksamen 2007, oppgave 4. 11.5 Tangential- og normalkomponentene av akselerasjon Merk at akselerasjonen ikke har noen komponent i retning B, noe som kan virke merkelig. Poenget er at selv hvis kurven har torsjon og dermed vris ut av T N-planet, vil jo B i så fall vri seg med så selv om a endrer retning i forhold til xyz-koordinatsystemet, så vil den alltid stå vinkelrett på B fordi B alltid vrir seg etter når a gjør det. dt dt.

11.6 Hastighet og akselerasjon i polarkoordinater 12 Partiellderiverte 12.1 Funksjoner av flere variabler (ferdig) En funksjon av flere variabler kan anses som en maskin som mates med flere verdier, og gir ut én verdi. Gitt den samme kombinasjonen av innverdier vil alltid den samme verdien komme ut. En region er en samling med punkter i et plan eller i rommet. En region er ofte avgrenset, men man kan også lage uendelig store (ubegrensede / unbounded) regioner. Et punkt (x 0, y 0 ) er et interior point i regionen R hvis alle punktene i umiddelbar nærhet også ligger i R, og det er et randpunkt (boundary point) i R hvis det i noen retninger går an å gå bort fra punktet og fortsatt holde seg inni R, mens det i andre retninger er umulig å gå bort fra punktet uten å havne utenfor R (det er dette som menes med every disk centered at (x 0, y 0 ) contains points that lie outside of R as well as points that lie in R ). Merk at det ikke har noe å si om selve randpunktet ligger i eller utenfor R. Hvis alle randpunktene til R ligger i R, kalles R for lukket; hvis alle randpunktene ligger utenfor R, er R åpen; ellers er R halvåpen. En funksjon av én variabel tilordner egentlig en verdi til hvert punkt på en linje (f.eks. x- aksen), men anses ofte som en beskrivelse av høyde (f.eks. høyden til et tverrsnitt av et fjell, slik de viser løypeprofiler på sykkelløp på TV). På samme måte kan man anse en funksjon av to variabler (som egentlig tilordner en verdi til hvert punkt i et plan, f.eks. xy-planet) som at den beskriver overflaten helt fjell gitt en (x, y)-posisjon, vil z = f(x, y) fortelle høyden til fjellet over dette punktet. Samlingen av alle punkter (x, y, f(x, y)) kalles derfor overflaten (surface) eller grafen til f. En nivåkurve (level curve) for en funksjon av f av to variabler er en samling av alle punktene i xy-planet hvor funksjonen har samme verdi, altså hvor f(x, y) = c (hvert valg av verdi for c vil gi en ny nivåkurve). Hvis man tegner nivåkurven i rett høyde (velger z lik den konstante verdien c i stedet for 0) får man en konturkurve, som tilsvarer en høydekurve på et orienteringskart. Hvis man går langs en konturkurve, vill man alltid holde seg på samme høyde over havet. Én måte å få et inntrykk av hvordan en funksjon av to variabler ser ut, er å sette f(x, y) lik forskjellige konstanter og dermed finne formler for nivåkurvene. En funksjon av tre variabler tilordner en verdi til hvert punkt i rommet. Dette kan man f.eks. tenke på som en beskrivelse av temperaturene i de forskjellige punktene i et svømmebasseng. For en funksjon av tre variabler kan man lage nivåflater samlinger av punkter hvor funksjonen har samme verdi, som ofte vil utgjøre en sammenhengende overflate i rommet. 12.2 Grenseverdier og kontinuitet i høyere dimensjoner

