GeoGebra eit matematisk kinderegg

Sigbjørn Hals, Måløy vidaregåande skule GeoGebra eit matematisk kinderegg Ungdomstrinnet Innhald: Kva er eit matematisk kinderegg? s. 1 Litt om GeoGebra s. 1 Kompetansemål i LK-06 som passar for GeoGebra s. 2 Oppgåve 1. To likningar med to ukjende, stigningstal og konstantledd s. 3 Løysing på oppgåve 1 s. 4 Oppgåve 2. Lineære funksjonar, andregadsfunksjonar, proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet s. 5 Løysing på oppgåve 2 s. 5 Oppgåve 3. Kvadrat og rektangel. Areal og omkrins s. 7 Løysing på oppgåve 3 s. 7 Oppgåve 4. Plassering av koordinatar i koordinatsystemet s. 9 Løysing på oppgåve 4 s. 9 Oppgåve 5. Kart og målestokk s. 10 Løysing på oppgåve 5 s. 10 Oppgåve 6. Tyngdepunkt i ein trekant og i ein mangekant s. 11 Løysing på oppgåve 6. s. 11 Oppgåve 7. Sirkel, trekant, vinklar, areal s. 13 Løysing på oppgåve 7. s. 13 Oppgåve 8. π s. 17 Løysing på oppgåve 8 s. 17 Oppgåve 9. Perspektivteikning med to forsvinningspunkt. s. 17 Løysing på oppgåve 9 s. 17 Oppgåve 10. Konstruksjon s. 18 Løysing på oppgåve 10 s. 19 Oppgåve 11. Pythagoras s. 21 Løysing på oppgåve 11 s. 22 Oppgåve 12. Postkasser i skogen. Utforskande oppgåve s. 22 Løysing på oppgåve 12 s. 22 Vedlegg. Undervisningsopplegg om koordinatsystemet s. 23 Vedlegg. Spelebrett 1 til undervisningsopplegget s. 24 Vedlegg. Spelebrett 2 til undervisningsopplegget s. 25

Kva er eit matematisk kinderegg? GeoGebra eit matematisk kinderegg Ungdomstrinnet I reklamen blir det sagt at eit kinderegg inneheld tre ting på ein gong: Sjokolade Ein leike Ei overrasking GeoGebra er eit matematisk dataprogram som og gjev oss tre ting på ein gong: Eit svært godt produkt som vi vil ha meir av når vi først har fått smaken på det. Eit produkt som vi kan drive utforsking og eksperimentering med, og som passar perfekt for Kunnskapsløftet Ei overrasking: Programmet finst på bokmål og nynorsk, er laga for Mac, Linux og Windows og det er gratis. Vi kan ta i bruk GeoGebra på to måtar: 1. Gå til nettsida www.geogebra.at, klikk på Start GeoGebra og deretter på GeoGebra WebStart Dette fungerer for både Mac, Linux og Windows, og fører til at GeoGebra blir installert på datamaskina, slik at du ikkje treng å vere tilkopla Internet når du skal bruke programmet seinare. 2. Gå til nettsida www.geogebra.at, klikk på Download, på Download GeoGebra, og vel den versjonen som passar til di maskin. Er du i tvil, vel den versjonen som inneheld Java. Då får du ei fil som du kan bruke til å installere programmet. GeoGebra treng ein ny versjon av Java for å fungere. Denne kan lastast ned gratis frå: http://www.java.com/en/download/index.jsp Litt om GeoGebra. GeoGebra er laga av Ph D Markus Hohenwarter ved universitetet i Salzburg. I februar 2006 tok han doktorgrad i matematisk didaktikk på bruken av dette programmet. Programmet har vunne ei rad med prisar. Dette kan ein lese meir om på www.geogebra.at Då eg spurde Markus om kvifor han ikkje ville ta betalt for dette kvalitetsprogrammet, svara han at han meinte utdanning i prinsippet burde vere gratis. 1

