Løsning MET 86 Matematikk for siviløkonomer Innleveringsfrist 5. mars 9 kl Vi benytter maksimal score 6p på hver deloppgave og 44p totalt, og grensen for å bestå er ca 86p. Du kan selv fylle ut tabellen nedenfor med dine poeng og regne ut poengsum. Vi legger størst vekt på av valg av metode (begrunnet i teori hvis det ikke er opplagt), og gjennomføring av metode (at regningen er riktig). Vi legger ikke stor vekt på at svaret er riktig, og andre måter å skrive svaret på enn det som er brukt her kan gi full score. Vi trekker ikke for følgefeil, og antall poeng for delvis løsning er vist. Oppgave.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Total Karakter A B C D E Poeng 4 8 4 8 6 8 44 Grenser 3 84 66 58 Score Oppgave. 4 P. a) 6 d = 6 / d = 6(/3) 3/ + C = 4 + C 6 P. b) / d = d = = / + C 6 P. c) ( 6 ) d = 3 d = 3 4 + C 6 P. d) ( ) 5 d = u 5 /( ) du = u 6 + C = ( ) 6 + C 6 P. Oppgave. P. a) Vi skriver ned den utvidede matrisen til systemet, markerer første pivot-posisjon, og gjør elementære radoperasjoner som bruker første pivot til å eliminere tallene i posisjonene under: 3 5 8 3 3 3 8 3 3 8 6 3 6 6 3 6 Så markerer vi pivotposisjonen i andre rad, og bruker den til å eliminere tallet i posisjonen under: 3 3 8 3 3 8 3 P. 8 Resultatet er en trappeform, hvor vi har markert alle pivotposisjoner. Det er dermed en løsning, og vi nner den ved baklengs substitusjon: z = 8 z = 4 y + 3z = 8 y = 8 3(4) y = + y z = 3 = 3 () + (4) = 3 Løsningen er altså (,y,z) = (3,,4). 3 P. b) Vi skriver ned den utvidede matrisen til systemet, markerer første pivot-posisjon, og gjør elementære radoperasjoner som bruker første pivot til å eliminere tallene i posisjonene under: 4 4 8 4 4 4 4 4 4 4 5 6 5 5 6 5 4 4 Så markerer vi pivotposisjonen i andre rad, og bruker den til å eliminere tallet i posisjonen under: 4 4 4 4 4 4 3 P. 4 4 Resultatet er en trappeform, hvor vi har markert alle pivotposisjoner. Det er dermed uendelig mange løsninger P. med y fri siden y-kolonnen ikke har noen pivotposisjoner, og vi nner løsningene ved baklengs substitusjon: 4z = 4 z = + y + 4z = = y 4() = 7 y Løsningen er altså (,y,z) = (7 y,y,) der y er en fri variabel. P.
Oppgave 3. 8 P. (a) Vi har at A = = 6 P. (b) Vi regner ut determinanten ( ) () = ved kofaktorutvikling langs første rad. Dermed har vi at T A = = 6 P. (c) Vi har at AB + BA = + = + = 6 P. Oppgave 4. 4 P. (a) Vi bruker substitusjonen u = + e, som gir du = u d = e d. 3 P. Dette gir e e + e d = du u e = u du = ln u + C = ln( + e ) + C 3 P. (b) Vi faktoriserer nevner som 4 = ( + )( ), og forenkler uttrykket ved delbrøksoppspaltning. Dette gir 4 = A + + B = A( ) + B( + ) Det vil si = (A + B) + (B A), eller at A + B = og B A =. Dette lineære systemet gir B = /4 og A = 3/4, 3 P. og integralet blir dermed 3 4 d = 4 + + 4 d = 3 4 ln + + ln + C 4 ( ) = 3 8 ln + ln + C 3 P. 8 (c) Vi kan bruke substitusjonen u = ln, som gir du = (/) d, 3 P. og dette gir 3(ln ) 3u d = du / = 3u du = u 3 + C = (ln ) 3 + C 3 P. Det er alternativt mulig å bruke delvis integrasjon, med u = / og v = (ln ). (d) Vi bruker substitusjonen u = = 3/, som gir du = u d = ( 3/) / d. Dette gir 6 e d = 6 e u du ( 3/) / = 4 3/ e u du = 4ue u du 3 P. = 4ue u 4e u du = 4ue u 4e u + C = ( 4 4)e + C 3 P. Overgangen fra første til andre linje er ved delvis integrasjon. 3