12.3 Partiellderiverte (ferdig) En funksjon av flere variabler kan deriveres med hensyn på én av dem. Derivasjonen følger vanlige regler, men alle variabler andre enn den man deriverer på behandles som konstanter. F.eks. er x (x2 + e y+3 ) = 2x, fordi y betraktes som en konstant, og derfor er hele e y+3 også en konstant. Andre ordens partiellderiverte er for å undersøke hvordan den partiellderiverte med hensyn på en bestemt variabel endrer seg når man ( ) beveger seg bortover parallelt med en av aksene. 2 f f er en forkortet skrivemåte for vil fortelle hvordan f endrer seg når man går x y x y y bortover parallelt med x-aksen. Man kan også derivere gjentatte ganger på samme variabel, og tilsvarende kan gjøres med funksjoner av tre eller flere variabler. Kompakt notasjon: f x = f x, f xx = 2 f x 2, f xy = 2 f x y. Mixed derivative theorem: 2 f = 2 f (rekkefølgen på variablene i høyere ordens partiellderiverte x y y x er likegyldig). Gjelder i alle punkter der de partiellderiverte er kontinuerlige i et område rundt punktet. De avanserte vil ha lyst til å studere kontinuitet ifm. andreordens deriverte. 12.4 Kjerneregelen En funksjon kan godt ha en annen funksjon inni seg: f(g(t)). Dette betyr at g(t) regnes ut, og så mates resultatet derfra videre inn i f. I et sammensatt uttrykk står man ofte fritt til å velge hvor mye av uttrykket skal være den indre funksjonen i e 4+t2 kan man f.eks. velge å si at g(t) = t 2 er den indre funksjonen og at e 4+g(t) er den ytre, eller at g(t) = 4 + t 2 er den ytre og at e g(t) er den ytre. Skal man derivere en slik sammensatt funksjon med hensyn på t, kan man derivere den ytterste med hensyn på den innerste altså finne ut hvor mye f endrer seg når g endrer seg litt. Men siden vi er ute etter å finne ut hvor mye f endrer seg når t endrer seg litt, må vi multiplisere dette med hvor mye g endrer seg når t endrer seg litt. Dette blir tydeligere med d-notasjonen: f = df t dg dg dt. Det samme fungerer også med funksjoner av flere variabler hvor man mater inn flere funksjoner, og de indre funksjonene kan også ta inn flere variabler. For eksempel: La x(s, t), y(s, t) og z(s, t) være tre funksjoner av de to variablene s og t, og la w(x, y, z) = w(x(s, t), y(s, t), z(s, t)) være en funksjon av de tre indre funksjonene x, y og z. Da er w egentlig en funksjon av s og t, siden det er disse variablene de indre funksjonene er basert på. Da burde vi kunne finne w s og w ; la oss se på sistnevnte. Siden det nå finnes tre funksjoner som direkte påvirkes av t, t må vi finne ut hvor mye hver av disse funksjonene endrer seg når t endrer seg ( x, y z og ), t t t og hvor mye w endrer seg når hver av de indre funksjonene endrer seg ( w, w w og ). Vi x y z multipliserer hver av disse endringene for å finne deres samlede bidrag til endring i w, og da får vi den partiellderiverte vi er ute etter: w = w x + w y + w z. Det er altså like mange t x t y t z t ledd som det er indre funksjoner, og de indre funksjonene partiellderiveres på den variabelen vi vil partiellderivere w på. Dette fungerer for øvrig også med vektorfunksjoner, men da må partiellderivere hver komponent for seg.

