Nasjonale prøver 01.10.2013 Rettleiing til lærarar Rekning 8. og 9. trinn. Del 2 Nynorsk
Innhold Hvordan bruke resultatene i undervisningen?... 3 Oversikt over oppgåvene til nasjonal prøve i rekning 2013 versjon 1 (V1)... 4 Hvordan bruke analyseverktøyet (reknearket) i PAS?... 5 Gruppetabell... 6 Poenggrenser... 8 Diagrammer... 8 Å rekne i alle fag... 9 Å kunne rekne er å bruke matematikk på en rekke livsområder... 9 Sentralt innhold i prøva for 8. og 9. trinn... 9 Hva er god rekneopplæring?... 10 Prinsipper for god rekneopplæring... 10 Hvordan utvikles grunnleggende ferdigheiter i rekning?... 10 Å utvikle elevenes reknestrategier... 11 Tal... Feil! Bokmerke er ikke definert. Hele tal... 13 Desimaltal... 14 Diagram og prosent... 15 Måling... 16 Valuta... 17 Målestokk... 19 Tid... 20 Statistikk... 21 Tabell og bilde... 22 Gjennomsnitt... 23 2
Korleis bruke resultata i undervisninga? Denne rettleiinga er eit framhald av rettleiing for lærarar til nasjonal prøve i rekning på 8. og 9. trinn. Her finn du oppgåver frå prøva i 2013 med løysingsforslag og eksempel på rekning i fag frå område og emne som inngår i prøva. Førebelse poenggrenser for meistringsnivåa er publiserte i PAS. Det kan vere nyttig å skaffe seg oversikt over område, oppgåvetypar og emne som fleire av elevane kan ha problem med, eller dei treng større utfordringar i. Ei slik oversikt er eit godt utgangspunkt for samtalar i elevgruppa og planlegging av vidare opplæring. På neste side finn du ei oversikt over oppgåvene med fasit og innhaldet i årets prøve. Oppgåvene er sorterte etter dei tre områda av rekning som prøva omhandlar: tal, måling og statistikk. Kolonnen Innhald beskriv kva kvar enkelt oppgåve handlar om. Oversikta viser òg kva fag kvar oppgåve kan knytast til. Det vil seie at oppgåva kan relaterast til rekning som grunnleggjande ferdigheit i dette faget etter 7. trinn. Ei tilsvarande oversikt over oppgåvene ligg i analyseverktøyet (reknearket) i PAS. Der finn du òg ein kolonne med løysingsprosenten for kvar enkelt oppgåve. Han fortel kor mange prosent av elevane som løyste oppgåva riktig på nasjonalt nivå. Den ordinære prøva i rekning er i tre versjonar (V1, V2 og V3). Nokre av oppgåvene har ulik rekkjefølgje i kvar versjon. Du ser kva for oppgåver det gjeld i tabellen på neste side. PDF av versjon 1 er publisert i PAS. Grupperapporten i PAS sorterer resultata etter versjon 1. I elevmonitoren i PGS har du tilgang til heile svaret til eleven. Dersom du bruker elevmonitoren til å gjennomgå prøva, ser du oppgåvene i den rekkjefølgja eleven har hatt dei. For å måle utvikling over tid har 6 % prosent av elevane på landsbasis gjennomført ei anna prøve enn den ordinære prøva, men med oppgåver av tilsvarande vanskegrad. Desse elevane kan læraren ikkje sjå svaret til i elevmonitoren. Du finn resultata i grupperapporten i PAS ved å velje Oppgåvesett 4. Desse resultata kan ikkje leggjast inn i analyseverktøyet. 3
Oversikt over oppgåvene til nasjonal prøve i rekning 2013 versjon 1 (V1) Oppgåvenr. V1 2 V2 V3 Innhald Område Format Fagtilknyting 1 Fasit 24 Multiplikasjon i kontekst Tal Open Ma, m&h, na 42 40 Skrive store tal som tal Tal Fleirval Ma, sf 7.000.000.000 (4) 1 9 3 Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon i priskontekst Tal Open Ma, m&h, sf 55 4 10 1 Addisjon og divisjon i kontekst Tal Open Ma, sf, m&h 24 14 Brøkdel av rutenett Tal Fleirval Ma, m&h 1/4 (4) 15 Vurdere mengd, divisjon Tal Open Ma, sf 4 21 Multiplikasjon/addisjon i kontekst Tal Fleirval Ma, krø, na 22,5 (3) 25 Divisjon/addisjon i kontekst Tal Fleirval Ma, krø 12,5 (2) 39 Sortere desimaltal Tal Fleirval Ma 1,0-0,1-0,09-0,075 45 Merkje av brøkdel Tal Open Ma, m&h, k&h 9 ruter 52 56 54 Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon i priskontekst Tal Fleirval Ma, m&h, sf 68 kr (1) 3 2 7 Utvide matoppskrift, multiplikasjon eller gjenteken addisjon i kontekst Tal Open Ma, m&h 24 13 Forskjell i prosentdel Tal Fleirval Ma, sf, na, rle, m&h, mu 15 (3) 17 Finne prosentdel Tal Fleirval Ma, m&h, mu 25 (2) 18 Vurdere og samanlikne prisar Tal Open Ma, sf, m&h 45 27 Prosentdel av rutenett Tal Fleirval Ma, sf alt. (4) 37 Finne prosent Tal Fleirval Ma, sf, m&h 20 (2) 42 Divisjon i kontekst Tal Open Ma, sf, m&h 414 49 55 52 Multiplikasjon/divisjon i kontekst Tal Open Ma, m&h, na 300 26 Vurdere og samanlikne prisar Tal Open Ma, sf 1080 57 58 55 Vurdere mengd i forhold til kor mange Tal Open Ma, m&h, no 60 58 57 56 Vurdere mengd i forhold til pris Tal Open Ma, sf, no 715 6 4 2 Sortere lengdeeiningar Måling Fleirval Ma, krø, k&h, na, sf R 12 Månader Måling Fleirval Ma, sf, na, rle Juli (7) 56 52 57 Samanheng analog og digital tid Måling Fleirval Ma, na 10:09:27 (2) 5 1 8 Multiplikasjon/addisjon i tidskontekst Måling Open Ma, krø, na 140 20 Teikne kvadrat med gitt sidelengd Måling Open Ma, k&h 4x4 31 Rekne med tid Måling Fleirval Ma, na, sf, krø 15.32 (2) 41 Oppgi lengd Måling Open Ma, krø 400 meter 46 Velje riktig nemning Måling Fleirval Ma, na, sf cm (3) 47 Samanheng mellom måleiningar Måling Fleirval Ma, na, m&h 10 (3) 50 53 58 Enkel omgjering, masse Måling Fleirval Ma, m&h, na 5 hg 7 3 9 Differanse, min og s Måling Fleirval Ma, krø, sf, nat 44 (2) 29 Samanlikne tider (s og tidelar) Måling Fleirval Ma, krø, na, sf 8.15-8.3-8.90-9.1 30 Differanse, positive og negative tal Måling Fleirval Ma, na 147,0 (4) 35 Finne kg-pris Måling Open Ma, sf, m&h 200 1 Matematikk (Ma), samfunnsfag (sf), naturfag (na), musikk (mu), norsk (no), engelsk (eng), kroppsøving (krø), kunst & handverk (k&h), mat & helse (m&h), religion, livssyn og etikk (rle). 2 Den ordinære prøva i rekning er i tre versjonar (V1, V2 og V3). Nokre av oppgåvene har ulik rekkjefølgje i kvar versjon. 4
44 Valuta Måling Open Ma, sf, eng 325,5 23 Bestemme målestokk Måling Open Ma, krø, na, sf, k&h 1:100 48 Veg, fart og tid Måling Fleirval Ma, sf, na 21 (3) 53 51 51 Tidssoner Måling Open Ma, na, sf 16:15 54 49 50 Samansett problem, omgjering Måling Fleirval Ma, m&h, sf 396,0 (3) 28 Samansett problem, omgjering Måling Open Ma, m&h, na 5 36 Rekne med målestokk Måling Open Ma, krø, na, sf, k&h 3,5 43 Rekne ut gjennomsnittsfart Måling Fleirval Ma, sf, na 3-2-4-1 2 8 6 Lage linjediagram ut frå gitt tabell Statistikk Open Ma, sf, no, eng, na, rle R 11 Lage søylediagram ut frå gitte data Statistikk Open Ma, sf, no, eng, na, rle 0/8/9/4/2/1 22 Lese av linjediagram Statistikk Fleirval Ma, sf, no, eng, na, rle 1963 (2) 8 5 4 Tolke diagram og utføre berekningar, prosent Statistikk Fleirval Ma, sf, no, eng, na, rle 120 (3) 16 Tolke tabell og berekne Statistikk Open Ma, sf, na, eng, no 1335 32 Tolke diagram, vurdere påstandar Statistikk Fleirval Ma, sf, no, eng, na, rle alt. (4) 33 Gjennomsnitt Statistikk Fleirval Ma, sf 100 (3) 55 50 53 Gjennomsnitt av store tal Statistikk Fleirval Ma 0,1 (1) 9 6 10 Lese av og tolke søylediagram Statistikk Fleirval Ma, sf, no, eng, na, rle 22 (3) 19 Tolke tabell og vurdere påstandar Statistikk Fleirval Ma, sf, no, eng, na, rle alt. (4) 34 Tolke tabell, rekne gjennomsnitt Statistikk Fleirval Ma, krø alt. (4) 38 Tolke tabell og utføre berekningar Statistikk Open Ma, sf, no, eng, na, rle 62 51 54 49 Tolke tabell og utføre berekningar Statistikk Fleirval Ma, sf, no, eng, na, rle Desember (12) 10 7 5 Fylle ut poengtabell i idrett Statistikk Open Ma, sf, no, eng, mål: 6/2/-8 na, rle p:4/4/0 Korleis bruke analyseverktøyet (reknearket) i PAS? Ved å leggje inn resultata til elevane i analyseverktøyet (reknearket) i PAS, kan du lettare vurdere tendensar til styrkar og eventuelle svakheiter i elevgruppa di og samanlikne elevgruppa di med nasjonalt nivå. Last ned analyseverktøyet Rekneark 8. og 9. trinn rekning nynorsk frå PAS og kopier inn resultata til elevane. Dei finn du i Prøveadministrasjonssystemet (PAS) i NP01 Grupperapport. Rapporten finn du i menyen på venstre side. Slik kopierer du inn resultata til elevane i analyseverktøyet (reknearket) 1. Velg Grupperapport NP01 i PAS. Velg deretter prøva og den elevgruppen du vil legge inn resultater frå. Klikk på sorter etter oppgavelsett 1. 2. Klikk på eksporter. Resultatene frå elevgruppen du valgte, blir da overført til et Excel-ark. 3. Marker alle data i dette Excel-arket. Alt må vere med: Frå og med celle A1 til og med cellen som inneholder data ytterst til høyre i arket, og helt ned til du har markert alle elevenes resultater. 4. Høyreklikk på det markerte området og velg Kopier. 5. Gå tilbake til analyseverktøyet (reknearket) og klikk på arkfanen PAS-data. 6. Plasser markøren i celle A1 (her må du vere nøye). 5
Høyreklikk og velg lim inn. Dataene er nå på plass i analyseverktøyet (reknearket). Her finner du: Forklaringer (arkfane 1) PAS-data (arkfane 2) Gruppetabell (arkfane 3) Poenggrenser (arkfane 4) Diagram (arkfane 5) Arkfanene i analyseverktøyet ser du nedst til venstre i reknearket: Reknearket kan vere til hjelp for å se områder (for eksempel tal) og emner (for eksempel divisjon) som din elevgruppe ser ut til å mestre, og områder og emner de kan ha utbytte av å arbeide mer med. Du får også oversikt over løysingsprosenten til hver oppgave i prøva. Reknearket gir kun informasjon om områder og emner i rekning som grunnleggende ferdigheit som prøva måler. Resultatene viser tendenser for din elevgruppe samanlignet med nasjonalt nivå. Det er derfor viktig at du også bruker andre kilder som dialog, observasjon og elevarbeider for å få