NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten 2 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere f() +2, dvs. løse ligningen mhp.. + 2 ( + 2 ) 2 ln 2 ln ln 2 ln Vi btter om på og : Vi sjekker svaret: f () ln 2 ln (f f )() + 2 ln 2 ln + e ln 2 ln 2 ln + e ln + + (f f)() ln 2 ln +2 b) Nøaktig samme utregning som i a) gir +2 ln 2 ln ( + 2 ) ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 f () ln. ln 5 lfov 27. august 2 Side
TMA4 Matematikk høsten 2 Avsnitt 2. 3 a) Gjennomsnittlig variasjon til funksjonen h(t) cot t over [ 4, 3 4 ] er cot 3 4 cot 4 3 4 4 2 4 b) Gjennomsnittlig variasjon til funksjonen h(t) cot t over [ 6, 2 ] er cot 2 cot 6 2 6 3 3 3 3 3 Avsnitt 2.3 2 Med ɛ krever vi at Vi deler absoluttverdien i to deler og får 7 4 < 7 4 < og 7 4 >. Løser vi disse to ulikhetene får vi < 32 og > 6. Begge disse må gjelde, dvs. for (6, 32) holder f() L < ɛ. Med 23 ser vi at ulikheten holder for < δ med δ 7. 53 La f() 2,, L. Da vil f() komme tettere på L når nærmer seg, men L er ikke grensen til f() for gående mot (grensen er L ). For å vise at L ikke er grensen til f() når går mot, negerer vi ɛ δ- definisjonen: L er ikke grensen til f() når nærmer seg hvis det finnes en ɛ slik at for alle δ, < δ f() L < ɛ. Gitt δ, skal vi altså finne en ɛ (og en ) slik at < δ og 2 ( ) 2 + 2 + > ɛ. Vi ser at 2 + > 2 for alle siden 2 for alle. La ɛ 2. lfov 27. august 2 Side 2
TMA4 Matematikk høsten 2 Avsnitt 2.5 35 Gjør vi polnomdivisjon får vi at PSfrag replacements 2 4 + 3. Først ser vi på hvordan f() oppfører seg når. Siden lim og lim + +, har grafen en vertikal asmptote ved. Når ±, går resten 3 (skrå asmptote). 4 mot, dvs. at for store vil f() oppføre seg som + 3 2 f() - 2 4 + -2-3 -6-4 -2 2 4 6 8 Figur : Oppgave 2.5.35 Avsnitt 2.6 39 For at f skal være kontinuerlig må vi ha () lim f() lim f() 3 3 + Beregn først hver side for seg Sett inn i () og beregn a lim f() 3 32 8 lim f() 2a 3 6a 3 + 8 6a a 4 3 Ved kontinuitetstesten (på side 5 i boka) er f kontinuerlig for a 4 3. lfov 27. august 2 Side 3
.8.9 TMA4 Matematikk høsten 2 2..2.3.4.5.6.7.8.9 f() 5 5 2 8 3-5 -2-2 3 4 5 6 7 Figur 2: Oppgave 2.6.39 46 Siden funksjonen er kontinuerlig kan vi bruke skjæringssetningen (intermediate value theorem). Det holder da å vise at f() cos() har minst en positiv verdi og minst en negativ verdi. Vi ser for eksempel at Ligningen har dermed minst en løsning. Avsnitt 2.7 f() > og f( 2 ) 2 < 34 Nei, grafen til g har ingen tangent i origo fordi g(h) g() h h sin h h sin h ikke har en grense når h nærmer seg (jf. 2.59f side 6 i boka). Avsnitt 3.2 53 Fra oppgaven følger det at kurven går gjennom punktene (, 2) og (, ) og har stigningstall for. Mao.: 2 () a 2 + b + c a + b + c () a 2 + b + c () 2a + b b Ved å løse dette ligningssstemet får man at a, b og c. lfov 27. august 2 Side 4
.9 TMA4 Matematikk høsten 2 2..2.3.4.5.6.7.8.9 - -2 (, ) (.74..., ) ( 2, 2 ) -3-4 - -.5.5.5 2 2.5 Figur 3: Oppgave 2.6.46. Avsnitt 3.3 3 a) s(t) 79 6t 2 v(t) s (t) 32t a(t) s (t) 32 b) Når ballens høde er s treffer ballen bakken 79 6t 2 79 t 6 s 79s 3.3s 4 c) Setter inn tiden vi fant i b inn i ligningen for farten i a v( 4 79) 8 79ft/s 32.6m/s Avsnitt 3.4 25 a) Vi skal regne ut den andrederiverte av csc() første: sin(). La oss begnne med den sin 2 () cos() cos() sin() sin() cot() csc() cot() sin() lfov 27. august 2 Side 5
TMA4 Matematikk høsten 2 Nå regner vi ut den andrederiverte: (csc()) cot() csc()(cot()) ( csc() cot()) cot() csc()( csc 2 ()) cos 2 () sin() sin 2 () + sin() sin 2 () sin 2 () sin() sin 2 + () sin() sin 2 () 2 csc 3 () csc() b) Vi skal regne ut den andrederiverte av sec() første: Nå regner vi ut den andrederiverte: Avsnitt 3.5 sec() tan() cos() (sec()) tan() + sec()(tan()) sec() tan 2 () + sec() sec 2 () sin 2 () cos() cos 2 () + cos 3 () cos 2 () cos() cos 2 + () cos 3 () 2 sec 3 () sec(). La oss begnne med den 97 La t. Av dette følger + t 2. Siden vi skal parametrisere nedre halvdel av parabolen får vi at parametriseringen av kurven er gitt ved Avsnitt 3.6 + t 2, t for t (, ]. 2 Vi bruker implisitt derivasjon til å finne d/d for 3 + 3 8, 3 + 3 8, d d (3 + 3 ) d d 8, 3 2 + 3 2 d d 8 + 8 d d, (3 2 8) d d 8 32, d 8 32 d 3 2 8. 32 Vi viser først at punktet ( 2, ) er på kurven 2 2 4, 2 2 4 2 2 ( 2) 4. lfov 27. august 2 Side 6
TMA4 Matematikk høsten 2 Vi skal finne tangenten til kurven i punktet gitt over. Vi finner stigningstallet til en tangent til kurven ved å bruke implisitt derivasjon, 2 2 4, d d (2 2 4 ), 2 d d 2 4 d d, d d 2 2 4. I punktet vårt er stigningstallet d 2 d ( 2,) 2 4, og ligningen for tangenten i punktet vårt blir da ( ( 2)),. Vi skal finne normalen til kurven i punktet gitt over. Siden stigningstallet til tangenten er a og normalen står vinkelrett på tangenten, er stigningstallet til normalen lik /a. Ligningen for normalen blir da Avsnitt 3.7 ( ( 2)), + 3. 9 Vi antar at f() har en invers, dvs. at f eksisterer. Videre har vi fra oppgaveteksten at f(2) 4 og f (2) /3. Vi skal finne df d Merk at f (4) f (f(2)) 2. Ved å bruke Teorem 3.7.4, Derivasjonsregel for inverse, får vi df d 4 df 3. 3 Avsnitt 3.8 4 d f (4)2 3 Bare se på grafen på side 94 i boken. Funksjonen er kontinuerlig i [, ], så grensen er funksjonsverdien i punktet, sin () 2. lfov 27. august 2 Side 7