Multi i praksis Tilpasset opplæring Forfatterne bak Multi: Bjørnar Alseth Universitetet i Oslo Henrik Kirkegaard, Flisnes skole, Ålesund Mona Røsseland, Matematikksenteret Gunnar Nordberg, Høgskolen i Oslo Grunntanken bak Multi En bred matematisk kompetanse Faglig fokus og tydelige læringsmål Elevene skal utvikle en bred kompetanse Varierte undervisningsformer mot samme mål - Individualisering innenfor læringsfellesskap Ulike oppgavetyper og aktivitetsformer Tilpasning til den enkelte Innenfor en oppgave/aktivitet Spor: Prøve i boken, oppfølging i bok + oppgavebok Faglig fokus og tydelige læringsmål Hvilke kompetansemål skal elevene nå? Hva kan elevene fra før? Vet elevene hva de skal lære? Er elevene bevisste på hva de har lært? Hvordan kan jeg som lærer legge til rette slik at elevene når målene? Det er ikke sikkert alle oppnår like stor grad av måloppnåelse. - Hvilke konsekvenser får dette for min undervisning? - Har jeg god nok oversikt over hva jeg kan forvente av de ulike elevene? Oppbyggingen av Multi Lærerens bok: Generell del i A-boka: Forventet forkunnskap hos elever Kompetansemål på trinn Forslag til årsplan Kapittelsidene: Inneholder gode faglige råd, tips til aktiviteter variasjon Ivaretar tilpasset opplæring Gir mulighet til å velge blant ulike læringsstrategier
Matematisk innhold Hva skal gjøres? Mer utfordring Kartleggingsprøver Matematisk samtale Forenkling Flere aktiviteter Kartleggingsprøver - halvårsprøver - årsprøver - veiledning til prøvene Hva gjør jeg nå? Differensiering Hvorfor varierte uttrykksformer? Det å kunne matematikk betyr mange ulike ting. Ved å vise faget i en større bredde legges det til rette for at flere elever kan vise at de har evner for å lære matematikk. Ved å ta i bruk et bredere spekter av oppgaver, og ikke kun oppgaver hvor det er ett riktig svar, åpnes det for at alle kan klare litt, det er ikke enten helt riktig eller fullstendig galt. Hvorfor skal elevene arbeide med ulike typer oppgaver? Elevene skal utvikle en: Veksle mellom aktiviteter og ferdighetstrening Helhetlig matematisk kompetanse Det innebærer blant annet å - Kunne kjenne igjen matematikken i ulike kontekster - Ha automatiserte basiskunnskapene OG kunne bruke disse på ulike problemstillinger - Kunne se sammenhenger mellom ulike deler av faget
Forenkling Bruk konkretiseringsmateriell som elevene er fortrolige med: Penger, tierstaver eller tallinje. Endre tall Mer utfordring Å bruke varierte uttrykksmåter De elevene som mestrer tierovergang greitt kan nå arbeide med mer abstrakte oppgaver uten konkretiseringsmateriell. De kan f.eks bruke terninger, kort eller eggekartong til å lage oppgaver som de fører i kladdebøkene sine. Bruk av fortelling Spill: Sparegris Spill sammen to og to. Hver spiller tegner en stor 20 10 5 5 sparegris på et ark. I sparegrisen legges 43 kr, se myntene over illustrasjonen. Kast to terninger ett tur. Spilleren som kaster skal få så mange kroner som antall øyne på de to terningene til sammen fra den andre. Spill et bestemt antall minutter. Den med mest penger vinner. En spiller vinner også hvis den andre går tom. 1 1 1
Sparebøsse-spillet Spill sammen to og to. Tre terning Hver spiller tegner en stor sparegris på et ark. I sparegrisen legges 45 kr, se myntene over illustrasjonen. 