informasjon om den enkelte elevs ferdigheiter i rekning. Gruppetabell I gruppetabellen (arkfane 3) finner du informasjon om din elevgruppes resultater (Gruppe) og mulighet til å samanlikne dem med nasjonalt nivå (Nasjonal) (eksempelet inneholder ikkje reelle tal). Kolonnen Gruppe viser hvor mange prosent av dine elever som fikk til hver oppgåve, og kolonnen Nasjonal viser tilsvarende tal for nasjonalt nivå. Differansen mellom gruppens nivå og nasjonalt nivå er bereknet under kolonnen Avvik. For å se hvilken type oppgaver din elevgruppe har positive eller negative avvik på, kan du sortere tabellen etter kolonne Avvik, deretter Område og Innhold. Slik kan du sortere i reknearket: 1. Marker gruppetabellen. 2. Klikk på sorter. 3. Klikk på legg til nivå og vel ønskte kolonnar frå rullegardina. 4. Klikk på OK. Reknearket er no sortert etter kriteria du har valt. Menyane og vala kan variere med kva for versjon av programvara som blir brukt. 6
7
Dersom dei positive avvika for nokre av områda er store, tyder det på at elevgruppa har mange sterkt presterande elevar for dette innhaldet i prøva. Dersom dei negative avvika på nokre av områda er store, tyder det på at elevgruppa har mange svakt presterande elevar for dette innhaldet i prøva. Eit mindre negativt avvik kan vere eit godt resultat dersom løysingsprosenten er høg. Sjølv om elevgruppa har positive avvik, inneber ikkje det at vi skal seie oss fornøgde med nivået dersom løysingsprosenten er låg. Fleire av oppgåvene som har låg løysingsprosent på nasjonalt nivå, prøver sentrale rekneferdigheiter som er viktige i elevane sin kvardag. Gruppetabellen gjer det òg mogleg å sjå eventuelle tendensar ved ulike faglege aspekt i resultata til elevgruppa. For å sjå tendensar i elevgruppa di kan du sortere tabellen etter kolonnen Område, deretter Innhald og Gruppe. Du kan da sjå om det er område eller spesifikkje emne elevgruppa di utmerkjer seg med høg eller låg løysingsprosent i. Poenggrenser Under arkfana Poenggrenser finn du førebelse poenggrenser for dei fem meistringsnivåa. For å gi deg meistringsnivåa raskt har vi gjort ei førebels berekning av poenggrensene basert på eit utval av resultata. Sjølv om det er lite sannsynleg, kan det likevel skje at ei eller fleire av grensene endrar seg med eitt poeng opp eller ned. Dei endelege poenggrensene og resultata frå nasjonale prøver i rekning blir publiserte i Skoleporten og i PAS 10. desember. Ved å sjå beskrivinga av meistringsnivåa saman med resultata til elevane for dei ulike faglege aspekta ved prøva, kan du få tips til fokusområde og tilpassing av opplæringa for den enkelte eleven i den vidare rekneopplæringa. Beskrivinga av meistringsnivåa og andre råd om bruk av prøva i undervegsvurderinga finn du i Rettleiing til lærarar Rekning 8. og 9. trinn i PAS og på Utdanningsdirektoratets nettsider. Diagram Under arkfana Diagram finn du løysingsprosenten til elevgruppa for kvart av dei tre hovudområda (tal, måling og statistikk) samanlikna med nasjonalt nivå. Du finn òg prosentvis fordeling på kvart av dei fem meistringsnivåa for elevgruppa di, samanlikna med nasjonalt nivå. Oppfølging av resultat frå nasjonal prøve i rekning på 8. trinn 2013 8
Å rekne i alle fag Oppgåvene i nasjonale prøver i rekning for 8. og 9. trinn tek utgangspunkt i rekning som grunnleggjande ferdigheit i kompetansemåla for fag etter 7. trinn. Resultata på gruppenivå kan vere til hjelp for å sjå kva for område elevane meistrar, og kva for emne elevane kan ha utbytte av å arbeide meir med. Resultata viser at svært mange elevar møter utfordringar når det gjeld å forstå omgrep, kunne velje riktig strategi for å løyse ei oppgåve og å løyse samansette problem. I tillegg vurderer elevane svara sine i liten grad når dei meiner dei har funne løysinga på ei oppgåve. Å jobbe med desse områda kan bidra til å styrkje rekneferdigheitene i dei ulike faga. Å kunne rekne er å resonnere og bruke matematiske begreper, fremgangsmåter, fakta og verktøy for å løse problemer og for å beskrive, forklare og forutse hva som vil skje gjenkjenne rekning i ulike kontekster, stille spørsmål av matematisk karakter, velge holdbare metoder når problemene skal løses, vere i stand til å gjennomføre, og tolke gyldigheten og rekkevidden av resultatene gå tilbake i rekneprosessen for å gjøre nye valg kommunisere og argumentere for valg som er tatt, ved å tolke konteksten og arbeide med problemstillingen fram til en ferdig løysing I planleggingen av videre opplæring i rekning i fag, er det nyttig å se nærmere på de områdene som prøva omfatter. Resultatet for din elevgruppe kan gi en indikasjon på hvilke emner elevene mestrer innenfor områdene tal, måling og statistikk. Emner som viser