12.5 Retningsderiverte og gradientvektorer Nablaoperatoren, også kalt del, er ment som en huskeregel for formlene for gradient, divergens og curl. Det er strengt tatt misbruk av notasjon, men man setter tre ufullstendige differensialer inn i en vektor: = x, y,. z Denne kan man så skalarmultiplisere med en funksjon av tre variabler (altså et tredimensjonalt skalarfelt tenk på dette som f.eks. temperaturer på forskjellige punkter i et svømmebasseng), og da får man formelen for gradient: f = x, y, f f = z x, f y, f. z Gradienten er et vektorfelt som, for hvert punkt, forteller hvilken retning man burde gå i for å oppleve størst endring i verdien til skalarfeltet. Lengden av gradientvektoren forteller hvor sterk økningen er. Hvis man lurer på i hvilken grad verdiene i skalarfeltet endrer seg når man står i et bestemt punkt (x 0, y 0, z 0 ) og går i en bestemt retning u (hvor u er en enhetsvektor), kalles dette retningsderivert, og man finner det ved å ta prikkproduktet av u og gradienten i det punktet: u f (x0,y 0,z 0 ). 12.6 Tangentplan og differensialer 12.7 Ekstremverdier og sadelpunkter (ferdig) Et lokalt maksimum/minimum (fellesbetegnelse: lokalt ekstremalpunkt) er et punkt som har minst like stor/liten verdi som alle de umiddelbart omkringliggende punktene, og altså utgjør en fjelltopp eller dalbunn (eller som er en del av et flatt område hvor alle punkter ligger like høyt). Det kan godt finnes andre topper/bunner som er høyere/lavere. Dette kapittelet tar for seg ekstremalpunkter for skalarfunksjoner av to variabler, som vi kan representere som overflater i rommet. Hvis en overflate har et tangentplan i et ekstremalpunkt (dette er ikke tilfelle f.eks. på randen av overflaten), er tangentplanet horisontalt. Hvis både f x og f y eksisterer i et punkt, er det punktet et ekstremalpunkt bare hvis både f x og f y er 0 men det kan hende at begge de deriverte er 0 uten at punktet er et ekstremalpunkt. Et slikt punkt er et sadelpunkt, hvor den ene deriverte er positiv og den andre er negativ. Randpunkter kan også være ekstremalpunkter selv hvis de deriverte ikke er 0. For å finne disse må man parametrisere randkurven og studere den deriverte med hensyn til parametervariabelen (se eksempel på side 760 761).

Det kan også hende at de deriverte ikke eksisterer; dette vil typisk være der hvor overflaten gjør sprang. Et punkt hvor én eller begge de deriverte ikke eksisterer eller både f x og f y er 0 kalles et kritisk punkt, og er potensielt sett et ekstremalpunkt. Randpunkter er også kandidater for å være ekstremalpunkter. Annenderiverttesten kan ofte finne ut om et punkt er et ekstremalpunkt og klassifisere det. La oss si at vi har funnet et punkt (a, b) hvor f x (a, b) = 0 og f y (a, b) = 0. Vi begynner med å finne funksjonsuttrykk for alle de tre annenderiverte og regne ut den såkalte diskriminanten: D = f xx f yy f 2 xy. 1. f har er et lokalt maksimum i (a, b) dersom f xx (a, b) < 0 og D(a, b) > 0. 2. f har er et lokalt minimum i (a, b) dersom f xx (a, b) > 0 og D(a, b) > 0. 3. f har et sadelpunkt i (a, b) dersom D(a, b) < 0. 4. Testen klarer ikke å klassifisere (a, b) dersom D(a, b) = 0. Et absolutt maksimum/minimum er nødvendigvis også et lokalt maksimum/minimum, så vi kan finne det ved å gå gjennom alle de lokale ekstremalpunktet og finne de(t) største/minste av disse. Fallgruve: Åpne regioner inneholder randpunktene sine, og vil derfor ikke kunne ha ekstremalpunkter på randen. Eksempel med en funksjon av én variabel: f(x) = x for 0 < x < 1 har ingen ekstremalpunkter uansett hvilken verdi av x man velger, kan man alltid gå litt nærmere 0 eller 1 og få en mindre/større verdi for f(x). 