2P eksamen våren 2017 løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 16 elever. Tabellen nedenfor viser hvor mange søsken de 16 elevene har. Antall søsken Frekvens 0 5 1 6 2 2 3 2 4 1 Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden. Gjennomsnitt: 5 0 6 1 2 2 2 3 1 4 20 5 1,25 16 16 4 Median: Det er 16 elever totalt. Halvparten er 8. Siden frekvens av 0 er 5, og frekvens av 1 er 6, og 5 + 6 = 11 > 8, er medianen 1. Typetallet er 1 siden det er flest elever med ett søsken. Variasjonsbredde: 4 0 = 4 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 1 av 19
Oppgave 2 (1 poeng) Ved en skole er det 125 elever. En dag tok 25 av elevene buss til skolen. Hvor mange prosent av elevene tok buss til skolen denne dagen? 25 25 100 % 125 125 5 1 100 100 % % 20 % 5 20 % av elevene tok buss til skolen denne dagen. Oppgave 3 (2 poeng) Regn ut 0 3 2 1 3 3 3 2 2 1 ( 3) 3 3 ( 2) 2 3 3 6 6 3 5 2 8 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 8 Oppgave 4 (2 poeng) I 10 L vann er det omtrent 25 3,0 10 vannmolekyler. Hvor mange vannmolekyler er det i 1,5 dl vann? 25 3,0 10 25 2 23 1,5 1,5 3,0 10 4,5 10 10 10 Det er 4,5 10 23 vannmolekyler i 1,5 dl vann. Oppgave 5 (3 poeng) I 2017 er verdien av en leilighet 1 200 000 kroner. Per antar at verdien vil stige med 80 000 kroner hvert år. a) Sett opp en modell som viser verdien fx ( ) av leiligheten x år etter 2017 dersom det går slik Per antar. Verdi etter x år = verdi i 2017 + 80 000 antall år x f( x) 1 200 000 80 000x Kari antar at verdien vil stige med 8 % hvert år. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 2 av 19
b) Sett opp en modell som viser verdien gx ( ) av leiligheten x år etter 2017 dersom det går slik Kari antar. 8 Vekstfaktor: 1 1,08 100 Modellen blir da gx ( ) 1 200 000 1,08 x c) Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til f? Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til g? Begrunn svarene dine. f er en lineær funksjon, og grafen må være en rett linje. Da er B riktig alternativ. g er en eksponentielt voksende funksjon. Da må A være riktig alternativ. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 3 av 19
Oppgave 6 (6 poeng) Et år deltok 1 000 elever i en konkurranse. Besvarelsene ble vurdert, og lærerne laget en tabell. Tabellen ser du nedenfor, men her mangler noen av tallene lærerne satte inn Poengsum Frekvens Relativ frekvens 0, 30 100 100 0,1 1000 30, 50 1000 100 600 200 100 100 0,1 1000 50, 70 0,6 1000 600 0,6 200 70, 100 200 0,2 1000 Klassemidtpunkt 0 30 15 2 30 50 40 2 50 70 60 2 70 100 85 2 a) Tegn av tabellen ovenfor, og fyll inn tallene som mangler. b) Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene som deltok i konkurransen. Gjennomsnittlig poengsum i det klassedelte materialet finner vi ved å legge sammen alle produktene av frekvens og klassemidtpunkt og til slutt dele på det totale antallet. Gjennomsnittlig poengsum er: 100 15 100 40 600 60 200 85 1000 1500 4000 36 000 17 000 58 500 58,5 1000 1000 Et annet år deltok 3 525 elever i konkurransen. Tabellen nedenfor viser poengfordelingen Poengsum Frekvens 0, 30 563 30, 50 700 50, 70 2000 70, 100 262 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 4 av 19
c) Bestem medianen for poengsummene til elevene som deltok i konkurransen dette året. 3525 1762,5 1763. Legger vi sammen de to første klassene, får vi 563 + 700 2 = 1263. Legger vi til neste klasse, 50, 70, får vi 1263 + 2000 = 3263. Altså må medianen ligge i dette intervallet. 1763 1263 = 500. Medianen er altså tall nr. 500 i intervallet 50, 70. Det er 2000 poengsummer i dette intervallet. Dersom poengsummen øker jevnt for de 2000 poengsummene, må økningen fra den ene poengsummen til den neste være: 70 50 20 0,01 2000 2000 Tall nr. 500 vil derfor være lik 50 0,01 500 50 5 55 Medianen for poengsummene er derfor 55.. Oppgave 7 (7 poeng) Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små, blå pinner. Hver pinne har lengden 2,5 cm. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster. a) Hvor mange pinner trenger du for å lage figur 4? Bestem omkretsen av figur 4. Vi må legge til to pinner for å få figur 4. Da har vi totalt 9 pinner. Omkretsen består av 6 pinner, så omkretsen blir 6 2,5 cm 15 cm b) Bestem et uttrykk for antall pinner i figur n uttrykt ved n. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 5 av 19