lav mestring for hele eller deler av elevgruppen for de enkelte områdene, bør det vere naturlig å fokusere på i den videre rekneopplæringen. Sentralt innhald i prøva for 8. og 9. trinn plassverdisystemet for heile tal og desimaltal (kva verdien av sifra har å seie som plasshalder i titalsystemet) dei fire rekningsartane (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon) omgrepa brøk, desimaltal og prosent og samanhengen mellom dei prosentrekning temperatur, tid, masse, vinklar, lengd, areal og volum veg, fart og tid omgjering av einingar (rekne om frå ei måleining til ei anna, til dømes frå g til kg) å samanlikne storleikar å lese, tolke og fråmstille ulike typar tabellar og diagram sentralmål (gjennomsnitt, median og typetal) og representasjonar av data samansette problemstillingar bruk av varierande løysingsstrategiar og vurdere om svaret er rimeleg 9
Kva er god rekneopplæring? Det finnes ikkje én oppskrift på god opplæring og hvordan gode rekneferdigheiter utvikles. God undervisning og læring oppnås i et samspill mellom elevene, faget og læreren i kontekst. Dette kan foregå på ulike måter, men ensidige arbeidsformer gir ikkje elevene tilstrekkelige muligheter til å utvikle gode rekneferdigheiter. Det er viktig å ta vare på elevenes motivasjon for å lære å rekne i alle fag. Prinsipper for god rekneopplæring 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter. 2. Vær bevisst i valg av oppgåver. 3. Varier mellom arbeid i større og mindre elevgrupper og individuelt arbeid. 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner frå før. 5. Bruk det matematiske språket aktivt. 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet. En gjennomtenkt bruk av Prinsipper for god rekneopplæring i planlegging, gjennomføring og vurdering av undervisningen, gir elevene mulighet til å utvikle rekning som grunnleggende ferdigheit i alle fag. Rekneferdigheiter utvikles best i gode læringsfellesskap hvor elevene blir oppfordret til å tenke og undersøke, og ideene deres blir verdsatt og danner grunnlag for undervisningen. Det må gis rom for misforståelser på veien til mer målrettede og effektive strategier. Korleis blir grunnleggjande ferdigheiter i rekning utvikla? Utvikling av rekning som grunnleggende ferdigheit går frå å bruke rekning i konkrete situasjoner til mer samansatte og abstrakte situasjoner å gjenkjenne situasjoner som kan løses ved rekning, til å analysere problemstillinger ved rekning å ta i bruk nye begreper og lære nye teknikkjer og strategier til å velge hensiktsmessige metoder 10
Å utvikle reknestrategiane til elevane Denne delen inneheld eksempel på oppgåver frå områda tal, måling og statistikk i årets prøve. Eksempla viser riktige svar, typiske feilsvar som kom fram under utprøving av oppgåver, og tips til korleis elevar som svarer feil på slike oppgåver, kan tenkje for å utvikle og forbetre eigne reknestrategiar. Tala er henta frå resultata etter siste utprøving av oppgåvene hausten 2012. Det var ca. 1400 elevar på 8. trinn som deltok, og kvar oppgåve er prøvd ut på ca. 700 elevar. Oppgåvenumra er frå versjon 1 (V1) av prøva. I eksempla er det peikt på nokre moglege årsaker til feilsvara. Det er viktig å finne ut kva som er årsaka til at elevane svarer feil. Det kan gjerast ved å undersøkje elevane sine svar på liknande oppgåver, eller ved å diskutere oppgåver munnleg med elevane. I nokre av eksempla har vi foreslått strategiar som elevane kan bruke for å komme fram til riktig svar. I oppgåver der elevane ikkje har eller kan ta i bruk nokon standardisert reknemåte for å finne svaret, kan dei prøve å finne løysinga ved å kjenne att problemet og bruke ferdigheiter som dei har frå andre område i rekning. Dersom ein elev har tydelege misoppfatningar, må læraren ta tak i dei aktuelle emna. Det er i så fall viktig at dei andre faglærarane samarbeider med matematikklæraren om dette. Matematikklæraren kan òg velje å bruke Læringsstøttande prøver i matematikk for å få meir informasjon om misoppfatningane til desse elevane. Til dette materiellet er det laga ressurshefte til kvart av hovudområda i læreplanen i matematikk. Du finn informasjon om desse prøvene på Utdanningsdirektoratets nettsider. Prøvene er elektroniske, skal gjennomførast i PGS og kan brukast fleire gonger. Oppgåver frå den nasjonale prøva kan vere eit godt utgangspunkt for diskusjonar om vidare arbeid med rekning som grunnleggjande ferdigheit i alle fag. I tillegg til årets oppgåvesett som er frigitt, kan oppgåvesettet frå 2011 nyttast. Det ligg tilgjengeleg på www.udir.no. Spørsmål til diskusjon med elevgruppen: På hvilken måte er rekning relevant i dette faget? Hvilke emner og områder bør vi fokusere på for å utvikle gode rekneferdigheiter i dette faget? Er det forskjell på strategiene elevene bruker når de o fyller inn svaret selv (open oppgåve) eller o får oppgitt alternativene (fleirvalsoppgåve) og velger riktig svar? Har elevene gode løysingsstrategier? 11
