FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving Frist for innlevering (Til I.Ø.): 7. mai kl 7 Oppgave 9 hydrogenlignende atom Ekstraøving I denne oppgaven ser vi på et hydrogenlignende atom, der et elektron beveger seg i feltet fra en cesiumkjerne med 55 protoner (og 78 nøytroner). For grunntilstandsorbitalen ψ 00 og de eksiterte orbitalene ψ til et slikt hydrogenlignende atom kan det vises (se Hemmer side 0) at forventningsverdiene av utvalgte potenser av r er gitt ved følgende formler: r = n (5n + 3l 3l), a r a a r a r a 3 r 3 = (3n l l), = n, = = n 3 (l + ), n 3 l(l +. )(l + ) Her er m e a = a 0 m Z a 0 Z, hvor a 0 er Bohr-radien og Z er atom-nummeret. (Vi har satt m m e, siden den reduserte massen m er veldig nær elektronmassen, spesielt for store Z.) a. Størrelsene /r, r og r / kan alle brukes som mål for radien til orbitalen. Finn disse størrelsene (i enheter av Bohr-radien a 0 ) for grunntilstandsorbitalen ψ 00, for tilfellet Z = 55. b. Finn også de samme størrelsene for orbitalen ψ 600 (n = 6, l = m = 0). c. For en gitt orbital ψ = u nl(r) Y lm (θ, φ) r kan radialfunksjonen finnes fra ligning (T5.8) i Tillegg 5, hvor u nl (ρ) = ρ l+ e ρ/ [b 0 + b ρ + b ρ + ] [ = ρ l+ e ρ/ b 0 + n r l + ρ + n r( n r + ) (l + )(4l + 6) ρ n r = n l, + n r( n r + )( n r + ) (l + )(4l + 6)(6l + ) ρ3 ρ = r na, ],
FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving og hvor flere ledd i polynomet kan finnes fra rekursjonsformelen k n r b k = b k, k =,,. k(l + + k) Bruk disse formlene til å vise at u 60 (r) = b 0 r e r/6a [ 5 r 6 a + 5 7 (r a ) 5 7 (r a )3 + ] 4 8 (r a )4 70 43 (r a )5. d. Figuren viser radialfunksjonen u 60 (r) = rr 60 (r) og radialtettheten P 60 (r) = [rr 60 (r)] = [u 60 (r)] (i vilkårlig enheter) som funksjoner av r/a. Her legger vi merke til at polynomet virkelig har n r = 5 nullpunkter (noder). (i) Forklar hvorfor nullpunktene ligger tettest for små r. [Hint: u 60 (r) oppfyller en endimensjonal ligning, med potensialet V (r) = Ze /(4πɛ 0 r).] (ii) Du inviteres også til å spekulere på hvorfor amplitudene til oscillasjonene i u 60 (r) øker med r. [Hint: Sammenlign med tilsvarende oscillasjoner i egenfunksjonene til den endimensjonale harmoniske oscillatoren.] (iii) Kurven P 60 (r) gir oss mulighet for å definere enda et mål for orbitalradien, nemlig radien til den kulen som inneholder for eksempel 90 prosent av sannsynligheten. Finn (ved å inspisere figuren) et estimat av denne radien, og sammenlign dette estimatet med de andre målene for radien (jf pkt. b). e. For den hydrogenlignende grunntilstanden kan vi beregne den tilsvarende 90-prosentradien vha en formel fra øving 6. Ifølge denne formelen er sannsynligheten for å finne elektronet utenfor radien r 0 P r>r0 = (r 0/a + r 0 /a + )e r 0/a. Finn den verdien av r 0 /a som gir P r>r0 = 0. ved hjelp av det vedlagte matlab-programmet (ekstraa.m). Det opplyses at normeringskonstanten b 0 i u 60 er 6/8 a 3/. Bruk det samme programmet til å finne 90-prosent-radien til orbitalen ψ 600 (ved å prøve deg fram med varierende øvre integrasjonsgrense), og kontrollér på denne måten hvor godt estimatet ovenfor var. [Hint: Det er praktisk å bruke r/a = x som integrasjonsvariabel.]
FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving 3 Oppgave 30 Forenklet atom-modell Istedenfor et hydrogenlignende atom med Z = 55, betrakter vi nå et cesium-atom, 33 55 Cs, med elektronkonfigurasjonen s s p 6 3s 3p 6 4s 3d 0 4p 6 5s 4d 0 5p 6 6s, der 6s-orbitalen ψ 600 (med n = 6, l = 0 og n r = 5) er den løsest bundne. a. Tell antall elektroner i denne konfigurasjonen, og sjekk at den beskriver et nøytralt cesium-atom. Vi skal her lage oss en sterkt forenklet modell av dette atomet, der vi beskriver vekselvirkningen mellom et gitt elektron og de øvrige 54 elektronene samt kjernen ved hjelp av et skjermet Coulomb-potensial. Det uskjermede Coulomb-potensialet, som beskriver vekselvirningen mellom det enkelte elektronet og kjernen, er V C = Ze 4πɛ 0 r = h m e a x, der a = a 0 Z og x = r a. Merk at x er samme dimensjonsløse variabel som vi brukte i forrige oppgave. Som skjermet Coulomb-potensial velger vi å bruke [ ( V = h m e a x Z + ) ] e x/k = e [ ] + (Z )e x/k. Z 4πɛ 0 ax For store r = ax ser du at dette potensialet går som e /(4πɛ 0 r). Når elektronet befinner seg langt borte fra kjernen, ser det altså effektivt en ladning +e. Dette betyr at potensialet V svarer til 55 protonladninger i kjernen og en skjermende ladning på 54e utenfor kjernen. Dette er den måten det skjermede potensialet tar hensyn til de 54 øvrige elektronene på. Merk ellers at vekselvirkningen mellom vårt utvalgte elektron og skjermingsladningen (de 54 øvrige) representeres av differansen V = V V C = e 4πɛ 0 ax (Z )( e x/k ). I grensen x 0 går denne differansen mot en konstant, e V (0) = lim x 0 Z 4πɛ 0 ax e Z ( + x/k + ) = 4πɛ 0 ak For små r opplever elektronet altså et potensial V V C + V (0) = Ze (Z )e + 4πɛ 0 ax 4πɛ 0 ak. = h m e a Z Zk. Som du kanskje skjønner ut fra Coulombs lov, betyr dette at middelverdien av /r for de Z skjermingsladningene er /ak. Dermed har vi et begrep om hva konstanten k i formlene ovenfor står for. (Jf diskusjonen side 6 i Tillegg 6.)
FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving 4 Den nederste (blå) kurven i figuren viser det uskjermede Coulomb-potensialet. Nest nederst finner du det skjermede potensialet. Den positive (røde) kurven er differansen V. Den grønne og den fiolette viser de effektive potensialene V l eff = V (r) + h l(l + ) m e r for l = og l = 3, alle disse i enheter av h (m e a ). For en gitt l er det det effektive potensialet som opptrer i radialligningen: [ h d ] m e dr + V l eff u(r) = E u(r). Med ɛ E h /(m e a ) og v l eff = x kan vi skrive denne ligningen på den dimensjonsløse formen d u dx = [ veff(x) l ɛ ] u. [ ( Z + ) ] e x/k l(l + ) + Z x
FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving 5 Dette er samme formen som ble brukt i Matlab-programmet i øving 9. Dette programmet, som her er lagt ved i ny og utvidet versjon (ekstrab.m), skal vi nå bruke til å granske vår forenklede modell for cesium-stomet. b. Start med å sjekke at programmet gir korrekte resultater for det hydrogenlignende atomet, hvor fasiten er at ɛ n = E n /( h /(m e a )) = /(n ). Velg l = 0 (dvs s-bølger) og velg k veldig stor (f.eks lik 00000), slik at skjermingen for alle praktiske formål er fjernet. Merk at programmet setter løsningen lik null for x XL, så XL må ikke velges for liten. For å skjønne dette kan du først velge XL = 30. Ta en utskrift av de fem første egenfunksjonene, og sjekk verdiene av n ɛ n00. Velg deretter XL = 40, vis at egenverdien for n = 6 og 