12.8 Lagrangemultiplikatorer (ferdig) Dette er en metode for å, gitt en funksjon av tre variabler (som dermed beskriver et skalarfelt i rommet) og en flate gjennom rommet, finne ut hvor på denne flaten funksjonen/skalarfeltet har lokale ekstremalverdier (maksimums- eller minimumsverdier). Dette er én av mange former for constrained optimization, dvs. å finne ekstremalverdier for en funksjon innenfor et begrenset område. Metoden kan også brukes i to dimensjoner (på et todimensjonalt skalarfelt og en kurve). Formel: Gitt de to deriverbare funksjonene f(x, y, z) og g(x, y, z), finn punkter (x, y, z) som tilfredsstiller både f = λ g og g(x, y, z) = 0. Dette vil være de punktene på den flaten som beskrives implisitt av g(x, y, z) = 0 hvor f har maksimums- og minimumsverdier (på flaten f kan godt ha større/mindre verdier utenfor flaten). Tilsvarende er det i to dimensjoner. Merk at ekstremalpunktene man får ut vil være lokale (hver verdi er større/mindre enn de som ligger i umiddelbar nærhet, men det kan finnes større/mindre verdier andre steder), og at man også risikerer å få ut sadelpunkter. Så man må utvise litt forsiktighet når man bruker Lagrange, og helst regne ut noen funksjonsverdier på begge sider av av punktene man finner (og sjekke at begge sider er større enn punktet eller at begge sider er mindre enn punktet), for å kontrollere at man har funnet maksimums- eller minimumspunkter og ikke sadelpunkter. Tolkningen er enklest i to dimensjoner: f(x, y) er et todimensjonalt skalarfelt. Ligningen g(x, y) = 0 beskriver implisitt en kurve gjennom dette feltet (merk at g(x, y) i seg selv er et skalarfelt, men vi bruker altså det feltet til å beskrive en kurve). Vi ønsker å finne punkter langs denne kurven hvor f har maksimale og minimale verdier (i forhold til resten av kurven f sine verdier i resten av skalarfeltet er uinteressante). La oss ta for oss et punkt (x 1, y 1 )

på kurven. Hva må til for at dette skal være et ekstremalpunkt for f? Hvis vi regner ut gradienten til f i dette punktet, altså f (x1,y 1 ), vil denne fortelle oss i hvilken retning vi må gå for å oppleve størst mulig endring i f. Forutsatt at f sine deriverte er kontinuerlige, vil enhver annen retning enn gradienten gi en endring som er mindre enn den endringen man vil få dersom man går i retning av gradienten og hvis og bare hvis man går i en retning som er vinkelrett på gradienten, vil man oppleve at f ikke endrer seg i det hele tatt. Dette betyr at hvis kurven som beskrives av g(x, y) = 0 ikke står vinkelrett på gradienten til f, vil enhver bevegelse langs kurven bort fra dette punktet føre til en endring i verdien av f den ene veien vil verdien øke, og den andre veien vil verdien synke og dermed vil det være mulig å oppnå en økning i verdien av f ved å bevege seg videre langs kurven. Da er ikke dette punktet et ekstremalpunkt. Bare hvis kurven står vinkelrett på f, vil vi befinne oss i et punkt hvor enhver bevegelse til siden enten vil senke verdien av f (da er vi i et toppunkt) eller øke verdien av f (da er vi i et bunnpunkt). Dette illustreres best ved hjelp av level curves: man vil da se at på den implisitte kurven vil f anta maksimums- eller minimumsverdier der hvor kurven tangerer en level curve. Siden kurven er gitt implisitt ved g(x, y) = 0, vil gradientvektoren til g overalt stå vinkelrett på kurven. At to kurver tangerer hverandre er det samme som at normalvektorene deres i tangeringspunktet er parallelle, som igjen er det samme som at den ene normalvektoren kan skrives som en skalar multiplisert med den andre normalvektoren. Vi finner altså ekstremalverdiene ved å løse ligningene f = λ g og g(x, y) = 0. Husk at λ er en skalar; verdien dens er uinteressant i seg selv, men vi må som regel finne den for å klare å finne x og y. I tre dimensjoner blir det tilsvarende, bare at man nå jobber med flater i stedet for kurver. Ligningene som skal løses er f = λ g og g(x, y, z) = 0. Hvis man har to betingelser i form av g 1 og g 2, får vi f = λ g 1 + µ g 2, g 1 (x, y, z) = 0 og g 2 (x, y, z) = 0. Dette er