Tal I prøva for 2013 er 22 av oppgåvene frå området tal. Rekneferdigheitene til elevane vart prøvd i emna brøk, prosent og desimaltal, dei fire rekneartane addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og forholdstal. Fleire av oppgåvene fokuserer på å løyse enkle, samansette problem og å forstå posisjonssystemet. Eit eksempel på ei oppgåve frå området tal (Oppgåve 51 i 2010) Oppgåva er ei fleirvalsoppgåve. Ho testar om elevane kan orientere seg i ein kort tekst med nokre få omgrep og tal, samtidig som dei må velje riktig rekneart for å løyse oppgåva. Å forstå posisjonssystemet og kva dei ulike sifra i tal symboliserer, er ein føresetnad for å kunne rekne i mange samanhengar. Dersom elevane til dømes har forstått oppbygginga av talsystemet og veit at det er 100 øre i 1 kr, er det ikkje nødvendig å kunne algoritmen for divisjon for å finne løysinga på denne oppgåva. Oppgåva bør løysast ved logisk resonnement. Å kunne rekne i norsk handlar blant anna om omgrepsutvikling, logisk resonnement og problemløysing. I kompetansemåla står det at elevane skal kunne lese eit mangfald av tekstar i ulike sjangrar og av ulik kompleksitet. Oppgåva ovanfor har til dømes relevans til rekning som grunnleggjande ferdigheit i faga samfunnsfag og norsk i tillegg til faget matematikk. Oppgåvene om tal i årets prøve er baserte på kompetansemål i læreplanane for faga norsk, matematikk, naturfag, samfunnsfag, mat og helse, kroppsøving, kunst og handverk, religion, livssyn, etikk og musikk, og i rekning som grunnleggjande ferdigheit i dei same faga. Dei andre oppgåveeksempla i denne rettleiinga er frå årets prøve. 12
Heile tal Oppgåve 15 Dette er ei open oppgåve som testar om elevane kan utføre rekneoperasjonar med heile tal og desimaltal, og deira evne til å gjennomføre eit logisk resonnement på ein praktisk situasjon. For å kunne løyse oppgåva, må elevane forstå føresetnadene i oppgåva og halde seg innanfor rammene som er gitt. Det var 58 prosent av elevane som fann riktig svar, og 9 prosent svarte ikkje på oppgåva. For denne oppgåva var det ingen signifikant forskjell på jenter og gutar. At 21 prosent av elevane svarte «3», tyder på at mange elevar ikkje vurderte svaret sitt godt nok opp mot føresetnadene i oppgåva, eller at dei kan ha lagt eigne erfaringar til grunn. Svar Kommentar Prosentdel av elevane 3 21 % 4 Riktig svar 58 % Ikkje svart 9 % Løysingsstrategiar Addisjon 45 + 45 + 45 + 45 = 180 45 + 45 + 45 = 135 Subtraksjon 140 45 45 45 = 5 Divisjon Overslag Prøve og feile Multiplikasjon og hovudrekning 140 : 45 > 3 140 : 45 < 4 3 45 3 50 = 150 3 45 = 3 50 15 = 135 45 2 = 90, 140 90 = 50 45 3 = 135, 140 135 = 5 Tre bussar har plass til 135 elevar. Det blir ikkje plass til alle. Dei må ha ein buss til. Da er det plass til 180 elevar. Dei siste fem elevane må òg få plass. Det må bestillast fire bussar. Tre bussar er for lite, og fire bussar gir meir enn nok plass. Det må bestillast fire bussar for å få plass til alle. Å gjere eit overslag vil ikkje fungere åleine utan refleksjon i denne oppgåva. Enkelte vil likevel kunne sjå at tre bussar er i nærleiken av å kunne ta 140 elevar, i alle fall tek tre bussar færre enn 150 elevar. Elevane må rekne meir nøyaktig og ser at det vil bli for lite med tre bussar. Det må bestillast fire bussar. I begge desse tilfella ser vi at det blir for lite med tre bussar. Å berekne kostnadsgrunnlag, gjere overslag og gjenteken addisjon og dobling er grunnleggjande ferdigheit i rekning som blir brukt i mange fag. 13
Desimaltal Oppgåve 21 Dette er ei fleirvalsoppgåve der elevane skal utføre rekneoperasjonar med heile tal og halvering som gir enkelt desimaltal til svar. Svar Kommentar Prosentdel av elevane 4,5 m Reknar avstanden mellom kvart flagg som 1 m. 4,0 m + 0,5 m = 4,5 m 19 % 20,5 m a) Reknar 5 m mellom kvart flagg, 5 m 4 = 20 m Feilen oppstår ved «halvering» mellom flagg 4 og 5, 0,5 5 m blir 0,5 m eller 5 m : 2 blir 0,5 m Da får vi: 20 m + 0,5 m = 20,5 m 18 % b) Eller elevane tel: 5 10 15 20 og «ein halv» 22,5 m Riktig svar 49 % 25 m Reknar 5 flagg: 5 5 m = 25 m 8 % Ikkje svart 6 % Det var 57 prosent av gutane og 42 prosent av jentene som fekk riktig svar på oppgåva. 7 prosentpoeng fleire jenter enn gutar valde feilsvaret 4,5 m. Dette samsvarer med resultat frå tidlegare års prøver. Vi har grunn til å tru at gutane er flinkare enn jentene til å vurdere om eit svar er sannsynleg løysing på ei oppgåve, og spesielt har vi sett dette i oppgåver med måleiningar som nemning. Å kunne rekne med heile tal og desimaltal er ei grunnleggjande ferdigheit i rekning i alle fag. Spesielt i faga mat og helse, naturfag, samfunnsfag, kroppsøving og kunst og handverk i tillegg til matematikk er det å forstå heile tal og desimaltal viktig for å nå kompetansemål. 14