Namnet er samansett av orda geometri og algebra fordi programmet kan brukast til begge delar. Programmet er best eigna til å: Utføre konstruksjonar i planet med sirklar, linjer, linjestykke og alle slags mangekantar Eksperimentere med dynamisk geometri Plotte og analysere funksjonsgrafar. GeoGebra på ungdomstrinnet. Eg vil først liste opp nokre mål i læreplanen LK-06, der GeoGebra med fordel kan nyttast. Kompetansemål etter 10. årssteget Tal og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, og uttrykkje slike tal på varierte måtar rekne med brøk, utføre divisjon av brøkar og forenkle brøkuttrykk bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar utvikle, bruke og gjere greie for metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane behandle og faktorisere enkle algebrauttrykk, og rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk med eitt ledd i nemnaren løyse likningar og ulikskapar av første grad og enkle likningssystem med to ukjende (Mål 10-T-6) setje opp enkle budsjett og gjere berekningar omkring privatøkonomi bruke, med og utan digitale hjelpemiddel, tal og variablar i utforsking, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design Geometri Mål for opplæringa er at eleven skal kunne analysere, også digitalt, eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke dei i samband med konstruksjonar og berekningar (Mål 10-G-1) utføre og grunngje geometriske konstruksjonar og avbildingar med passar og linjal og andre hjelpemiddel (Mål 10-G-2) 2

bruke formlikskap og Pytagoras setning i berekning av ukjende storleikar (Mål 10-G-3) tolke og lage arbeidsteikningar og perspektivteikningar med fleire forsvinningspunkt ved å bruke ulike hjelpemiddel (Mål 10-G-4) bruke koordinatar til å avbilde figurar og finne eigenskapar ved geometriske former (Mål 10-G-5) utforske, eksperimentere med og formulere logiske resonnement ved hjelp av geometriske idear, og gjere greie for geometriske forhold som har særleg mykje å seie i teknologi, kunst og arkitektur (Mål 10-G-6) Måling Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjere overslag over og berekne lengd, omkrins, vinkel, areal, overflate, volum og tid, og bruke og endre målestokk (Mål 10-M-1) velje høvelege måleiningar, forklare samanhengar og rekne om mellom ulike måleiningar, bruke og vurdere måleinstrument og målemetodar i praktisk måling, og drøfte presisjon og måleusikkerheit (Mål 10-M-2) gjere greie for talet π og bruke det i berekningar av omkrins, areal og volum (Mål 10-M-3) Funksjonar Mål for opplæringa er at eleven skal kunne lage, på papiret og digitalt, funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekst (Mål 10-F-1) identifisere og utnytte eigenskapane til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære og enkle kvadratiske funksjonar, og gje døme på praktiske situasjonar som kan beskrivast med desse funksjonane (Mål 10-F-2) Oppgåver og løysing med GeoGebra. Oppgåve 1. a) Bruk GeoGebra til å løyse likningssettet 2x + y = 13 4x - 5y = 5 (Mål 10-T-6) b) Skriv likningane på forma y = a x + b (Mål 10-F-1) c) Finn den minste vinkelen mellom desse linjene. (Mål 10-M-1) d) Bruk GeoGebra til å lære om stigningstal og konstantledd for lineære funksjonar. Skriv i inntastingsfeltet nede på sida i programmet: a = 2 og trykk Enter Skriv i inntastingsfeltet b = 3 og trykk Enter Skriv f(x) = a*x + b OBS. Ikkje gløym stjerne som gangeteikn mellom a og x Høgreklikk på a i algebravindauget og vel Vis objekt. Du får no ein glidar på teikneflata. 3

Løysing på oppgåve 1. Gjer det same og lag ein glidar for b. Flytt på ein glidar i gongen og sjå kva som skjer når du endrar a og når du endrar b. Forklar med eigne ord korleis stigningstalet og konstantleddet påverkar grafen til funksjonen. (Mål 10-F-1) a) Skriv 2*x+y=13 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv 4*x-5*y=5 i inntastingsfeltet og trykk Enter Vi ser no at grafane skjer kvarandre når x = 5 og y = 3 Om vi vil, kan vi klikke på ikonet for å setje inn punkt, føre musa over skjeringspunktet, slik at begge linjene blir mørkare, og klikke. Då får vi koordinatane til skjeringspunktet (5,3) i algebravindauget. b) Høgreklikk på ei av likningane i algebravindauget og vel y=ax+b Gjer det same med den andre likninga. Då får du dei på denne forma: c) Klikk på ikonet for å måle vinklar. Klikk deretter på dei to linjene etter tur. Først på høgre og så på venstre vinkelbein av vinkelen du vil finne. Då får du vinkelen mellom dei i algebravindauget. 4