Figur nr., n 1 2 3 4 Antall pinner, N 3 5 7 9 Ser at antall pinner øker med to for hver figur. Det betyr at funksjonen Nn ( ) for antall pinner N i figur nr. n er ei rett linje med stigningstall 2. Setter konstantleddet lik b og får N( n) 2n b Vi har at det er 3 pinner i figur nr. 1. Det betyr at N(1) 3 2 1 b 3 2 b 3 b 3 2 b 1 Utrykket for antall pinner blir N( n) 2n 1 c) Bestem et uttrykk for omkretsen av figur n uttrykt ved n. Figur nr., n 1 2 3 4 Antall pinner i omkretsen 3 4 5 6 Omkrets, O, [cm] 7,5 10 12,5 15 Ser at omkretsen øker med 2,5 cm for hver figur. Det betyr at funksjonen On () for omkretsen O av figur nr. n er en rett linje med stigningstall 2,5. Setter konstantleddet lik b og får: O( n) 2,5n b Vi har at omkretsen er 10 cm for figur nr. 2. Det betyr at O(2) 10 2,5 2 b 10 5 b 10 b 10 5 b 5 Uttrykket for omkretsen blir O( n) 2,5n 5 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 6 av 19
En figur som følger samme mønster som ovenfor, har en omkrets på 105 cm. d) Bestem antall pinner i denne figuren. Det betyr at On ( ) 105 2,5n 5 105 2,5n 105 5 2,5n 100 200 2,5 2,5 5 n 40 Figur nr. 40 har omkrets på 105 cm. Antall pinner blir N (40) 2 40 1 80 1 81 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 7 av 19
Oppgave 1 (8 poeng) Funksjonen V er gitt ved 4 3 2 V( x) 0,064 x 2,41 x 28,4x 105x 39, 0 x 18 viser vannstanden Vx ( ) centimeter over eller under middelvann x timer etter midnatt i Tromsø en dag. a) Bruk graftegner til å tegne grafen til V. Skrev inn funksjonen Vx ( ) i GeoGebra ved hjelp av kommandoen Funksjon. Se rød graf på bildet. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 8 av 19
b) Vis at vannstanden er ca. 40 cm under middelvann én time etter midnatt og ca. 31 cm over middelvann 12 timer etter midnatt. Én time etter midnatt: V(1) 39,95 40, se konstanten c på bildet i a). 12 timer etter midnatt: V (12) 31,22 31. Se konstanten a. c) Bestem forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand i perioden fra midnatt og fram til klokka 18.00. Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand i perioden er 141,2 cm, se konstanten b og punktene A og B på bildet i a). Kommando: Ekstremalpunkt d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen V klokken 07.00. Gi en praktisk tolkning av dette svaret. Den momentane vekstfarten til funksjonen V klokken 07.00 er 26,1 cm/time. Se tangentlinje g(x) på bildet i a). Kommando: Tangent[7,V]. Det betyr at akkurat kl. 07.00 stiger vannet med 26,1 cm per time. Oppgave 2 (2 poeng) Emil betalte 3 703 000 kroner for en leilighet. Han betalte 15 % mer enn prisantydningen. Hva var prisantydningen for denne leiligheten? 15 Vekstfaktor: 1 1,15. Prisantydningen var: 100 3 703 000 kr 3 220 000 kr 1,15 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 9 av 19
Oppgave 3 (4 poeng) For 20 år siden arvet Ida penger. Hun satte alle pengene inn på en ny bankkonto. Hun har fått en fast rente på 4,25 % per år. I dag har hun 1 724 180 kroner på kontoen. Hvor mye penger arvet Ida? Ida arvet 750 000 kroner. Oppgave 4 (2 poeng) Beskriv en praktisk situasjon som passer med grafen ovenfor. Dette kan passe med en person som går med konstant fart bortover fra et startsted og på et visst tidspunkt snur brått og går tilbake litt raskere siden grafen er brattere etter knekkpunktet. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 10 av 19
Oppgave 5 (4 poeng) Ved en skole kom alle elevene som hadde valgt 2P, opp til skriftlig eksamen. Histogrammet nedenfor viser poengfordelingen a) Vis at det til sammen var 230 elever i 2P-gruppene. Antall elever er det samme som arealet av histogrammet. Antall elever blir da 10 1 30 6 20 2 10 180 40 230 b) Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene. Antar at elevene i hver klasseinndeling har fått klassemidtpunktet i poengsum. Gjennomsnittlig poengsum blir 10 5 180 25 40 50 28,5 230 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 11 av 19
