Eksamen R høsten 014 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x b) gx 5e x sinx Oppgave (3 poeng) Bestem integralene 3 a) x b) e 1 x lnx dx x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs differensiallikningen 5 yy 3 når y 0 b) Bestem likningen til tangenten i punktet 5 0, på grafen til y. Oppgave 4 (4 poeng) Punktene A 0, 6,6, B 0, 0, 7 og 6, 0, 5 a) Bestem likningen til. C ligger i planet. Et punkt P ligger på linjen gjennom punktene O0, 0, 0 og A 0, 6, 6. b) Bestem mulige koordinater til P slik at volumet av tetraederet ABCP blir 4. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 014 Side 1 av 8
Oppgave 5 (4 poeng) Figuren viser grafen til en funksjon f x, der x 0, 9. t La gt f xdx, der t 0, 9 0 a) Bestem g. Forklar at den største verdien til gt er 10. b) Bestem nullpunktet til g. Avgjør hvilke verdier av t som gjør gt negativ. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 014 Side av 8
Oppgave 6 (4 poeng) Ovenfor ser du grafen en funksjon f x Asin cx d. a) Bestem A, c, d og 1 ved hjelp av grafen og de punktene som er markert på grafen. Skriv opp funksjonsuttrykket til fx. 1 b) Grafen ovenfor kan også være grafen til Skriv opp funksjonsuttrykket til gx. g x Acos cx d. Oppgave 7 ( poeng) Bruk induksjon til å bevise påstanden 1 1 1 1 1 1 Pn: 1 1 1 1 1, n 3 4 n n1 n 1 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 014 Side 3 av 8
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (8 poeng) a) Vi har en uendelig geometrisk rekke a1 a a3 som er konvergent. Vis at summen S av rekken kan skrives a1 S a a 1 Figuren nedenfor viser en rettvinklet og likebeint ABC der katetene har lengde 1. Inne i trekanten har vi en rekke kvadrater (markert med blått på figuren). Det største kvadratet har side 6, det nest største har side 3, slik at sidene til kvadratene blir halvert i det uendelige. b) Forklar at summen S av arealene til kvadratene kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk formelen i oppgave a) til å bestemme S c) ABC inneholder også uendelig mange rettvinklete og likebeinte trekanter (markert med grønt på figuren) der sidene også halveres fra gang til gang. Skriv summen av arealene til disse trekantene som en uendelig geometrisk rekke. Bestem denne summen. d) Forklar hvordan du kunne ha funnet de to summene i oppgave b) og oppgave c) ved hjelp av et geometrisk resonnement. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 014 Side 4 av 8
Oppgave (8 poeng) En differensiallikning er gitt ved 4y 4y 5y 0 a) Sett opp den karakteristiske likningen, løs denne og bruk løsningen til å bestemme et generelt uttrykk for y. b) Finn integrasjonskonstantene når du får vite at y 3 0 3 og y 0. 4 c) Tegn grafen til y f x for x 0, 3. d) Bestem eventuelle nullpunkter til f og koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f når x 0, 3. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 014 Side 5 av 8
Oppgave 3 (8 poeng) En pyramide ABCDT er gitt på figuren ovenfor. Pyramiden settes inn i et tredimensjonalt koordinatsystem slik at koordinatene til A, B og T er gitt ved A0, 0, 0, B4, 0, 0 og T 0, 0, 4. Punktene C og D ligger i xy planet. a) Vi setter BAD 135 og AD 4. Vis at D har koordinatene 4, 4, 0. 1 b) Punktet C er slik at BC AB AD., 4, 0. Vis at C har koordinatene Punktene B, D og T ligger i et plan. c) Vis at likningen for er x y z 4 0 Volumet av pyramiden ABDT kalles V1 og volumet av pyramiden CBDT kalles V. V1 d) Bestem forholdet. V Eksamen REA304 Matematikk R høsten 014 Side 6 av 8
Oppgave 4 (6 poeng) Et fotballmål har lengde CD 7,3 m. En fotballspiller løper med ballen langs linjestykket AB, slik figuren nedenfor viser. Punktet B ligger 8,0 m fra punktet C. Han vil skyte på mål når er størst mulig. avhenger av lengden x AB. DAC Vi setter DAB u og CAB v og lar f x tan tanu v tanu tanv 1 tanu tanv a) Bruk formelen tanuv til å vise at fx b) Bestem den største verdien for fx og tilhørende verdi for x. x 7,3x 1,4 Vi vet at har sin største verdi når tan har sin største verdi. c) Bestem maks. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 014 Side 7 av 8
Oppgave 5 (6 poeng) Et plan er gitt ved likningen x y z 3 0 a) Bestem likningen for den kuleflaten som har sentrum i punktet S11,, 6 og som har som tangentplan. b) Bestem koordinatene til tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet. Et plan er gitt ved x y z 0 Dette planet skjærer kuleflaten langs en sirkel. c) Bestem radien i denne sirkelen. Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA304 Matematikk R høsten 014 Side 8 av 8