d) Følg oppskrifta i oppgåveteksten. Dersom du vil utvide området for glidaren, høgreklikkar du på han og vel Eigenskapar. Du kan då t.d. endre området frå -10 til 10. Oppgåve 2. a) Bruk GeoGebra til å teikne grafane til desse funksjonane: f(x) = 2x -7 g(x) = -x + 8 (Mål 10-F-1) b) Finn skjeringspunktet mellom grafane. (Mål 10-F-1) c) Kva er f(2) og kva er g(1)? (Mål 10-F-1) d) Kva er x når g(x) = -6? (Mål 10-T-6) e) Opne ei ny fil i GeoGebra. (Fil og Ny) Vi har desse tre funksjonane: (Mål 10-F-2) a(x) = 2000 x b(x) = 80 x c(x) = 40 x 2 120 x Kva for ein av desse funksjonane er ein omvendt proporsjonalitet? Kva for ein av desse funksjonane tilsvarar ein parabel? a(x), b(x) og c(x) skjær kvarandre i eitt felles punkt. Bruk GeoGebra til å plotte grafane til desse funksjonane, og finn det felles skjeringspunktet. Løysing på oppgåve 2. a) Klikk på Fil og Ny og svar Nei på om du vil lagre fila du har jobba med. La både aksane og rutenettet vise. (Merk av under menyen Vis). Skriv inn f(x)=2*x-7 og trykk Enter. Skriv inn g(x)=-x+8 og trykk Enter b) Klikk på ikonet for punkt, før musepeikaren over skjeringspunktet og klikk. Du les no av skjeringspunktet (5,3) c) Vi ser på figuren at f(2) = -3 og g(1) = 7 Utrekna: d) Når g(x) = -6, er x = 14 Utrekna: f(2) = 2 2 7 = 4 7 = -3 g(1) = - 1+8=7-6 = -x + 8 x = 8 + 6 x = 14 5

e) Lag ei ny teikning slik det er forklara i punkt a) Her må vi justere aksane litt. Høgreklikk ein stad på teikneflata og vel Eigenskapar. Klikk på y-akse og la min vere -100 og maks vere 1000. Klikk Bruk Skriv inn dei tre funksjonane slik: a(x)=2000/x b(x) = 80*x c(x) = 40*x^2 120*x Dette er ein omvendt proporsjonalitet Dette er ein proporsjonalitet Dette er ein andregradsfunksjon som vil danne ein parabel 6

Det felles skjeringspunktet er (5,400) Oppgåve 3 a) Bruk GeoGebra til å teikne eit kvadrat med sider på 6 cm. (Mål 10-G-1) b) Kva blir omkrinsen og kva blir arealet? (Mål 10-M-1) c) Kan du flytte på punkta B, C og D slik at talet for arealet blir det same som talet for omkrinsen? Vi skal framleis ha eit kvadrat. (Mål 10-G-1) d) Bruk GeoGebra til å teikne eit rektangel med sider på 10 cm og 6 cm. (Mål 10-G-1) Kva blir omkrinsen og kva blir arealet? (Mål 10-M-1) e) Kan du flytte på punkta B, C og D, slik at talet for arealet blir det same som talet for omkrinsen, når lengda skal vere dobbelt så stor som breidda? (Mål 10-G-1) f) Kan du flytte på punkta B, C og D, slik at talet for arealet blir det same som talet for omkrinsen, når lengda skal vere fire gongar så stor som breidda? (Mål 10-G-1) Løysing på oppgåve 3. a) Klikk på Fil og vel Ny. Svar Nei på spørsmålet om du vil lagre endringane i den fila du har jobba med. 7

Klikk på trekanten nede i høgre hjørnet på ikonet for linjer og vel Mangekant. Bruk rutenettet som hjelpelinjer (kvar rute er på 1 cm x 1 cm) og plasser rektangelet midt på teikneflata. b) Skriv i feltet nedst på sida: Omkrinsen = a+b+c+d og trykk Enter. Omkrinsen blir 24 cm Skriv i feltet nedst på sida: Arealet=a*b. Arealet blir 36 cm 2 c) Prøv deg fram. Talet for omkrinsen = talet for arealet når sidene er cm d) No flyttar vi berre på punkta B, C og D, slik at vi får denne figuren: e) Formlane vi skreiv inn i punkt b gjeld og for rektangel. Vi ser i algebravindauget at arealet = 60 cm 2 og omkrinsen er 32 cm f) Her vil vi ikkje røpe fasitsvaret. Prøv deg fram: Den kortaste sida er cm Den lengste sida er cm. Då er omkrinsen cm og arealet cm 2 8