illustrert i Figure 12.53 på side 771. Noen oppgaver oppgir en flate (eller to) og spør om hvilke(t) punkt(er) på denne flaten (eller i skjæringskurven mellom dem) som ligger nærmest eller lengst unna et gitt punkt P (x 0, y 0, z 0 ). Da kan man bruke Lagrange-metoden med funksjonen f(x, y, z) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2, siden f vil gi kvadratet av hvert punkt sin avstand fra P (man kunne ha brukt (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 i stedet, men da blir utregningen vanskeligere, og punktene med størst/minst avstand vil også gi største/minste verdi av f, selv om kvadratroten ikke er der). Oppgave: Ordinær eksamen 2009, oppgave 3. 12.9 Taylors formel for to variabler 13 Integrasjon med flere variabler 13.1 Doble og itererte integraler over rektangler 13.2 Dobbeltintegraler over generelle regioner

13.3 Areal ved dobbelintegrasjon da kan man se for seg som et uendelig lite stykke areal. Dersom man tar en region R med totalt areal A og kapper denne opp i uendelig mange stykker som er uendelig små, burde det totale arealet av R være lik summen av alle de små stykkene. Et integrasjonssymbol står jo egentlig bare for en sum av uendelig mange uendelig små elementer, så da får vi A = da. 13.4 Dobbeltintegraler i polarform Vær så snill å huske å ta med eventuelle ekstra faktorer i d-leddene når man bytter koordinatsystem! (F.eks. dx dy r dr dθ). Oppgave: Kontinuasjonseksamen 2007, oppgave 3 Oppgave: Ordinær eksamen 2008, oppgave 3 13.5 Trippelintegraler i rektangulære koordinater 13.6 Moment og massesentre 13.7 Trippelintegraler i sylindriske og sfæriske koordinater Sylinderkoordinater er en utvidelse av polarkoordinater som man oppnår ved å legge til en z-koordinat. Man finner et punkt (r, θ, z) slik: Begynn i origo, gå strekningen r langs x-aksen, roter linjestykket du fikk θ radianer om z-aksen, og gå strekningen z loddrett oppover (parallelt med z-aksen). Hvis c er en konstant: z = c beskriver et plan parallelt med xy-planet og i avstand c fra dette; r = c beskriver en uendelig høy sylinder med radius c; θ = c beskriver et plan gjennom z-aksen i vinkel c fra x-aksen (Figure 13.36 på side 825). Figure 13.37 på side 826: Et uendelig lite volumsegment dv i sylinderkoordinater har sidekanter dr, dz og rdθ (fordi en vinkel dθ i avstand r fra origo spenner ut en strekning rdθ). Derfor kan vi skrive dv = r dθ dr dz. (d ene kan omrokkeres som man vil.) (TODO: Kulekoordinater / sfæriske koordinater) Figure 13.44 på side 830: Et uendelig lite volumsegment dv i kulekoordinater har sidekanter dρ, ρdφ (fordi en vinkel i avstand ρ fra origo spenner ut en strekning ρdφ) og ρ sin φ dθ (TODO: begrunnelse for dette se boken) og dermed et volum på dρ ρ dφ ρ sin φ dθ = ρ 2 sin φ dρ dφ dθ. Forskjellen på r i sylinderkoordinater og ρ i kulekoordinater: r representerer horisontal avstand fra z-aksen; ρ representerer avstand fra origo. R

13.8 Substitusjoner i multiple integraler (ferdig) En transformasjon fra en region G i et koordinatsystem til et annet punkt i en annen region R (kanskje i et annet koordinatsystem) er en formel som knytter punkter i den ene regionen opp mot punkter i den andre på en en-til-en-måte dvs. at hvert punkt i R er knyttet til eksakt ett punkt i G og omvendt. En todimensjonal transformasjon beskrives av to funksjoner g og h som begge tar inn et punkt (u, v) fra den ene regionen og gir ut hhv. x- og y-koordinatene i det andre systemet: x = g(u, v) og y = h(u, v). Jacobi-determinanten til funksjonene som beskriver transformasjonen beskriver i hvilken grad transformasjonen tøyer eller strekker området som blir transformert (f.eks. kan det hende at to punkter som ligger nært hverandre i uv-systemet havner langt unna hverandre i xysystemet: J(u, v) = x u y u x v y v = x y u v y u Tilsvarende i tre dimensjoner (men blir uttrykket for determinanten styggere, og bør regnes ut for hånd gitt transformasjonen). Vi kan finne et integral over xy-området ved å regne ut et integral over uv-området i stedet: f(x, y)dx dy = f(g(u, v), h(u, v)) J(u, v) du dv. R G x v. Husk at x- og y-grensene må byttes om til tilsvarende u- og v-grenser. Ved substitusjon i enkeltintegraler holder det å finne du la oss si at u = dx 1+x2. Da er du = 2x, dx som kan skrives om til dx = 1 du, så da vet vi hva vi kan bytte ut dx med i integralet. 