Diagram og prosent Oppgåve 8 Oppgåva er ei fleirvalsoppgåve henta frå området statistikk. Elevane skal bearbeide informasjon frå eit sektordiagram og rekne prosent av heile tal. Analysen viser at det er prosentrekninga og ikkje avlesing av diagrammet som er den største utfordringa i denne oppgåva. Vi kommenterer derfor oppgåva i området tal sjølv om det er ei statistikkoppgåve. Svar Kommentar Prosentdel av elevane 30 Forvekslar prosentdel med talet på elevar. 21 100 a) Ser 30 % som ¼ av sektordiagrammet, og svarer 100. b) Eller bruker diagrammet for sykkel og reknar ut 25 % av 400. 18 c) Eller svarer ¼ fordi det er fire alternativ i oppgåva. 120 Riktig svar - moglege strategiar kan ha vore: a) 400 (30 : 100) = 12 000 : 100 = 120 b) 400 : 100 = 4 1 % er 4 elevar 4 elevar 30 = 120 elevar 51 Elevane som vel «vegen om 1», viser at dei forstår at 400 elevar er 100 %, eller at 40 elevar er 10 %. a) Forstår ikkje omgrepet prosent. 400 (30 : 100) + 30 % er 120 + 30 = 150 150 b) Kan ikkje rekne med prosent, men tenkjer at svaret må vere mindre enn 6 halvparten av elevane - altså kan 150 vere eit mogleg svar, sidan det er eit svaralternativ. Ikkje svart 4 Å forstå omgrepet prosent og å kunne rekne med prosent er ei grunnleggjande ferdigheit i rekning i dei fleste fag. Ved å bruke eksempel frå dagleglivet, leggje til rette for praktiske situasjonar med enkle tal slik at elevane kan rekne i hovudet, eller bruke ulike konkretiseringsmateriell, kan vi hjelpe elevane til å forstå omgrepet betre. 15
Måling I prøva for 2013 er 22 av oppgåvene frå området måling. Oppgåvene testar omgjering av einingar, omgrepa areal, lengd, masse, volum og hastigheit, å rekne med tid, pengar og målestokk. Dei oppgåvene som har lågast løysingsprosent i nasjonal prøve i rekning, er vanlegvis knytte til området måling og gjeld spesielt omgjering mellom einingar. Dersom elevane ikkje er trygge på samanhengen mellom dei ulike måleiningane, kan dette få konsekvensar for læring i mange fag. I oppgåver med målestokk blir elevane prøvde både i å rekne med forholdstal og i å gjere om mellom einingar, ofte frå centimeter til kilometer. Dette er oppgåver med spesielt låg løysingsprosent. Oppgåve 28 Oppgåve 28 er open. Ho kan ikkje løysast ved logisk resonnement, men krev at elevane beherskar både posisjonssystemet og samanhengen mellom volumeiningane desiliter og milliliter. Oppgåva har størst relevans for faga matematikk, naturfag og mat og helse. Oppgåvene i området måling i årets prøve er baserte på kompetansemål og rekning som grunnleggjande ferdigheit i faga kroppsøving, kunst og handverk, naturfag, samfunnsfag, matematikk, engelsk og religion, livssyn, etikk. Praktiske aktivitetar er særlig viktige for å få utvikla rekneferdigheit innanfor området måling. Det kan vere å måle lengder, å ta «tida» i kroppsøving, og måle nedbør og temperatur i naturfag. I kunst og handverk kan arbeid med proporsjonar, dimensjonar, målestokk og geometriske grunnformer hjelpe elevane til å forstå omgrepa forhold, lengd, areal og volum. Dette kan òg gi elevane trening i posisjonssystemet og i å sjå samanhengen mellom lengdeeiningar. I samfunnsfag kan elevane samanlikne talmateriale om faglege tema og rekne med tid. I mat og helse kan praktiske øvingar med veging og måling og redusere og auke mengder i oppskrifter, vere viktige bidrag i å utvikle rekneferdigheita. 16
Valuta Oppgåve 44 Dette er ei open oppgåve der elevene skal rekne med valuta. Det inneber omgjering av einingar og krev kompetanse i å utføre rekneoperasjonar med heile tal og desimaltal. Det var 30 prosent av elevane som svarte riktig på oppgåva, og 11 prosent svarte ikkje på oppgåva. Svar Kommentar Prosentdel av elevane 315,00 Overslag og bruker 9 NOK som kurs 1,8 % 325,50 Riktig svar 30 % 350,00 Overslag og bruker 10 NOK som kurs 3 % Ikkje svart 11 % Mange elevar har problem med å velje riktig rekneart i valutaoppgåver. Det kan vere årsaka til at prosentdelen ikkje svart er relativt høg. For å løyse oppgåva må elevane beherske multiplikasjon med desimaltal. Det er likevel mange ulike strategiar som kan brukast for å komme fram til riktig svar. Løysingsstrategiar Algoritme for multiplikasjon Dele opp kursen i heile tal og desimaltal Dele opp kurs og pund i tiarar, einarar og desimaldelen Multiplisere med 10 og subtrahere 1 koster 9,30 NOK 35 koster: 35 9,30 NOK = 325,50 NOK 35 koster: (35 9 NOK) + (35 0,30 NOK) = 315 NOK + 10,50 NOK = 325,50 NOK 35 koster: (30 9 NOK) + (5 9 NOK) + (30 0,30 NOK) + (5 0,30 NOK) = 270 NOK + 45 NOK + 9,00 NOK + 1,50 NOK = 325,50 NOK 35 koster: (35 10 NOK) (35 0,70 NOK) = 350 NOK 25,50 NOK = 325,50 NOK 17