Oppgåve 4 g) Her vil vi heller ikkje røpe fasitsvaret. Den kortaste sida er cm Den lengste sida er cm. Då er omkrinsen cm og arealet cm 2 Før ein brukar denne oppgåva, må elevane ha lært systemet for koordinatar. Eg har ofte brukt 15-20 minutt med innleiande spelaktivitetar for å lære dette. Då vil elevane aldri gløyme kva som er x og y i t.d. koordinatane (6, -3) Sjå vedlegget side 23-25 bak i dette heftet. a) Plasser desse punkta i koordinatsystemet: (Mål 10-G-5) A: (-5, -1) B: (-2, 1) C: (2, 1 2 ) D: (5, 1) E: (6, -3) F: (11, -2) G: (11, 2) b) Trekk linjestykke mellom AB, BC, CD, DE, EF og FG. Kva skal figuren førestille? (Mål 10-G-5) c) Kor langt er det på figuren mellom punkta B og D? (Mål 10-M-1) Kor langt er det på figuren mellom punkta F og G? (Mål 10-M-1) Løysing på oppgåve 4. a) Klikk på ikonet for punkt på verktøylinja, og plasser punkta etter tur i koordinatsystemet. (Ein alternativ måte å gjere dette på, er å skrive inn koordinatane slik dei står i oppgåva, i innskrivingsfeltet nedst på sida. Då vil GeoGebra plassere koordinatane på rett plass, men denne metoden er gjerne ikkje så godt eigna til å trene på å automatisere kunnskapane om koordinatar.) eller Dersom vi ikkje skriv nokon bokstav framfor koordinatane, startar GeoGebra med A, og brukar nye bokstavar utover i alfabetet. OBS. Pass på å skrive store bokstavar. Skriv vi a=(-5,-1) får vi ikkje eit punkt, men ein vektor. 9

b) Klikk på trekanten nede i høgre hjørne på ikonet for linjer og vel Linjestykke mellom to punkt. Klikk på punkt A og deretter på punkt B, klikk på punkt B og deretter på punkt C. Slik held du fram til du har fått linjestykke mellom alle punkta. Figuren viser ei skisse av Karlsvogna. c) Mellom B og D er det 7 cm på figuren. Mellom F og G er det 4 cm på figuren. Oppgåve 5. a) Opne den ferdige GeoGebra-fila Kart- over-bergen-og-omland.ggb Kva for ein stad ligg på koordinatane (11, 15) i dette koordinatsystemet? (Mål 10-M-1) b) Kva for koordinatar har Fedje i dette koordinatsystemet? Skriv svaret med ein desimal. (Mål 10-M-1) c) Kor mange cm er det i luftlinje frå Mo til Norheimsund på kartet? (Mål 10-M-1) d) Kor mange cm er dette i terrenget? (Mål 10-M-1) e) Kor mange km er dette i terrenget? (Mål 10-M-2) 10

Løysing på oppgåve 5. a) Klikk på ikonet for punkt og før musepeikaren til koordinatane (11, 15) Her finn vi Masfjordnes. b) Fedje har koordinatane (2,7, 15,6) c) Vel Linjestykke mellom to punkt og trekk eit linjestykke mellom Mo og Norheimsund. Vi les av at dette er 13,2 cm på kartet. d) Sidan kartet har målestokk 1:500000 blir dette 13,2 cm 500000 = 6 600 000 cm i luftlinje i terrenget. (Skriv 13.2*500000 og trykk Enter. Les av svaret.) OBS. Hugs å bruke punktum (. ) i staden for komma (, ) som desimalteikn i dette programmet.) e) 6 600 000 cm = 66 000 m = 66 km i luftlinje i terrenget. Oppgåve 6. a) Teikn ein trekant med GeoGebra og prøv om du kan finne tyngdepunktet til trekanten.(det punktet der figuren vil balansere om du plasserer punktet på ein blyant- eller passarspiss.) Lim figuren på ei papp-plate, klipp nøyaktig langs kanten og sjekk om du har funne det rette punktet. (Mål 10-G-6) b) Teikn ein 5-, 6,- eller 7-kant med GeoGebra, og prøv om du kan finne tyngdepunktet i denne. Klipp ut og test om du har funne det rette punktet. (Mål 10-G-6) Løysing på oppgåve 6. a) Vel mangekantverktøyet og teikn ein tilfeldig trekant. 11