5 5 1 1 Legg sammen to av terningene til nevner og bruk den tredje terningen til 1 teller. Brøken må være ekte, altså teller mindre enn nevner. Elevene får så mange penger fra den andre sin sparegris som brøken angir. Hvis spiller A slår 1, 3 og 6. Kan han lage brøken 3/7, og han skal da motta 3/7 av de 45 kr som spiller B har i sin gris, dvs 18 kr (42:7*3). Må 1 1 runde ned til 42 som er det første tallet som kan deles i 7-deler. Nå har spiller A (45+18) 63 kr i sin sparegris, og spiller B får 2,4 og 5 i neste kast. Han lager brøken 5/6, og skal motta 50 kr (60:10*5) fra A Helheten er altså til hver tiden den summen penger som er i sparegrisene. Spill et bestemt antall minutter. Den med mest penger vinner. En spiller vinner også hvis den andre går tom. 20 10 Handelsløp Utstyr: Spillebrett og spinner, en brikke til hver spiller. Spillet går ut på å bruke 1000 kr fortest mulig. Alle starter i startruten. Så flytter man frem etter tur så mange ruter som måneden man er født i angir. Eksempel er man født i juli, skal man flytte frem 7 ruter. Etter enn har landet i en rute, snurrer en spinneren og ser hva en skal gjøre med prisen som ruta en står i viser. Eks: En er født i mai, og havner dermed i ruta med Guiness rekordbok, som koster 128 kr. Spinneren stopper på halvpris. Da skriver eleven ned 64 på arket sitt. Hvor mange ruter en skal flytte frem i neste trekk avgjøres av hvor mange enere en har i den totale summen. For eksempel må eleven som har 64 flytte fire ruter. Hver gang en passerer start må en kjøpe en gave til kr 25, som dermed legges til det totale beløpet. Eksempel på åpen oppgave Stian kjøper en hel sekk med gamle tegneserier på et loppemarked. Han betaler 430 kr for hele sekken. Han planlegger å selge tegneseriene videre med fortjeneste. Når han kommer hjem ser han at det er 158 blader i sekken. 16 av bladene mangler noen sider. 75 av bladene ser nesten helt ubrukte ut. Resten av bladene er hele, men de er godt brukte. Lag et forslag til priser på tegneseriene slik at han kan tjene penger på salget. Sofie, Britt og Daniel kjøper hver sine gensere. Britt kjøper den billigste og hun betaler halvparten så mye for sin genser som Sofie betaler for sin. Daniel betaler like mye for sin genser som Sofie og Britt til sammen. Daniel hadde 480 kr med seg på butikken. Etter han har kjøpt genseren har han bare halvparten igjen. Hva kostet de tre genserne? Problemløsning Problemløsning Alex, Thea og Ali har til sammen 104 kr. Alex har to ganger så mange penger som Thea. Ali har 4 kr mer enn Alex. Kan vi bruke likning? Lag et regneuttrykk som viser hvor mange kroner hvert av barna har. Tegn gjerne en skisse. Regn ut. Thea har x kr, Alex har 2 x kr og Ali har 2 x + 4 kr. X + 2x + 2x+ 4 = 104 5 x + 4 = 104 5 x + 4 4 = 104 4 5 x = 100 X = 20
Tre firedeler av elevene i en gruppe gikk til biblioteket. Det var 6 elever. Hvor mange var det i gruppen? I en gruppe er det 12 elever. En tredel kom til skolen med buss. Hvor mange var det? Brette ark og skrive brøk Brøk på spikerbrett La elevene illustrere brøker på spikerbrett. De setter da først en strikk rundt det som skal være helheten. Deretter setter de en ny strikk som rammer inn delen. Dette tegner de av på prikkpapir og skriver brøkdelen inni. Elevene kan få i oppgave å lage fire forskjellige illustrasjoner av en todel, av en tredel og av en firedel. Utforske brøk med geometriske mønsterbrikker I denne aktiviteten skal elevene utforske sammenhengen mellom ulike deler og helheten. Elevene arbeider sammen to og to. Aktiviteten kan enten være lærerstyrt, der lærer stiller ulike spørsmål og elevene utforsker med brikkene etter hvert, eller elevene kan arbeide selvstendig med oppgaveark. For å få full læringseffekt av aktiviteten og hjelpe elevene til å sette fokus på de matematiske begrepene kreves det likevel en oppsummering i felles klasse. Matematisk samtale: Refleksjon og argumentasjon Videre arbeid i boka Lærer er den som må være med å hjelpe elevene til å sette fokus på de faglige målene. Vi må synliggjøre matematikken i aktivitetene, og få elevene til å reflektere over hva de har gjort. Elevene må få presentere løsningene sine for hverandre, og må sette fokus på fremgangsmåtene. På denne måten kan en løfte fokus bort fra de praktiske situasjonene, mot løsningsmetodene og det matematiske innholdet.
