Eksamen S1 hausten 2014 Tid: 2 timar Hjelpemiddel: vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Oppgåve 1 (3 poeng) Løys likningane a) 2x 10 xx 5 b) x lg 3 5 2 Oppgåve 2 (1 poeng) Bruk ei kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet 995 995 Oppgåve 3 (2 poeng) Løys likningssystemet 2x y4 2 4x 3y 12 Oppgåve 4 (2 poeng) Skriv så enkelt som mogleg 2 a 2 2 b lg lg ab lg b a
Oppgåve 5 (5 poeng) Funksjonen f er gjeven ved 2 f x x x D f 3 3 2 2, a) Bestem f x. b) Bruk den deriverte til å bestemme eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Rekn ut f 3. Forklar ved hjelp av det du fann i oppgåve b), at f berre har eitt nullpunkt. Oppgåve 6 (4 poeng) Med bokstavane A, B, C og D skal vi lage ein kode på tre bokstavar. a) Kor mange ulike kodar kan vi lage dersom vi tillèt at éin bokstav kan brukast fleire gonger? b) Kor mange ulike kodar kan vi lage dersom kvar bokstav kan brukast berre éin gong? c) Kor mange ulike kodar kan vi lage dersom kvar av kodane skal innehalde minst to like bokstavar?
Oppgåve 7 (5 poeng) Ei bedrift produserer x einingar av ei vare. Einingskostnaden eining er gjeven ved 20000 Ex 4x 1200, x 0 x E x kroner per produsert a) Kor stor er einingskostnaden dersom bedrifta produserer 200 einingar av vara? Kva blir då den samla produksjonskostnaden? Bedrifta har inngått ein avtale der dei får selt alt dei produserer, for 2000 kroner per eining. b) Forklar at overskotet O i bedrifta når det blir produsert x einingar, er gjeve ved 2 O x 4x 800x 20000 c) Kva for ei produksjonsmengd gjev størst overskot? Oppgåve 8 (2 poeng) Funksjonen f er gjeven ved 3 f x x x D, f 2 Bruk definisjonen til den deriverte til å vise at f x 3x 1
Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Oppgåve 1 (4 poeng) Funksjonen f er gjeven ved 2 f x x 3x 5, D f a) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet 2, 2 vekstfarten til f i intervallet 1,3. f og den gjennomsnittlege b) Bestem den momentane vekstfarten til f i punktet, vekstfarten til f i intervallet 1, 1 kommenter. a f a og den gjennomsnittlege a a. Talet a er ein konstant. Samanlikn svara og Oppgåve 2 (5 poeng) For nøyaktig tre år sidan sette Per inn 10 000 kroner på ein sparekonto. Kontoen har ei fast årleg rente på 4,0%. a) Kor mykje pengar har Per på sparekontoen i dag? b) Kor mange år vil det gå frå han sette inn pengane, til han har 25 000 kroner på kontoen, dersom han lèt pengane bli ståande på kontoen? Per bestemmer seg for å setje inn meir pengar på kontoen. c) Kor mykje pengar må han setje inn på sparekontoen i dag for at det til saman skal stå 25 000 kroner på kontoen om sju år?
Oppgåve 3 (6 poeng) På ei bussrute er det 10 stoppestader i tillegg til endehaldeplassen. Dersom bussen køyrer ruta utan å stoppe, tek turen 20 min. For kvar gong bussen stoppar, går det eitt minutt ekstra. Sannsynet for at bussen må stoppe på ein vilkårleg stoppestad er 0,40. a) Bestem sannsynet for at bussturen tek nøyaktig 23 min. b) Bestem sannsynet for at bussturen tek mindre enn 25 min. Ein dag er det billettkontroll. I bussen er det 30 passasjerar. Fire av dei har ikkje billett. Fem vilkårlege passasjerar blir kontrollerte. c) Bestem sannsynet for at minst éin av dei fire utan billett blir kontrollert.