Oppgave 5. 8 P. (a) Determinanten er gitt ved 6 a a 3 = 8 a = (9 a ) = (3 a)(3 + a) 3 P. Vi har dermed at når a = ±3. 3 P. (b) Vi regner ut determinanten ved kofaktorutvikling langs første rad: s s s 3 9 = (8 3s) (9 s ) + s(3 s) = s + 9 = (3 s)(3 + s) 3 P. Vi har dermed at når s = ±3. 3 P. (c) Vi regner ut determinanten ved kofaktorutvikling langs første rad: t 4 t 4 4 t = t(t 6) (t 4) + 4(4 t) = (t 4) [t(t + 4) 4] = (t 4)(t + 4t 5) = (t 4)(t )(t + 5) 3 P. Overgangen mellom de to siste uttrykkene på første linje gjøres ved å faktorisere ut (t 4), som er en felles faktor i alle tre ledd. Vi har dermed at når t =, t = 4, t = 5. 3 P. Oppgave 6. P. (a) Polynomdivisjon gir f() = /, 3 P. og dermed har f en skrå asymptote L med likning y =. 3 P. (b) Figur er vist nedenfor, med hjelpelinjen = tegnet inn. Arealet av området R er gitt ved A = d + f() d = [ ] + / d = + [ Siden vi har at [ ] [ = lim ] b = lim ( ( )) = lim b b b ( b b ) = er arealet av området R gitt ved A = / + = 3/. P. 4 y ] P. 3 y = y = f() R 3 4 3 P. 4
Oppgave 7. 6 P. Vi regner først ut determinanten til koesientmatrisen A til det lineære systemet, ved å utvikle determinanten langs siste rad: a a 3 5 a = a( 3a) + (3 a) = 3a + 8a + 3 = (3 a)( + 3a) P. Vi ser at for a = 3 og a = /3, så er, og systemet har ingen eller uendelig mange løsninger. For alle andre verdier av a, så er A, og systemet har eksakt én løsning. P. Vi ser først på tilfellet a = 3, og løser systemet ved Gauss eliminasjon: 3 3 3 5 3 3 3 4 3 3 4 3 3 6 8 Vi ser at systemet har uendelig mange løsninger for a = 3. P. Vi ser så på tilfellet a = /3, og løser systemet ved Gauss eliminasjon. Vi multipliserer først alle rader med 3 og bytter første og siste rad: /3 /3 3 5 /3 3 6 3 9 5 3 9 9 5 /3 3 3 9 3 6 3 Deretter nner vi en trappeform: 3 9 9 5 3 6 3 3 9 9 6 8 3 3 9 9 8 /3 Systemet har dermed ingen løsninger for a = /3. P. Antall løsninger er dermed gitt ved ingen løsninger, a = /3 uendelig mange løsninger, a = 3 eksakt én løsning, ellers Vi nner så løsningen i de to siste tilfelellene, der systemet er konsistent: For a = 3 nner vi løsningene ved å bruke trappeformen vi fant tidligere. Den gir at z er fri, og at 3y 4z = y = 4z/3 og + y + 3z = = 3z ( 4z/3) = z/3 Dette gir løsninger (,y,z) = ( z/3, 4z/3,z) med z fri. For a 3 og a /3, er det eksakt én løsning, og vi nner den ved hjelp av Kramers regel: a A (b) = a 3 5 3 = 33 a = (3 a) (3 a)( + 3a) = + 3a a A (b) = a a 5 a 3 = a3 + 3a + 5a 5 y = (3 a)( a 5) (3 a)( + 3a) = a 5 + 3a A 3 (b) = a 3 a a 3 = (3 a)(3 a) a 9a + 9 z = (3 a)( + 3a) = 3 a + 3a P. Vi har i hvert tilfelle faktorisert teller og forkortet brøkene for å skrive løsningen enklest mulig. Oppgave 8. 8 P. (a) Nåverdien av kontantstrømmen fra leie er I(t)e rt dt = = e.6t e.t dt = [.4 e.4t ] e.4t dt 3 P. = lim b [ 5 e.4t ] b = lim b 5(e.4b ) = 5 3 P. 5
(b) La S(t) være nåverdien av salgssummen om vi selger eiendommen etter t år. Da har vi at S(t) = V (t)e rt = 5 e t/5 e.t = 5 e ( t t)/ P. For å nne ut når S(t) er maksimal, deriverer vi denne funksjonen. Vi bruker u = ( t t)/ som kjerne, og får ( ) S (t) = 5 e u u = 5 e u t = 5 e u t 3 P. t Dermed er S (t) = når t =, og dette gir t =, eller t =. De andre faktorene i uttrykket for S (t) er positive, og t skifter fortegn fra å være positivt til å bli negativt i t =. Dermed er t = globalt maksimum for funksjonen S(t). Vi kan også se dette ved å sette opp fortegnsskjema for S (t). Nåverdien av salgssummen er altså største mulig etter ett år. P. (c) Dersom vi leier ut eiendommen i perioden de første T årene, og deretter selger eiendommen, er samlet nåverdi N(T ) = T Vi har at det første leddet (nåverdien av leie) er T I(t)e rt dt = T I(t)e rt dt + V (T )e rt P. e.6t e.t dt = T e.4t dt = = 5(e.4T ) = 5( e.4t ) og det andre leddet (nåverdi av salgssum) er Dermed er samlet nåverdi gitt ved S(T ) = 5 e ( T T )/ N(T ) = 5( e.4t ) + 5 e ( T T )/ = 5 Vi har at samlet nåverdi etter,, og 3 år er: N() = 5( + ) = 5 a) b) N() = 5( e.4 + e. ) 86. [ ] T.4 e.4t ( e.4t + e ( T T )/ ) 3 P. c) N() = 5( e.8 + e ( )/5 ) 9.8 d) N(3) = 5( e. + e ( 3 3)/ ) 9. P. Det ser ut som om maksimal samlet nåverdi inntreer etter mellom og 3 år. P. Vi kan nne maksimal nåverdi ved for eksempel å bruke Wolfram Alpha, som gir maksimal samlet nåverdi ved å selge etter T =.9 år. Oppgave 9. P. Vi nner fram til gevinst per aksje i hvert selskap for hvert av de tre scenariene ved å regne trekke fra kjøpskurs, se tabell. Vi bruker dette til å uttrykke avkastningen (gevinsten) R i ved hjelp av,y,z, som gir tre lineære likninger. I tillegg har vi budsjettbetingelsen + 5y + 84z = C, som gir at samlet kjøpssum for aksjene lik kapitalen C =.5. kr som vi har tilgjengelig. Vi nner dermed Gevinst A Gevinst B Gevinst C Scenario 5 5 5 Scenario 5 75 Scenario 3 5 følgende lineære system, og den tilsvarende utvidede matrise: 5 + 5y 5z = R 5 5 5 R 5 75y + z = R 5 75 R + 5y + z = R 3 5 R 3 + 5y + 84z = C 5 84 C 6
(a) Vi løser første dette systemet når (R, R, R 3 ) = (..,..,.). Dette gir trappeformen (etter endel radoperasjoner): 5 5 5 R 5 5 5 R 5 75 R 5 R 3 5 8 R + R 35 R 3 +.8R 5 84 C 5 36 C + 4R 5 5 5 R 5 8 R + R 35 R 3 +.4R + 3.6R 936 C + 9R + R 5 5 5 R 5 8 R + R 35 R 3 +.4R + 3.6R 3 P. C 5.5R 3 +.3R +.R Vi ser at når C =.5. og (R, R, R 3 ) = (..,..,.), så er uttrykket C +.R +.3R 5.5R 3 =. Derfor har systemet én entydig løsning, og det ns en portefølje med ønsket egenskap. P. Vi nner porteføljen ved å løse systemet ved baklengs substitusjon, og det gir 5 + 5y 5z =.. 5y 8z = 35z =.. (,y,z) = (.5,.454 6 /,.84 /) P. Vi bør altså kjøpe.5 aksjer i selskap A,.454 6 / aksjer i selskap B, og.84 / aksjer i selskap C for å realisere den gitte avkastningen. (b) For å nne alle mulige avkastningstripler (R, R, R 3 ) bruker vi samme lineære system som over, og får samme trappeform. De mulige triplene er derfor de som oppfyller C +.R +.3R 5.5R 3 =.R.3R + 5.5R 3 =.5. P. Det nnes mange løsninger av denne likningen med R, R, R 3 >. Vi velger løsningen med R = R = R 3 (samme gevinst i alle scenarier gir minst mulig usikkerhet). Dette gir R =.5. R = 75. Dette valget svarer altså til avkastningene R = R = R 3 = 75.. P. For å nne hvilken portefølje som realiserer denne avkastningen, løser vi systemet ved baklengs substitusjon. Dette gir 5 + 5y 5z = 75. 5y 8z =.5. 35z = 4.5. (,y,z) = (48.75,.45 5 /,.784 /) P. Vi bør altså kjøpe 48.75 aksjer i selskap A,.45 5 / aksjer i selskap B, og.784 / aksjer i selskap C for å realisere denne avkastningen. 7