Tyngdepunktet ligg i kryssinga mellom medianane. (Medianane går frå eit hjørne til midt på motståande side.) Klikk på den vesle trekanten nede i høgre hjørne på ikonet for punkt, og vel Midtpunkt eller sentrum. Klikk etter tur på kvar av sidene i trekanten. Vel Linjestykke mellom to punkt og trekk opp dei tre medianane. Prøv å flytte på hjørna og sjå korleis tyngdepunktet endrar seg. For å skrive ut, klikkar du på Fil, Førehandsvis utskrift og Skriv ut. Du kan og kopiere teikninga til utklippstavla ved å velje Fil, Eksporter og Kopier til utklippstavla. Den raskaste måten å finne tyngdepunktet på, er å la GeoGebra gjere jobben. Finn kommandoen Tyngdepunkt, skriv P mellom klammeparentesane og trykk Enter. b) Her er det best å la GeoGebra gjere heile jobben og bruke kommandoen Tyngdepunkt, men det kan vere lærerikt at elevane diskuterer kvar dei trur tyngdepunktet vil ligge først. Dei kan plassere punkt på figuren og omdøype punkta til sine eigne namn før dei testar det ut i praksis med å klippe ut og lime på ei papplate. 12

Oppgåve 7 a) Bruk GeoGebra til å lage ein sirkel med radius på 5 cm (Mål 10-G-1 og 10-G-2) b) Teikn diameteren i sirkelen. Kva er arealet og omkrinsen av sirkelen? (Mål 10-M-3) c) Merk av eit punkt D på sirkelen, om lag slik figuren nedanfor viser. d) Lag ein trekant mellom punkta B, C og D (Mål 10-G-2) e) Finn vinklane i trekanten. Kor stor er D Kva blir summen av vinklane i trekanten? (Mål 10-M-1) f) Flytt punktet D til ein ny plass på sirkelen. Kor stor er D no? Kva blir summen av vinklane i trekanten? (Mål 10-M-1) g) Kvar må punktet D vere for at arealet av trekanten BCD skal verte størst mogleg. Grunngje svaret. (Mål 10-M-1) Løysing på oppgåve 7 a) Klikk på Vis og klikk for å ta bort haken for Aksar, klikk på Vis igjen og klikk for å hake ut for Rutenett. Klikk på den vesle trekanten nede i høgre hjørne på sirkelikonet. Vel Sirkel definert ved sentrum og radius. Klikk på eit punkt om lag midt på teikneflata. OBS. Det kan lønne seg å sikte nær der to linjer i rutenettet kryssar kvarandre. Skriv 5 i feltet for radius og klikk Bruk. 13

b) Klikk på den vesle trekanten nede i høgre hjørne på ikonet for linjer. Vel Linjestykke mellom to punkt. Klikk på eit punkt på sirkelen, la linjestykket gå gjennom sentrum og klikk på motsett side av sentrum. (Sjå figuren i oppgåva.) I Algebravindauget til venstre på skjermen ser vi at linjestykket BC har fått namnet a, og at a = 10 cm. Du kan gje denne linja eit nytt namn ved å høgreklikke (klikke med høgre musetast) på a i algebravindauget, velje Gje nytt namn, skriv inn Diameteren og klikk Bruk. Du finn omkrinsen ved å gange diameteren med 3,14. Skriv i inntastingsfeltet nede på skjermen: Omkretsen=BC*3.14 Trykk Enter. OBS. Pass på å bruke punktum (.) i staden for komma (,) som desimalteikn. Då får at omkrinsen er 31,4 Du finn arealet ut frå formelen: A = r r 3,14 Skriv i inntastingsfeltet Radius=Diameteren/2 og trykk Enter. Skriv deretter: Arealet=Radius*Radius*3.14 og trykk Enter. Du får at Arealet er 78,5 (Vi skal sjå nærare på talet π i neste oppgåve.) c) Klikk på ikonet for punkt og klikk på sirkelen om lag slik figuren i oppgåva viser. Pass på at sirkelen blir mørkare før du klikkar. Då er punktet plassert på sirkelen. d) Klikk på trekanten nede i høgre hjørnet på ikonet for linjer og vel Mangekant. Klikk i punkt B, i punkt C, i punkt D og i punkt B igjen. Det er viktig at ein avsluttar mangekanten ved å klikke i det same punktet som ein starta med. 14