Oppgåve 4 (6 poeng) 3 Ein vasstank har form som ei rett kjegle. Tanken er 10,0 m høg. Ei pumpe fyller 18 m vatn på tanken kvar time. Det blir ikkje tappa noko vatn ut av tanken. Tabellen viser vasstanden i tanken ved ulike tidspunkt. Tid i timar 1 2 4 6 8 10 Vasstand i meter 3,3 4,2 5,2 6,0 6,6 7,1 a) Set punkta frå tabellen inn i eit koordinatsystem med tida langs x-aksen og vasstanden langs y-aksen. Lag ein potensfunksjon som passar med tala frå tabellen. b) Bestem kor mange timar det går før tanken er full. Kor mykje vatn er det i tanken då? Det skal byggjast ein ny tank med same form, men høgare. Den nye tanken skal romme 3 1000 m. c) Kor lang tid tek det for pumpa å fylle den nye tanken? Kor høg blir den nye tanken?
Oppgåve 5 (5 poeng) Avstanden mellom byane A og B er 200 km. Ein bil startar i A og køyrer mot B med farten 60 km/h. Vi set i gang ei klokke idet bilen i A startar. Ein annan bil startar i B 20 min seinare og køyrer mot A med farten 40 km/h. La t vere tida klokka viser, målt i timar. a) Forklar at likningssystemet nedanfor kan brukast til å bestemme kor langt det er frå A til staden der bilane møtest. s60t 1 s 200 40 t 3 b) Løys likningssystemet og bestem kor langt frå A dei møtest. Gå ut frå at føraren av bilen som startar i B, ønskjer at dei skal møtast midt mellom dei to byane. c) Bestem kva fart bilen hans må ha for at dette skal skje.
Oppgåve 6 (3 poeng) Vi skal lage ei pakke med form som eit rett prisme. Pakka har breidd lik y cm, lengd lik x cm og høgd lik x cm. Vi vil sikre pakka med svart pakkeband. Sjå figuren nedanfor. Vi ser at lengda av pakkebandet er 8x 4y. Vi vil lage pakka slik at ho har størst mogleg volum når vi bruker akkurat 900 cm med pakkeband. a) Vis at volumet Vx av pakka kan skrivast som V x 2x 225x 3 2 b) Bestem x og y slik at volumet av pakka blir størst mogleg. Kommenter svaret ditt. Bestem det største volumet, målt i kubikkdesimeter.
Oppgåve 7 (7 poeng) Ein matbutikk lagar to typar kjøtkaker. Tabellen nedanfor viser kor mykje kjøtdeig og mjøl som går med til å lage 1 kg kjøtkaker for kvar av dei to typane. Kjøtkaketype Kjøtdeig Mjøl A 0,40 kg 0,60 kg B 0,80 kg 0,20 kg Matbutikken har kvar veke tilgang på 1000 kg kjøtdeig og 800 kg mjøl. La x vere tal kilogram kjøtkaker av type A og y tal kilogram kjøtkaker av type B som blir laga kvar veke. a) Forklar at x og y må oppfylle ulikskapane nedanfor. x 0 y 0 0,60x0,20y 800 0,40x0,80y 1000 Ulikskapane avgrensar eit område. Marker dette området i eit koordinatsystem. Prisen på kjøtkaker av type A er 70 kroner per kilogram. Prisen for type B er 110 kroner per kilogram. b) Gå ut frå at butikken får selt alle kjøtkakene. Kor mykje av kvar type kjøtkaker må dei produsere for at salsinntektene skal bli størst mogleg? Ei veke er ein av dei tilsette i butikken sjuk. Dei klarer derfor ikkje å produsere meir enn 1500 kg kjøtkaker til saman. c) Kor mykje av kvar kjøtkaketype må dei produsere denne veka for at salsinntektene skal bli størst mogleg?.
Kjelder Oppgåver med bilete, teikningar og grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet