Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Akershus Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Håndverkeren kompetansesenter, 20.april 2012 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt! tone.bakken@ohg.vgs.no
På denne og neste tre sider er det kopier fra Tangentens oppgavehefte: MATEMATISKE UTFORDRINGER, Caspar forlag AS 2003. 2
3
4
5
PARSJEKK Denne strukturen egner seg til kontroll, bearbeiding og faglig påfyll. Hvis oppgavene er enkle, egner parsjekk seg også som introduksjon til et emne. Strukturen gir en viss trening i presis muntlig framstilling. Det er lett å lage differensierte undervisningsopplegg ved bruk av parsjekk. I tillegg kan bruk av parsjekk være en måte å gi de elevene som ikke er så faglig sterke, litt drahjelp på. Materiell: Hvert par får et ark med oppgaver. Organisering: Elevene bør sitte to og to ved siden av hverandre. Veiledning til læreren: Læreren skriver oppgaver i to kolonner på et ark. Oppgavene kan f.eks. være regnestykker, fagbegreper eller regler. Repetisjonsoppgaver og regnestykker i lærebøkene kan lett gjøres om til parsjekkoppgaver. Framgangsmåte: Elevene sitter to og to og løser annenhver oppgave. Elev 1 skal løse første oppgave ved å forklare muntlig hva som skal skrives ned. Elev 2 er sekretær og noterer det elev 1 sier. Elev 2 kan veilede og komme med råd hvis nødvendig. Når neste oppgave skal løses, bytter elevene roller, osv. Når parene er ferdige med oppgavene, kan to og to par sjekke svarene med hverandre. For å unngå at noen elever må vente på resten av klassen, kan det nederst på oppgavearket være to lag en oppgave til din medelev. 6
Mulighet for differensiering: Oppgavearket kan ha to og to oppgaver som er ganske like. Eleven som føler seg flinkest i emnet, begynner. Den andre kan lære av medeleven og deretter klare å løse sin oppgave. En annen mulighet er å la venstre kolonne inneholde lette oppgaver, mens høyre kolonne består av vanskeligere oppgaver. Læreren kan lage oppgaveark av ulik vanskelighetsgrad, slik at parene kan avgjøre hvilket nivå de vil jobbe på. La i så fall arkene ha forskjellig farge. 7
PARSJEKK GRUNNLEGGENDE REGNEFERDIGHETER For hver oppgave du skal løse må du også si hvilke regler som er viktige å passe på. Elev A: 1) 3 4 + 2 Elev B: 2) 2 + 3 4 Regel: Regel: 3) 3 6 4 4) 3 (6 4) Regel: Regel: 5) 3 2 6) 2 3 5 Regel: Regel: 7) (3+1) 2 8) (1 3) 2 Regel: Regel: 9) Lag en oppgave som den andre løser: 10) Lag en oppgave som den andre løser: 8
MEMORY Denne spillaktiviteten egner seg til å sjekke at elevene har forstått viktige begreper og til å prøve ut kunnskap på egen hånd. Aktiviteten kan tilrettelegges for å fremme muntlig aktivitet. Materiell: Hvert par eller hver gruppe får et sett med spillkort. Hvert sett inneholder kort med to farger. Kort med den ene fargen har et spørsmål eller begrep som skal forklares, mens kort med den andre fargen har svar på spørsmålene eller definisjoner. Organisering: Elevene jobber sammen to og to Framgangsmåte: Kortene legges ut i to rader: én med f.eks. røde og én med gule kort. En elev trekker et rødt kort først, tenker litt og trekker deretter et gult kort. Elevene forklarer hvorfor kortet er feil eller riktig. Hvis man trekker to kort som passer sammen, får man et par (et stikk). Hvis den som trekker har trukket et par uten å se det eller kunne forklare det, kan kanskje den andre få paret hvis forklaringen er riktig. Som hjelp for å regne underveis kan elevene få utdelt et ark med selve oppgavene. 9