e) Klikk på ikonet for å måle vinklar. Når dette ligg fremst, treng ein ikkje klikke på den vesle trekanten for å få fram alle alternativa her. Klikk ein stad inne i trekanten. Vi kan no lese av kor store vinklane i trekanten er ved å sjå i algebravindauget til venstre på skjermen. Vi ser at programmet har kalla vinklane for α, β og γ Dette er gjerne uvant for elevar på ungdomstrinnet. Vi kan derfor omdøype vinklane til CBD, DCB og BDC. Det gjer vi ved å høgreklikke på namnet til vinkelen, velje Gje nytt namn, skrive inn det nye namnet og klikke Bruk. Vi gjentar dette for alle tre vinklane. Systemet er at vi startar i enden av høgre vinkelbein, går til spissen av vinkelen og ut igjen til enden av venstre vinkelbein. Dette er nyttig å kunne om elevane seinare skal måle berre ein vinkel på ein samansett figur. Då må ein velje tre punkt i denne rekkefølgja for å få den rette innvendige vinkelen. Dersom vi no vil la programmet rekne ut summen av vinklane i trekanten, kan vi skrive inn i feltet nedst på skjermen: CBD+DCB+BDC. Då reknar GeoGebra ut at summen blir 180 GeoGebra kallar summen for α. Vi kan høgreklikke på namnet om omdøype summen α til Vinkelsummen. Dersom vi vil, kan vi rydde litt i algebravindauget. Det gjer vi slik: Klikk på Vis og fjern haken for Hjelpeobjekt. Denne mappa er no ikkje lenger synleg i algebravindauget. Høgreklikk etter tur på dei objekta du vil skjule frå algebravindauget og merk dei som Hjelpeobjekt. Det kan du t.d. gjere med desse objekta: Før opprydding: Etter opprydding: 15

Vi kan og skjule namn på figuren, ved å høgreklikke på eit namn og fjerne haken på Vis namn. Klikkar vi på ikonet med pila på verktøylinja, kan vi flytte namna på vinklane eller andre objekt ved å dra dei dit vi vil. f) Vi klikkar no på ikonet for pila, slik figuren nedst på side 6 viser. Deretter klikkar vi på punktet D, held nede musetasten og flyttar punktet langs sirkelen. Vi les av at vinkelen BDS og vinkelsummen er konstant heile tida. g) Grunnlinja i trekanten er diameteren, og denne er den same heile tida. Det som endrar seg når vi flyttar på punktet D, er høgda i trekanten. Sidan grunnlinja er den same, blir arealet størst mogleg når høgda er størst. Det er når D er plassert slik figuren nedanfor viser. Då er grunnlinja 10, høgda 5 og arealet 25. (Vi kan lese av arealet av trekanten i algebravindauget. GeoGebra kallar arealet av trekanten for P.) 16

Oppgåve 8. Opne den ferdige GeoGebra-fila Pi.ggb frå cd-en. Flytt på glidaren og studer det som skjer. Forklar med eigne ord kva talet π (pi) står for. (Mål 10-M-3) Løysing på oppgåve 8 Meininga med denne oppgåva er å sjå at π er eit uttrykk for forholdet mellom omkrinsen og diameteren i ein sirkel. Ein kan lese meir om π på http://www.matematikk.org/pub/mattetekst/pi/ Oppgåve 9. Opne den ferdige GeoGebra-fila Forsvinningspunkt2.ggb og teikn klossen med to forsvinningspunkt. (Mål 10-G-4) Løysing på oppgåve 9. Opne fila Forsvinningspunkt2.ggb frå den vedlagde cd-en. Vel Linjestykke mellom to punkt, og trekk linjestykke frå A og B til begge forsvinningspunkta. Dersom du vil la desse linjestykka vere stipla, kan du klikke på dei, velje Eigenskapar, Linjestil og velje ei stipla linje. Klikk Bruk. Vel ei passande plassering av punkta C og D og lag linjestykka CE og DF som er parallelle med AB. Trekk hjelpelinjestykka EF 2 og FF 1 17

Trekk opp dei manglande linjestykka og ta bort punkta ved å høgreklikke på dei og ta vekk haken for Vis objekt. Dersom du vil ha heilt nøyaktig parallelle linjestykke, kan du først lage lange stipla hjelpelinjer ved å bruke verktøyet Parallell linje og lage hjelpelinjer gjennom C og D som er parallelle med AB. På heimesidene til Bjøråsen skole i Oslo http://www.bjorasen.gs.oslo.no/galleri/ramgkh.htm finn inn ein veldig gode og forklarande sider om perspektivteikning. Her kan ein få tips til korleis ein skal teikne eit rom, og figurar med 1, 2 eller 3 forsvinningspunkt. Oppgåve 10. Kjelde for denne oppgåva er oppgåveboka til Faktor 1. Matematikk for ungdomstrinnet 8. kl, Cappelen 2006. (a = 4.236, b = 4.323, og c = 4.326) a) Bruk GeoGebra til å lage trekanten ABC, der AB = 6,5 cm, BC = 4,5 cm og AC = 4,0 cm. Teikn høgda frå C til AB. b) Bruk GeoGebra til å teikne ein Δ ABC og halver alle vinklane. Kall skjeringspunktet til halveringsstrålane for S. Nedfell normalen frå S til AB. Kall skjeringspunktet for P. Konstruer ein sirkel med sentrum S og radius PS. Korleis ligg sirkelen i trekanten? 18