90-prosent-radien da kommer ut som de skal. Hvorfor er feilen i egenverdiene for n = og n = i dette tilfellet større enn for XL = 30? c. Nå til cesium -atomet. Her setter vi (litt vilkårlig) k = 7. Dette er jo uansett bare en lekemodell for et atom. Finn 90-%-radien (x 90 ) og energien (ɛ 00 og E 00 ) for sobitalen, og vis at radien er praktisk talt den samme som for det hydrogenlignende atomet, mens ɛ 00 er hevet med beløpet V (0) (tilnærmet). Forklar dette, med utgangspunkt i potensialdiagrammet ovenfor. [Hint: Bruk f.eks XL = 30 og hent gjerne inspirasjon fra LF for oppgave ved eksamen 5. august 009. Det oppgis at h m e a = h Z m e a 0 = Z 7.4 ev.] d. Potensialdiagrammet i oppgaveteksten viser at det skjermede potensialet er vesentlig grunnere enn det uskjermede potensialet for det hydrogenlignende atomet, spesielt for store x (= r/a). Vi må derfor vente at energiene for de løsest bundne orbitalene her får en større relativ hevning, og at radiene blir større enn for det hydrogenlignende atomet. Sett l = 0 og XL = 800, finn energien E 600 for 6s-orbitalen, og vis at 90-%-radien for denne er mye større enn for det hydrogenlignende atomet. e. Skjermingen betyr at V ikke er et /r-potensial, og fører til at l-degenerasjonen oppheves, slik at energinivåer med samme n = l + + n r, men forskjellige l og n r (som var degenerert for det hydrogenlignende atomet) splittes opp for det skjermede atomet. Bruk programmet til å finne energiene i ev for n =, 3, 4 : E s = E p = E 3s = E 3p = E 3d = E 4s = E 4p = E 4d = E 4f = [Dette betyr at programmet må kjøres for l = 0,, og 3. Den optimale XL-verdien vil variere fra egenverdi til egenverdi, men du vil komme forholdsvis brukbart fra det ved å bruke XL = 00 over hele fjøla. Husk ellers at n r er antall nullpunkter i radialfunksjonen.] Oppgave 3 Betrakt et H + -lignende system, der ett elektron beveger seg potensialet fra to protoner (p og p ) som vi tenker oss holdt fast i en avstand R. La ψ og ψ være s-orbitaler (hydrogenorbitaler) sentrert rundt hhvis p og p, slik at ( K + V )ψ = E H ψ og ( K + V )ψ = E H ψ.
FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving 6 Her svarer V til Coulomb-kraften mellom elektronet og p (og V svarer til Coulomb-kraften mellom elektronet og p ), og E H α m e c ( 3.6 ev). a. Anta først at avstanden R mellom p og p er mye større enn Bohr-radien a 0, og argumentér for at lineærkombinasjonene ψ ± (ψ ± ψ )/ tilnærmet er egenfunksjoner til Hamilton-operatoren Ĥ = K + V + V for det H + -lignende systemet, og finn elektronets energi. Hint: Vis at Ĥψ ± E H ψ ±, fordi V ψ og V ψ begge er små når R er stor. Totalenergien (i forhold til tre isolerte partikler) er summen av elektronenergien og beløpet e /(4πɛ 0 R), som svarer til Coulomb-frastøtningen mellom de to protonene. Hva er den eksakte totalenenergien for de to tilstandene ψ ± i grensen R? b. Anta så at R tvinges til å være mye mindre enn a 0, slik at systemet blir tilnærmet hydrogenlignende, med en kjerne med ladning e. Hva blir da grunntilstandsenergien for elektronet? Hva kan du si om totalenergien når R << a 0? c. Tenk deg (uansett størrelsen av R) et koordinatsystem med z-aksen langs linjen gjennom p og p og origo midt mellom. Forklar hvorfor L z, Ĥ og paritetsoperatoren P alle kommuterer. Hint: Overbevis deg om at potensialet V = V + V er uavhengig av asimutvinkelen φ. d. Vis at lineærkombinasjonene ψ ± ovenfor er egenfunksjoner både til P og L z og angi egenverdiene.