Oppgave 6 (4 poeng) Temperaturen blir lavere jo høyere over havet vi kommer. Spiterstulen ligger 1 106 m over havet. Toppen av Galdhøpiggen ligger 2 469 m over havet. En dag er temperaturen på Spiterstulen 12,0 C. Vi antar at temperaturen Tx ( ) C, x meter over Spiterstulen denne dagen er gitt ved. T( x) 0,0065 x 12, 0 x 1400 a) Hvor høyt over Spiterstulen vil du være når temperaturen er 5 C denne dagen? Du vil være 1077 meter over Spiterstulen når temperaturen er 5 C. Se linje 2 på CAS-utklippet. b) Bestem temperaturen på toppen av Galdhøpiggen denne dagen. Temperaturen på Galdhøpiggen vil være 3.1 C. Se linje 3 i CAS-utklippet. c) Hvor mange grader synker temperaturen med per 100 m stigning denne dagen? Stigningstallet til T(x) sier at temperaturen synker med 0,0065 C per meter stigning. Per 100 meter stigning synker temperaturen 0,0065 100 C per 100 m 0,65 C per 100 m Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 12 av 19
Oppgave 7 (5 poeng) Tabellen nedenfor viser hvor høy Per var 0, 1, 3, 6 og 12 år etter fødselen. Alder (år) 0 1 3 6 12 Høyde (cm) 52 76 97 118 148 a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en tredjegradsfunksjon f som tilnærmet viser høyden til Per de første 12 leveårene. Brukte regresjonsanalyse i GeoGebra på tallene i tabellen og valgte tredjegradspolynom. Den tredjegradsfunksjonen som passer best, er 3 2 f( x) 0,12x 2,57x 21,82x 53,56 Espen er 12 år. Funksjonen g gitt ved 3 2 g( x) 0,13x 2,8 x 23x 52 viser høyden hans gx ( ) cm, x år etter fødselen. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 13 av 19
b) Bestem Espens gjennomsnittlige vekstfart fra han var 7 år til han ble 12 år. Espens gjennomsnittlige vekstfart er 5,81 cm per år, se linje 2 i CAS-bildet. Sitatet nedenfor er hentet fra nettsidene til Norsk Helseinformatikk AS. Anta at Espen kommer i puberteten når han er 12 år. Puberteten varer vanligvis i to tre år. c) Ta utgangspunkt i sitatet ovenfor, og vurder om funksjonen g kan brukes til å bestemme høyden til Espen etter at han har fylt 12 år. Funksjonen kan ikke brukes etter at Espen har fylt 12 år, fordi grafen stiger til himmels ganske fort, noe også utregningen i linje 3 på CAS-utklippet viser. Det er svært få 15-åringer som er over 2 meter. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 14 av 19
Oppgave 8 (4 poeng) Tabellene ovenfor viser hvor mange mål Liverpool FC og Newcastle United FC skåret per kamp i sesongen 2015 2016 a) Bestem gjennomsnittet og medianen for antall skårede mål per kamp for begge klubbene. Laget liste i GeoGebra av dataene og brukte kommandoene Gjennomsnitt og Median. Liverpool FC skårer 1,66 mål i gjennomsnitt per kamp. Medianen er 1. Newcastle United FC skårer 1.16 mål i gjennomsnitt per kamp. Medianen er 1. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 15 av 19
b) Bestem standardavviket for antall skårede mål per kamp for begge klubbene. Hva forteller dette oss? Brukte videre kommandoen Standardavvik. Standardavviket for antall skårede mål per kamp for Liverpool FC er 1,47, mens det for Newcastle United FC er 1,35. Det betyr at antall mål Liverpool FC skårer i kampene sine, varierer mer enn tilsvarende for Newcastle United FC. Kommentar: Oppgave 8 kan også løses direkte i regnearket eller ved å bruke statistikkverktøyet. Oppgave 9 (5 poeng) Elise og Ådne opprettet hver sin bankkonto 1. januar 2017. Elise satte inn 20 000 kroner. Ådne satte inn 25 000 kroner. Begge får en rente på 2,75 % per år, og begge lar pengene stå urørt. a) Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye Elise og Ådne vil ha i banken hvert år fram til og med 31. desember 2036. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 16 av 19
Regnearket går fram til 2037 for å få med rentene året 2036. b) Hvor mange år vil det gå før de til sammen har mer enn 70 000 kroner i banken? De passerer 70 000 kr i banken i løpet av året 2033, se rute G23 i regnearket. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 17 av 19
c) Hvor mye vil Elise og Ådne til sammen få i renter disse 20 årene? Til sammen vil de få 32 419,28 kroner i rente, se rute H27 i regnearket. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 18 av 19
Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger og bilder: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT1015 Matematikk 2P våren 2017 Side 19 av 19