Notat med oppgaver for MAT1140

Notat med oppgaver for MAT1140 1 Injeksjon, surjeksjon Oppgave 1.1. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f injektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : C A hvis f g = f h så g = h. Oppgave 1.2. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f surjektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : B C hvis g f = h f så g = h. 2 Om utvalgsaksiomet Vi minner om utvalgsaksiomet: Aksiom 2.1. Anta at I og U er ikke-tomme mengder. Anta at for hver i I er A i en ikke-tom delmengde av U. Da finnes det en avbildning f : I U slik at for hver i I har vi f(i) A i. Oppgave 2.1. Vi minner om følgende resultat: (*) En avbildning f : A B er surjektiv hvis og bare hvis det finnes en avbildning g : B A slik at f g = id B. Beviset for (*) brukte utvalgsaksiomet. I denne oppgaven skal vi vise at man kan utlede utvalgsaksiomet fra (*). Man beholder da alle de andre aksiomene i mengdeteorien. La I og U være ikke-tomme mengder. La (A i ) i I være en familie bestående av ikke-tomme delmengder av U. Vi ønsker altså å vise at: Vi danner mengden: A i. (1) i I C = i I A i = {(i, u) I U : u A i }. (2) Finn en surjeksjon C I slik at man kan bruke (*) til å utlede (1). Oppgave 2.2. Vi antar nå at I, J og U er ikke-tomme mengder. For hver (i, j) I J antar vi at vi har en delmengde A (i,j) av U. Vis følgende identitet: A (i,j) = A (i,f(i)). (3) i I j J f J I i I 1

3 Direkte og inversbilde La U og V være to ikke-tomme mengder, og la f : U V være en avbildning. Gitt B P(V ) bruker vi følgende notasjon for inversbildet til B gjennom f: f (B) = {x U : f(x) B}. (4) f: Merk at dette definerer en avbildning f : P(V ) P(U). For A P(U) bruker vi følgende notasjon for direktebildet til A gjennom f (A) = {f(x) : x A}. (5) Merk at dette definerer en avbildning f : P(U) P(V ). Oppgave 3.1. (i) Sjekk at for alle A U og alle B V har vi: (ii) Vis at for alle A U har vi: (iii) Vis at for alle B V har vi: f (A) B A f (B). (6) A f (f (A)). (7) f (f (B)) B. (8) (iv) Vis at f er injektiv hvis og bare hvis, for alle A U har vi: f (f (A)) A. (9) (v) Vis at f er surjektiv hvis og bare hvis, for alle B V har vi B f (f (B)). (10) Oppgave 3.2. (i) Gitt f : U V og g : V W, vis at vi har: Vis også at, gitt en mengde U har vi: (g f) = f g. (11) (id U ) = id P(U). (12) (ii) Vis at f : U V er surjektiv hvis og bare hvis f : P(U) P(V ) er injektiv. (iii) Vis at f : U V er injektiv hvis og bare hvis f : P(V ) P(U) er surjektiv. 2

Oppgave 3.3. Finn ut om vi har egenskaper tilsvarende forrige oppgave, med f i stedet for f. Oppgave 3.4. Anta at f : U V er en bijeksjon. (i) Vis at f og f er bijeksjoner og: (ii) Vis at: (f ) 1 = f, (13) (f ) 1 = f. (14) (15) (f 1 ) = f, (16) (f 1 ) = f. (17) 4 Følger og naturlige tall. Oppgave 4.1. La A være en ikke-tom mengde. La F = A N være mengden av alle følger i A. Vi definerer en relasjon på F ved: u v {u n : n N} = {v n : n N}. (18) Vi definerer en annen relasjon ved: u v det finnes en bijeksjon σ : N N slik at n N u σ(n) = v n. (19) (i) Vis at er en ekvivalensrelasjon på F. (ii) Vis at er en ekvivalensrelasjon på F. (iii) Vis at er finere enn ; det vil si at: u v = u v (20) (iv) Vis at ikke er finere enn, når A inneholder minst to elementer. Oppgave 4.2. Vis at hver ikke-tomme delmengde av N som har en øvre skranke har et største element. Oppgave 4.3. La E være en ikke-tom mengde som er totalt ordnet av en relasjon vi skriver. Vi antar at: hver ikke-tomme delmengde av E har et minste element. hver ikke-tomme delmengde av E som har en øvre skranke har et største element. 3

E har ikke noe største element. La e være det minste elementet i E og la E = E \ {e}. (i) For hver x E definerer vi: Begrunn at s(x) finnes og ligger i E. (ii) For hver x E definerer vi: Begrunn at p(x) finnes. s(x) = min{y E : y > x}. (21) p(x) = max{y E : y < x} (22) Vi har atså definert to avbildninger s : E E og p : E E. (iii) Vis at p s = id E. (iv) Vis at s p = id E. (v) La P være en egenskap definert på E og anta følgende. For det første holder P (e) og for det andre gjelder det at : Vis at da gjelder det at x E x E P (x) = P (s(e)). (23) P (x). (vi) Sammenlikn med Peanos aksiomer for de naturlige tallene. Oppgave 4.4. La være et objekt som ikke tilhører N. Vi definerer N = N { }. Vi utvider den vanlige ordensrelasjonen på N til N ved å erklære at og n N n ( n). (24) (i) Sjekk at vi virkelig oppnår en ordensrelasjon på N. (ii) Sjekk at denne ordensrelasjonen er total. (iii) Vis at hver ikke-tomme delmengde av N har et minste element. Oppgave 4.5. Definer en relasjon på N N ved: (m, n) (m, n ) m + n = m + n. (25) (i) Vis at er en ekvivalensrelasjon. La [(m, n)] være ekvivalensklassen til (m, n). La E være mengden av ekvivalensklasser. Vi betrakter følgende avbildning: { E Z i : (26) [(m, n)] m n (ii) Vis at i er veldefinert. (iii) Vis at i er en bijeksjon. 4