2x 14 Integrasjon i vektorfelter 14.1 Kurveintegraler (ferdig) Et kurveintegral av en skalarfunksjon f(x, y, z) over en kurve C forstås enklest dersom man tenker at skalarfeltet representerer massetetthet for en tynn vaier, i f.eks. kilogram per meter (vaieren har altså forskjellig massetetthet, evt. forskjellig tykkelse, på forskjellige steder). Man kutter opp vaieren (kurven) i uendelig små biter siden de er så små, kan man tenke at hver bit har kun én massetetthet som er den samme over hele biten. Massen av en bit er da f ds, hvor ds er lengden av biten. Den totale massen får man ved å integrere alle bitene, og dette kalles et kurveintegral: f(x, y, z) ds. C Hvis kurven er beskrevet av en parametrisert vektorfunksjon r(t) = g(t), h(t), k(t) for a t b, er ds = v(t) dt (lengden av hastighetsvektoren, altså selve hastigheten, multiplisert med et lite stykke tid dt, forteller hvor langt man beveger seg på denne tiden, altså ds), så da får vi b f(x, y, z) ds = f(g(t), h(t), k(t)) v(t) dt. C Hvis f alltid er lik 1, vil kurveintegralet gi lengden av kurven. a Se tabell 14.1 på side 854 for formler for masse, moment, massesenter og treghetsmoment.

14.2 Vektorfelter, arbeid, sirkulasjon og fluks 14.3 Stiuavhengighet, potensialfunksjoner og konservative felter La oss si at vi har et skalarfelt f og har funnet vektorfeltet F = f, altså at F er gradientfeltet til f. Hva om vi ønsket å gå andre veien, altså at vi får oppgitt et vektorfelt F og ønsker å finne et skalarfelt f som F er gradienten til. Denne operasjonen har ikke noe eget navn, men vi kan kalle den for antigradient. Funksjonen f kalles for potensialfunksjonen til F. Ikke alle vektorfelter har en antigradient. Hvis et vektorfelt F har en antigradient f (slik at F = f), kaller vi F for et konservativt vektorfelt. Mange vektorfelter som forekommer i naturen, blant annet tyngdekraftfelt, elektriske og magnetiske felter, er konservative. Et konservativt felt har egenskapen stiuavhengighet (path independence): Gitt en kurve gjennom feltet vil integralet av F over kurven bare avhenge av antigradientens verdi i start- og sluttpunktene A og B, ikke av stien som følges mellom endepunktene. Dermed er F dr = f(b) f(a). C Som en konsekvens av dette er integralet av et konservativt vektorfelt over en lukket kurve lik 0, fordi start- og sluttpunktet er det samme (closed-loop property). Man finner antigradienten ved å se på hver av komponentene i F og sette dem lik hhv. f f og (som er det vi ville ha regnet ut hvis vi skulle ha gått motsatt vei). Hvert av y z disse uttrykkene integreres, men fordi dette er partiellintegrasjon må man (i stedet for en konstant) sette inn en funksjon av alle variablene unntatt den man integrerer over. F.eks. er x x = 1 2 x2 + C 1 (y, z). Deretter tar man de tre uttrykkene man har fått for f og prøver å slå dem sammen til ett uttrykk. Oppgave: Ordinær eksamen 2004, oppgave 5 (vanskelig) Oppgave: Ordinær eksamen 2005, oppgave 3 (enklere) 14.4 Green s teorem i planet Divergens er en operasjon man kan gjøre på et vektorfelt (2D eller 3D), og som resulterer i et skalarfelt (men det er ikke den motsatte operasjonen av gradient). Hvis man tenker at vektorfeltet representerer hastigheten på strømmende vann, forteller divergensen i et punkt noe om i hvilken grad vann oppstår eller forsvinner i det punktet. En vannkran vil ha positiv divergens fordi vann