Mer utfordringer: Brøk Ingen vet hvor gammel Fru Mork er. Da Tim spurte henne Svarte hun på følgende måte: Jeg hadde levd 2/20 av livet da jeg begynte på skolen. Jeg brukte 3/20 av livet på skole. Jeg jobbet 1/20 av livet før jeg giftet meg. Jeg var gift 2/5 av livet. Jeg hadde levd 7/10 av livet da mannen min døde. Tim hadde sett på gravplassen at det var 24 år siden mannen døde. Kan du finne ut hvor gammel Fru Mork er? Kan du også regne ut hvor gammel hun var da hun begynte på skolen? Hvor mange år gikk hun på skolen? Hvor gammel var hun da hun giftet seg? Hvor mange år var hun gift? Løsning Det er 24 år siden mannen døde. Hvis hun hadde levd 7/10 da mannen døde, må det siste 24 årene være 3/10 av livet hennes. Da finner vi ut at 1/10 er 8 år. Hun er altså 80 år. 1/20 av 80 år er 4 år, og 1/5 av 80 er 16. Hun var 8 år da hun begynte på skolen, hun gikk på skolen i 12 år, da var hun 20 år. Så jobbet hun 4 år før hun giftet seg. Hun var gift i 32 år. Veien til nettstedet smartboard http://www2.nok.se/pixel/smakprov/index.htm www.gyldendal.no/multi www.gyldendal.no/multi Multiplikasjon og divisjon med forståelse Typiske misoppfatninger når det gjelder multiplikasjon og divisjon Usikkerhet i den lille gangetabellen som fører til feil i enkeltsiffermultiplikasjon. Mangel på grunnleggende enkle divisjonsfakta ( gangetabellen baklengs ) som resulterer i feil i divisjon. Mangel på forståelse av posisjonssystemet som fører til at tallet blir stilt opp feil, eller at minnetallet blir borte eller blir skrevet som et separat siffer. Mangel på forståelse for standard skrivemåte for divisjonsalgoritmen.
Ulike multiplikative oppgavestrukturer Sammenheng mellom multiplikasjon og areal Rekke Igjen er det snakk om grupper med like mengder, men nå er de arrangert i et mønster med rekker og rader. Også her kan en bruke gjentatt addisjon, men denne oppgavetypen legger mer opp til å bruke multiplikasjon i løsningen. Rutenett Veien fra konkret til abstrakt Multiplikasjon: Fang ruter Lager et rutenett på 12 5 5 5 10 5 2 10 2 Elevene spiller sammen to eller tre. De slår to terninger etter tur. Til terningene legges til 10. Dette utgjør sidene i et rektangulært rutenett. Elevene multipliserer for å finne antall ruter i rutenettet. Produktet blir denne poengsummen i denne runden. Hvis elevene trenger det, kan de tegne rektanglene på et ruteark, slik at de kan bruke dette til å finne antall ruter i rutenettet. Hvis elevene ikke trenger det, bør de oppfordres til å tegne tomme rutenett og skrive på denne måten: Vinneren er den med mest poeng/tellebrikker etter et visst antall ganger. Ulike multiplikative oppgavestrukturer Forhold (multiplikativ sammenligning): Dette er såkalt multiplikativ økning: John har 3 ganger så mange epler som Kari. Kari har 4 epler. Hvor mange epler har han? Her blir det vanskelig å bruke gjentatt addisjon, for det kommer ikke klart frem av settingen at en mengden skal gjentas så og så mange ganger. Det er heller ikke uvanlig at en i disse oppgavene har to forskjellig størrelser som står i forhold til hverandre, som f.eks det er fire ganger flere katter enn hunder Forhold Hvor mye vann trenger vi til 2 dl saft når forholdet mellom saft og vann er 1:4? Hva gjør vi for å finne antall deler vann når vi vet antall deler saft? Må gange med 4. Forholdet 1:4 sier at det alltid vil være fire ganger så mye av det ene som av det andre. Men hvis vi bare vet mengden vann, f.eks 8 deler, hvordan kan vi vite hvor mye saft som er i? Er det 8 deler vann, så vil det være 8 :4 = 2 deler saft, altså ¼ så mye saft, som vann.
