Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever avansert matematikk. Mange kjente funksjoner kan tilnærmes med en potensrekke, f.eks.: 2! 3! 4! Denne rekka konvergerer (dvs. er gyldig) for alle verdier! Det generelle er imidlertid at [] bare konvergerer innenfor et begrenset intervall Binomialrekker Funksjonen kan generelt skrives på rekkeform som: 0 2 2! 2 3! 2! Hvor: er binomialkoeffisienten, og! 2 3 4 0 [2] kalles ofte en binomialrekke. Resultatet blir nøyaktig det samme med Maclaurinrekke utvikling (senere tema) Binomialrekker kan derfor betraktes som et spesialtilfelle av Maclaurinrekker (som igjen er potensrekker) Dersom (positivt heltall) Rekka termineres etter ledd, siden f.eks. 3 = 0. Vi får dermed et r te ordens polynom av x. 4 ( Egentlig selvinnlysende. F.eks. 2 ) Binomialkoeffisientene kan også regnes ut som:!!! Eksempel: : 8 3 8! 5! 5! 56.!, og dessuten pga. symmetri: Denne funksjonen finnes også på de fleste kalkulatorer. ( CASIO: 8 3 8 3 56 ) Potensrekker med vekt på binomialsetningen Side
Vi kan også sette opp den såkalte Pascals trekant: 0 0 0 0 2 2 0 2 2 2,. 3 3 0 3 3 2 3 3 Eller med tallverdier: 0 2 2 3 3 3 4 4 6 4 5 5 0 0 5 Merk! Hvert tall i en rad er summen av tilstøtende tall i raden over, f.eks. 3 2 0 2 3 2 Eksempel? Svar: Likning []: 5 Direkte fra trekanten (r=5): 5x0 0 5 Variabel kan anta alle verdier, dvs. Dersom r Binomialkoeffisientene i likning [2] vil aldri terminere. Vi får en uendelig potensrekke Men! Rekka konvergerer absolutt bare for ( Evt. betinget konvergens for ) å : Eksempel 2 å Bruker likning [2], her med 2 2! 23 3! Men dette gjelder altså kun for : ( Dette er lett å innse. eksisterer ikke for, mens gir. Innsatt i rekka ville resultatet derimot blitt, altså en divergent rekke hvor delsummene veksler mellom og 0. Det er jo åpenbart ikke riktig. ) Potensrekker med vekt på binomialsetningen Side 2
Med et konvergensintervall på er tilsynelatende anvendelsesområdet begrenset, men det er forbausende mange funksjoner som kan uttrykkes med utgangspunkt i [2]. Dette fordi vi med alle potensrekker kan foreta substitusjoner, addisjon/subtraksjon, multiplikasjon, derivasjon, integrasjon, etc. Eksempel 3. Substitusjon 2 2 Funksjonen er på samme form som i eksempel 2. Vi behøver bare bytte ut med 2 2 2 2 2 2 2 2 Men konvergensintervallet er nå: eller 2 2 Eksempel 4. Omskriving Alternativ. 2, å ø 3 3 3 3 9 3 Nå kan vi bruke [2], med 2 og erstattet med 9 3 9 2 3 23 2 3 234 3! 3 9 2 3 3 3 4 3 9 3 Konvergensintervall : eller 3 3 Alternativ 2 2 3 Nå kan vi bruke [2], med 2 og erstattet med 2 2 2 2 3 2 4 2 2 Konvergensintervall : 2 eller 3 ( Denne rekka er identisk med en Taylorrekke (senere tema) om arbeidspunktet 2 ) 3 Potensrekker med vekt på binomialsetningen Side 3
Eksempel 5. Derivasjon ø. 2. Her kunne vi selvsagt benyttet likning [2] direkte, men er deriverbar og Vi kan derfor rekkeutvikle ved å derivere rekka til ledd for ledd. 23 4 Vi kan sågar derivere summen direkte: ( Nedre summegrense endres til fordi 0 ) Merk! Konvergensintervallet endres ikke ved derivasjon, Eksempel 6. Integrasjon ln x Denne funksjonen er ikke på riktig form i forhold til binomialsetningen, men: x x.. 5 Vi kan derfor rekkeutvikle ved å integrere rekka til ledd for ledd. ln x 2 3 4 Eller direkte på hele summen: ln x Konvergensintervall: ( Merk! Gyldig også for, siden vi da får den alternerende harmoniske rekka ) Potensrekker med vekt på binomialsetningen Side 4
Kjente Maclaurinrekker Hvordan Maclaurinrekker utvikles er et senere tema, men de vanligste finner du ofte i lærebøker og formelsamlinger, for eks. John Haugan: Formler og tabeller, side 27 28. Nevner bare: 2! 3! 4!!, sin 3! 5! 7! 2! cos 2! 4! 6! 2!,, Eksempel 7 Nå er det lett å vise at: lim sin lim 3! 5! Multiplikasjon Potensrekker kan også multipliseres selv om det er mer tungvint enn forutgående eksempler., : Den av rekkene som har det minste konvergensintervallet, bestemmer også konvergensintervallet til den nye rekka. Eksempel 8, : 2!!...:!,!!...: 0!, 0!! 2, 0!! 2! 5 2,... 2 5 2 8 3 65 24 63 60, Merk! Rekka til konvergerer for alle x, rekka til bare for. Sistnevnte blir da bestemmende for Potensrekker med vekt på binomialsetningen Side 5