Regnerekkefølge Memory 2 3 + 5 11 2 + 3 5 17 2 (3 + 5) 16 3 + 2 5 13 3 (5 2) 9. 5 (3 2) 5 2 + 3 + 5 10 10
LENKE Dette er en metode med mulighet for stor variasjon, og den kan brukes i en samlet klasse, i grupper eller i par. Lenke er fint å bruke når det er viktig at elevene får sjekket at de har forstått. I tillegg får elevene trening i å lytte og snakke. Materiell: Hver elev får én eller flere lapper med for eksempel spørsmål og svar. Veiledning til læreren: Læreren lager matematikkoppgaver på lappene ved å skrive ett svar og ett spørsmål på hver lapp. Et spørsmål kan gjerne ta utgangspunkt i svaret på samme lapp. Hvis man velger å ha spørsmål om begreper isteden, behøver det ikke være noen sammenheng mellom et svar og neste spørsmål. Husk å blande lappene før de deles ut. 11
LENKE i par Bruk: Hvis lenken er kort, eller hvis læreren ønsker å aktivisere elevene mest mulig kan det være hensiktsmessig å bruke lenke i par. Organisering: Når lenken legges i par, bør elevene sitte ved siden av hverandre to og to. Materiell: Lappene kan bestå av spørsmål og svar, eller av deler som skal settes sammen til en helhet. Framgangsmåte: Elevene fordeler lappene seg imellom. Lappen som er starten på lenken, kan gjerne ligge foran dem på bordet. Den som har neste lapp, legger ut lappen uten å si noe. Slik fortsetter man til lenken er lagt ut. Lenken kan ta utgangspunkt i et regnestykke eller i en matematisk framgangsmåte. Lappene legges under hverandre i lenken. Etter at hele lenken er lagt ut, bør elevene (f.eks. annenhver gang) forklare algoritmen som er brukt fra trinn til trinn, og hva som er viktig å passe på i denne overgangen. Mulighet for differensiering: Læreren kan f.eks. lage tre alternative oppgaver, slik at parene kan velge mellom tre nivåer. Bruk gjerne forskjellig farge på de ulike nivåene. 12
LENKE LIKNINGER Oppgave: Løs likningen æ ö æ ö çè ø çè ø 3+ 2ç3x- 2 = 5x- ç2x- 5 3+ 6x- 4= 5x- 2x+ 5 6x- 5x+ 2x=- 3+ 4+ 5 3x= 6 3x = 6 3 3 x= 2 13
LENKE i gruppe Bruk: Hvis lenken er kort, eller hvis læreren ønsker å aktivisere elevene mest mulig kan det være hensiktsmessig å bruke lenke i gruppe. Organisering: Når lenken legges gruppevis, bør elevene i hver gruppe sitte rundt et bord, slik at alle kan se lappene etter hvert som de legges ut. Framgangsmåte: Elevene i gruppa fordeler lappene omtrent likt seg imellom, slik at de får en eller flere lapper hver. Læreren sier hvilket spørsmål de skal starte med. Den som har svaret på spørsmålet, sier svaret. Deretter leser han eller hun spørsmålet som står på lappen, og legger lappen i lenken på bordet. Den som har svaret på dette spørsmålet, sier svaret, osv. Slik fortsetter man til hele lenken er lagt ut. 14
LENKE MÅLEENHETER 90 cm Jeg har 90 cm, hvem har 10 cm mer? 12 dm Jeg har 12 dm, hvem har halvparten så langt? Jeg har 1 m, hvem har dobbelt så mye? 1 m 60 cm Jeg har 60 cm, hvem har 12 cm mer? 200 cm Jeg har 200 cm, hvem har 50 cm mindre? 720 mm Jeg har 720 mm, hvem har 80 mm mer? 15 dm Jeg har 15 dm, hvem har 3 dm mindre? 80 cm Jeg har 80 cm, hvem har 10 cm mer? 15