5 Korrespondanser Funksjoner, ekvivalensrelasjoner og ordensrelasjoner kan alle sees på som spesialtilfeller av et mer generelt begrep kalt korrespondanser. Definisjon 5.1. En korrespondanse fra X til Y er en trippel (X, Y, F ) slik at F X Y. Dersom f = (X, Y, F ) er en korrespondanse, kalles F for grafen til f. Definisjon 5.2. La f = (X, Y, F ) og g = (Y, Z, G) være to korrespondanser. Komposisjonen til f med g er trippelen h = (X, Z, H) hvor H er definert ved: (x, z) H y Y (x, y) F (y, z) G. (27) Man skriver h = g f. Man skriver også H = G F. Oppgave 5.1. Sjekk at dersom f og g er funksjoner er funksjonen g f (med komposisjon av funksjoner) det samme som korrespondansen g f (med komposisjon av korrespondanser). Teorem 5.1. La f = (X, Y, F ), g = (Y, Z, G), og h = (Z, T, H) være korrespondanser. Da har vi: h (g f) = (h g) f. (28) Bevis: La A være grafen til h g og B være grafen til g f. La C være grafen til (h g) f og D være grafen til h (g f). For alle x X og alle t T har vi: og: (x, t) C (29) y Y (x, y) F (y, t) A, (30) y Y (x, y) F ( z Z (y, z) G (z, t) H). (31) (x, t) D (32) z Z (x, z) B (z, t) H, (33) z Z ( y Y (x, y) F (y, z) G) (z, t) H. (34) Likheten C = D følger nå av generelle egenskaper ved kvantorer og konnektiver. Bemerkning 5.1. Dette gir et alternativt bevis for den tilsvarende egenskapen for funksjoner, som har den fordelen at den ikke bruker notasjonen f(x) eller mer eller mindre implisitte regler for dannelse av uttryk ved hjelp av parenteser. 5

Definisjon 5.3. La f = (X, Y, F ) være en korrespondanse. Den transponerte til f er korrespondansen f = (Y, X, F ) hvor: (y, x) F (x, y) F (35) Oppgave 5.2. La f = (X, Y, F ) være en avbildning. Vis at f er en bijeksjon hvis og bare hvis korrespondansen f er en avbildning, og at i så fall er f inversen til f. Oppgave 5.3. La X være en mengde. Vi lar I X være grafen til id X. Hvis (X, X, E) er en korrespondanse, er E (grafen til) en ekvivalensrelasjon på X hvis og bare hvis: I X E, (36) E E E, (37) E E. (38) Oppgave 5.4. La X være en mengde. Vi lar I X være grafen til id X. Hvis (X, X, O) er en korrespondanse, er O (grafen til) en ordensrelasjon på X hvis og bare hvis: I X O, (39) O O O, (40) O O I X. (41) 6 Ordensrelasjoner Oppgave 6.1. La A være en mengde utstyrt med en refleksiv og transitiv. Vi definerer en relasjon på A ved: (i) Vis at er en ekvivalensrelasjon. x y (x y y x). (42) Vi lar [x] betegne ekvivalensklassen til x A, og lar A/ være mengden av ekvivalensklasser. (ii) Sjekk at vi kan definere en relasjon på ekvivalensklassene (elementer i A/ ) ved, for x, y A: (iii) Vis at er en ordensrelasjon på A/. ([x] [y]) (x y). (43) Oppgave 6.2. La A være en mengde med to elementer x og y. Finn alle ordensrelasjoner på A. Oppgave 6.3. Hva kan vi si om en relasjon som er både en ekvivalensrelasjon og en ordensrelasjon? 6

7 Kardinalitet Oppgave 7.1. La A være en delmengde av N. Vis at A er endelig hvis og bare hvis A har en øvre skranke. Oppgave 7.2. La A være en endelig del av N med kardinal n. Vis at da finnes det en og bare en voksende bijeksjon N n A. Oppgave 7.3. A er uendelig hvis og bare hvis det finnes en streng delmengde B av A slik at det finnes en bijeksjon A B. Det kan være nyttig å se på tilfellet der A er tellbar først. 8 Operasjoner Oppgave 8.1. (i) La være et objekt slik at N. Definer N = N { }. Utvid + fra å være en operasjon på N til en operasjon på N, slik at man oppnår en kommutativ monoide. (ii) La og + være to forskjellige objekter som ikke ligger i Z, og definer Z = Z {, + }. Finnes det en naturlig utvidelse av + til Z som gjør Z til en gruppe? 7