c) Bruk GeoGebra til å lage ein firkant ABCD, der AB, AD og diagonalen BD er 6,5 cm. AB CD og BC er 7,0 cm. Kva slag trekant er Δ ABD? Kor stor er BDC? Løysing på oppgåve 10. a) Opne først den ferdige fila 4-236.ggb. Pass på at du har denne menylinja nedst på skjermen. Dersom denne menylinja manglar, klikkar du på Vis og på Navigasjonsmeny for stega i konstruksjonen. Klikk på Spel og sjå stega i konstruksjonen først. Lag ei ny fil. Fjern rutenett og aksar. Merk av eit punkt litt til venstre for midten på teikneflata Klikk på den vesle trekanten nede i høgre hjørne på ikonet for linjer, og vel Linjestykke med fast lengde. Skriv inn 6.5 og trykk Enter. Hugs å bruke punktum mellom 6 og 5. Slå ein sirkel med sentrum i A og radius 4 cm (Vel Sirkel definert ved sentrum og radius.) Slå ein sirkel med sentrum i B og radius 4,5 cm Merk av det skjeringspunktet mellom sirklane som ligg over AB. Dette blir punktet C. Trekk opp linjestykke mellom A og C og mellom B og C. Lag ei linje gjennom C som er vinkelrett på AB. Vel Vinkelrett linje, klikk på punkt C og på linjestykket AB. Merk av skjeringspunktet mellom normalen og AB. Dette blir punkt D. Trekk linjestykket CD. Om du vil kan du no skjule normalen gjennom C og D, 19

eller gjere denne linja stipla. Høgda CD skal vere synleg og heil. GeoGebra har ein fin finesse der du får laga konstruksjonsforklaring automatisk. Klikk på dette ikonet og du får sjå stega i konstruksjonen. Her kan du bytte om på rekkefølgja eller slette unødige steg. Du kan skrive ut konstruksjonsforklaringa ved å klikke på Fil, Førehandsvis utskrift og konstruksjonsforklaring. b) Opne fila 4-323.ggb og klikk på Spel for å sjå stega i konstruksjonen. Lag ei ny fil og svar Nei på om du vil lagre den du har jobba med. Ta bort aksar og rutenett. Bruk mangekantverktøyet og lag ein litt stor vilkårleg trekant. Klikk på den vesle trekanten nede i høgre hjørne på dette ikonet og vel Halveringslinje for vinkel. Klikk etter tur på punkta B, A og C. Vinkelen A er halvert. Klikk etter tur på punkta A, C og B. Vinkelen C er halvert. Klikk etter tur på punkta C, B og A. Vinkelen B er halvert. Klikk på den vesle trekanten nede i høgre hjørne på ikonet for punkt og vel Skjering mellom to objekt. Klikk på to av halveringslinjene. Omdøyp skjeringspunktet til S. Om du vil kan du høgreklikke på halveringslinjene, velje Eigenskapar og gjere desse linjene stipla. Vel Vinkelrett linje, klikk på S og på grunnlinja AB. Merk med eit punkt skjeringa mellom normalen og AB. Skjeringspunktet blir D. Gjer normalen stipla. Trekk linjestykket SD Vel Sirkel definert ved sentrum og punkt. Klikk på S og deretter på D. 20

Klikk på ikonet med pil. Flytt på hjørna for å sjå korleis sirkelen er plassert i trekanten. c) Opne fila 4.326.ggb og klikk på Spel for å sjå gongen i konstruksjonen. Sjå om du kan lage firkanten med GeoGebra ut frå konstruksjonsprotokollen på neste side: Oppgåve 11 Opne fila Pythagoras.ggb og svar på spørsmåla. a) Flytt på glidaren og studer det som skjer med figuren. Forklar med eigne ord kva som er meint med at katet 2 + katet 2 = hypotenus 2 b) Kor lang er AC når hypotenusen AB er 8,0 cm og kateten BC er 7,0 cm? Vis utrekninga med Pythagoras. 21

Løysing på oppgåve 11 a) Opne fila Pythagoras.ggb frå den vedlagde cd-en. Klikk på punkt C og før det langs halvsirkelen. Sjå kva som skjer med summen av dei to minste areala. Forklar dette med dine eigne ord. b) Ved å flytte punktet C slik at Areal 3 blir 49, får vi at BC er 49 = 7,0 Vi les då av at AC er 3,9 Areal 2 + Areal 3 = Areal 1 Areal 2 = Areal 1 Areal 3 Areal 2 = 64-49 Areal 2 = 15 AC = 15 = 3,9 Oppgåve 12. Anne, Eva og Ole bur i kvart sitt hus i ein stor skog. Eva bur 120 meter rett aust for Anne. Ole bur 20 meter vest for og 20 meter nord for Eva. Det skal plasserast eit felles postkassestativ i skogen. a) Kvar må dette stativet plasserast dersom alle tre skal få nøyaktig like lang veg frå huset sitt til postkassestativet? b) Er dette den mest rettferdige plasseringa av stativet? Kvar synest du postkassa bør vere for at alle skal bli fornøgde? Grunngje svara dine. Løysing på oppgåve 12 a) Opne fila Postkasser_i_skogen2.ggb Vi ser at midtnormalane på sidene i trekanten Anne, Eva og Ole skjær kvarandre i punktet A. Dette punktet er like langt frå alle husa. b) Sjølv om det er like langt frå alle, og såleis kan seiast å vere rettferdig, er det slett ikkje sikkert at denne plasseringa er fornuftig. Flytt rundt på postkassa og vurder kvar ho bør plasserast. Det er ingen fasit på dette spørsmålet. Lykke til med bruken av GeoGebra i klasserommet. Her er det nesten berre fantasien som set grenser for kva ein kan få til. Send gjerne spørsmål, innspel og kommentarar til: sigbjorn.hals@sf-f.kommune.no Vennleg helsing Sigbjørn Hals Mobilnr. 90519333 22

Vedlegg. Lær plassering i koordinatsystemet ved hjelp av eit terningspel. (Spelebrett på side 24.) To og to elevar spelar i lag med ein felles terning. Dei har tre knappar/spelebrikker på kvar. For eksempel har den eine tre raude og den andre tre blå brikker. Den første eleven trillar terningen to gongar. Den første gongen viser terningkastet plasseringa langs førsteaksen (x-aksen) og den andre gongen plasseringa langs andreaksen (y-aksen). Eleven plasserer så ei av brikkene på rett plass i koordinatsystemet. Den andre eleven gjer det same, og slik held dei fram til alle brikkene er utplasserte. Då kan eleven som kastar flytte ei fritt vald av sine brikker til den posisjonen dei to kasta med terningen viser. Den eine spelaren vinn denne runda dersom: Han landar på ei av motspelaren sine brikker. Han har plassert brikkene slik at han kan trekkje ei bein linje gjennom dei (horisontalt, vertikalt eller på skrå.) Den første som vinn 3 rundar vinn kampen Lær plassering i koordinatsystemet ved hjelp av eit kortspel. (Spelebrett på side 25.) To elevar spelar i lag med ein felles vanleg kortstokk med 2 jokarar i, og ein penn eller blyant på kvar. Den første eleven trekkjer to kort. Det første kortet viser verdien langs førsteaksen (x) og det andre kortet viser verdien langs andreaksen (y). Raudt kort er minusverdi og svart kort er plussverdi. Joker er 0. Ess er 1, knekt er 11, dame er 12 og konge er 13. Nokre eksempel: Første kort er hjerter 7 og andre kort kløver 4 (-7, 4) Første kort er spar knekt og andre kort er ruter ess (11, -1) Første kort er joker og andre kort er hjerter kong (0, -13) Første kort er joker og andre kort er joker (0, 0) Spelarane markerer koordinatane sine som i bondesjakk: Den eine med kryss og den andre med ring. Dei trekkjer to kort på kvar, annankvar gong utan å legge korta tilbake i stokken til dei har brukt opp korta eller den eine har vunne runda. Den eine spelaren vinn denne runda dersom: Han får same koordinatar som motspelaren har merka av. Han kan trekkje ei bein linje gjennom tre av merka sine (horisontalt, vertikalt eller på skrå.) 23

Den første som vinn 3 rundar vinn kampen. 24

25

26