GUIDET LÆRING Denne aktiviteten kan brukes som innledning til et emne. I stedet for at læreren styrer innledningen til emnet gjennom en samtale i plenum, styres læringen gjennom et skriftlig materiale. Informasjonen til elevene gis i små porsjoner og på en slik måte at elevene må formulere hypoteser eller gjøre seg opp en mening om hvordan noe henger sammen. Materiell: Elevene i hvert par får ett sett med nummererte ark eller kort. Disse ligger i riktig rekkefølge, og elevene jobber seg ferdig med én side før de begynner med den neste. Organisering: Elevene sitter to og to. Veiledning til læreren: Det er viktig at læreren sier til elevene at de ikke må kikke på neste ark før de har jobbet seg grundig igjennom det foregående. Læreren må understreke at elevene ikke må gå for raskt fram. Det bør være god plass til å notere på arkene, og elevene bør notere alt de kommer på. Framgangsmåte: Elevene jobber med ett ark om gangen, tenker høyt og blir enige om et svar på spørsmålene de får underveis. Etter hvert som de jobber, og etter å ha gjort seg opp en mening skriver de ned forslag til løsning. Svar, eller nye biter av fakta som skal hjelpe dem i tankeprosessen, får de ved å bla om til neste side. Videreføring: For å sikre riktig forståelse av lærestoffet kan man gjennomgå svarene i samlet klasse, for eksempel fylle ut riktige svar på et lysark. Dette vil også kunne belyse ulike løsninger og ulike grader av dybde i svarene. Hvis noen grupper har vært litt for raske, får de en sjanse ved at kunnskapen stadfestes i plenum. 16
Ark 1 PROPORSJONALE STØRRELSER GUIDET LÆRING Prisen på epler er 20 kr/kg. Hva må vi betale dersom vi kjøper: 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg eller 6 kg? Fyll ut tabellen: Antall kg 1 2 3 4 5 6 Pris å betale (kr) Prøv å forklare sammenhengen mellom antall kg epler og det vi betaler. bla om... 17
Ark 2 PROPORSJONALE STØRRELSER GUIDET LÆRING Svar: Sammenhengen er at: - Prisen øker med 20 kroner per kilogram - Antall kg og pris øker i samme takt - Deler vi pris på antall kg får vi bestandig 20 til svar.... Antall kg 1 2 3 4 5 6 Pris å betale (kr) 20 40 60 80 100 120 Hva kaller vi denne sammenhengen mellom pris og antall kg? bla om... 18
Ark 3 PROPORSJONALE STØRRELSER GUIDET LÆRING Svar: Sammenhengen mellom pris og kg er proporsjonal. Vi kan uttrykke at to størrelser er proporsjonale ved å innføre x og y, og så kaller vi tallforholdet mellom y og x for k. Dersom vi kaller antall kg for x og pris for y, og skriver opp tabellen fra ark 1 på nytt, blir dette tydelig dersom vi tar med en tredje rad i tabellen; - nemlig y k =. K kaller vi proporsjonalitetsfaktoren. x y Sjekk at det stemmer at k = 20 uansett hvor mange kg vi kjøper. x = Antall kg (x) 1 2 3 4 5 6 Pris å betale (y) k = y x Nå skal vi snart framstille denne sammenhengen grafisk. Vi lar antall kg være på x-aksen og pris på y-aksen. Prøv å svare uten å tegne hva slags graf blir dette? Hvor vil grafen krysse aksene? bla om... 19
Ark 4 PROPORSJONALE STØRRELSER GUIDET LÆRING Svar: Dersom vi framstiller to størrelser som er proporsjonale i et koordinatsystem, får vi alltid en rett linje som går gjennom origo. Likningen for denne linja er y = k x Bruk det du nå vet til å avgjøre hvilke av følgende som viser proporsjonalitet. Hva er i så fall k? Hva er det som ikke stemmer der det ikke er proporsjonalitet? a) b) c) d) x 1 2 3 y 150 300 450 e) x 10 20 40 y 80 160 240 f) x 1 2 3 y 3000 1500 1000 20
1 X 2 konkurranse Dette opplegget er mest som en avveksling og en annen måte å få oppgavene på. Når elever får et ark med oppgaver er de ofte mer motivert enn ved å jobbe i læreboka. Når det i tillegg eventuelt gjøres som en konkurranse blir mange motivert. Konkurransemomentet er selvsagt ikke det mest viktige! Opplegget passer til oppsummeringer, for eksempel før en prøve. Og etter å ha prøvd å finne riktig svar kan man utvide oppgavene ved at elevene lager spørsmål ut fra det som er gitt. Litt om oppgaven på neste side: Mange elever er ikke bevisst hvordan grafen til for eksempel et andregradsuttrykk ser ut, eller hvordan grafen til en lineær funksjon med negativt stigningstall ser ut. Det å koble tekst, funksjonsuttrykk, graf og tabell trenger de også trening i. Etter å ha gjennomgått hva som er riktige svar og hvorfor kan elevene lage oppgaver til hver av de seks praktiske situasjonene. Figur som viser hvordan man kan oversette mellom ulike representasjoner. Sigma 1P, side 75. 21
1 X 2 Konkurranse For hver av de 6 oppgavene under skal dere avgjøre hvilket av funksjonsuttrykkene som er det riktige. For hvert svar dere mener er riktig noterer dere ned en bokstav. Når dere har valgt ut ett funksjonsuttrykk for hver av oppgavene skal dere prøve å komme fram til løsningsordet ved å stokke om på bokstavene. O p p g a v e 1 Du har vunnet i LOTTO og setter kr 100 000 i banken. Banken gir 9,2 % rente per år. x år. 2 Du kjøper en ny bil til kr 292 000. Bilens verdi anslås å avta med 11 % i året. x år. 3 En bedrift produserer x stoler per måned. De har kr 5000 i faste kostnader per måned i tillegg til kr 75 i utgifter per stol. De samlede kostnadene per måned er: 4 En 400 liters vannbeholder tømmes. Det renner ut 6 liter vann per minutt. x er antall minutter. Hvor mye vann er det igjen etter x minutter? 5 Et utleiefirma skal ha kr 2000 for å leie ut en bil for mandag til fredag. I tillegg skal de ha kr 2,50 per km. x km. Hva blir samlet pris for leien? 6 En rektangulær tomt har en langside som er 10 m x lengre enn kortsiden. Vi kaller kortsiden x m. X + 10 Arealet av tomta kan uttrykkes slik: S v a r f o r s l a g 1 X 2 y = 100 000 9,2 x N y = 292 000 1,11 x y = 5000 + 75x y = 400 6x K E M y = 2000x + 2,50 A(x) = 2x + 10 R I y = 100 000 + 9,2 x T y = 292 000 0,89 x y = 5000 + 75 x y = 6x 400 A y = 2000 + 2,50x A(x) = 4x + 20 R N A S y = 100 000 1,092 x M y = 292 000 0,89 x y = 5000x + 75 y = 400 6 x U Ø L y = 2000 + 5 2,50 x A(x) = x(x + 10) K O Løsningsord: 22
Spørsmål i forbindelse med kartleggingen i matematikk Navn: 1) Hva synes du om matematikk? Matematikk er et morsomt fag ο Enig ο Delvis enig ο Uenig Matematikk er et viktig fag ο Enig ο Delvis enig ο Uenig Matematikk er lett å forstå ο Enig ο Delvis enig ο Uenig 2) Hvordan er de matematikkoppgavene du vanligvis jobber med? ο For vanskelige ο Akkurat passe ο For lette 3) Hvordan vil du bedømme dine egne prestasjoner i matematikk? ο Meget gode ο Ganske gode ο Ganske dårlige ο Meget dårlige 4) Hvor vanlig er det at du blir stående fast med en matematikkoppgave og må ha hjelp for å komme videre? ο Ofte ο Noen ganger ο Sjelden ο Aldri 5) Synes du det er lett å si i fra til læreren når det er noe du ikke forstår i matematikk? ο Ofte ο Noen ganger ο Sjelden ο Aldri 6) Hva skjer dersom du trenger hjelp i matematikktimene? Sett gjerne flere kryss. ο Læreren forklarer meg det hele på nytt ο Jeg får hjelp av andre elever ο Jeg blir sittende uten å gjøre noe ο Læreren spør meg hvordan jeg tenkte når jeg løste oppgaven 23
7) Når dere holdt på med et emne i matematikktimene på ungdomsskolen, synes du at klassen har brukt ο passe med tid ο for lite tid ο for mye tid før dere går videre til et nytt emne? 8) Forklar hvordan læreren bør undervise for at du skal bli flinkest mulig. 9) Hvis du synes matematikk er vanskelig / litt vanskelig: - Hva er vanskelig? Hvorfor? Hvis du likte matematikk på barneskolen, men ikke nå lenger? Hvorfor? 24