Forhold Lag flere oppgaver med brikker og be elevene finne forholdet mellom de ulike fargene: Problemløsning med forhold Knut har en liter ferdigblandet saft som er blandet ut i forholdet 1 : 3. Daniel har også en liter ferdigblandet saft, men han har blandet saft og vann ut i forholdet 1 :4. - hva er forholdet mellom gule og grønne brikker? - Hvor mange gule brikker blir det om det er 12 grønne? Hva blir blandingsforholdet til denne saftblandingen om en blander Knuts og Daniels liter? Hvor mange desiliter vann må settes til denne blandingen for at forholdet igjen skal bli 1 : 4? Forslag til løsning Mangel på grunnleggende enkle divisjonsfakta Mangel på forståelse for standard skrivemåte for divisjonsalgoritmen 435 : 3 = 145 3 13 12 15 15 0 435 : 3 = 300 100 135 120 40 15 15 5 0 145 Problemløsning Sigurd, Torkel og Karl hadde spart 4670 kr til sammen. Torkel hadde 316 kr mindre enn Sigurd. Torkel hadde tre ganger så mye som Karl. Hvor mange penger hadde hver av dem spart? Fasit: Ta utgangspunkt i det vi vet, nemlig at Sigurd har 316 kr mer enn Torkel, og at Torkel har tre ganger så mye som Karl. Hvis en begynner å trekke fra 316 kr fra totalen, vet en at i restbeløpet vil Sigurd og Torkel ha like mye. De har begge tre ganger så mye som karl. Restbeløpet på 4354 kr må da deles på 7. Vi får da 3 deler til Sigurd, 3 deler til Torkel og en del til Karl, som tegningen viser. Sigurd hadde spart 2182 kr, Torkel 1866 kr og Karl 622 kr
Hvor mye penger har Elias? Tegn-modell-strategi Elias og Sara hadde 240 kr. Elias og Markus hadde 180 kr. Sara hadde tre ganger mer penger enn Markus. Hvor mye penger hadde Elias? Se mønster-strategi Siri begynte å spare noen penger på mandag. Hver dag fra tirsdag til fredag sparte hun 20 kr mer enn hun sparte dagen før. Hun sparte totalt 450 kr fra mandag til fredag. Hvor mye sparte hun på mandag? 450 kr Den lille heksa Drill Den lille heksa Drill, skulle feire bursdagen sin. Hun inviterte alle vennene sine, det vil si heksene Vasso og Karris og trollmannen Litros. Hun ville gi seg selv og gjestene spesielt god mat den dagen. Kan dere hjelpe heksa Drill med å skrive handlelisten? Skriv ned antallet av hver ingrediens etter hver. Først skulle alle få tre lettkokte feite Taranteller. Så skulle hun lage en nydelig suppe. I den skulle det være: - to slangehoder til hver. - fem rotteøyne til hver - fire musehaler til hver Til dessert skulle hun lage en is av bjørnesnørr og elgespytt. Hun trengte: 2 kopper snørr til hver og tre kopper spytt Nå lurer jeg på om dere har fått med dere alt på handlelisten. God matematikkundervisning skjer i møtet mellom læreren, elevene og det matematiske fagstoffet! Spillet: Kapre kvadrater Utstyr: spillebrett, to terninger og to fargeblyanter i ulik farge. To spillere (eller to lag med to spillere på hvert lag) kaster to terninger annen hver gang. Med terningene lager de en ekte brøk, dvs at det minste tallet er teller. Dersom terningen viser to like tall, må en kaste en gang til. Spilleren kan nå fargelegge i sin farge et området på spillebrettet som samsvarer med brøken terningene gir. En trenger ikke fargelegge alt i samme kvadrat. F.eks om terningen viser 3 og 6, blir det 3/6. En kan da fargelegge 2/6 ( eller 1/3) i et kvadrat og 1/6 i et annet. En kan også fargelegge likeverdige brøk, dvs i stedet for tre ruter med 1/6 kan en fargelegge en rute som viser ½. Dersom en spiller har fargelagt mer enn halvparten av et kvadrat, kan ingen andre farge i det. Spilleren har da kapret det kvadratet. Dersom spillerne har fargelagt halvparten av et kvadrat hver, så får ingen det kvadratet. Målet er nemlig å kapre flest kvadrater i løpet av spillet. Spillet er ferdig når alle kvadratene er fargelagt eller okkupert, og vinneren er den som har flest i sin farge.
Eksempel: kapre kvadrater Terningene viser 3 og 4. Spilleren lager da brøken ¾. Han velger å fargelegge følgende ruter: Dersom han hadde valgt å fargelegge ¾ i den første figuren, hadde han kapret det kvadratet.