Multiplikasjonen kan synleggjerast som utrekning av areal. Ein del elevar vil teikne ein modell med eksakte mål, andre vil teikne ein omtrentleg modell. Elevane viser at dei har forstått både kva multiplikasjon tyder, og kva plass sifra har i posisjonssystemet. 9,30 35 skal delast opp i fire areal: 9 30 = 270 9 5 = 45 0,30 30 = 9,00 0,30 5 = 1,50 Sum: 325,50 Svar: 35 9,30 NOK = 325,50 NOK I etterarbeidet med denne oppgåva kan det vere gunstig å bruke Internett som informasjonskjelde. Elevane kan gå inn på utanlandske nettbutikkar for å finne produkt i annan valuta enn norske kroner. Aktuell valutakurs kan hentast på ulike nettstader, og elevane kan rekne om prisen til norske kroner. Dette er ein kontekst som er nær kvardagen til elevane og kan for mange gjere det lettare å forstå valuta. Å kunne samanlikne prisar på ulike varer i mat og helse, og tal og ulike prisar i samfunnsfag, er grunnleggjande ferdigheiter i rekning. Å kunne uttrykkje seg om - og rekne med valuta er eit kompetansemål i engelsk. Oppgåva kan knytast til mat og helse, samfunnsfag og engelsk i tillegg til matematikk. 18
Målestokk Oppgåve 36 Oppgåva er open, og elevane må kunne rekne med målestokk, multiplisere store tal og gjere omgjeringar mellom ulike måleiningar for å løyse oppgåva. Berre 8 prosent av elevane kom fram til riktig svar. Det var 10 prosent av gutane og 5 prosent av jentene. Oppgåva er signifikant i gutefavør. Prosentdelen ikkje svart var 22 prosent i denne oppgåva. Resultatet viser at svært mange elevar ikkje er fortrulege med omgrepet målestokk. Analysen viser i alle fall at omgjering frå cm til km også er eit stort problem for elevane. Det er til saman 40 prosent av elevane som kom fram til svara 3,5, 35, 350, 3 500, 35 000 eller 350 000. Dette tyder på at dei har forstått omgrepet målestokk, men ikkje greidd omgjeringa til km. Løysingsstrategiar Målestokk 1 : 50 000 Multiplikasjon før omgjering Omgjering før multiplikasjon Delvis omgjering, multiplikasjon, omgjering 7 cm 50 000 = 350 000 cm = 3 500 m = 3,5 km 1 cm på kartet tilsvarer: 50 000 cm = 500 m = 0,5 km 7 cm på kartet tilsvarer: 0,5 km 7 = 3,5 km 1 cm på kartet tilsvarer: 50 000 cm = 500 m 7 cm på kartet tilsvarer: 500 m 7 = 3500 m = 3,5 km Elevane har behov for å arbeide med måleiningar og omgjering frå ei måleining til ei anna. Praktiske oppgåver som å måle eiga høgd i både meter og centimeter, springe ulike lengder i kroppsøving, å kaste ball på ideallengd eller å gjette avstandar, kan vere gode innlæringsmetodar av einingar for lengd. Når det gjeld målestokk, kan modellteikning i kunst og handverk vere aktuell aktivitet, også orientering og å lese kart i kroppsøving og samfunnsfag. Altfor mange av elevane kjem ofte fram til heilt urimelege svar. Det er viktig å snakke med elevane om kva som kan vere aktuelle svar på ei oppgåve. Elevane må til dømes få moglegheit til å reflektere over kor langt 35 000 km er, og om dette er ein rimeleg gangavstand mellom to hytter. Å kunne måle lengder, rekne med målestokk og gjere om mellom måleiningar er rekning som grunnleggjande ferdigheit i mange fag. Spesielt kan vi nemne kroppsøving, naturfag og kunst og handverk i tillegg til matematikk. 19
Tid Oppgåve 7 Oppgåva er ei fleirvalsoppgåve og handlar om å løyse enkle samansette problem med emnet tid. I denne oppgåva må elevane vite at det er 60 sekund i eitt minutt og kunne rekne med det. Dette er en av oppgåvene med størst forskjell i resultata til jentene og gutane. Det var 14 prosentpoeng fleire gutar enn jenter som løyste oppgåva, noko som er heilt i tråd med resultata frå tidlegare års prøver. Svar Kommentar Prosentdel av elevane 16 s Eleven hentar berre tal frå oppgåveteksten. 22 s 6 s = 16 s 8 44 s Riktig svar 51 76 s Tenkjer minutt og sekund kvar for seg. 2 min 1 min = 1 min = 60 s 22 s 6 s = 16 s 21 60 s + 16 s = 76 s 126 s Tenkjer avstanden mellom Noreg og Finland. 2 min 6 s = 60 s + 60 s + 6 s = 126 s 19 Ikkje svart 2 Løysingsstrategiar Prøver alternativ Reknar seg fram til svaret Tel seg fram til halve og heile minutt og finn summen 1 min 22 s + 44 s = 1 min 66 s = 2 min 6 s 2 min 6 s = 60 s + 60 s + 6 s = 126 s 1 min 22 s = 60 s + 22 s = 82 s 126 s 82 s = 44 s 1 min 22 s + 8 s = 1 min 30 s 1 min 30 s + 30 s = 2 min 2 min + 6 s = 2 min 6 s 8 s + 30 s + 6 s = 44 s I etterarbeidet med denne oppgåva er det relevant å arbeide med omgrepa minutt, sekund og differanse. Når ein arbeider med talsystemet for berekning av tid, er det nødvendig å sjå dette i samanheng med urskiva på klokka. Praktiske øvingar med tidtaking og å rekne ut tidsdifferanse er også naturleg. Ei fin øving for å få betre forståing av omgrepa minutt og sekund, er å gjere ting på idealtid. 20