strømmer ut derfra, og et sluk vil ha negativ divergens. Steder hvor vannet bare strømmer forbi vil som regel ha null divergens. Divergens kan også tilsi trykkendring, særlig i forbindelse med gasser (hvis det f.eks. strømmer luft inn mot et punkt, må trykket der nødvendigvis øke). Husk at divergensen i hvert punkt er bare et tall, og dermed ikke har noen retning. Betrakt vektorfeltet F = X, Y, Z, hvor X(x, y, z), Y (x, y, z) og Z(x, y, z) er tre funksjoner som forteller hhv. x-, y og z-komponentene som F har i punktet (x, y, z) i vektorfeltet (et tredimensjonalt vektorfelt knytter en vektor, altså tre tall, til hvert eneste punkt i rommet, så vi trenger tre funksjoner av tre variabler for å beskrive disse tallene). (Merk at boken bruker f, x

F = M, N, P, noe jeg synes er veldig forvirrende.) Formelen for divergensen uttrykkes da som et prikkprodukt med nabla: div F = F = x, y, X, Y, Z = z x X + y Y + z Z = X x + Y y + Z z. Tilsvarende i to dimensjoner: div F = F = x, X, Y = y x X + y Y = X x + Y y. Matematisk tolkning (enklest i to dimensjoner): Tenk deg et lite kvadrat med sidekanter som vannet kan strømme gjennom, og se på de to sidekantene som er parallelle med y-aksen. Hvis man regner ut X i et punkt på den ene sidekanten, vil vi finne ut hvor raskt vannet strømmer inn/ut av kvadratet gjennom den kanten, og tilsvarende på andre siden. X forteller forskjellen x i strømningen mellom de to sideveggene hvis f.eks. vannet strømmer raskere inn gjennom den venstre siden enn det strømmer ut av den høyre siden, blir X negativ, noe som tilsier at x det forsvinner vann inni kvadratet. Tilsvarende må vi ta hensyn til de andre sideveggene også, og vi adderer derfor Y. y Curl beskriver i hvilken grad et vektorfelt roterer om et punkt. Merk at hvert eneste punkt i et vektorfelt har en curl (men den kan være 0), ikke bare det punktet som tilsynelatende er et rotasjonssentrum. Eksempel: feltet F (x, y) = X(x, y), Y (x, y) = y, x beskriver hastighetene på en roterende plate på en platespiller. Hva kjennetegner denne rotasjonen (mot klokken)? Hvis begynner litt til venstre for origo og går forbi origo langs x-aksen, ser vi at y-komponenten av F øker, altså at Y er positiv. Hvis vi begynner litt under origo og går x oppover langs y-aksen, ser vi at x-komponenten av F minker, altså at X er negativ. Disse y to bidrar sammen til å skape rotasjonen. Hvis vi tar det positive uttrykket og trekker fra det Y negative, får vi et uttrykk for hvor sterk rotasjonen er: X. Dette kalles for curl. I to x y dimensjoner er curlen bare et tall, og fortegnet beskriver rotasjonsretningen (positiv er mot klokken, negativ er med, null er ingen rotasjon). Green s teorem på normalform (fluks-divergens) tar for seg en lukket region i to dimensjoner, og relaterer fluksen ut over regionens rand til integralet av divergensen inni regionen: F n ds = F dx dy hvor n er en enhetsnormalvektor som alltid peker ut av kurven; merk at dette ikke er det samme som N fra kapittelet om kurvatur (N peker alltid innover i svingen, så hvis regionen er kreativt utformet, vil N veksle mellom å peke inn og ut, mens n alltid skal peke ut av regionen). Vi kan finne n ved å finne T (som er den samme T en som i kurvaturkapittelet, altså T = v ) og regne ut n = T k. v Metafor: Tenk deg en bordplate hvor det er montert vannkilder og sluk rundt omkring. Punkter som inneholder vannkilder har positiv divergens, og punkter som inneholder sluk har negativ divergens (størrelsen til divergensen sier hvor fort vannet strømmer inn / renner ut). Dersom kildene til sammen produserer mer vann enn slukene til sammen kan ta unna, må dette nødvendigvis renne ut av bordet og manifestere seg som vannfluks ut over bordkanten. I motsatt fall vil bordet kunne ta unna mer vann, slik at det blir mulig å sende mer vann inn på bordet (negativ vannfluks over bordkanten).