Å kunne gjere berekningar med tid i minutt og sekund er grunnleggjande ferdigheit i rekning i blant anna musikk, naturfag, mat og helse og kroppsøving. Statistikk I prøva for 2013 er det 14 oppgåver som er frå området statistikk. I desse oppgåvene skulle elevane lage diagram, tolke tabellar og diagram og bearbeide informasjon. Statistikk er eit emneområde som får stadig større innverknad i fleire fag, mykje på grunn av ei aukande digitalisering av kvardagen. Arbeid med å organisere, analysere, tolke, presentere og vurdere data og grafiske framstillingar er grunnleggjande ferdigheiter i rekning i alle fag. Innsamling av data til undersøkingar innafor faglege tema bør gjennomførast i praksis, ikkje berre teoretisk. Eit eksempel på dette er vist i oppgåva nedanfor. Oppgåve 2 Oppgåva er interaktiv og testar elevane si evne til å lage eit linjediagram ut frå informasjonen i ein tabell. Dette krev nøyaktigheit, men ingen høg grad av refleksjon, og er ei typisk statistikkoppgåve som har relevans for alle fag når det gjeld rekning som grunnleggjande ferdigheit. Oppgåvene i området statistikk i årets prøve er baserte på kompetansemål og rekning som grunnleggjande ferdigheit i alle fag i Kunnskapsløftet. 21
Tabell og bilete Oppgåve 16 Oppgåva er open og handlar om å tolke informasjonen i ein tabell, samanlikne informasjonen med opplysningane på eit bilete og samtidig merke seg ein nødvendig informasjon som står i teksten. 62 prosent av elevane fann riktig svar på oppgåva, og det var 9 prosentpoeng fleire jenter enn gutar som løyste oppgåva. Svar Kommentar Prosentdel av elevane 1270 kr 2 barn og 2 vaksne 3 % 1335 kr Riktig svar 62 % 1620 kr 2 barn og 3 vaksne 4 % Ikkje svart 2 % Dette er ei oppgåve som set krav til nøyaktigheit og evne til å strukturere opplysningar. Utfordringa består i at informasjonen skal hentast frå tre stader - teksten, tabellen og biletet. Elevane kan gjere feil på sjølve avlesinga, og dei kan addere feil. Å lese av riktig er ein føresetnad for at addisjonen skal kunne bli riktig. Reknestrategi: 1 år og 85 cm: - guten er under 85 cm, dermed gratis 32 år og 162 cm: - ho er vaksen og over 120 cm. Pris for éin dag er 350 kr 6 år og 122 cm: - ho er over 120 cm. Pris for éin dag er 350 kr 35 år og 188 cm: - han er vaksen og over 120 cm. Pris for éin dag 350 kr 4 år og 115 cm: - han er mellom 90 120 cm. Han er ikkje vaksen. Pris for éin dag 285 kr 0 kr + 350 kr + 350 kr + 350 kr + 285 kr = 1335 kr Svar: Familien Landrø må betale 1335 kr for éin dag i familieparken Å lese og lage tabellar og diagram og å samle inn og bearbeide data, er ei grunnleggjande ferdigheit i rekning som finst blant kompetansemål i alle fag. 22
Gjennomsnitt Oppgåve 34 Dette er ei fleirvalsoppgåve med 6 alternativ i rullegardin. Elevane må både meistre rekning med gjennomsnitt og vise at dei forstår omgrepet. Det er 39 prosent av elevane som svarer riktig på oppgåva, og 3 prosent svarer ikkje. Svar Kommentar Prosentdel av elevane 1 3 % 2 26 % 3 Deler inn i «3 over og 3 under» Trur gjennomsnitt avheng av talet på utøvarar 22 % 4 Riktig svar 39 % 5 4 % 6 4 % Ikkje svart 3 % Tala i tabellen er laga slik at det skal vere lett å addere dersom elevane kjenner til tiar-venner. Løysingsstrategiar: a) Addisjon med hjelp av tiar-venner: 1,33 + 1,97 = 1,4 + 1,9 = 3,3 2,08 + 1,82 = 2,1 + 1,8 = 3,9 2,16 + 1,44 = 2,2 + 1,4 = 3,6 3,3 m + 3,9 m + 3,6 m = 10,8 m Elevar som kjenner omgrepet gjennomsnitt, veit at dei skal dele summen på talet på deltakarar: Gjennomsnittet: 10,8 m : 6 = 1,8 m Alle som har hoppa lenger enn 1,8 m, har hoppa lenger enn gjennomsnittet. Svar: 4 b) Addisjon og divisjon Vanleg algoritmerekning: 1,33 m + 1, 97 m + 2,08 m + 1,82 m + 2,16 m + 1,44 m = 10,8 m 10,8 m : 6 = 1,8 m Gjennomsnittet: 10,8 m : 6 = 1,8 m Alle som har hoppa lenger enn 1,8 m, har hoppa lenger enn gjennomsnittet. Svar: 4 Som etterarbeid kan øvinga gjennomførast i praksis med grupper av elevar. Elevane hopper lengde, måler, reknar ut gjennomsnittet og finn kor mange som ligg over og under gjennomsnittet. Ein kan òg jobbe med utval der det er svært mange toppresultat eller svært mange låge skår for å vise korleis dette påverkar gjennomsnittet. 23 Å kunne arbeide med gjennomsnitt er avgjerande for å kunne presentere undersøkingar i fag som samfunnsfag, naturfag og norsk.
Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grønland 0135 OSLO Telefon 23 30 12 00 utdanningsdirektoratet.no 24